阈值变化竞争失效模型在电子商务系统可靠性中的应用

Application of Threshold Change Competition Failure Model in the Reliability of E-Commerce Systems

摘要: MEMS传感器在电子商务系统中扮演着至关重要的角色，物联网技术通过连接物理世界与数字世界，为电子商务带来了巨大的创新机遇。它们不仅满足了物联网对于传感器微型化、智能化、低功耗和成本效益的需求，而且随着技术的进步，其应用领域还在不断拓宽。因此MEMS设备的可靠性评估对电子商务技术的发展有着至关重要的作用。MEMS是具有复杂失效模式的系统，本文考虑到系统在运行过程中，受到冲击作用后，其抵御冲击的能力会下降，因此冲击失效的发生概率会增大，即系统硬失效模式的失效阈值会随着冲击次数的增加而进行相应的改变，因此建立了硬失效阈值时变的竞争失效模型，为电子商务的快速发展提供了可靠的评估。

Abstract: MEMS sensors play a crucial role in IoT systems. They not only meet the needs of IoT for miniaturization, intelligence, low power consumption and cost-effectiveness of sensors, but also widen their application areas with the advancement of technology. Therefore, the reliability assessment of MEMS devices plays a crucial role in the development of IoT technology. MEMS is a system with complex failure modes. In this paper, considering that the system’s ability to withstand shocks will be reduced when it is subjected to shocks during operation, the probability of shock failure will increase, i.e., the failure threshold of the system’s hard failure modes will be changed accordingly with the increase in the number of shocks, so a hard failure threshold is established. Therefore, a competitive failure model with time-varying hard failure threshold is established.

1. 引言

电子商务产业作为物联网行业的一部分，正在经历着前所未有的变革。物联网技术通过连接物理世界与数字世界，为电子商务带来了巨大的创新机遇。尤其是智能物流、智能客服、安全支付等相关领域和产业，是电子商务中必不可少的关键一环。

2010年以来，在物联网技术需求的驱动下，各种各样的MEMS传感器和执行器[1]在可穿戴系统、虚拟现实产品、智能家居、智能手机、智能制造中得到广泛应用，使用电子商务产业越发壮大和繁华。进入后电子商务时代，MEMS技术有着非常广阔的应用前景，它能够满足物联网应用对传感器和执行器的要求，因此MEMS系统的可靠性评估对物联网行业发展具有重要的作用，而电子商务产业作为物联网行业的一部分，其更加具有广泛应用场景。现在，电子商务产品中的重要组件中的大多数是微机电系统(MEMS)。MEMS技术驱动传感器变小，而传感器越来越小，又使物联网触角延伸的越来越广。因此对MEMS可靠性的研究至关重要。

微机电系统在一些电子商务系统中被广泛应用，其退化过程中还可能受到外界环境因素或者应力作用的持续影响，导致系统可能会在某一时刻突然丧失其功能，这一现象表现为系统的突发失效模式。复杂的微机电系统存在着两种失效模式：1、齿轮轮毂可能会受到致命冲击而发生断裂，即发生突发失效，另外在断裂之前，轮毂所承受的冲击可能会在轮毂中引发裂纹，从而降低材料强度，使其无法承受更加强大的冲击，导致其硬失效阈值变化。2、齿轮轮毂内表面以及轴表面在运行过程中存在相互摩擦，二者会随着磨损的加大最终导致退化失效。综上，齿轮轮毂是一种典型的竞争失效过程。但目前的研究仍存在着不足。以往文献假定两种失效模型是独立的，这多少存在着不足。文献[2]采用退化量分步法对退化过程进行建模，但并未考虑系统的突发失效模式；文献[3]-[5]认为失效阈值是一个恒定的值，假定微小的冲击不会对系统产生影响，达到一定水平时，系统才会受到影响；文献[6] [7]假定系统的硬失效阈值为二阶段线性变化，不符合实际情况。

本文采用极值冲击模型来表示系统受到的随机冲击作用，建立阈值时变的竞争失效模型的基础上，建立多元竞争失效模型，最后采用美国Sandia国家实验室开发的微机电系统(MEMS)来说明问题实例对本章提出的模型进行验证，证明了提出模型的合理性。

2. 系统描述与假设

2.1. 系统示意图

MEMS系统是利用半导体生产工艺构造的集微传感器、信号处理和控制电路、微执行器、通讯接口和电源等部件于一体的微米至毫米尺寸的微型器件或系统，具备微型化优势。通过接收运动、光、热、声、磁等信号，信号再被转换成电子系统能够识别、处理的电信号，当今在电子商务蓬勃发展的背景下，其设备中大量使用各类MEMS传感器。系统运行要求的环境比较苛刻，遭受外界环境变化影响显著，下图1为系统相关竞争失效过程的研究示意图：

Figure 1. Schematic diagram of system-related competitive failures

图1. 系统相关竞争失效示意图

2.2. 系统描述与模型假设

(1) 本章采用极值冲击模型来体现系统受到的随机冲击作用，它的数学表达式如下所示，如果到达系统的某个冲击的冲击量$W_i$ 超过系统的硬失效阈值，则系统立刻失效。即

$\left\{T\le t\right\}\iff \left\{\min \left\{i:W_i>H\right\}:i=1,2,\cdots ,N\left(t\right)\right\}$

其中$N\left(t\right)$ 表示时间t内系统经历的冲击总次数，H为硬失效阈值。

(2) 冲击过程描述：

随机冲击：一般假设随机冲击到达系统的过程服从齐次泊松过程(Homogeneous Poisson Process, HPP)其到达率为一个固定常数。假设随机冲击的到达服从到达率为$\lambda$ 的齐次泊松过程$\left\{N\left(t\right),t\ge 0\right\}$ ，当发生了m次冲击时，有

$P\left(N\left(t\right)=m\right)=\frac{{\left(\lambda t\right)}^m}{m!}\exp \left(-\lambda t\right)\text{, }m=0,1,\cdots ,n$

每次冲击到达时产生的冲击幅值为$W_i,i=0,1,\cdots ,n$ 独立同分布于正态分布，即$W_i~N\left({\mu }_w,{\sigma }_w^2\right)$ 。冲击导致的自然退化增量$Y_i,i=0,1,\cdots ,n$ 也独立同分布与正态分布，且均与泊松过程是独立的。退化增量$Y_i$ 与冲击幅值$W_i$ 存在着某种比例关系，用函数形式表现即$Y_i=c{W}_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ ，c为冲击幅值与自然退化增量的相关系数，为一个常数，则$Y_i~N\left(c{\mu }_w,{\left(c{\sigma }_w\right)}^2\right)$ ；m为系统在t时刻内遭受冲击的总次数。

3. 模型建立

3.1. 竞争失效系统故障建模方法

电子商务中多少产品对微型，低成本传感器进行监控生产的各个方面都有巨大的需求。这些传感器必须将信息传达到工厂网络中的其他节点，并且要面临着复杂恶劣的工厂环境，MEMS设备是为此目的而量身定制的：它们体积小，坚固耐用，可在同一封装中包含额外的电路块以实现有线或无线。因此，在复杂多变的环境中，MEMS传感器是典型的竞争失效过程，对传感器设备进行精确的可靠性评估具有重要意义，是连接智能传感系统的桥梁。

3.1.1. 考虑冲击作用的退化过程建模分析

(1) 系统自然退化过程模型：

本文采用目前大多数相关研究都采用的一般退化路径来描述系统的退化过程，具有一定的合理性，即

$X_0\left(t\right)$ ：$X_0\left(t\right)=\phi +\beta t$ 。

其中$\phi$ 表示初始退化量，是一个常数；$\beta$ 表示系统的退化速率，是服从正态分布的随机变量，并且$\beta ~N\left({\mu }_{\beta },{\sigma }_{\beta }^2\right)$ 。根据正态分布的性质，有$X_0\left(t\right)~N\left(\phi +t{\mu }_{\beta },{\left(t{\sigma }_{\beta }\right)}^2\right)$ 。

冲击对自然退化过程的影响体现在两个方面：冲击对退化增量的影响和冲击对退化速率的影响。

假设在时间t内，系统发生的冲击次数为$N\left(t\right)$ ，则冲击总共造成的自然退化增量$S\left(t\right)$ 为：

$S\left(t\right)=\{\begin{array}{l}0N\left(t\right)=0\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^{N\left(t\right)}{Y}_i}N\left(t\right)>0\end{array}$

由于$W_i$ ，$Y_i$ 均服从正态分布，根据正态分布的可加性，可以得到$S\left(t\right)~N\left(N\left(t\right)c{\mu }_w,N\left(t\right){\left(c{\sigma }_w\right)}^2\right)$ 。

(2) 考虑冲击对退化速率影响后的退化模型

通常，冲击在影响系统退化增量的同时，还可能会对退化速率产生一定程度的影响。针对系统受到冲击作用后会出现退化速率改变的现象，所以本章考虑引入退化速率影响因子$Q\left(t\right)$ 来考虑两者之间存在的相依性。

$\beta ={\beta }_{0}Q\left(t\right)={\beta }_0\left(1+r{\displaystyle \sum _{i=1}^{N\left(t\right)}{Y}_i}\right),N\left(t\right)=1,\cdots ,k$

即退化速率的变化和冲击导致的退化增量呈正相关关系。其中$\beta$ 表示漂移系数，表征t时刻的退化速率，${\beta }_0$ 为初始退化速率，为常数；r表征了冲击对退化速率的加速效应，取值范围为$\left[0,\infty \right)$ ，$N\left(t\right)$ 表示受到的冲击次数。

所以新的系统退化轨迹模型可以修正为$X\left(t\right)=\phi +{\beta }_0\left(1+r{\displaystyle \sum _{i=1}^{N\left(t\right)}{Y}_i}\right)t$ 。

则受到冲击后系统总的退化量为

$\begin{array}{c}Y\left(t\right)=X\left(t\right)+S\left(t\right)=X\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{N\left(t\right)}{Y}_i}=X\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{N\left(t\right)}c{W}_i}\\ =\phi +{\beta }_{0}t+{\beta }_{0}rt{\displaystyle \sum _{i=1}^{N\left(t\right)}{Y}_i}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{N\left(t\right)}{Y}_i}=\phi +{\beta }_{0}t+\left({\beta }_{0}rt+1\right){\displaystyle \sum _{i=1}^{N\left(t\right)}{Y}_i}\end{array}$

则根据式子以及正态分布的可加性，可以得到

$Y\left(t\right)~N\left(\phi +{\beta }_{0}t+\left({\beta }_{0}rt+1\right)N\left(t\right)c{\mu }_w,N\left(t\right){\left(\left({\beta }_{0}rt+1\right)c{\sigma }_w\right)}^2\right)$

当失效阈值为H时，则t时刻系统不发生失效的概率为：

$P\left(Y\left(t\right)=X\left(t\right)+S\left(t\right)<H\right)=F_Y\left(H,t\right)$

3.1.2. 硬失效阈值变化的突发失效过程建模分析

(1) 硬失效阈值随着冲击变化的情况

系统在遭受外界环境的冲击作用后，其抵御冲击的能力下降，表现为系统遭受随机冲击的能力下降，冲击失效更容易发生。具体体现为系统的硬失效阈值产生变化。

随机冲击导致系统突发失效的阈值产生动态变化，即系统经历第i次随机冲击后其硬失效阈值变为$D_i$ ：

$D_i=D_0-{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{Q}_e\left(W_j\right)}$

$D_0$ 为系统初始的硬失效阈值，$Q_e\left(W_j\right)$ 的表达式为$Q_e\left(W_j\right)=\omega W_j$ ，它与第j次的冲击幅值$W_j$ 相关，则

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{Q}_e\left(W_j\right)}=\omega {\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}{W}_j}~N\left(\left(i-1\right)\omega {\mu }_w,\left(i-1\right){\omega }^2{\sigma }_w^2\right)$ 。

当有害冲击到达次数固定的情况，系统的生存概率(不发生硬失效的概率)为：

① 当冲击次数为0：$R_e\left(t|N\left(t\right)=0\right)=1$

② 当冲击次数不为0：即

$\begin{array}{c}{R}_e\left(t|N\left(t\right)=n>0\right)=P\left\{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N\left(t\right)}{\cap }}\left[W_j<D_j\right]}|N\left(t\right)=n\right\}\\ =P\left\{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\cap }}\left[W_j<D_0-{\displaystyle \sum _{k=1}^{j-1}{Q}_e\left(W_k\right)}\right]}\right\}\\ ={\displaystyle \prod _{j=1}^{n}P\left(W_j+{\displaystyle \sum _{k=1}^{j-1}{Q}_e\left(W_k\right)}<D_0\right)}\end{array}$

代入式子$Q_e\left(W_j\right)=\omega W_j$ 可以得到：

$R_e\left(t|N\left(t\right)=n>0\right)={\displaystyle \prod _{j=1}^{n}P\left(\omega {\displaystyle \sum _{k=1}^{j-1}{W}_k}+W_j<D_0\right)}={\displaystyle \prod _{j=1}^n\Phi \left(\frac{D_0-\left[\left(j-1\right)\omega +1\right]{\mu }_w}{\sqrt{\left(j-1\right){\omega }^2+1}\cdot {\sigma }_w}\right)}$

其中$\Phi \left(\right)$ 为标准正态分布。

3.1.3. 系统硬失效阈值变化的竞争失效模型

结合退化轨迹模型$X_0\left(t\right)$ 和$X_1\left(t\right)$ ，根据随机冲击出现的次数，可以将竞争失效过程的可靠度计算分以下两种情况：

情形1：当冲击次数为0时，系统的可靠度函数为$R_1\left(t\right)$ ：

$\begin{array}{l}{R}_1\left(t\right)=P\left(Y\left(t\right)=X\left(t\right)+S\left(t\right)<H|N\left(t\right)=0\right)P\left(N\left(t\right)=0\right)\\ =P\left(X_0\left(t\right)<H|N\left(t\right)=0\right)P\left(N\left(t\right)=0\right)\\ =P\left(X_0\left(t\right)<H\right)P\left(N\left(t\right)=0\right)\\ =\Phi \left(\frac{H-\left(\phi +t{\mu }_{\beta }\right)}{t{\sigma }_{\beta }}\right)\exp \left(-\lambda t\right)\end{array}$

情形2：当冲击次数不为0时，系统的可靠度函数为$R_2\left(t\right)$ ：

此时系统不发生失效的情况为既不发生退化失效也不发生突发失效，即

① 系统的自然退化过程不超过失效阈值H：即

$P\left(X\left(t\right)+S\left(t\right)<H\right)$

② 每次随机冲击到达时刻的冲击幅值小于相应的失效阈值：即

$R_e\left(t|N\left(t\right)=n>0\right)=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}{W}_i}<D\left(t_i\right)\right)$

综上此种情况下可靠度函数为

$\begin{array}{l}{R}_2\left(t\right)=P\left(Y\left(t\right)=X\left(t\right)+S\left(t\right)<H|N\left(t\right)=n\right)P\left(N\left(t\right)=n\right)\\ =P\left(X\left(t\right)+S\left(t\right)<H,{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}\left(W_i<D_i\right)}|N\left(t\right)=n\right)P\left(N\left(t\right)=n\right)\\ ={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }P\left(X\left(t\right)+S\left(t\right)<H\right)P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}\left(W_i<D_i\right)}\right)P\left(N\left(t\right)=n\right)}\end{array}$

由于冲击过程和退化过程均为独立过程，分别计算$P\left(X\left(t\right)+S\left(t\right)<H\right)$ 和$P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}\left(W_i<D_i\right)}\right)$ ；则

$P\left(X\left(t\right)+S\left(t\right)<H\right)=\Phi \left(\frac{H-\left(\phi +{\beta }_0+\left({\beta }_{0}rt+1\right)nc{\mu }_w\right)}{\left({\beta }_{0}rt+1\right)c{\sigma }_w\sqrt{n}}\right)$

$P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cap }}\left(W_i<D_i\right)}\right)={\displaystyle \prod _{i=1}^n\Phi \left(\frac{D_0-\left[\left(i-1\right)\omega +1\right]{\mu }_w}{\sqrt{\left(i-1\right){\omega }^2+1}\cdot {\sigma }_w}\right)}$

$P\left(N\left(t\right)=n\right)=\frac{{\left(\lambda t\right)}^n}{n!}\exp \left(-\lambda t\right)$

代入式子，可以得到

$R_2(t)={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\left[\Phi \left(\frac{H-\left(\phi +{\beta }_0+\left({\beta }_{0}rt+1\right)nc{\mu }_w\right)}{\left({\beta }_{0}rt+1\right)c{\sigma }_w\sqrt{n}}\right)\cdot {\displaystyle \prod _{i=1}^n\Phi \left(\frac{D_0-\left[\left(i-1\right)\omega +1\right]{\mu }_w}{\sqrt{\left(i-1\right){\omega }^2+1}\cdot {\sigma }_w}\right)}\cdot \frac{{\left(\lambda t\right)}^n}{n!}\exp \left(-\lambda t\right)\right]}$

综上所述系统总的可靠度函数为：

$\begin{array}{l}R\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i=0}^{+\infty }R\left(t|N_2\left(t\right)=n\right)P\left(N_2\left(t\right)=n\right)}\\ =R\left(t|N_2\left(t\right)=0\right)\cdot P\left(N\left(t\right)=0\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^{+\infty }R\left(t|N_2\left(t\right)=n\right)}\cdot P\left(N\left(t\right)=n\right)\\ =R_1\left(t\right)+R_2\left(t\right)\end{array}$

代入式子$R_1\left(t\right),R_2\left(t\right)$ 的表达式，可以得到总的竞争失效模型的可靠度函数表达式。

$\begin{array}{c}R\left(t\right)=\Phi \left(\frac{H-\left(\phi +t{\mu }_{\beta }\right)}{t{\sigma }_{\beta }}\right)\exp \left(-\lambda t\right)+{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }[\Phi \left(\frac{H-\left(\phi +{\beta }_0+\left({\beta }_{0}rt+1\right)nc{\mu }_w\right)}{\left({\beta }_{0}rt+1\right)c{\sigma }_w\sqrt{n}}\right)}\\ \cdot {\displaystyle \prod _{i=1}^n\Phi \left(\frac{D_0-\left[\left(i-1\right)\omega +1\right]{\mu }_w}{\sqrt{\left(i-1\right){\omega }^2+1}\cdot {\sigma }_w}\right)}\cdot \frac{{\left(\lambda t\right)}^n}{n!}\exp \left(-\lambda t\right)]\end{array}$

4. 数值算例

为了验证本章内容所建立的电子商务系统可靠度模型的有效性，采用美国桑迪亚国家实验室开发的微机电系统来说明问题，它是集微传感器、微执行器、微机械结构、微电源微能源、信号处理和控制电路、高性能电子集成器件、接口、通信等于一体的微型器件或系统，是一个独立的智能系统，可大批量生产，其系统尺寸在几毫米乃至更小，其内部结构一般在微米甚至纳米量级。MEMS传感器，是MEMS中的核心元件，它存在着两种失效模式，在电子商务系统中有着广泛的应用。同时它也存在着两种失效模式即会随着外界环境变化发生突发失效和退化失效，是一种典型的竞争失效过程。

为了分析可靠度函数的正确性，采用文献[8]中的参数进行仿真，模型参数选择依据此类研究中普遍的参数设定方式，即其中部分参数选自美国桑迪亚国家实验室微机电系统可靠性试验时记录的参数值，另外一部分根据模型的改进所引进的参数可以根据系统的实际运行情况进行合理假设，相关参数的取值情况如下表1所示：

Table 1. Reliability data parameters table

表1. 可靠性数据参数表

参数	参数意义	数值	来源
$H$	系统软失效阈值	1.25 × 10^−^3 μm^3	参考文献[8]
$\phi$	初始退化量	0	假设
$\beta$	退化速率	$\begin{array}{l}~N\left({\mu }_{\beta },{\sigma }_{\beta }^2\right)\\ {\mu }_{\beta }=8.48\times {10}^{-9}\mu {\text{m}}^3\\ {\sigma }_{\beta }=6\times {10}^{-10}\mu {\text{m}}^3\end{array}$	参考文献[8]
${\beta }_0$	初始退化速率	5.44 × 10^−^8	参考文献[8]
$W_i$	冲击幅值	$\begin{array}{l}~N\left({\mu }_w,{\sigma }_w^2\right)\\ {\mu }_w=1.2\text{Gpa},{\sigma }_w=0.2\text{Gpa}\end{array}$	参考文献[8]
$c$	冲击幅值与自然退化增量的相关系数	8.333 × 10^−^5	参考文献[8]
$D_0$	硬失效阈值	1.5 Gpa	参考文献[8]
$\omega$	硬失效阈值的变化系数	0.2	假设
$\lambda$	到达率	8.5 × 10^−^5/r	假设
$r$	冲击对退化速率的加速系数	0.5	假设

将表1中参数代入系统可靠度函数表达式：

$\begin{array}{c}R\left(t\right)=\Phi \left(\frac{H-\left(\phi +t{\mu }_{\beta }\right)}{t{\sigma }_{\beta }}\right)\exp \left(-\lambda t\right)+{\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }[\Phi \left(\frac{H-\left(\phi +{\beta }_0+\left({\beta }_{0}rt+1\right)nc{\mu }_w\right)}{\left({\beta }_{0}rt+1\right)c{\sigma }_w\sqrt{n}}\right)}\\ \cdot \frac{{\left(\lambda t\right)}^n}{n!}\exp \left(-\lambda t\right)\cdot {\displaystyle \prod _{j=1}^n\Phi \left(\frac{D_0-\left[\left(j-1\right)\omega +1\right]{\mu }_w}{\sqrt{\left(j-1\right){\omega }^2+1}\cdot {\sigma }_w}\right)}]\end{array}$

可以得到系统单退化路径的可靠度曲线，如下图2所示：

Figure 2. System reliability curve

图2. 系统可靠度曲线

图3中蓝色曲线为微机电系统的硬失效阈值恒定情况的可靠度曲线，黑色曲线为考虑硬失效阈值改变情况的可靠度曲线，可以看出考虑随机冲击对突发失效过程中硬失效阈值改变的影响比较显著。在系统运行初期，系统受到冲击次数较少，二者的可靠度情况相差不大。但到了系统运行中后期，此阶段，冲击强度及幅值影响着系统的总退化量，同时冲击也影响着系统硬失效阈值的大小，系统长时间运转下，随着冲击次数的不断增多，系统所能承受的冲击能力下降，其可靠度情况相较于硬失效阈值恒定的情况下会明显变小，系统会更加容易失效。综上所述，考虑硬失效阈值改变的情况在一定程度上能更加客观的反映系统实际的可靠度变化情况。

Figure 3. Changes in system hard failure threshold

图3. 系统硬失效阈值改变情况

实际情况中，冲击会对传感器系统产生一定的影响，其抵御冲击的能力会逐渐下降，在运行后期，所以如果不考虑硬失效阈值改变的情况，则会高估系统的可靠度，则会影响物联网系统的工作进程，造成极大的影响。

5. 结论

MEMS传感器在电子商务系统中扮演着至关重要的角色，它们不仅满足了物联网对于传感器微型化、智能化、低功耗和成本效益的需求，而且随着技术的进步，其应用领域还在不断拓宽。因此MEMS设备的可靠性评估对电子商务技术的发展有着至关重要的作用，由于MEMS设备运行在多种复杂的工况环境中，具有复杂的失效模式与失效机制。传统的可靠度评估方法具有一定的局限性，高估或低估传感器的可靠性都会对产业造成一定影响。MEMS传感器作为电子商务技术的关键核心，只有其可靠性得到准确的评估，电子商务产业将变得更加智能、高效和用户友好，为消费者和企业带来更加丰富的价值和体验。