点数不超过10的区传递2-(v,k,λ)设计

Block-Transitive 2-(v,k,λ) Designs with the Number of Points at Most 10

摘要: 本文决定了所有点数不超过10的非平凡区传递$2-\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，在此情况下，共有41个两两不同构的设计。

Abstract: We determine all block-transitive $2-\left(v,k,\lambda \right)$ designs with the number of points $v\le 10$ . We find that there are exactly 41 designs satisfying the condition, up to isomorphism.

1. 引言

一个$2-\left(v,k,\lambda \right)$ 设计$\mathcal{D}$ 定义为符合下列条件的一对符号：

1) 是有$v$ 个元素的有限集，中的元素称为点；

2) 是的一组$k$ -子集的集合，中的元素称为区组或者区；

3) 中任意给定的2-子集都恰好包含在中的$\lambda$ 个区组中。

在一个$2-\left(v,k,\lambda \right)$ 设计中，$b$ 表示区组的总数，$r$ 表示任意一点所在的区组数，如果参数满足$2<k<v-1$ 且$b<\left(\begin{array}{c}v\\ k\end{array}\right)$ ，则称是非平凡设计。如果$b=v$ ，则称为对称设计。本文主要研究非平凡设计，因此$b\ge v$ ，$r\le k$ 。

两个设计和称为同构的，若存在一个双射，使得对任意的$B_1\in {ℬ}_1$ ，当且仅当$\phi \left(B_1\right)\in {ℬ}_2$ 。设计到自身的同构称为它的自同构。一个设计的所有自同构关于映射乘法作成一个群，称为这个设计的全自同构群，记为$Aut\left(\mathcal{D}\right)$ 。它的任意一个子群$G$ 称为$\mathcal{D}$ 的一个自同构群，记为$G\le Aut\left(\mathcal{D}\right)$ 。如果$G$ 在上的作用是传递（本原）的，则称$G$ 是点传递(点本原)的。如果$G$ 在上的作用是传递(本原)的，则称$G$ 是区传递(区本原)的。如果$G$ 非点本原，则存在的非本原分划。这里，，则。如果存在区和使得，则称无序对是的一个内点对。设计的一个旗是指一个点–区对，其中。如果自同构群在的旗的集合上是传递的，那么设计称为旗传递的。

对于区传递的设计的研究已经有很长的历史。1976年，Calpham [1]完成了对区传递的设计的分类。1993年，Cameron和Praeger [2]给出了当时设计的接近完整分类。然而，研究一般的区传递设计是一件非常有意义且有一定挑战性的工作。为了推动分类所有的区传递区组设计，研究点数较少的设计是重要的一步，这能为后续分类更大更复杂的设计奠定技术基础。据此，本文考虑时，区传递的设计，得到下述完整的分类结果：

定理1设是非平凡的设计且是区传递的。若，则是本原群且只能是表1中的41个设计之一：

Table 1. The 41 pairwise non-isomorphic designs and their parameters

表1. 41个两两不同构的设计及其参数

设计		设计		设计		设计
	(6, 3, 2)		(8, 4, 9)		(9, 5, 20)		(10, 5, 20)
	(7, 3, 1)		(8, 4, 12)		(9, 6, 5)		(10, 5, 40)
	(7, 3, 2)		(9, 3, 1)		(9, 6, 30)		(10, 6, 5)
	(7, 3, 3)		(9, 3, 6)		(10, 3, 2)		(10, 6, 10)
	(7, 3, 4)		(9, 4, 3)		(10, 3, 4)		(10, 6, 20)
	(7, 4, 2)		(9, 4, 6)		(10, 4, 2)		(10, 6, 60)
	(7, 4, 4)		(9, 4, 9)		(10, 4, 4)		(10, 7, 14)
	(7, 4, 6)		(9, 4, 12)		(10, 4, 8)		(10, 7, 28)
	(7, 4, 8)		(9, 5, 5)		(10, 4, 24)
	(8, 4, 3)		(9, 5, 10)		(10, 5, 8)
	(8, 4, 6)		(9, 5, 15)		(10, 5, 16)

2. 预备知识

引理1 ([3])若是一个设计，则下面式子成立：

1) ；

2) ；

3) (Fisher不等式)。

引理2设是一个设计，是区传递的，则每个区组包含内点对的个数是

.

证明：因为区传递，则的每个区包含内点对的个数与区本身无关。用两种不同的方式对集合进行计数，得到。由此可得

.

引理3设是一个设计，是区传递而非点本原的，则

.

证明：设。由引理2，

. (1)

则有。又因为，所以。令

(2)

由等式(1)和(2)可知，因此。

因为是单调递减函数，则有。

3. 定理1的证明

本部分，我们总假设是一个非平凡设计，这里且是区传递的。由Block引理[4]知在上点传递。因此，在这一部分的3.1和3.2节，我们将从是非点本原和是点本原两种情况来证明定理1。

3.1. G非点本原

在这一部分，我们将总假设是非点本原的。因为素数次传递群必本原([5], Theorem8.3)，所以只能等于6，8，9，10。

当时，由知或4，又由引理3知。因为，所以或3，此时，由引理2知不为正整数，矛盾。

当时，由知或6，又由引理3知。因为，所以或4，此时，由引理2知不为正整数，矛盾。

当时，由知或7，又由引理3知。因为，所以，此时，由引理2知不为正整数，矛盾。

当时，由知或8，又由引理3知。因为，所以或5，此时，由引理2知不为正整数，矛盾。

命题1设是非平凡的设计且是区传递的。若，则不能是非本原群。

3.2. G点本原

在这一部分，我们将在本原的条件下，找出满足条件的设计。

3.2.1. 参数的可能性

首先，因为是点本原的。由文献([5], Theorem8.2)可知点稳定子群是的极大子群，且。故为次数小于10的本原群，则设计的参数必须满足下列6个条件：

1) ；

2) ；

3) ；

4) ；

5) ；

6) 。

根据这6个条件，利用计算机代数软件GAP [6]可以计算出332组参数。需特别说明的是，由于是作用在个点的集合上的置换群，若或，则至少是重传递的(见文献[5])。在这种情况下，设计的区组数是，此时是一个完全设计，我们不予考虑。下面是借助计算机代数软件GAP计算这些参数组所需算法：

算法1：

design:=function

local;

;

forindo

forindo

forindo

;

ifthen continue; fi;

ifthen continue; fi;

if notorthen continue; fi;

Add;

od;od;od;

return;

end;

3.2.2. 参数的分析

在这一部分，我们将处理从上述算法中得到的全部参数组，筛选出符合设计条件的6-元组。另外，这部分所涉及的计算都是用MAGMA [7]进行的。

设是设计的一个区组，为区稳定子群。由于是设计的区传递自同构群，则必须满足下列条件：

1) ，即中至少存在一个指数为的子群；

2) 作用在点集中必存在一个长为的不动区；

3) ，在的作用下轨道长为；

4) 是一个设计。

因此我们将从下面5个步骤来分析3.2.1的参数。

步骤1：排除不满足条件1)的设计参数。

输入命令(这里)，即可得到指数为的所有子群。由此可知，有27组参数对应的设计的自同构群不存在指数为的子群。

步骤2：排除不满足条件2)的设计参数。

因为为的不动区。令，利用命令可排除69组参数。

步骤3：选取步骤2中满足的不动区和对应的子群。

利用命令筛选出步骤2中满足的不动区和对应的子群，排除104组参数。

步骤4：验证是否为一个2-设计。

对于满足步骤3的参数，利用命令验证是否为一个2-设计，可排除12组参数。

步骤5：验证满足步骤4的设计是否同构。

现在剩下120组参数，利用命令验证设计和是否同构，得到41个两两不同构的设计。注：当设计中的参数组数值相同时，尽管设计的自同构群不同，但它们对应的设计仍可能是同构的。

3.3. 例子

这部分我们以为例来说明我们的方法。根据文献[8]中所列出的8次本原群有7个，除去这两种情形外，余下5个。则由算法1，可以得到19组可能的参数组。将参数组以及对应的自同构群列在表2中(这里，的符号与定理1的符号一致)：

Table 2. Parameters for designs with and automorphism groups

表2. 时的设计参数组和自同构群

情形			设计/排除办法
1
2			步骤3
3
4
5			步骤2
6			步骤3
7
8
9			步骤2
10
11			步骤3
12			步骤2
13
14
15			步骤2
16	$(8,14,7,4,3,96)$	$AG{L}_3\left(2\right)$	${\mathcal{D}}_{10}^3\cong {\mathcal{D}}_{10}$
17	$\left(8,28,14,4,6,48\right)$		步骤3
18	$\left(8,42,21,4,9,32\right)$		步骤3
19	$\left(8,56,28,4,12,24\right)$		${\mathcal{D}}_{13}^2\cong {\mathcal{D}}_{13}$

下面我们对这19组参数进行处理，从而筛选出符合3.2.2条件的参数组，并把其结果反映在上表第4列中。不妨以$G=V_8\cdot F_{7,3}$ 为例，通过算法1我们得到下列4组参数：

1) $v=8,b=14,r=7,k=4,\lambda =3,\left|G\right|/b=12$ ；

2) $v=8,b=28,r=14,k=4,\lambda =6,\left|G\right|/b=6$ ；

3) $v=8,b=42,r=21,k=4,\lambda =9,\left|G\right|/b=4$ ；

4) $v=8,b=56,r=28,k=4,\lambda =12,\left|G\right|/b=3$ 。

$G=V_8\cdot F_{7,3}$ 是作用在8个点的集合$\Omega =\left\{1,2,\cdots ,8\right\}$ 上的本原置换群。通过文献[8]知$G$ 在Magma中的存储位置，即$G=PrimitiveGroup(8,2)$ 。下以1)和2)为例来分析上述参数：

对于1)，利用命令$Subgroups\left(G:OrderEqual:=12\right)$ 知$G$ 中只有1个指数为$b=14$ 的子群共轭类，即记$H$ 为其代表元。利用命令$Orbits\left(H\right)$ 知$H$ 有两个长为$k=4$ 的不动区：

$B_1=\left\{1,3,5,7\right\},B_2=\left\{2,4,6,8\right\}.$

此时，$\left|B_1^G\right|=\left|B_2^G\right|=14=b$ ，说明$B_1$ ，$B_2$ 可能分别是设计${\mathcal{D}}_{10}^1$ ，${\mathcal{D}}_{10}^1{}^{\prime }$ 的基本区。利用命令${\mathcal{D}}_{10}^1:=Design\left(2,v|B_1^G\right),{\mathcal{D}}_{10}^1{}^{\prime }:=Design\left(2,v|B_2^G\right)$ 知${\mathcal{D}}_{10}^1$ ，${\mathcal{D}}_{10}^1{}^{\prime }$ 都是2-设计，最后通过命令$IsIsomorphic\left({\mathcal{D}}_{10}^1,{\mathcal{D}}_{10}^1{}^{\prime }\right)$ 知${\mathcal{D}}_{10}^1\cong {\mathcal{D}}_{10}^1{}^{\prime }$ ，显然它们同构于${\mathcal{D}}_{10}$ 。从而${\mathcal{D}}_{10}^1$ 是一个区传递点本原的$2-(8,4,3)$ 设计。

对于2)，利用命令$Subgroups\left(G:OrderEqual:=6\right)$ 知$G$ 中只有1个指数为$b=28$ 的子群共轭类，即记$K$ 为其代表元。利用命令$Orbits\left(K\right)$ 知$K$ 有两个轨道：，显然，没有长为4的不动区，所以排除第5组参数。

运用上述同种方法，对表2中的其他情形进行分析，得到4个两两不同构的设计，如表2第4栏所示。

基金项目

国家自然科学基金青年基金(No. 12201469)；广东省高校重点领域专项基金(No. 2022ZDZX1034)。

NOTES

^*通讯作者。