模糊f代数的基本性质研究

The Study of Elementary Property of Fuzzy f Algebra

摘要: 本文首先讨论了模糊f代数中任意不交补是模糊双边理想，并且研究了在模糊f代数中，结合律成立的情况下的部分关系式。然后给出了模糊正交算子的定义，并研究了两个模糊正交算子相等的条件。最后介绍了模糊Archimedean-f代数，并讨论其中f²和fg等于零时的条件。

Abstract: This article first discussed that any disjoint complement in fuzzy f algebra is a fuzzy l-ideal, and studied some relationships in fuzzy f algebra when the associative law holds. Then, the definition of fuzzy orthogonal operators was given, and the conditions for two fuzzy orthogonal operators to be equal were studied. Finally, the fuzzy Archimedean f algebra was introduced, and the conditions under which f² and fg equal zero were discussed.

1. 引言

1994年，Beg I，在Zadeh教授提出的模糊概念和Venugopalan提出的模糊序集定义的基础上，首次提出了模糊Riesz空间的概念，并在 [1] 中讨论了模糊Riesz空间的部分性质。1997年，Beg I讨论了模糊Archimedean空间的基本性质。然后，Hong L在 [2] 中研究了在模糊Riesz子空间、模糊理想、模糊带以及模糊投影带等的基本性质。2021年，Gui R等人在 [3] 中讨论了模糊Riesz空间中的模糊正算子、模糊序连续算子以及模糊序有界线性算子等的性质。2022年，Cheng在 [4] 中讨论了模糊正线性算子的基本性质。

本文的主要目的是探讨模糊f代数的基本性质。模糊f代数的基本性质将丰富模糊Riesz空间的理论知识，有助于处理模糊Riesz空间理论在动力系统、工程等领域中应用所遇到的难题。本文的第二部分将回顾模糊Riesz空间中的部分概念和性质；第三部分介绍了模糊f代数的一些基本性质；第四部分讨论了模糊Archimedean空间中模糊正交算子的性质；第五部分将研究模糊Archimedean-f代数的基本性质。

2. 预备知识

本节将回顾文献 [1] - [12] 中的一些概念和性质，以便应用其得到文章主要结论。其中R代表全体实数， $\underset{\_}{0}$ 代表零向量。

定义2.1 [5] [6] 假设X是论域，模糊关系 $\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ ，如果 $\mu$ 满足以下条件：

1) 假设 $x=y$ ，则 $\mu \left(x,x\right)=1$ (自反性)

2) 假设 $x,y\in X$ ，如果 $\mu \left(x,y\right)>0$ ， $\mu \left(y,x\right)>0$ ，则 $x=y$ (反对称性)

3) 假设 $x,z\in X$ ，则 $\mu \left(x,z\right)\ge \underset{y\in X}{\vee }\left[\mu \left(x,y\right)\wedge \mu \left(y,z\right)\right]$ (传递性)

则称 $\mu$ 是模糊偏序关系，其中， $\mu$ 是 $X\times X$ 中模糊子集的隶属函数。

定义2.2 [6] 假设A是模糊偏序集X的子集。如果

$U\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,\left(\uparrow x\right)\left(y\right)\le \frac{1}{2},x\in A\\ \left({\cap }_{x\in A}\uparrow x\right)\left(y\right),其他\end{array}$ ，

则称 $U\left(A\right)$ 是A在X上的上界。同理，如果

$L\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,\left(\downarrow x\right)\left(y\right)\le \frac{1}{2},x\in A\\ \left({\cap }_{x\in A}\downarrow x\right)\left(y\right),其他\end{array}$

则称 $L\left(A\right)$ 是A在X上的下界。

对于 $x\in X$ ，如果 $U\left(A\right)\left(x\right)>0$ ，则称 $x\in U\left(A\right)$ 。此时，称A是有上界的且x是A的一个上界。类似地，对于 $x\in X$ ，如果 $L\left(A\right)\left(x\right)>0$ ，则称 $x\in L\left(A\right)$ 。此时，称A是有下界的且x是A的一个下界。如果A既有上界又有下界，则称A是有界的。

假设 $z\in X$ ，如果z满足以下两个条件：

1) $z\in U\left(A\right)$ ，

2) 如果 $y\in U\left(A\right)$ ，则 $y\in U\left(z\right)$ ，

则称z是A的上确界。

假设 $z\in X$ ，如果z满足以下两个条件：

1) $z\in L\left(A\right)$ ，

2) 如果 $y\in L\left(A\right)$ ，则 $y\in L\left(z\right)$ ，

则称z是A的下确界。

定义2.3 [6] 假设X是模糊偏序集。如果X的任意有限子集都有上确界和下确界，则称X是模糊格。

定义2.4 [2] 假设X是模糊偏序集，序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 属于X。若当 $n\le m$ 时，有 $\mu \left(x_n,x_m\right)>\frac{1}{2}$ ，则称序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 是递增的，记作 $x_n\uparrow$ 。特别地，如果 $x={\sup }_{n\in N}\left\{x_n\right\}$ 存在，就记作 $x_n\uparrow x$ 。同样的，若当 $n\le m$ 时，有 $\mu \left(x_m,x_n\right)>\frac{1}{2}$ ，则称序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 是递减的，记作 $x_n\downarrow$ 。特别地，如果 $x={\inf }_{n\in N}\left\{x_n\right\}$ 存在，就记作 $x_n\downarrow x$ 。

定义2.5 [9] 假设X是模糊偏序集，D是X的子集。如果对于D的任意有限子集， $D\cap U\left(F\right)\ne \varnothing$ ，则称D是向右的。如果对于D的任意有限子集， $D\cap L\left(F\right)\ne \varnothing$ ，则称D是向左的。如果D既是向右的又是向左的，则称D是有向的。

定义2.6 [8] 假设E是实向量空间。如果E中存在模糊偏序关系 $\mu$ ，使得向量结构和模糊序结构兼容，即：

1) 对任意 $x\in E$ ，假设 $x_1,x_2\in E$ ，使得 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ，则

$\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(x_1+x,x_2+x\right)$

2) 对任意非负实数 $\alpha$ ，假设 $x_1,x_2\in E$ ，使得 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ，则

$\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(\alpha x_1,\alpha x_2\right)$

则称E是模糊序向量空间.

定理2.7 [8] 假设X是模糊序向量空间， $x,y,z\in X$ ， $\alpha ,\beta \in R$ 。则下述条件成立

1) 如果 $\mu \left(\underset{\_}{0},x\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},y\right)>\frac{1}{2}$ ，则 $\mu \left(\underset{\_}{0},x+y\right)>\frac{1}{2}$

2) 如果 $\mu \left(\underset{\_}{0},x\right)>\frac{1}{2}$ ， $\alpha \ge 0$ ，则 $\mu \left(\underset{\_}{0},\alpha x\right)>\frac{1}{2}$

3) 如果 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ， $\alpha \le 0$ ，则 $\mu \left(\alpha x_2,\alpha x_1\right)>\frac{1}{2}$

定义2.8 [9] 假设X是模糊序向量空间。如果X是一个有向集，则称X是有向模糊序向量空间。

定义2.9 [9] 假设X是有向模糊序向量空间。如果对于任意非负元素 $x\in X$ ，集合 $\left\{\alpha x:0<\alpha \in R\right\}$ 是无上界的，则称X是模糊Archimedean空间。

定义2.10 [1] 假设E是模糊序向量空间。如果E也是模糊格，则称E是模糊Riesz空间。

定义2.11 [1] 假设E是模糊Riesz空间， $x\in E$ 。如果 $x^{+}=x\vee 0$ ，则称 $x^{+}$ 是x的正部；如果 $x^{-}=\left(-x\right)\vee 0$ ，则称 $x^{-}$ 是x的负部；如果 $\left|x\right|=x\vee \left(-x\right)$ ，则称 $\left|x\right|$ 是x的绝对值

定义2.12 [2] 假设E是模糊Riesz空间， $x_1,x_2\in E$ ，A是E的子集。如果

$\left|x_1\right|\wedge \left|x_2\right|=\underset{\_}{0}$

则称 $x_1$ 与 $x_2$ 是不交的或正交的，记为 $x_1\perp x_2$ 。

定义2.13 [2] 假设E是模糊Riesz空间，D是E的子集。如果 $f\in D$ ， $g\in E$ ，使得 $\mu \left(g,f\right)>\frac{1}{2}$ ，则

$g\in D$ ，那么称D是模糊solid的。E的模糊solid子向量空间I是模糊序理想。假设B是E中的模糊序理想。如果 $D\subset B$ ， $x=\sup D$ ，则 $x\in B$ ，那么称B是模糊带。

定义2.14 [2] 假设E是模糊Riesz空间，D是E的模糊Riesz子空间，如果对任意正元素 $f\in E$ ，存

在非零元素 $g\in D$ ，使得 $\mu \left(g,f\right)>\frac{1}{2}$ ，则称D是E中的模糊序稠密。

定义2.15 [2] 假设E是模糊Riesz空间，A是E的子集。如果有集合

$A^d=\left\{x\in E|x\perp y,\forall y\in A\right\}$

则称 $A^d$ 为A的不交补。 $A^{dd}$ 是 $A^d$ 的不交补，即 $A^{dd}={\left(A^d\right)}^d$

定理2.16 [1] 假设E是模糊Riesz空间，对于任意的 $x\in E$ ，有 $x=x_1-x_2$ 且 $x_1\wedge x_2=\underset{\_}{0}$ 当且仅当 $x_1=x^{+}$ ， $x_2=x^{-}$

定理2.17 [1] 假设E是模糊Riesz空间。对于任意的 $x,x_1,x_2\in E$ ，则不等式

$\mu \left(x\wedge \left(x_1+x_2\right),x\wedge x_1+x\wedge x_2\right)>\frac{1}{2}$

成立。

定义2.18 [10] 假设 $\left(E,\mu \right)$ 是模糊Riesz空间， $\left\{x_n\right\}\in \left(E,\mu \right)$ ，当 $\left(E,\mu \right)$ 中存在另一序列 ${\left\{r_n\right\}}_{n\in N}$ 满足

$\mu \left(\left|x_n-x\right|,r_n\right)>\frac{1}{2}$ 且 $r_n\downarrow 0$ ，则称 ${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 模糊序收敛于x，且 $x\in X$ ，记做 $x_n\stackrel{f_o}{\to }x$ ，同时也称x是序列

${\left\{x_n\right\}}_{n\in N}$ 的模糊序极限。

定义2.19 [7] 假设 $\left(K,\mu \right)$ 和 $\left(H,\eta \right)$ 是模糊Riesz空间，模糊正算子 $P:K\to H$

1)如果 $P\left(k\right)\subset H$ 是模糊序有界的当且仅当 $k\subset K$ 是模糊序有界的，则称算子P是模糊序有界的；

2)如果在K中有 $k_{\lambda }\stackrel{f_o}{\to }0$ 能推出在H中有 $P\left(k_{\lambda }\right)\stackrel{f_o}{\to }0$ ，则称算子P是模糊序连续的。

定义2.20 [11] 环X的一个非空子集D，如果满足：(1) $a,b\in D\Rightarrow a-b\in D$ ；(2) $a\in D$ ， $r\in R\Rightarrow ra,ar\in D$ ，则称D为代数理想。

定义2.21 [12] 假设E是具有通常代数性质的模糊Riesz空间，并且对于乘法满足结合律，及对任意

$f,g\in E$ ，并且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，有 $\mu \left(\underset{\_}{0},fg\right)>\frac{1}{2}$ ，则称E为模糊Riesz代数(又可以称模糊格序代数)。在模糊Riesz代数E中，如果 $f\wedge g=\underset{\_}{0}$ ，对于任意 $w\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ，能得到 $\left(fw\right)\wedge g=\left(wf\right)\wedge g=\underset{\_}{0}$ ，

则又称E为模糊f代数。

3. 模糊f代数

定义3.1 假设E是模糊Riesz空间， $I\subset E$ 。如果I既是代数理想，又是模糊序理想，我们称I为模糊双边理想

定理3.2 假设E是模糊f代数， $D\subset E$ ，则 $D^d$ 是模糊双边理想。

证：假设 $D\subset E$ ， $D^d=\left\{f\in E|f\wedge g=0,\forall g\in D\right\}$ 。若 $f,g$ 是E中非零元素且 $g\in D^d$ ，使得

$\mu \left(\left|f\right|,\left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$ 。若 $h\in D$ ，则 $\mu \left(\left|f\right|\wedge \left|h\right|,\left|g\right|\wedge \left|h\right|\right)>\frac{1}{2}$ ，即

$\mu \left(\left|f\right|\wedge \left|h\right|,0\right)>\frac{1}{2}$ 。

又因为 $\mu \left(0,\left|f\right|\wedge \left|h\right|\right)>\frac{1}{2}$ ，所以 $\left|f\right|\wedge \left|h\right|=0$ ，即 $f\in D^d$ 。

下证 $D^d$ 是代数理想。显然对于E中的加法和乘法，E是一个环。若 $f,g\in D^d$ ，显然有 $f-g\in D^d$ 。若 $f\in D^d$ ， $g\in E$ ， $f\wedge h=\underset{\_}{0}$ ， $\forall h\in D$ 。根据 [12] 定理3.4 (3)，可得

$fg\wedge h=\underset{\_}{0},gf\wedge h=\underset{\_}{0}$ ，

即 $fg,gf\in D^d$ 。E中的任意不交补是模糊双边理想，得证。

定理3.3 假设E是模糊f代数并且E中结合律成立，则以下结论成立：

1) 如果 $f,g\in E$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，则有

${\left(f\vee g\right)}^2=f^2\vee g^2$ ， ${\left(f\wedge g\right)}^2=f^2\wedge g^2$ ；

2) 如果 $f,g\in E$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，且k是任意非负整数，则有

$\mu \left[{\left(fg-gf\right)}^{+},f^2\vee f{\left(g-kf\right)}^{+}\right]>\frac{1}{2}$ ；

$\mu \left[{\left(fg-gf\right)}^{+},g^2\vee {\left(f-kg\right)}^{+}g\right]>\frac{1}{2}$

3) 如果 $f,g\in E$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，且n是任意正整数，则有

$\mu \left(n\left|fg-gf\right|,f^2\vee g^2\right)>\frac{1}{2}$ 。

证：1) 假设 $f,g\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，有

$\begin{array}{c}{\left(f\vee g\right)}^2=\left(f\vee g\right)\left(f\vee g\right)\\ =\left\{f\left(f\vee g\right)\right\}\vee \left\{g\left(f\vee g\right)\right\}\\ =\left(f^2\vee fg\right)\vee \left(gf\vee f^2\right)\\ =\left(f^2\vee g^2\right)\vee \left(fg\vee gf\right)\end{array}$

根据 [12] 定理3.4 (6)，可知 $\mu \left(\left(fg\right)\vee \left(gf\right),f^2\vee g^2\right)>\frac{1}{2}$ 。因此得 ${\left(f\vee g\right)}^2=f^2\vee g^2$ 。

类似可证 ${\left(f\wedge g\right)}^2=f^2\wedge g^2$

2) 假设 $fg-gf=f\left(g-kf\right)-\left(g-kf\right)f$

由 $\mu \left\{{\left[f\left(g-kf\right)-\left(g-kf\right)f\right]}^{+},{\left[f\left(g-kf\right)\right]}^{+}+{\left[\left(kf-g\right)f\right]}^{+}\right\}>\frac{1}{2}$ ，故有

$\mu \left\{{\left(fg-gf\right)}^{+},{\left[f\left(g-kf\right)\right]}^{+}+{\left[\left(kf-g\right)f\right]}^{+}\right\}>\frac{1}{2}$ $\mu \left[{\left(fg-gf\right)}^{+},f{\left(g-kf\right)}^{+}+{\left(kf-g\right)}^{+}f\right]>\frac{1}{2}$

又利用

$f{\left(g-kf\right)}^{+}+{\left(g-kf\right)}^{-}f=\left[f{\left(g-kf\right)}^{+}\vee {\left(g-kf\right)}^{-}f\right]+\left[f{\left(g-kf\right)}^{+}\wedge {\left(g-kf\right)}^{-}f\right]$

且由 [12] 定理3.4(1)得

$f{\left(g-kf\right)}^{+}+{\left(g-kf\right)}^{-}f=\left[f{\left(g-kf\right)}^{+}\vee {\left(g-kf\right)}^{-}f\right]$

即 $\mu \left[{\left(fg-gf\right)}^{+},f{\left(g-kf\right)}^{+}\vee {\left(g-kf\right)}^{-}f\right]>\frac{1}{2}$

假设 $y_k=f{\left(g-kf\right)}^{+}\vee {\left(g-kf\right)}^{-}f$ ， $z_k=y_0\wedge y_1\wedge \cdots \wedge y_k$ 。显然 ${\left(fg-gf\right)}^{+}\in L\left(y_k\right)$ ，即

$\mu \left[{\left(fg-gf\right)}^{+},z_k\right]>\frac{1}{2}$ 。

需要证明：对于任意 $k=0,1,2,\cdots$ ， $\mu \left[z_k,f^2\vee f{\left(g-kf\right)}^{+}\right]>\frac{1}{2}$ 成立。

假设 $\mu \left[z_k,f^2\vee f{\left(g-kf\right)}^{+}\right]>\frac{1}{2},k\ge 1$ 成立。 $z_{k+1}=z_k\wedge y_{k+1}$ ，则

$\mu \left\{z_{k+1},\left[f^2\vee f{\left(g-kf\right)}^{+}\right]\wedge y_{k+1}\right\}>\frac{1}{2}$ ，

即

$\mu \left\{z_{k+1},\left[f^2\vee f{\left(g-kf\right)}^{+}\right]\wedge \left[f{\left[g-\left(k+1\right)f\right]}^{+}\vee {\left[g-\left(k+1\right)f\right]}^{-}f\right]\right\}>\frac{1}{2}$

$\mu \left(z_{k+1},f^2\vee \left(f{\left(g-kf\right)}^{+}\wedge \left(f{\left(g-\left(k+1\right)f\right)}^{+}\vee {\left(g-\left(k+1\right)f\right)}^{-}f\right)\right)\right)>\frac{1}{2}$

$\mu \left(z_{k+1},f^2\vee f{\left(g-\left(k+1\right)f\right)}^{+}\vee \left(f{\left(g-kf\right)}^{+}\wedge {\left(g-\left(k+1\right)f\right)}^{-}f\right)\right)>\frac{1}{2}$

显然 $\mu \left({\left(g-\left(k+1\right)f\right)}^{-},{\left(g-kf\right)}^{-}+f^2\right)>\frac{1}{2}$ ，又由定理2.17得

$\mu \left(f{\left(g-kf\right)}^{+}\wedge {\left(g-\left(k+1\right)f\right)}^{-}f,f{\left(g-kf\right)}^{+}\wedge {\left(g-kf\right)}^{-}+f{\left(g-kf\right)}^{+}\wedge f^2\right)>\frac{1}{2}$

即 $\mu \left(f{\left(g-kf\right)}^{+}{\left(g-\left(k+1\right)f\right)}^{-}f,\underset{\_}{0}+f^2\right)>\frac{1}{2}$ 。所以 $\mu \left(z_{k+1},f^2\vee f{\left(g-\left(k+1\right)f\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$

又因为 $z_0=fg$ ，则有 $\mu \left(z_0,f^2\vee fg\right)>\frac{1}{2}$ 。所以对于任意 $k=0,1,2,\cdots$ ，

$\mu \left[z_k,f^2\vee f{\left(g-kf\right)}^{+}\right]>\frac{1}{2}$

都成立。最后得证 $\mu \left[{\left(fg-gf\right)}^{+},f^2\vee f{\left(g-kf\right)}^{+}\right]>\frac{1}{2}$ 。

第二个不等式的证明类似。

3) 由(2)可知，令 $k=n$ ， $n{\left(fg-gf\right)}^{+}={\left[f\left(ng\right)-\left(ng\right)f\right]}^{+}$ ，则有

$\mu \left({\left(f\left(ng\right)-\left(ng\right)f\right)}^{+},f^2\vee f{\left(ng-nf\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$

故得 $\mu \left(n{\left(fg-gf\right)}^{+},f^2+nf{\left(g-f\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$

同理可得， $\mu \left(n{\left(fg-gf\right)}^{+},g^2+n{\left(g-f\right)}^{-}g\right)>\frac{1}{2}$ 。又由

$\mu \left(f^2+nf{\left(g-f\right)}^{+}-f^2\vee g^2,nf{\left(g-f\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(g^2+n{\left(g-f\right)}^{-}g-f^2\vee g^2,n{\left(g-f\right)}^{-}g\right)>\frac{1}{2}$

可得

$\mu \left(n{\left(fg-gf\right)}^{+}-f^2\vee g^2,nf{\left(g-f\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$

$\mu \left(n{\left(fg-gf\right)}^{+}-f^2\vee g^2,n{\left(g-f\right)}^{-}g\right)>\frac{1}{2}$ 。

所以有 $n{\left(fg-gf\right)}^{+}-f^2\vee g^2\in L\left\{nf{\left(g-f\right)}^{+},n{\left(g-f\right)}^{-}g\right\}$ 由此可知

$n{\left(fg-gf\right)}^{+}-f^2\vee g^2\in L\left\{nf{\left(g-f\right)}^{+}\wedge n{\left(g-f\right)}^{-}g\right\}$ ，

即 $\mu \left(n{\left(fg-gf\right)}^{+}-f^2\vee g^2,nf{\left(g-f\right)}^{+}\wedge n{\left(g-f\right)}^{-}g\right)>\frac{1}{2}$ 。

根据 [12] 定理3.4 (1)，可以知 $\mu \left(n{\left(fg-gf\right)}^{+},f^2\vee g^2\right)>\frac{1}{2}$ 。交换 $f,g$ 得

$\mu \left(n{\left(gf-fg\right)}^{+},f^2\vee g^2\right)>\frac{1}{2}$ ，

所以可得

$f^2\vee g^2\in U\left\{n{\left(fg-gf\right)}^{+},n{\left(gf-fg\right)}^{+}\right\}$

$f^2\vee g^2\in U\left\{n{\left(fg-gf\right)}^{+}\vee n{\left(fg-gf\right)}^{+}\right\}$

即 $\mu \left(n{\left(fg-gf\right)}^{+}\vee n{\left(gf-fg\right)}^{+},f^2\vee g^2\right)>\frac{1}{2}$ 。又利用

$n\left|fg-gf\right|=n{\left(fg-gf\right)}^{+}\vee n{\left(fg-gf\right)}^{-}=n{\left(fg-gf\right)}^{+}\vee n{\left(gf-fg\right)}^{+}$ 。

最后得证 $\mu \left(n\left|fg-gf\right|,f^2\vee g^2\right)>\frac{1}{2}$ 。

定理3.4 假设E是模糊f代数并且在E中有限结合律成立，当E中具有对于乘法的单位元e时，则下述结论成立：

1) $\mu \left(\underset{\_}{0},e\right)>\frac{1}{2}$ ；

2) 如果 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $f\in E$ 且 $f^{-1}$ 存在，则 $\mu \left(\underset{\_}{0},f^{-1}\right)>\frac{1}{2}$ ；

3) 如果 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $f\in E$ 且 $f^{-1}$ 存在，则 $\mu \left(f\wedge f^{-1},e\right)>\frac{1}{2}$ ；

4) 如果 $f,g\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，使得 $f^{-1},g^{-1}$ 存在，则 ${\left(f\vee g\right)}^{-1}$ ， ${\left(f\wedge g\right)}^{-1}$ 存在且满足 ${\left(f\vee g\right)}^{-1}=f^{-1}\wedge g^{-1}$ ， ${\left(f\wedge g\right)}^{-1}=f^{-1}\vee g^{-1}$ 。

证：1) 因为 $e=e^2$ ，根据定理 [12] 定理3.4 (5)，可知 $\mu \left(\underset{\_}{0},e^2\right)>\frac{1}{2}$ 。得证 $\mu \left(\underset{\_}{0},e\right)>\frac{1}{2}$

2) 令 $u=f^{-1}$ ，则得

$e=fu=f\left(u^{+}-u^{-}\right)=f{u}^{+}-f{u}^{-}$ ， $e=uf=\left(u^{+}-u^{-}\right)f=u^{+}f-u^{-}f$ 。

又由 $u^{+}\wedge u^{-}=\underset{\_}{0}$ 且根据模糊f代数的定义得到

$\left(f{u}^{+}\right)\wedge \left(f{u}^{-}\right)=\underset{\_}{0}$ ， $\left(u^{+}f\right)\wedge \left(u^{-}f\right)=\underset{\_}{0}$ 。

因此有 $e=e^{+}=f{u}^{+}=u^{+}f$ 。得证 $f^{-1}=u^{+}$ 。

3) 根据定理3.3(1)，可知 $f^2\wedge e={\left(f\wedge e\right)}^2$ 。根据 $\mu \left({\left(f\wedge e\right)}^2,fe\right)>\frac{1}{2}$ ，即

$\mu \left({\left(f\wedge e\right)}^2,f\right)>\frac{1}{2}$

可得 $\mu \left(f^2\wedge e,f\right)>\frac{1}{2}$ 。又由 $f\wedge f^{-1}=f^{-1}\left(f^2\wedge e\right)$ ，故可得

$\mu \left(f^{-1}\left(f^2\wedge e\right),f^{-1}f\right)>\frac{1}{2}$

最后得证 $\mu \left(f\wedge f^{-1},e\right)>\frac{1}{2}$ 。

4) 由3)可知 $\mu \left(\left(f^{-1}g\right)\wedge \left(g^{-1}f\right),e\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\left(g{f}^{-1}\right)\wedge \left(f{g}^{-1}\right),e\right)>\frac{1}{2}$ 。

所以可得

$\begin{array}{l}\left(f^{-1}\wedge g^{-1}\right)\left(f\vee g\right)\\ =\left[f^{-1}\left(f\vee g\right)\right]\wedge \left[g^{-1}\left(f\vee g\right)\right]\\ =\left[e\vee \left(f^{-1}g\right)\right]\wedge \left[\left(g^{-1}f\right)\vee e\right]\\ =e\vee \left[\left(f^{-1}g\right)\wedge \left(g^{-1}f\right)\right]\\ =e\end{array}$ 。

同理可证 $\left(f\vee g\right)\left(f^{-1}\wedge g^{-1}\right)=e$ 。最后得证 $f^{-1}\wedge g^{-1}={\left(f\vee g\right)}^{-1}$ 。

类似可证 ${\left(f\wedge g\right)}^{-1}=f^{-1}\vee g^{-1}$ 。

定理3.5 如果E是模糊f代数且乘法是可交换的，对于任意 $f,g\in E$ ，则

$fg=\left(f\wedge g\right)\left(f\vee g\right)$

成立。

证：根据 $f+g=f\wedge g+f\vee g$ ，可知

$\begin{array}{l}fg-\left(f\wedge g\right)\left(f\vee g\right)\\ =fg-\left(f\wedge g\right)\left(f+g-f\wedge g\right)\\ =\left(f-\left(f\wedge g\right)\right)\left(g-\left(f\wedge g\right)\right)\\ =\underset{\_}{0}\end{array}$

所以 $fg=\left(f\wedge g\right)\left(f\vee g\right)$ 。

4. 模糊正交算子

为了更好的引入模糊模糊Archimedean-f代数，本节首先介绍了模糊正交算子，然后讨论了两个模糊正交算子相等成立的条件。

定义4.1 若E是模糊Archimedean Riesz空间，算子 $T:E\to E$ 是模糊序有界的，对于 $f,g\in E$ ，若 $f\perp g$ ，则 $Tf\perp g$ ，那么称算子T是模糊正交的。

记E中所有模糊序有界算子所构成的集合为 $F{L}_b\left(E\right)$ ，记E中所有模糊正交算子所构成的集合为

$F{L}_o\left(E\right)$ 。显然 $F{L}_o\left(E\right)$ 是 $F{L}_b\left(E\right)$ 模糊线性子空间，即 $\mu \left(T_1,T_2\right)>\frac{1}{2}\iff \mu \left(T_{1}f,T_{2}f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\forall f\in E$ 。

定理4.2 若E是模糊Archimedean Riesz空间，算子 $T:E\to E$ 是模糊正交的，则下述命题等价

1) 对于 $f,g\in E$ ，有 $f\perp g\Rightarrow Tf\perp g$ ；

2) $Tf\in {\left\{f\right\}}^{dd}$ ， $\forall f\in E$ ；

3) 对于E中任意模糊带B， $T\left(B\right)\subset B$ ；

4) 对于E中任意非空子集D， $T\left(D^d\right)\subset D^d$ 。

证：1) $\Rightarrow$ 2)

对于任意 $g\in {\left\{f\right\}}^d$ ，有 $Tf\perp g$ ，所以可得 $Tf\in {\left\{f\right\}}^{dd}$ ， $\forall f\in E$ 。

2) $\Rightarrow$ 3)

假设B是E中模糊带。如果对于任意 $f\in B$ ，由文献 [2] 中定义4.3的注可知， $Tf\in {\left\{f\right\}}^{dd}\subset B^{dd}$ 。又由文献 [2] 定理5.8可知 $B=B^{dd}$ ，所以 $Tf\subset B$ 。因为f的任意性，所以 $T\left(B\right)\subset B$ 。

3) $\Rightarrow$ 4)

由文献 [2] 的定理5.5可知 $D^d$ 是模糊带，所以 $T\left(D^d\right)\subset D^d$ 。

4) $\Rightarrow$ 1)

假设对于 $f,g\in E$ ，有 $f\perp g$ ，即 $f\in {\left\{g\right\}}^d$ 。根据4)可知 $Tf\in T\left\{{\left(g\right)}^d\right\}\subset {\left\{g\right\}}^d$ ，所以 $Tf\perp g$ 。

若E是模糊Archimedean Riesz空间，模糊正交算子 $T\in E$ ，分别记 $R_T$ 和 $K_T$ 为算子T的值域和核(即

$\left\{f\in E:Tf=0\right\}$ )。因为 $\left|Tf\right|=\left|T\left|f\right|\right|=\left|T\right|\left|f\right|$ ， $\forall f\in E$ ，任意 $\mu \left(g,f\right)>\frac{1}{2}$ ， $g\in E$ ， $f\in K_T$ ，有

$\mu \left(Tg,Tf\right)>\frac{1}{2}$ ，可得 $Tg=0$ ，所以 $K_T$ 是模糊序理想。如果 $B\subset K_T$ 且 $f=\sup B$ ，由任意模糊正交算子T

是模糊续连续的，可得 $f\in K_T$ ，所以模糊序理想 $K_T$ 是模糊带。

定理4.3 若E是模糊Archimedean Riesz空间，算子 $T\in F{L}_o\left(E\right)$ ，则下述条件成立。

1) $K_T=K_{\left|T\right|}=K_{T^{+}}\cap K_{T^{-}}$

2) $K_T=R_T^d$

证：1) 由 $\left|Tf\right|=\left|T\left|f\right|\right|=\left|T\right|\left|f\right|=\left|\left|T\right|f\right|$ ，可得 $K_T=K_{\left|T\right|}$ 。

假设 $f\in K_T=K_{\left|T\right|}$ 。由 $\left|T\right|\left|f\right|=\left|Tf\right|=0$ ，可得 $\left|T^{+}f\right|=T^{+}\left|f\right|=0$ ， $\left|T^{-}f\right|=T^{-}\left|f\right|=0$ ，即 $f\in K_{T^{+}}\cap K_{T^{-}}$ 。所以 $K_T\subset K_{T^{+}}\cap K_{T^{-}}$ 。相反，由 $T=T^{+}-T^{-}$ ，可得 $K_{T^{+}}\cap K_{T^{-}}\subset K_T$ 。得证 $K_T=K_{\left|T\right|}=K_{T^{+}}\cap K_{T^{-}}$

2) 因为 $K_T=K_{\left|T\right|}$ ， $R_T^d=R_{\left|T\right|}^d$ 。假设 $\mu \left(0,T\right)>\frac{1}{2}$ ，如果有 $\mu \left(0,a\right)>\frac{1}{2}$ 且 $a\in R_T^d$ ，可得 $a\wedge Ta=\underset{\_}{0}$ 。所以

有 $Ta=Ta\wedge Ta=\underset{\_}{0}$ 。即 $a\in K_T$ 。

反过来假设 $\mu \left(0,a\right)>\frac{1}{2}$ 且 $a\in K_T$ 。下证 $a\wedge Tb=\underset{\_}{0}$ ， $\forall b\in E$ 。因为 $\left(na-na\wedge b\right)\wedge \left(b-na\wedge b\right)=\underset{\_}{0}$ ，所

以 $\left(na-na\wedge b\right)\wedge \left\{Tb-T\left(na\wedge b\right)\right\}=\underset{\_}{0}$ 。又由 $T\left(na\wedge b\right)=\underset{\_}{0}$ ，可得

$\left(a-a\vee n^{-1}b\right)\wedge Tb=\underset{\_}{0},\forall n=1,2,3,\cdots$

再根据 $a\wedge n^{-1}b\downarrow \underset{\_}{0}$ ，最后可得 $a\wedge Tb=\underset{\_}{0}$ 。

定理4.4 若E是模糊Archimedean Riesz空间，算子 $T_1,T_2\in F{L}_o\left(E\right)$ ，D是E中模糊序稠密子集(即 $D^{dd}=E$ )，对任意的 $f\in D$ ，使得 $T_{1}f=T_{2}f$ ，则 $T_1=T_2$ 。

证：假设算子 $T=T_1-T_2$ 。对于任意 $f\in D$ ，由条件可得

$Tf=\left(T_1-T_2\right)f=T_{1}f-T_{2}f=\underset{\_}{0}$ ，

所以 $D\subset K_T$ ，其中 $K_T$ 是算子T的核，即 $D^{dd}\subset {\left(K_T\right)}^{dd}$ 。显然 $K_T\subset D$ ，即 ${\left(K_T\right)}^{dd}\subset D^{dd}$ 。由上文可知 $K_T$ 是模糊带， $K_T={\left(K_T\right)}^{dd}$ ，所以 $K_T=D^{dd}=E$ 。因此对于任意 $f\in E$ ，都有 $Tf=\left(T_1-T_2\right)f=T_{1}f-T_{2}f=0$ ，最后可得 $T_1=T_2$ 。

5. 模糊Archimedean-f代数

本节首先给出了模糊Archimedean-f代数的定义，讨论了在模糊Archimedean-f代数的乘法是可交换的，最后模糊Archimedean-f代数的幂零集中元素的性质。

定义5.1 假设E是模糊f代数，如果E也是模糊Archimedean空间，我们称E为模糊Archimedean-f代数。

如果E是模糊Archimedean-f代数。对于任意 $f\in E$ ，分别定义算子 $T_f^r:E\to E$ ， $T_f^l:E\to E$ 如下： $T_f^r=gf$ ， $T_f^l=fg$ ， $\forall g\in E$ 。因为 $T_f^r,T_f^l$ 显然是模糊序有界的，又根据 [12] 定理3.4 (3)，可知 $T_f^r,T_f^l$ 在E中是正交的。

定理5.2 假设E是模糊Archimedean-f代数，则E中的乘法是可交换的。

证：假设E是任意模糊Archimedean-f代数。令 $f\in E$ ，定义算子 $T_f^r:E\to E$ ， $T_f^l:E\to E$ 如下： $T_f^r=gf$ ， $T_f^l=fg$ ， $\forall g\in E$ 。

如果 $g\perp f$ ，根据 [12] 定理3.4 (4)，则 $T_f^r=T_f^l=0$ 。由于 $T_f^{r}f=T_f^{l}f=f^2$ ，因此 $T_f^{r}f,T_f^{l}f$ 在E的模糊序稠密子集 $\left\{f\right\}\cup {\left\{f\right\}}^d$ 上相等。根据定理4.4，得 $T_f^r=T_f^l$ ，即 $fg=gf$ ， $\forall g\in E$ 。又因为是对于任意的 $f\in E$ ，所以可得E中的乘法是可交换的。

我们记N为模糊Archimedean-f代数中所有幂零元素构成的集合，即 $N=\left\{f\in E:f^k=0,\exists k\in {\rm N}\right\}$ 。显然N是E中的模糊双边理想。当 $N=\left\{0\right\}$ 时，我们称E是半素的。接下来，我们将讨论E中幂零集中元素的一些性质。

定理5.3 假设E是模糊Archimedean-f代数，N是E中的幂零集，则下述结论成立：

1) $f\in N$ 当且仅当 $f^2=\underset{\_}{0}$ ；

2) N是E中的模糊带；

3) 如果 $f\in N$ ，则 $fg=\underset{\_}{0}$ ， $\forall g\in E$ ；

4) N是模糊零f代数(即 $fg=\underset{\_}{0}$ ， $\forall f,g\in N$ )， $N^d$ 是模糊半素f代数；

5) 如果 $f\in E$ ，则 $f^2\in N^d$ 。(因此如果 $f,g\in E$ ，则 $fg\in N^d$ )

证：1) 充分性：如果有 $f^k=\underset{\_}{0}\left(k>2\right)$ ，可得 $f^{k-1}=\underset{\_}{0}$ 。假设 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ 。由

${\left(n{f}^{k-1}-f^{k-2}\right)}^{+}\wedge {\left(f^{k-2}-n{f}^{k-1}\right)}^{+}=\underset{\_}{0}$ ，可得 ${\left(n{f}^{k-1}-f^{k-2}\right)}^{+}\wedge \left(n{f}^{k-1}\right)=0$ ， $\forall n\in {\rm N}$ 。

又因为 $\mu \left(\left(n{f}^{k-1}-f^{k-2}\right),n{f}^{k-1}\right)>\frac{1}{2}$ ，可得 ${\left(n{f}^{k-1}-f^{k-2}\right)}^{+}=\underset{\_}{0}$ ，即 $\mu \left(n{f}^{k-1},f^{k-2}\right)>\frac{1}{2}$ 。由模糊

Archimedean空间定义，得 $f^{k-1}=\underset{\_}{0}$ 。

必要性是显然的。

2) 假设 $\left\{a_{\tau }\right\}$ 是非负集合， $a_{\tau }\uparrow a$ 且对于任意的 $\tau$ ， $a_{\tau }^2=\underset{\_}{0}$ 。如果 $\tau \ge {\tau }_0$ ，有 $\mu \left(a_{\tau }{a}_{{\tau }_0},a_{\tau }^2\right)>\frac{1}{2}$ 。由模糊

序连续性，可得 $a{a}_{{\tau }_0}=\underset{\_}{0}$ 。又因为 ${\tau }_0$ 的任意性且根据 $\underset{\_}{0}=a{a}_{\tau }\uparrow a^2$ ，所以 $a^2=\underset{\_}{0}$ ，得证。

3) 假设 $f\in E$ 且 $f^2=\underset{\_}{0}$ 。E中的模糊正交算子 $T_f$ 满足 $T_{f}f=\underset{\_}{0}$ ， $T_{f}g=0$ ， $\forall g\in {\left\{f\right\}}^d$ 。因为 $\left\{f\right\}\cup {\left\{f\right\}}^d$ 是E中的模糊序稠密子集，所以由定理4.4可得 $T_f=0$ ，即 $fg=\underset{\_}{0}$ ， $\forall g\in E$ 。

4) 由3)可知 $fg=\underset{\_}{0}$ ， $\forall f,g\in N$ 。因为E是模糊f代数， $N^d$ 是模糊双边理想。如果 $f\in N^d$ ， $f^2=\underset{\_}{0}$ ，则 $f\in N$ 。因此可得 $f=\underset{\_}{0}$ 。所以 $N^d$ 是半素的。

5) 假设非负元素 $f\in E$ 。因为存在 $w_{\tau }\in N\oplus N^d$ ，使得 $\mu \left(0,w_{\tau }\right)>\frac{1}{2}$ 且 $w_{\tau }\uparrow f$ ，所以 ${\left(N\oplus N^d\right)}^{dd}=E$ ，则 $w_{\tau }=a_{\tau }+b_{\tau }$ ， $\mu \left(0,a_{\tau }\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(0,b_{\tau }\right)>\frac{1}{2}$ ， $a_{\tau }\in N$ ， $b_{\tau }\in N^d$ 。由 $w_{\tau }^2=b_{\tau }^2\in N^d$ 和 $w_{\tau }^2\uparrow f^2$ 可得 $f^2\in N^d$ 。

6. 结论

本文首先研究了模糊f代数中任意不交补是双边理想，并且讨论了在模糊f代数中，结合律成立的情况下的部分关系式。然后定义了模糊正交算子，并讨论了两个模糊正交算子相等的情况。最后引出了模糊Archimedean-f代数，并讨论其中f²和fg等于零时的条件。由于本人理论知识有限，本文还存在一定局限性，如模糊f代数中的关系式的应用和意义并未进行深入讨论、缺少模糊正交算子与传统正交算子之间的对比等，在今后可以沿着此方向进行更加详细的研究。