某类复微分–差分多项式的唯一性

Uniqueness of Certain Classes of Complex Differential-Difference Polynomials

摘要: 设$g\left(z\right)$ 是一个有限级超越亚纯函数，$c\in C$ 是一个非零常数。对于任意的$n\in N^{+}$ ，假设$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 是下面的微分差分多项式的形式：，其中，$n\ge 0,m\ge 1,b_i,d_k,l_j$ 不是全为零的复数。在本篇文章中，主要研究了$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 的唯一性问题。

Abstract: Let $g\left(z\right)$ be a transcendental meromorphic function of finite order and $c\in C$ be a nonzero constant. For any $n\in N^{+}$ , suppose that $\tilde{L}\left(z,g\right)$ is a differential-difference polynomial of the form , where $n\ge 0,m\ge 1,b_i,d_k,l_j$ are not all zero complex numbers. In this paper, the authors investigate the uniqueness problems of $\tilde{L}\left(z,g\right)$ .

1. 引言

二十世纪初期，芬兰数学家Nevanlinna创立了值分布理论，而后我们通常称之为Nevanlinna理论。随着学者们不断完善该理论，Nevanlinna理论已广泛应用于数学的许多领域，包括复微分和复差分方程、复动力系统、解析数论、多复变函数理论，以及复分析的许多领域，包括亚纯函数唯一性理论、复微分和复差分方程等。关于复域差分方程的研究，至今仍有许多未解决的问题等待人们去探索。在众多的问题中，关于给定的复微分差分方程的唯一性问题，备受国内外学者的关注[1] [2]。

我们假设读者熟悉Nevanlinna理论的基础知识[3]-[5]。令$g\left(z\right)$ 是一个亚纯函数。设$\alpha \in C,\omega \left(z\right)$ 和$g\left(z\right)$ 为复平面上的两个非常数亚纯函数，如果$\omega \left(z\right)-\alpha$ 和$g\left(z\right)-\alpha$ 具有相同重级的公共零点的计数函数，那么我们称$\alpha$ 为$\omega \left(z\right)$ 和$g\left(z\right)$ 的CM公共值。如果$\omega \left(z\right)$ 和$g\left(z\right)$ 具有相同重级的公共零点的计数函数，那么我们称$\infty$ 为$\omega \left(z\right)$ 和$g\left(z\right)$ 的CM公共值[6]。

在2013年，对于亚纯函数$g\left(z\right)$ 及其差分算子${\text{Δ}}_{c}g$ 的唯一性，Chen和Yi [7] [8]得出如下定理：

定理A [7]设$g\left(z\right)$ 是有限级的超越整函数，具有一个有限的Borel例外值$\alpha$ ，且假设$c$ 是一个常数，使得$g\left(z+c\right)\cancel{\equiv }g\left(z\right)$ 。如果$\beta \left(\beta \ne \alpha \right)$ 为${\text{Δ}}_{c}g\left(z\right)$ 与$g\left(z\right)$ 的CM公共值，那么有：

$\frac{{\text{Δ}}_{c}g\left(z\right)-\beta }{g\left(z\right)-\beta }=\frac{\beta }{\beta -\alpha }$

定理B [8]设$g\left(z\right)$ 是有限级的超越整函数，具有一个有限的Borel例外值$\alpha$ ，且假设$c$ 是一个常数，使得$g\left(z+c\right)\cancel{\equiv }g\left(z\right)$ 。如果$\alpha$ 为${\text{Δ}}_{c}g\left(z\right)$ 与$g\left(z\right)$ 的$CM$ 公共值，则$\alpha =0$ 且对于某个常数$b$ ，有：

$\frac{g\left(z+c\right)-g\left(z\right)}{g\left(z\right)}=\beta$

到了2021年，Zhang和Chen [9]对定理B作了如下扩展：对于任意的$c\in C\setminus \left\{0\right\}$ 以及$n\in N^{+}$ ，我们定义如下一个关于$g\left(z\right)$ 的差分多项式[8]：

$\begin{array}{c}\tilde{L}\left(z,g\right)=a_{n}g\left(z+nc\right)+a_{n-1}g\left(z+\left(n-1\right)c\right)+\cdots +a_{1}g\left(z+c\right)+a_{0}g\left(z\right)\end{array}$ (1.1)

其中，$a_k\left(k=0,1,2,\cdots ,n\right)$ 并非全部都是零的复数。

定理C [9]设$g$ 是一个有限级的超越亚纯函数，假设$\alpha \in C$ 和$\infty$ 是$g$ 的Borel例外值。$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 形式与定理B中的形式一致且$\tilde{L}\left(z,g\right)\cancel{\equiv }0$ 。如果$\alpha \ne 0$ ，那么$\alpha$ 不是$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 与$g$ 的CM公共值。

定理D [9]设$g$ 是一个有限级的超越亚纯函数，假设$\alpha \in C$ 和$\infty$ 是$g$ 的Borel例外值。定义$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 形式与(1.1)一致且$\tilde{L}\left(z,g\right)\cancel{\equiv }0$ ，如果$a\ne \alpha$ 是$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 与$g$ 的CM公共值，则有：

$\frac{\tilde{L}\left(z,g\right)-a}{g-a}=\frac{a}{a-\alpha }$

本文的目的是研究一个更一般的微分差分多项式：

(1.2)

采用与文献[9]相似的方法，我们可以得到如下定理：

定理1.1 设$g\left(z\right)$ 是一个有限级的超越亚纯函数，假设$\alpha \in C$ 和$\infty$ 是$g$ 的Borel例外值。定义$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 为(1.2)式的微分差分多项式，$d_k$ 和$l_j$ 并非全部都是零的复数且$\tilde{L}(z,g)\cancel{\equiv }0$ 。如果$\alpha \ne 0$ ，那么$\alpha$ 不是$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 与$g$ 的CM公共值。

定理1.2 设$g\left(z\right)$ 是一个有限级的超越亚纯函数，假设$\alpha \in C$ 和$\infty$ 是$g$ 的Borel例外值。定义$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 为(1.2)式的微分差分多项式，$d_k$ 和$l_j$ 并非全部都是零的复数且$\tilde{L}(z,g)\cancel{\equiv }0$ 。${\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +c-\alpha \ne 0$ 。如果$a\ne \alpha$ 是$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 与$g\left(z\right)$ 的CM公共值。那么：

$\frac{\tilde{L}(z,g)-a}{g-a}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +c-a}{a-\alpha }$

2. 主要引理

引理2.1 [10]假设$f_1\left(z\right)\text{fi}{f}_2\left(z\right)\text{fi}\cdots \text{fi}{f}_n\left(z\right)\left(n\ge 2\right)$ 都是超越亚纯函数，$g_1\left(z\right)\text{fi}{g}_2\left(z\right)\text{fi}\cdots \text{fi}{g}_n\left(z\right)$ 都是整函数且满足如下形式：

1) ${\displaystyle \sum _{j=1}^n{f}_j}(z)e^{g_j(z)}\equiv 0$ ；

2) 对于$1\le j<k\le n,g_j\left(z\right)-g_k\left(z\right)$ 都不是常数；

3) 对于$1\le j\le n,1\le h<k\le n$ ，

$T\left(r,f_j\right)=o\left\{T\left(r,e^{g_h-g_k}\right)\right\}\left(r\to \infty ,r\notin E\right)$

其中，$E\subset \left(1,+\infty \right)$ 是有限线性测度或有限对数测度，那么$f_j\left(z\right)\equiv 0\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 。

引理2.2 [9]设$g\left(z\right)$ 是一个有限级超越亚纯函数，假设$\alpha \in C$ 和$\infty$ 是$g\left(z\right)$ 的Borel例外值，那么$g\left(z\right)=P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha$ 。

其中，$L\left(z\right)$ 是一个多项式，$P\left(z\right)$ 是一个多项式且$\lambda \left(P\right)=\lambda \left(\alpha ,g\right),\lambda \left(\frac{1}{P}\right)=\lambda \left(\frac{1}{g}\right)$ 以及

$\rho \left(P\right)\le \text{max}\left\{\lambda \left(\alpha ,g\right),\lambda \left(\frac{1}{g}\right)\right\}<\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right)\text{Θ}$

引理2.3 [5]假设$f\left(z\right)$ 与$g\left(z\right)$ 是复数域内两个非常数亚纯函数且级数分别为$\rho \left(f\left(z\right)\right)$ 和$\rho \left(g\left(z\right)\right)$ ，那么：

$\rho \left(f\left(z\right)\cdot g\left(z\right)\right)\le \text{max}\left\{\rho \left(f\left(z\right)\right),\rho \left(g\left(z\right)\right)\right\}$

以及

$\rho \left(f\left(z\right)+g\left(z\right)\right)\le \text{max}\left\{\rho \left(f\left(z\right)\right),\rho \left(g\left(z\right)\right)\right\}$

这意味着两个亚纯函数的积与和的级不大于这两个亚纯函数的最大级。

3. 定理1.1的证明

假设$\alpha$ 和$\infty$ 是$g\left(z\right)$ 的Borel例外值，那么由引理2.2，

$\begin{array}{c}g\left(z\right)=P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha \end{array}$ (3.1)

其中，$L\left(z\right)$ 是一个多项式，$P\left(z\right)$ 是一个亚纯函数且

$\begin{array}{c}\rho \left(P\right)\le max\left\{\lambda \left(\alpha ,g\right),\lambda \left(\frac{1}{g}\right)\right\}<\rho \left(g\right)=degL\left(z\right)\end{array}$ (3.2)

如果$\alpha$ 是$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 与$g\left(z\right)$ 的CM公共值，那么：

$\begin{array}{c}\frac{\tilde{L}\left(z,g\right)-\alpha }{g\left(z\right)-\alpha }=e^{f\left(z\right)}\end{array}$ (3.3)

其中，$f\left(z\right)$ 是一个多项式。把(3.1)代入到(3.3)式中，有：

$\begin{array}{c}\frac{\tilde{L}\left(z,P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha \right)-\alpha }{P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha -\alpha }=e^{f\left(z\right)}\end{array}$ (3.4)

i.e.

$\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}P\left(z+c_i\right)e^{L\left(z+c_i\right)}+{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +{\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_k}{M}_k\left(z+t_k\right)e^{L\left(z+t_k\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^m{l}_j}{N}_j\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+c-\alpha }{P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}}=e^{f\left(z\right)}$

也就是

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\frac{P\left(z+c_i\right)}{P\left(z\right)}{e}^{L\left(z+c_i\right)-L\left(z\right)}+{\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_k}\frac{M_k\left(z+t_k\right)}{P\left(z\right)}{e}^{L\left(z+t_k\right)-L\left(z\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^m{l}_j}\frac{N_j\left(z\right)}{P\left(z\right)}\\ +\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +c-\alpha }{P\left(z\right)}{e}^{-L\left(z\right)}=e^{f\left(z\right)}\end{array}$ (3.5)

其中，$M_k\left(z+d_k\right)$ 是形式为$P\left(z+d_k\right)$ 的多项式，结合(3.3)式和引理2.3，可以得到：

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\rho \left(\frac{P\left(z+c_i\right)}{P\left(z\right)}\right)\le \text{max}\left\{\rho \left(P\left(z+c_i\right)\right),\rho \left(P\left(z\right)\right)\right\}\le \text{deg}L\left(z\right)-1,i=0,1,\cdots ,n\hfill \\ \rho \left(\frac{M_k\left(z+t_k\right)}{P\left(z\right)}\right)\le \text{max}\left\{\rho \left(M_k\left(z+t_k\right)\right),\rho \left(P\left(z\right)\right)\right\}\le \text{deg}L\left(z\right)-1,k=1,2,\cdots ,m\hfill \\ \rho \left(\frac{N_j\left(z\right)}{P\left(z\right)}\right)\le \text{max}\left\{\rho \left(N_j\left(z\right)\right),\rho \left(P\left(z\right)\right)\right\}\le \text{deg}L\left(z\right)-1,j=1,2,\cdots ,m\hfill \end{array}\end{array}$ (3.6)

以及

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\text{deg}\left(L\left(z+c_i\right)-L\left(z\right)\right)\le \left(\text{deg}L\left(z\right)\right)-1=\rho \left(g\right)-1,i=0,1,2,\cdots ,n\hfill \\ \text{deg}\left(L\left(z+t_k\right)-L\left(z\right)\right)\le \left(\text{deg}L\left(z\right)\right)-1=\rho \left(g\right)-1,k=0,1,2,\cdots ,m\hfill \end{array}\end{array}$ (3.7)

再结合(3.6)和(3.7)，有：

(3.8)

都是相对于$\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +c-\alpha }{P\left(z\right)}{e}^{-L\left(z\right)}$ 的小函数。令$B\left(z\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +c-\alpha }{P\left(z\right)}{e}^{-L\left(z\right)}$ 。

将第二基本定理应用于$B\left(z\right)$ ，我们得到：

$T\left(r,B\left(z\right)\right)<\overline{N}\left(r,B\left(z\right)\right)+\overline{N}\left(r,\frac{1}{B\left(z\right)}\right)+\overline{N}\left(r,\frac{1}{B\left(z\right)+C\left(z\right)}\right)+S\left(r,B\left(z\right)\right)$

其中

$C\left(z\right)={\displaystyle \sum }_{i=0}^n{b}_i\frac{P\left(z+c_i\right)}{P\left(z\right)}{e}^{L\left(z+c_i\right)-L\left(z\right)}+{\displaystyle \sum }_{k=1}^m{d}_k\frac{M_k\left(z+t_k\right)}{P\left(z\right)}{e}^{L\left(z+t_k\right)-L\left(z\right)}+{\displaystyle \sum }_{j=1}^m{l}_j\frac{N_j\left(z\right)}{P\left(z\right)}$

根据$\rho \left(P\right)<\text{deg}\left(L\left(z\right)\right)$ 和(3.5)式，我们可以得到：

$T\left(r,B\left(z\right)\right)\le \overline{N}\left(r,\frac{1}{B\left(z\right)+C\left(z\right)}\right)+S\left(r,B\left(z\right)\right)=\overline{N}\left(r,\frac{1}{e^{f\left(z\right)}}\right)+S\left(r,B\left(z\right)\right)=S\left(r,B\left(z\right)\right)$

这是矛盾的，因此$\alpha$ 不是$L\left(z,g\right)$ 与$g\left(z\right)$ 的CM公共值。

4. 定理1.2的证明

如果$a=0$ 是$\tilde{L}\left(z,g\right)$ 与$g\left(z\right)$ 的CM公共值，我们可以得到：$a\ne 0$ 以及

$\begin{array}{c}\frac{\tilde{L}\left(z,g\right)}{g\left(z\right)}=e^{f\left(z\right)}\end{array}$ (4.1)

其中，$f\left(z\right)$ 是一个多项式。由于$\alpha$ 和$\infty$ 是$g$ 的Borel例外值，那么根据引理2.2，$g\left(z\right)$ 可以写成：

$\begin{array}{c}g\left(z\right)=P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha ,\end{array}$ (4.2)

其中，$L\left(z\right)$ 是一个多项式，$P\left(z\right)$ 是一个亚纯函数且

$\begin{array}{c}\rho \left(P\right)\le max\left\{\lambda \left(\alpha ,g\right),\lambda \left(\frac{1}{g}\right)\right\}<\rho \left(g\right)=degL\left(z\right)\end{array}$ . (4.3)

根据(4.1)式和(4.3)式，有：

$\begin{array}{c}\frac{\tilde{L}\left(z,P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha \right)}{P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha }=e^{f\left(z\right)}\end{array}$ 。 (4.4)

i.e.

$\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}P\left(z+c_i\right)e^{L\left(z+c_i\right)}+{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +{\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_k}{M}_k\left(z+t_k\right)e^{L\left(z+t_k\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^m{l}_j}{N}_j\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+c}{P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha }=e^{f\left(z\right)}$ (4.5)

其中，$M_k\left(z+d_k\right)$ 为$P\left(z+d_k\right)$ 的多项式，(4.5)式左侧上下同乘以$e^{-L\left(z\right)}$ ，得到：

$\begin{array}{l}\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_{i}P\left(z+c_i\right)}{e}^{L\left(z+c_i\right)-L\left(z\right)}+{\displaystyle \sum _{k=1}^m{d}_k{M}_k\left(z+t_k\right)}{e}^{L\left(z+t_k\right)-L\left(z\right)}+{\displaystyle \sum _{j=1}^m{l}_j{N}_j\left(z\right)}}{P\left(z\right)+\alpha e^{-L\left(z\right)}}\hfill \\ +\frac{\left({\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i\alpha +c}\right)e^{-L\left(z\right)}}{P\left(z\right)+\alpha e^{-L\left(z\right)}}=e^{f\left(z\right)}\hfill \end{array}$ (4.6)

令

使用定理1.1中相似的方法，我们可以得到：

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\rho \left(P\left(z+c_i\right)\right)\le \text{deg}L\left(z\right)-1=\rho \left(g\right)-1\hfill \\ \rho \left(M_k\left(z+t_k\right)\right)\le \text{deg}L\left(z\right)-1=\rho \left(g\right)-1\hfill \\ \rho \left(N_j\left(z\right)\right)\le \text{deg}L\left(z\right)-1=\rho \left(g\right)-1\hfill \\ \text{deg}\left(L\left(z+c_i\right)-L\left(z\right)\right)\le \text{deg}L\left(z\right)-1=\rho \left(g\right)-1,i=0,1,2,\cdots ,n\hfill \\ \text{deg}\left(L\left(z+d_k\right)-L\left(z\right)\right)\le \text{deg}L\left(z\right)-1=\rho \left(g\right)-1,k=1,2,\cdots ,m\hfill \end{array}\end{array}$ (4.7)

根据(4.7)，则有：

$\lambda \left(D\left(z\right)\right)\le \rho \left(D\left(z\right)\right)\le \rho \left(g\right)-1=\text{deg}L\left(z\right)-1$ (4.8)

根据Nevanlinna第二基本定理，可以得到：

$\begin{array}{l}T\left(r,\alpha e^{-L\left(z\right)}\right)\le \overline{N}\left(r,\alpha e^{-f\left(z\right)}\right)+\overline{N}\left(r,\frac{1}{\alpha e^{-L\left(z\right)}}\right)+\overline{N}\left(r,\frac{1}{\alpha e^{-f\left(z\right)}+P\left(z\right)}\right)+S\left(r,\alpha e^{-L\left(z\right)}\right)\\ =\overline{N}\left(r,\frac{1}{\alpha e^{-f\left(z\right)}+P\left(z\right)}\right)+S\left(r,\alpha e^{-L\left(z\right)}\right)\end{array}$ (4.9)

根据(4.9)以及$\alpha \ne 0$ 和$\rho \left(P\right)<\rho \left(g\right)$ ，我们有：

$\begin{array}{c}\lambda \left(P\left(z\right)+\alpha e^{-L\left(z\right)}\right)=\rho \left(P\left(z\right)+\alpha e^{-L\left(z\right)}\right)=\rho \left(g\right)\end{array}.$ (4.10)

联立(4.6)、(4.8)及(4.10)，可以得到：

$\rho \left(g\right)=\rho \left[\left(P\left(z\right)+\alpha e^{-L\left(z\right)}\right)e^{f\left(z\right)}\right]=\lambda \left[\left(P\left(z\right)+\alpha e^{-L\left(z\right)}\right)e^{f\left(z\right)}\right]=\lambda \left(D\right)\le \rho \left(D\right)\le \rho \left(g\right)-1$

因为$a\ne 0$ 是，我们得出矛盾。所以：

$\begin{array}{c}\frac{\tilde{L}\left(z,g\right)-a}{g\left(z\right)-a}=e^{h\left(z\right)}\end{array}$ (4.11)

其中，$h\left(z\right)$ 是一个多项式且$\text{deg}h\left(z\right)\le \rho \left(g\right)$ 。结合(4.3)式和(4.11)式，可以得到：

$\begin{array}{c}\tilde{L}\left(z,P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+\alpha \right)-a=\left(\alpha -a\right)e^{h\left(z\right)}+e^{h\left(z\right)}P\left(z\right)e^{L\left(z\right)}\end{array}$ (4.12)

i.e.

(4.13)

i.e.

$b_{n}P\left(z+c_n\right)e^{L\left(z+c_n\right)}+b_{n-1}P\left(z+c_{n-1}\right)e^{L\left(z+c_{n-1}\right)}+\cdots +b_{1}P\left(z+c_1\right)e^{L\left(z+c_1\right)}$

(4.14)

我们知道$h\left(z\right)$ 是一个多项式且$\text{deg}h\left(z\right)\le \rho \left(g\right)$ ，那么$\text{deg}h\left(z\right)$ 只满足以下情形之一：$1\le \text{deg}h\left(z\right)<\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right);\text{deg}h\left(z\right)=\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right)$ 以及$\text{deg}h\left(z\right)=0$ 。

情况1 $1\le \text{deg}h\left(z\right)<\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right)$ 。(4.14)式表明：

(4.15)

结合$\alpha -a\ne 0,1\le \text{deg}h\left(z\right)<\text{deg}L\left(z\right)$ 以及$\left(\alpha -a\right)e^{h\left(z\right)}-\left({\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +c-a\right)\cancel{\equiv }0$ ，可以得出：

令

根据$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\text{deg}\left(L\left(z+c_i\right)-L\left(z\right)\right)\le \left(\text{deg}L\left(z\right)\right)-1,\rho \left(P\left(z\right)\right)<\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right)\hfill \\ \text{deg}\left(L\left(z+t_k\right)-L\left(z\right)\right)\le \left(\text{deg}L\left(z\right)\right)-1,\rho \left(P\left(z\right)\right)<\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right)\hfill \end{array}\end{array}$ (4.16)

以及$\text{deg}h\left(z\right)<\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right)$ ，可以得到：$\rho \left(E\right)<\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right)$ 。

这与相矛盾。

情况2 $\text{deg}h\left(z\right)=\rho \left(g\right)=\text{deg}L\left(z\right)$ 。令

$\{\begin{array}{l}L\left(z\right)=l_k{z}^k+l_{k-1}{z}^{k-1}+\cdots +l_{1}z+l_0\hfill \\ h\left(z\right)=h_k{z}^k+h_{k-1}{z}^{k-1}+\cdots +h_{1}z+h_0\hfill \end{array}$

因此，$l_k$ 和$h_k$ 只有一个满足以下情况：$l_k=-h_k,l_k=h_k,l_k\ne h_k$ 以及$l_k\ne -h_k$ 。

子情况2.1 $l_k=-h_k$ ，代入(4.14)得到：

也就是

$\begin{array}{c}{H}_{11}\left(z\right)e^{-L\left(z\right)}+H_{12}\left(z\right)e^{h\left(z\right)-L\left(z\right)}+H_{13}\left(z\right)e^{p\left(z\right)}=0\end{array}$ (4.17)

其中

根据$l_k=-h_k$ 和$\text{deg}\left(h\left(z\right)+L\left(z\right)\right)\le k-1$ ，我们可以得到：

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\text{deg}\left(L\left(z+c_i\right)-L\left(z\right)\right)\le k-1,i=1,2,\cdots ,n\hfill \\ \text{deg}\left(L\left(z+t_k\right)-L\left(z\right)\right)\le k-1,k=1,2,\cdots ,m\hfill \\ \text{deg}\left(-L\left(z\right)-\left(h\left(z\right)-L\left(z\right)\right)\right)=\text{deg}\left(-L\left(z\right)-p\left(z\right)\right)=\text{deg}\left(\left(h\left(z\right)-L\left(z\right)\right)-p\left(z\right)\right)=k\hfill \end{array}\end{array}$ (4.18)

结合(4.17)、(4.18)以及引理2.1，可以得出：$H_{12}\left(z\right)=\frac{\alpha -a}{P\left(z\right)}\equiv 0$ 。这与$a\ne \alpha$ 相矛盾。

子情况2.2 $l_k=h_k$ 。代入(4.13)式，得到：

i.e.

$\begin{array}{c}{H}_{21}\left(z\right)e^{-L\left(z\right)}+H_{22}\left(z\right)e^{h\left(z\right)}+H_{23}\left(z\right)e^{p\left(z\right)}=0,\end{array}$ (4.19)

其中

根据$l_k=h_k$ ，我们有：

$\begin{array}{c}deg\left(-L\left(z\right)-h\left(z\right)\right)=deg\left(h\left(z\right)-p\left(z\right)\right)=deg\left(-L\left(z\right)-p\left(z\right)\right)=k-1\end{array}$ (4.20)

结合(4.19)、(4.20)以及引理2.1，可以得到：$H_{22}\left(z\right)=0$ 。这与$H_{22}\left(z\right)=1$ 相矛盾。

子情况2.3 $l_k\ne h_k$ 和$l_k\ne -h_k$ 。代入(4.13)式，得到：

i.e.

$\begin{array}{c}{H}_{31}\left(z\right)e^{L\left(z\right)}+H_{32}\left(z\right)e^{h\left(z\right)+L\left(z\right)}+H_{33}\left(z\right)e^{h\left(z\right)}+H_{34}\left(z\right)e^{p\left(z\right)}=0,\end{array}$ (4.21)

其中

$H_{32}\left(z\right)=-P\left(z\right),H_{33}\left(z\right)=-\left(\alpha -a\right),H_{34}\left(z\right)={\displaystyle \sum }_{i=0}^n{b}_i\alpha +c-a,p\left(z\right)\equiv 0.$

根据和$l_k\ne -h_k$ 。我们可以得到：

$\begin{array}{c}deg\left(h\left(z\right)+L\left(z\right)-p\left(z\right)\right)=deg\left(h\left(z\right)+L\left(z\right)-h\left(z\right)\right)=deg\left(h\left(z\right)-p\left(z\right)\right)=k\end{array}$ (4.22)

结合(4.21)、(4.22)以及引理2.1得到：$H_{33}\left(z\right)=-\left(\alpha -a\right)\equiv 0$ 。这与$a\ne \alpha$ 相矛盾。

情况3 $\text{deg}h\left(z\right)=0$ 。令$G=e^{h\left(z\right)}$ 。如果$G\ne \frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^n{b}_i}\alpha +c-a}{\alpha -a}$ ，根据(4.13)式，有：

i.e.

(4.23)

再令

。

根据

(4.24)

可以得到：。另一方面，根据(4.23)，可以得到：

这依然是不存在的。因此。证毕。

下面通过两个例子来证明定理的准确性：

例1 令是与的CM公共值。，满足。

例2 令，，，1是与的CM公共值。，满足。

5. 结论

本文主要采用与Zhang等[9]相似的方法，将关于整函数及其差分算子的唯一性结果推广到亚纯函数上，扩展了先前给出的定理[9] [11]-[13]，进一步研究更具有一般形式的微分差分多项式的唯一性，从而得出微分差分多项式关于唯一性和形式的更多样化的结果，旨在促进微分差分方程领域不断发展。

NOTES

^*通讯作者。