1. 问题提出
数列在高中数学的教学中有非常重要的地位[1]，它的知识体系完整，内容相对独立，与其紧密联系的知识有函数与不等式等，在历年的高考中被高频率考察。因此，研究数列的各个教材内容是非常有现实意义的。目前，对其进行的新旧教材比较研究较多，但对其进行各版本教材内容的比较研究较少。本文将以数列为载体，从各个角度对人教A版、湘教版和北师大的教材进行对比。本文主要研究三个版本的教材数列内容在框架结构和栏目设置、章节设置、章前图和章引言、知识内容、习题设置等方面有何异同？
2. 编排结构的比较
2.1. 框架结构和栏目设置
三个版本的教材的框架结构大致相同，都是由章引言、节标题、本章小结和复习题构成。排版都是中间为正文内容，两边为空白，编者利用空白部分对正文内容进行解释、拓展或者以问题的形式对内容进行思考。除此之外，教材还设置了其他栏目，下面对三个版本的框架结构和栏目设置统计比较。
由下面三个框架结构图(图1~3)能够看出，在框架结构方面，三版教材组成部分大致相同，都是由章引言、章标题、章小结和复习题等构成章。在人教A版和湘教版中还包含了数学文化、数学建模和信息技术应用，这是北师大版中没有的。栏目设置种类上，湘教版最丰富，有旁白，“数学实验”“数学文化”“数学建模”等栏目。而人教A版主要是以旁白类和对正文内容进行思考和探索类为主，而北师大版最简洁，只有三个栏目。从栏目总数来看，差异较大，最多的为人教A版56个，最少的为湘教版10个。
Figure 1. Chapter framework structure diagram of People’s Education A version textbook
图1. 人教A版教科书的章节框架结构图
Figure 2. Chapter frame structure diagram of Hunan Education edition textbook
图2. 湘教版教科书的章节框架结构图
Figure 3. Chapter frame structure diagram of the textbook of Beijing Normal University edition
图3. 北师大版教科书的章节框架结构图
2.2. 教材章节设置
三版教材的章节设置不在同一个位置，小结内容的编排也有所不同，但是都是围绕“课标”展开的。把三版教材的章节内容的编排顺序呈现出来，如表1，以便更好比较《数列》这章的异同点。
Table 1. Column Settings of the three versions of the textbook
表1. 三个版本教材数列内容的栏目设置
栏目 |
人教A版 |
湘教版 |
北师大版 |
旁白 |
解释类 问题类 其他类 |
17 |
2 |
5 |
16 |
3 |
|
1 |
1 |
1 |
思考 |
15 |
|
7 |
探究 |
6 |
|
|
阅读与思考/阅读资料 |
1 |
|
1 |
数学实验 |
|
1 |
|
数学文化 |
|
2 |
|
数学建模 |
|
1 |
|
总计 |
56 |
10 |
14 |
由表1可知，在三个版本的教材中，数列章节顺序编排不同，但都是紧扣着“课标”中要求，内容大致相同，都涉及到了数列的概念、等差数列、等比数列和数学归纳法等，但是也有一些不同。
Table 2. Comparison of the content structure of the textbook
表2. 教材内容结构的比较
版本 |
人教A版高二数学选择性
必修二A版教材 |
湘教版高二数学选择性
必修一教材 |
北师大版高二数学选择性
必修二教材 |
上一章 |
第三章：圆锥曲线的方程 |
高一数学必修二第六章：数学建模 |
高二数学选择性必修一 第七章：统计案例 |
结构内容 |
第四章：数列 |
第1章：数列 |
第一章：数列 |
4.1数列的概念 |
1.1数列的概念 |
1数列的概念及其函数特性 |
4.2等差数列 |
1.2等差数列 |
2等差数列 |
4.3等比数列 |
1.3等比数列 |
3等比数列 |
4.4*数学归纳法 |
*1.4数学归纳法 |
4数列在日常经济生活中的应用 |
|
|
*5数学归纳法 |
小结 复习参考题4 |
数学文化 小结与复习 复习题一 数学建模 |
本章小结 复习题一 |
下一章 |
第五章：一元函数的导数及其应用 |
第二章：平面解析几何初步 |
第二章：导数及其应用 |
由表2可知，人教A版教材上一章是“圆锥曲线的方程”、北师大版教材上一章是“统计案例”分别属于“新课标”中主题二几何与代数、主题三概率与统计的内容，这两版教材中“数列”章节均与上一章知识点不连贯，相对独立；该章节与下一章的“一元函数的导数及其应用”、“导数及其应用”都是“新课标”中主题一函数中的内容，数列是特殊的函数，因此这两章紧密联系。
湘教版教材中“数列”章节被安排在高二上册第一章，高一下册最后一章“数学建模”属于“新课标”中主题四数学建模活动与数学探究活动的内容，下一章是“平面解析几何初步”属于“新课标”中主题二几何与代数中的内容，其与上下两章知识点不连贯，相对独立。
相同点：三版教材中“数列”章节均被安排在高二上册。内容在编排上都属于螺旋上升的，符合学生的认知规律，而且有助于学生建立数列学习的知识体系，不断加深学生对于数列的认识。
不同点：人教A版和北师大注重知识的联系，本章数列与下一章内容相联系；为下一章的学习做铺垫；湘教版本章数列与前后两章都相对独立，不利于建立知识体系，不利于学生理解。
综上，知识点的衔接方面：人教A版和北师大版的章节安排比较合理，考虑到了知识本身的系统性和学生学习的连贯性；湘教版设计较为独立，不太利于学生联系前后知识，不好形成体系。
3. 内容设置比较
教材是教师和学生进行教与学活动所依据的材料，是教师教学的主要依据。不同版本教材的差距直接影响教师的教学设计，以呈现不同的教学和学习效果。本章将从章前图和章引言、知识内容和习题设置进行分析比较。
3.1 章前图和章引言的比较
章引言通常是对本章所涉及到的内容、思想方法做一个简要的介绍，章头图常展示与本章相关的知识以及传播数学文化[2]。因此，一个好的章前图和章引言有助于激发学生的求知欲和学习兴趣，人教A版、湘教版和北师大版三版教材如图4。
Figure 4. Introduction of People’s Education A (left) Hunan Education (middle) Beijing Normal University (Right)
图4. 人教A版(左)湘教版(中)北师大版(右)教材的章头引言
从图4可以看出三版教材在章引言部分都包含了章标题、章前图和章前语三个部分，整个页面图文并茂，看起来生动形象，吸引学生注意力，引起学生兴趣，充分符合学生心理发展。章前图和章引言部分相互照应，都呈现了本章“数列”这一主题，但是在部分设计上，还是有所区别，具体如下：
人教A版教材章前图呈现的是古希腊毕达哥拉斯学派数学家在沙滩上研究三角形、正方形和五边形数，脱离生活实际，但是渗透了数学文化，且与习题4.1的第5题相联系。章引言通过实例：每年在同一时刻记录这棵树的高度引出数列的概念，强调离散函数，贴近生活实际，有利于学生理解。然后介绍了本章的知识内容和思想方法以及所能够培养的核心素养。
湘教版章前图呈现了一组自然数0、1、2、3、4、5、6，直观地显示了与数列概念相联系。章引言简要阐述了数列的概念并强调数列是离散函数，然后介绍了本章主要学习的知识点。
北师大版教材章前图呈现了太阳系的图像，章引言开篇是一个与太阳系有关的故事，两者相互照应，有利于激发学生学习兴趣，并由这个故事中的一组数据引出本章主要学习的基本知识以及所能够培养的核心素养。
相同点：三版教材的章前图和章引言各具特色，章标题都是“数列”，章前图都与本章内容紧密联系。
不同点：章引言来说，人教A版和湘教版都是比较详细的介绍了知识点，而北师大版对于知识点的介绍简洁明了。人教A版的引言指出对数列的研究来源于生产生活的需要，以生活实例开篇；北师大版则是用大篇幅的科学故事为例开篇，使学生感受数列的应用；而湘教版则是直接以数列概念开篇，未进行关于数列有关的举例。
综上，人教A版的设计更为合理，通过生活实例引出数列的概念和知识点，让学生更能感受数学来源于生活，体会数学在实际生活中的应用，增强学生的兴趣，符合学生认知规律；北师大版的科学故事虽然能够引起学生的阅读兴趣，但是脱离生活实际，比较抽象，不利于学生理解。
3.2 知识内容的比较
通过整理比对人教A版数学九年级上册第二十二章、湘教版数学九年级下册第一章和北师大版初中数学九年级下册第二章的知识点，具体情况如表3所示。
Table 3. Comparison of the knowledge points of “quadratic function” in the three versions of the textbooks
表3. 三种版本教材“二次函数”知识点比较
|
知识点 |
人教A版 |
湘教版 |
北师大版 |
1 |
数列的概念 |
√ |
√ |
√ |
2 |
数列的分类 |
√ |
√ |
√ |
3 |
数列与数集 |
√ |
|
√ |
4 |
数列的表示方法 |
√ |
√ |
|
5 |
通项公式 |
√ |
√ |
√ |
6 |
递推公式 |
√ |
√ |
|
7 |
数列{an}的前n项和Sn |
√ |
√ |
√ |
8 |
等差数列的概念 |
|
√ |
√ |
9 |
等差中项 |
√ |
√ |
√ |
10 |
等差数列的通项公式 |
√ |
√ |
√ |
11 |
等差数列与一次函数 |
√ |
√ |
√ |
12 |
等差数列{an}的前n项和公式 |
√ |
√ |
√ |
13 |
倒序相加法 |
√ |
√ |
√ |
14 |
代入法 |
√ |
√ |
√ |
15 |
等比数列的概念 |
√ |
√ |
√ |
16 |
等比中项 |
√ |
√ |
√ |
17 |
等比数列的通项公式 |
√ |
√ |
√ |
18 |
等比数列与指数函数 |
√ |
√ |
√ |
19 |
等比数列的前n项和公式 |
√ |
√ |
√ |
20 |
错位相减法 |
√ |
√ |
√ |
21 |
代入法 |
√ |
√ |
|
22 |
数列在日常经济生活中的应用 |
|
|
√ |
23 |
数学归纳法基本原理 |
√ |
√ |
√ |
24 |
数学归纳法简单应用 |
√ |
√ |
√ |
由上表可以发现，三个版本的数列内容都有数列、等差数列、等比数列、数学归纳法和本章小结，且都是按照数列→等差数列→等比数列→数学归纳法→本章小结的编写顺序排列的。这完全符合“课标”要求。
相同点：三个版本在数列的学习中都注重数列与函数的关系，强调数列是定义在正整数集或其子集上的离散函数。注重数列的函数特性，用列表法、图像法和解析法来表示数列，同时还强调数列的单调性；注重等差数列与一次函数之间的联系和等比数列与指数函数的联系。注重利用数列知识解决实际问题，北师大版设立《数列在日常经济生活的应用》一节，而其他两个版本虽未单独成节，但在例习题中处处可见。注重数学文化在数列内容的渗透，如斐波那契数列、古代数学中的数列以及古代数学家的数列求和方法的介绍。
不同点：三个版本的知识呈现存在差异，人教A版和湘教版在内容处理上是先讲完本节知识点再讲例题，而北师大版则是知识点和例题交替出现。以《等差数列的概念》一节为例，人教A版的顺序是等差数列的定义→等差中项的定义→通项公式的推导→等差数列与一次函数的关系→例题与练习。北师大版的顺序是等差数列的定义→例1→通项公式的推导→例2、例3、练习→等差数列与一次函数的关系→例4→等差中项的定义→例5、练习，以讲练结合的形式呈现。人教A版和湘教版注重对数列中常见题型和常用性质以例题或者习题的形式呈现，而北师大版则更注重对所讲概念的理解和应用，对常考题型和性质的证明与应用类题型体现的较少，需要老师对较多内容进行补充，如人教A版和湘教版都编写了数列的递推公式、已知数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式、等差数列、等差数列前n项和的最值、等比数列以及前n项和的性质等重要知识的证明和应用都以例题的形式，北师大版未出现。但北师大版以例题形式对等差数列、等比数列定义的判断，人教A版和湘教版则在课后习题中出现。
3.3. 习题设置的对比
1) 习题总数比较
研究表明：“在对一个典型问题的运算形成解法之前，无论在什么学科，不同的学生需要1~22次练习不等”。现代认知心理学表明：要真正掌握、牢记4~20个组块(一个生产式)，需要反复20次，才能贮存运用[3]。习题只统计练习题、习题以及章末复习题。统计说明，三个版本对于习题编号是一样的，大题采用的编号为1、2、3……，小题采用编号(1)、(2)、(3)……，因此统计本章习题以大题编号为基准，一道大题若有很多小问，只算一个问题。表4为三版教材的习题数量统计：
Table 4. Statistical table of the number of exercises in the third edition
表4. 三版教材习题数量统计表
版本 |
人教A版 |
湘教版 |
北师大版 |
类型 |
练习 |
习题和复习参考题4 |
练习 |
习题和复习题一 |
练习 |
习题和复习题一 |
复习巩固 |
综合运用 |
拓广探索 |
学而时习之 |
温故而知新 |
上下而求索 |
A组 |
B组 |
C组 |
题量 |
52 |
22 |
22 |
14 |
32 |
49 |
26 |
2 |
34 |
51 |
20 |
2 |
总和 |
110 |
109 |
107 |
相同点：从上表中可以发现，三版教材的习题总数非常相近。习题类型均分成练习以及习题和复习题的三个部分。其中习题和复习题部分的难度，人教A版是以复习巩固→综合运用→拓展推广逐级递增；湘教版是以学而时习之→温故而知新→上下而求索逐级递增；北师大版是以A组→B组→C组逐级递增。其中第一部分都是对基础概念的复习巩固，第二部分是关于知识综合运用，第三部分更注重探究和证明。
不同点：人教A版的练习为52道，远多于湘教版的32道和北师大版的34道，说明人教A版十分注重随堂的巩固练习，有利于达到及时复习的效果，加深学生对新知识的印象；在习题和章末复习题中第一部分基础题湘教版的32题和北师大版的34题远多于人教A版的22题，说明湘教版和北师大版更加注重一个阶段学习完成之后的基础练习，第三部分拓展题人教A版的14道远多于湘教版和北师大版的2道，说明人教A版教材更加注重对学生思维的拓展训练。
2) 各小节习题数量的比较
余元庆先生说；“习题是中学数学课本的主要组成部分，习题配置的好不好，直接影响到学生学习质量的高低”[4]，图5和表5是人教A版、湘教版和北师大版教材中数列各小结习题数量在本章的分布和占比。
Figure 5. Comparison of the number of exercises in each section of the textbook of the third edition
图5. 三版教材数列各小节习题数量比较
Table 5. The proportion of exercises in each section of the third edition
表5. 三版教材数列各小节习题占比
版本 |
数列的概念 |
等差数列 |
等比数列 |
数列在日常生活中的应用 |
数学归纳法 |
复习题 |
人教A版 |
14% |
29% |
27% |
0 |
15% |
15% |
湘教版 |
19% |
27% |
24% |
0 |
9% |
21% |
北师大版 |
13% |
30% |
21% |
5% |
4% |
27% |
相同点：三版教材中，等差数列和等比数列的习题占比最大，占人教A版56%，湘教版51%，北师大版51%，充分体现了这两节是本章学习的重难点，在本章中占主体地位，符合“课标”的要求。
不同点：数列在日常生活中的应用北师大版占5%，其他两版均未涉及，说明北师大版更加注重理论联系实际。复习题数量差距较大，其中人教A版题量最少，北师大版最多。
综上，人教A版设计较为合理，既注重课堂中的及时复习，又注重课后练习，既注重基础题的练习又注重拓展题的训练；湘教版和北师大版对于基础题的练习还是比较重视的，但是对于拓展训练相对欠缺。
3) 习题难度比较
根据不同选项的赋值方法，三版本教材中数列的例题和习题在探究、背景、运算、推理和知识含量五个维度的综合结果，见表6：
Table 6. Comparison of the five dimensions of sequence examples and exercises in the third edition
表6. 三版教材中数列例题和习题五个维度难度比较
版本 |
探究 |
背景 |
运算 |
推理 |
知识含量 |
人教A版 |
238 |
142 |
345 |
212 |
198 |
湘教版 |
243 |
129 |
296 |
219 |
186 |
北师大版 |
227 |
168 |
300 |
198 |
189 |
不同点：探究水平、推理水平和知识含量相差不大，而背景水平和运算水平相差较大。背景水平北师大版最高，湘教版最低；运算水平人教A版最高，湘教版最低。
计算三版教材中数列例题和习题在各因素上的加权平均值，见表7，并根据该数据绘制雷达图，如图6，反映三版教材中例题和习题的难度。
Table 7. The weighted average of sequence examples and exercises in the third edition
表7. 三版教材中数列例题和习题加权平均值
版本 |
探究 |
背景 |
运算 |
推理 |
知识含量 |
人教A版 |
2.16 |
1.29 |
3.14 |
1.93 |
1.80 |
湘教版 |
2.23 |
1.18 |
2.72 |
2.01 |
1.71 |
北师大版 |
2.12 |
1.57 |
2.80 |
1.85 |
1.77 |
Figure 6. The difficulty of several examples and exercises in the third edition
图6. 三版教材中数列例题和习题难度
4. 结论和建议
4.1. 结论
1) 教材编排异同
三版教材在编排顺序上大致一样，都十分重视“数列”和“函数”的联系、“数列”的应用、数学文化的渗透。在内容上，北师大版的教材是概念和例题交叉呈现，而人教A版和湘教版的教材都是先讲概念，然后再讲例题。北师大版的内容比较简单，侧重于对概念的理解，而人教A版的理论性更强，重点放在知识的生成、性质的推导和证明以及数学方法的渗透，湘教版和人教A版有一些相似之处，但是湘教版更注重知识由特殊向一般的讲解方式，并将数学文化融入其中。人教A版、湘教版的内容比北师大版多，涉及到了常见题型和常用性质的推导，而北师大版的教材对老师要求更高，需要老师进行更多的补充和完善。
2) 栏目设置异同
在栏目设置方面，各个版本的教材都十分重视其实用性。人教A版块的栏目最多，人教A版块以“思考”和“探究”为主，让同学们在思考和讨论课文内容的同时，锻炼他们的思维，而北师大版栏目数量最少。在栏目类型上，湘版教材内容最为丰富，有利于增加学生的阅读兴趣，渗透数学文化。在章前图和章引言上，人教A版和湘教版均加入了数列有关的图画，吸引学生的目光。而北师大版则加入了关于太阳系的故事。人教A版和湘教版章引言都对本章的重点知识进行了详细的说明，而北师大版则是故事内容占了更大的比重，增强了数学与其他学科的联系，提高学生的学习积极性，但与本章的重点知识联系不紧密，且对本章重点知识讲解较少。章小结上，三个版本都通过思维导图的方式对本章的重点进行了回顾与整合帮助学生们对本章的重点和脉络有一个全面的了解，并且还可以用复习题的方式来进行巩固。内容上看，人教A、湘教版教材以学生为主；在复习题上，湘版教材是最有特点的，将《论语》《楚辞》中的诗词分为难易层次，增添了审美情趣。不同版本的复习题在数量上有很大的不同，其中北师大版的题目最多，而人教版的题目最少。
3) 习题的异同
就题量而言，三个版本所出的题目数列十分相近。练习题的难度都是从低到高，基础题较多，难题较少。湘教版在解答题和探究题上均占比最大，这说明湘教版更倾向于培养学生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力。就知识点而言，差异不大，以等差数列、等比数列为主。数学归纳法中以人教A为最多，北师大版为最少，而章末的习题则正好相反。
4.2. 建议
4.2.1. 教师的教和学生的学
第一，重视数列与实际生活的关系，注意渗透数学思想；教师要恰当地运用生活实例与学生一起发现问题，讨论问题，解决问题，并在公式的推导中注重方法的渗透，而不是单纯地讲解公式。第二，增加不同的题型。老师要结合教材的内容，对教材中较少的题型进行适当的补充和讲解，让学生见识各种难度、各种知识点的题型，同时还能进行创新，突破传统的教学模式和设置题目的方法，提高数学的兴趣。
结合实例，加深对概念的理解，并结合函数进行数列的学习。对数列的概念的学习是这一章的重点，只有了解了有关的概念，才能进行后续的学习。因此，在学习概念时，要注重用例子来了解，由于数列的内容较为抽象，且数列是一种特殊的函数，因此在学习过程中可以将其与函数的特点相结合。
要注意选择计算的方法。从这一章的练习题统计来看，计算题尤其多，因此，在进行计算的时候，同学们要格外重视计算的技巧，题不难，但是计算量大，因此，在进行计算的时候，必须要对计算方法进行正确的选择，否则不但费时费力，还会出现错误。
要注意类比思想的重要性。三种课本都是先讲等差数列再讲等比数列，因此，在学习等比数列时，可以类比等差数列的特征进行学习，从而加深对两个数列的区别与联系的认识。
4.2.2. 教材编写方面
时代不断进步，学生的素养也在不断提高，根据国情和新课标，我国教材也在不断改革、修订，三个版本教材也还有需要改进的地方。
人教A版：人教A版对概念的认识和区别却很少，可以加大对概念的理解和区分。此外，该版本缺乏实例，具有很强的理论性，例如，在解释等差数列和一次函数、等比数列和指数函数之间的关系时，比较抽象，可以加入几个例子，让他们对知识有更好的理解。在栏目设置上，人教A版擅长用栏目来帮助自己的教学，尤其是用旁白提问的方式，让学生们进行思考和讨论，同时应该将数学文化、数学模型、数学实验类的旁白加入进来，让学生们的学习兴趣和数学素养得到提升，同时也能让他们对数学文化的了解更加深入。在本章的小结中，还可以再提炼一下，让同学们知道哪些是必须掌握的，哪些只是需要了解的。练习方面，练习的内容可以适当地提高，注意与其它学科的联系。
湘教版：湘教版的教材层次性较好，编写思路遵循简单到复杂、特殊到一般，层层递进，符合学生的认知发展水平。注重知识的形成过程以及性质定理的推导与证明，但对数列概念的理解以及实际应用涉及较少。在章前图和章引言中，可通过实例，加强与实际生活的联系，引入数列的概念，增加学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，而不是把枯燥的概念和知识点直白介绍出来。在栏目设置方面，可以在栏目中增设“思考”、“探究”等栏目，以增强学生在课堂中的主动性，突出学生的主体性。在习题上可加强与其他数学知识的联系，增加一些拓展题，培养和提高学生推理证明的能力。
北师大版：北师大版重视对概念的理解，重视概念的辨析，重视理论联系实际，不够重视知识的形成过程，教材编写对于知识形成过程可适当增加；在例题设置上，可适当增加常见题型，增加常用性质的证明；在本章内容中穿插数学文化、数学建模相关的阅读资料，使学生的学习兴趣、数学素养得到提高并且了解相应的数学文化；在章前图和章引言上，可用生活实例引出数列的概念，有助于学生理解，同时可增加对本章知识点的介绍，使内容更加饱满；在习题设置上，增加一些拓展题，培养和提高学生推理证明的能力。