虚拟纽结的一新多项式

A New Polynomial of Virtual Knots

摘要: 虚拟纽结理论中主要研究对象为纽结和链环。虚拟纽结多项式是一类以多项式表达的虚拟纽结不变量，例如零多项式和Writhe多项式。文章通过研究零多项式和虚拟链环的writhe多项式给出了一个新的多项式。这个多项式通过对虚拟链环的计算得出原始虚拟纽结的多项式，证明了这个多项式是一虚拟纽结不变量，给出了其性质及一实例计算。

Abstract: The main research objects of virtual knot theory are knot and link. Virtual knot polynomials are a class of virtual knot invariants expressed as polynomials, such as the zero polynomial and the writhe polynomial. In this paper, a new polynomial is given by studying zero polynomials and writhe polynomials of virtual links. The polynomial of the original virtual knot is obtained by computing the virtual link. It proves that the polynomial is a virtual knot invariant, and properties and computational examples are given.

1. 引言

一个纽结是把$S^1$ 嵌入到$S^3$ (或$R^3$ )中。通常可以用纽结投影图来描述纽结，纽结投影图是由在一般位置投影得到的四价图。每个投影图都对应唯一的高斯图，但是有一些高斯图不能用纽结来表示。Kauffman [1]将纽结理论推广到虚拟纽结理论，克服了经典纽结理论的这一缺陷。Kuperberg给出了虚拟链环的拓扑解释[2]。

虚链纽结的不变量有很多，它们其中有些是经典纽结不变量的推广，如Quandle、Jones多项式、Writhe多项式[3]等。Writhe多项式在对虚拟方面的检测有很多优点。例如对一类虚拟纽结交叉点进行判定，可以高效、简化计算等。此外，它可以用于构造纽结和链环不变量，它有很多延伸研究，如零多项式、超越多项式、l多项式等。Writhe多项式的主要组成部分是指标函数$Ind\left(c\right)$ 。在文献[3]中，Cheng公理化了$Ind\left(c\right)$ ，这些公理称为和弦索引公理。如果已知弦索引函数，那么就可以相应地构造虚拟链环的不变量，Xu给出了虚拟链环的Writhe多项式[4]，有了虚拟链环不变量，再结合零多项式，就可以得出一个新多项式$W\left(t\right)$ ，它将虚拟链环多项式应用在虚拟纽结多项式的计算中。

本文的组织结构为：在第2节中，回顾了一些关于虚拟纽结和虚拟链环的基本知识以及有关Writhe多项式的定义。在第3节中，给出新定义的多项式$W\left(t\right)$ 并证明它是一个虚拟纽结不变量，给出多项式一些相关性质并给出了一个具体有向虚拟纽结图的计算例子。第4节中，对本文的主要研究结果进行总结。

2. 预备知识

2.1. 虚拟纽结与虚拟链环[5]

虚拟纽结理论是将$S^1$ 嵌入到$S_g\times I$ 上。下面是对虚拟纽结和虚拟链环相关定义的介绍：

定义2.1 $S^1\left(S^1\cup S^1\cup \cdot \cdot \cdot \cup S^1\right)$ 在$S_g\times I$ 中的嵌入叫做虚拟纽结(链环)。

定义2.2 虚拟纽结(链环)图是将$S_g\times I$ 投射到$S^2$ 中所得到的$S^1\left(S^1\cup S^1\cup \cdot \cdot \cdot \cup S^1\right)$ 。

将$S_g\times I$ 投射到$S^2$ 中会产生虚拟交叉点。

2.2. 交叉点[1]

定义2.3 $S_g\times I$ 投射到$S^2$ 中时，$S^2$ 中的上弧和下弧相交会形成一个交叉点，我们称这种交叉点为虚拟交叉，用一个小圆圈来表示，如图1右边所示，图1左边是经典交叉点。

定义2.4 虚拟链环L中有两种实交叉点，单分支的实交叉点称为自交叉点。L的其他实交叉点称为连接交叉点。设$s\left(L\right)$ 、$cn\left(L\right)$ 、$c\left(L\right)$ 分别表示L的自交叉点集、连接交叉点集和所有实交叉点集。

Figure 1. Different types of intersection points

图1. 不同类型交叉点

2.3. 符号[6]

定义2.5 每个经典交叉点上的正号或负号表示该交叉点的符号，简记为$s\left(c\right)$ ，如图2所示。

Figure 2. Intersection symbol

图2. 交叉点符号

2.4. 广义Reidemeister Moves [6]

虚拟Reidemeister moves是由经典Reidemeister moves推广而来的。广义Reidemeister moves包括经典Reidemeister moves和虚拟Reidemeister moves，变换方式如图3所示。

Figure 3. Generalized Reidemeister moves

图3. 广义Reidemeister moves

我们称两个虚拟纽结图是等价的，两个虚拟纽结图的其中一个是另一个经过有限的广义的Reidemeister变换得到的。

注2.1 如图4所示的两种变换是不允许的，称之为禁止移动。如果允许做禁止移动的话，任意一个虚拟纽结都可以变成平凡纽结。

Figure 4. Forbidden move

图4. 禁止移动

2.5. 高斯图[7]

纽结高斯图G由有向圆$S^1$ 和n个($n\ge 0$ )有符号的有向弦组成，每个弦与纽结的交叉点一一对应，这些弦连接$S^1$ 上的$2^n$ 个点，高斯图方向通常定义为逆时针，弦的方向是由上交叉点指向下交叉点，并用弦对应的交叉点的符号标记该弦，如图5所示。链环高斯图即两个纽结高斯图通过弦相关联。

Figure 5. Gauss diagram

图5. 高斯图

2.6. Cheng着色[3]

Cheng和Gao提出了一种为有向虚拟纽结图的每个经典交叉点赋值的方法，我们称之为经典交叉点的指标，用$Ind$ 表示。设K为有向虚拟纽结图，c为K中的经典交叉点，K中的c的符号用$\mathrm{sgn}\left(c\right)$ 表示，其约定如图2所示。则经典交叉点c的指标$Ind\left(c\right)$ 定义为：$Ind\left(c\right)=\mathrm{sgn}\left(c\right)\left(a-b-1\right)$ ，其中a和b为如图6中所示的K上的成色标号。当给两个链环进行指标赋值时，我们分别对两个分支单独赋值。

Figure 6. Cheng coloring of K

图6. 图K的Cheng着色

2.7. $In{d}^{\prime }\left(c\right)$ [4]

定义2.6

$Ind\text{'}(c)={\displaystyle \sum _{e\in R(c)}\mathrm{sgn}(e)}$

其中$R\left(c\right)$ 为弦c右侧除$c^{+}$ 和$c^{-}$ 以外的所有弦端点的集合，如图7所示。

Figure 7. $R\left(c\right)$

图7. $R\left(c\right)$

2.8. 1-Smoothing [8]

设K是一个有向虚拟纽结图，c是K的一个交叉点。对c进行如图8所示的1-smoothing (1-平滑)，得到虚拟链环图L，记为$K^c$ ，并给两个分支分别标号1，0。

Figure 8. 1-smoothing

图8. 1-平滑

2.9. Writhe多项式[4]

$W_{c_i}\left(t\right)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}e\in s\left(K^{c_i}\right)\\ Ind\left(e\right)\ne 0\end{array}}s\left(e\right)t^{In{d}^{\prime }\left(e\right)}}$

其中e是$K^{c_i}$ 中的自交叉点且满足$Ind\left(e\right)\ne 0$ 。

3. 虚拟纽结的一新多项式不变量

定义3.1 K是一有向虚拟纽结图，虚拟纽结的一新多项式$W\left(t\right)$ 为：

$W\left(t\right)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}{c}_i\in c\left(k\right)\\ Ind\left(c_i\right)\ne 0\end{array}}\mathrm{sgn}\left(c_i\right)W_{c_i}\left(t\right)}$

其中

$W_{c_i}\left(t\right)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}e\in s\left(K^{c_i}\right)\\ Ind\left(e\right)\ne 0\end{array}}s\left(e\right)t^{In{d}^{\prime }\left(e\right)}}$

其中$\mathrm{sgn}\left(c\right)$ 、$s\left(e\right)$ 均为经典交叉点的符号，$Ind\left(c\right)$ 、$In{d}^{\prime }\left(c\right)$ 定义如2.6、2.7所示，$W_{c_i}\left(t\right)$ 是链环的writhe多项式。

为了证明多项式$W\left(t\right)$ 是虚拟纽结不变量，我们需证明$W\left(t\right)$ 在广义Reidemeister移动下是不变量。由于定义中只涉及经典交叉，因此我们只需证明$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{1a}$ 、${\Omega }_{1b}$ 、${\Omega }_{2a}$ 、${\Omega }_{2b}$ 、${\Omega }_{3a}$ 和${\Omega }_3^v$ 移动下是不变量。

定理3.1 设K为一有向虚拟纽结图，则$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{1a}$ 和${\Omega }_{1b}$ 移动下为不变量。

证明 设K为有向虚拟纽结图，$K^{c_i}$ 为所对应的对K进行1-smoothing后的虚拟链环图，$K^{\prime }$ 为通过${\Omega }_{1a}$ 或${\Omega }_{1b}$ 从K得到的有向虚拟纽结图，如图9所示。

Figure 9. Transformation of ${\Omega }_{1a}$ and ${\Omega }_{1b}$

图9. ${\Omega }_{1a}$ 和${\Omega }_{1b}$ 变换

先观察${\Omega }_{1a}$ 变换，设图9(a)中交叉点为c，对于K中任意实交叉点h，若交叉点h是c，由于$Ind\left(c\right)=0$ ，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。

若交叉点h不是c且$Ind\left(h\right)\ne 0$ ，$h^{\prime }$ 为h在$K^{\prime }$ 中所对应的点，则将分别对h、$h^{\prime }$ 进行1-smoothing变换后得到的$K^h$ 与${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$ 相比较，由于二者除c外没有不同，$c\in s\left(K^h\right)$ 且$Ind\left(c\right)=0$ ，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。

综上所述，$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{1a}$ 移动下是不变的。类似地，我们可以证明$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{1b}$ 移动下是不变的。

定理3.2 设K为有向虚拟纽结图，则$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{2a}$ 和${\Omega }_{2b}$ 移动下为不变量。

证明 设K为有向虚拟纽结图，$K^{c_i}$ 为所对应的进行1-smoothing后的虚拟链环图，$K^{\prime }$ 为通过${\Omega }_{2a}$ 和${\Omega }_{2b}$ 移动从K得到的有向虚拟纽结图。其中$c_1$ 、$c_2$ 为如图10所示的交叉点。

Figure 10. Transformation of ${\Omega }_{2a}$

图10. ${\Omega }_{2a}$ 变换

由于$Ind\left(c_1\right)=Ind\left(c_2\right)$ ，则$Ind\left(c_1\right)$ 与$Ind\left(c_2\right)$ 均为0或均不为0。

若$Ind\left(c_1\right)=Ind\left(c_2\right)=0$ ，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。

若$Ind\left(c_1\right)$ 与$Ind\left(c_2\right)$ 均不为0，对于K中任意实交叉点h，若交叉点h是$c_1$ 或$c_2$ 。这里我们不妨假设h是$c_1$ ，则对$c_1$ 进行1-smoothing变换后得到$K^{c_1}$ ，对$c_2$ 进行1-smoothing变换后得到$K^{c_2}$ ，如图11所示。二者可以通过${\Omega }_{1a}$ 或${\Omega }_{1b}$ 移动相转化，其余均相同，由于$s\left(c_1\right)=-s\left(c_2\right)$ ，则由定理3.1可知，K与$K^{\prime }$ 相比，$W\left(t\right)$ 多余的项可以相互抵消，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。

Figure 11. $K^{c_1}$ and $K^{c_2}$

图11. $K^{c_1}$ 与$K^{c_2}$

若交叉点h不是$c_1$ 也不是$c_2$ 且$Ind\left(h\right)\ne 0$ ，$h^{\prime }$ 为h在$K^{\prime }$ 中所对应的点，则将分别对h、$h^{\prime }$ 进行1-smoothing变换后得到的$K^h$ 与${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$ 相比较，若$c_1$ 、$c_2$ 均不是自交点，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。若$c_1$ 、$c_2$ 均为自交点且$Ind\left(c_1\right)=Ind\left(c_2\right)=0$ ，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。若$c_1$ 、$c_2$ 均为自交点，且$Ind\left(c_1\right)\ne 0$ ，$Ind\left(c_2\right)\ne 0$ ，且$In{d}^{\prime }\left(c_1\right)=In{d}^{\prime }\left(c_2\right)$ ，由于$s\left(c_1\right)=-s\left(c_2\right)$ ，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。

综上所述，$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{2a}$ 移动下是不变的。类似地，我们可以证明$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{2b}$ 移动下是不变的。

引理3.3 令$\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$ ，设K为虚拟纽结图，有三个交叉点为$c_1$ 、$c_2$ 和$c_3$ ，如图12所示。如果$c_i$ 、$c_j$ 是自交叉点则$c_k$ 也是自交叉点。

证明 假设$c_1$ 、$c_2$ 是自交叉点，图12中三个交叉点由三条弧组成，其中每个交叉点都包含三条弧中的两条，若$c_1$ 、$c_2$ 是自交叉点，即三条弧应属于一个链环分支，则$c_3$ 也是自交叉点。

定理3.4 设K为有向虚拟纽结图，则$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{3a}$ 移动下为不变量。

证明 设K为有向虚拟纽结图，$K^{c_i}$ 为对$c_i$ 进行1-smoothing后得到的有向虚拟链环图，$K^{\prime }$ 为通过${\Omega }_{3a}$ 移动从K得到的有向虚拟纽结图。其中$c_1$ 、$c_2$ 、$c_3$ 为K中实交叉点，设所对应的区域分别为I、II、III，如图12所示，其余情况均可类似证明。

Figure 12. Transformation of ${\Omega }_{3a}$

图12. ${\Omega }_{3a}$ 变换

对于K中任意实交叉点h且$Ind\left(h\right)\ne 0$ ，若交叉点h是$c_1$ 、$c_2$ 、$c_3$ 中任意一个，${c^{\prime }}_1$ 、${c^{\prime }}_2$ 、${c^{\prime }}_3$ 是$K^{\prime }$ 中与$c_1$ 、$c_2$ 、$c_3$ 相对应的点。设h是$c_1$ ，则将分别对h、$h^{\prime }$ 进行1-smoothing变换后得到的$K^h$ 与${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$ 相比较，如图13所示，${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$ 可由$K^h$ 进行${\Omega }_{2a}$ 移动或${\Omega }_{2b}$ 移动下得到，由定理3.2可知对$W\left(t\right)$ 没有影响。

Figure 13. $K^h$ and ${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$

图13. $K^h$ 与${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$

若交叉点h不是$c_1$ 、$c_2$ 、$c_3$ 中任意一个，则将分别对h、$h^{\prime }$ 进行1-smoothing变换后得到的$K^h$ 与${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$ 相比较，可知$c_1$ 、$c_2$ 、$c_3$ 中至少一个是自交叉点，若$Ind\left(c_1\right)=Ind\left(c_2\right)=Ind\left(c_3\right)=0$ ，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。若$c_1$ 、$c_2$ 、$c_3$ 中只有一个是自交叉点，设$c_1$ 是自交叉点且$Ind\left(c_1\right)\ne 0$ ，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。

若$c_1$ 、$c_2$ 、$c_3$ 中有两个交叉点是自交叉点，由引理3.3可知，三个交叉点都是自交叉点，若$Ind\left(c_1\right)\ne 0$ ，$Ind\left(c_2\right)\ne 0$ ，$Ind\left(c_3\right)\ne 0$ ，我们先讨论其中一种情况，如图14所示，可知在K中，$In{d}^{\prime }\left(c_1\right)=\text{I}$ ，$In{d}^{\prime }\left(c_2\right)=\text{I}+\text{III}$ ，$In{d}^{\prime }\left(c_3\right)=\text{III}$ ，在$K^{\prime }$ 中，$In{d}^{\prime }\left({c^{\prime }}_1\right)=\text{I}$ ，$In{d}^{\prime }\left({c^{\prime }}_2\right)=\text{I}+\text{III}$ ，$In{d}^{\prime }\left({c^{\prime }}_3\right)=\text{III}$ ，其余情况均可类似证明，则可知对$W\left(t\right)$ 没有影响。

Figure 14. Gauss diagram

图14. 高斯图

类似地，可证明其余情况均对$W\left(t\right)$ 没有影响。综上所述，$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{3a}$ 移动下是不变的。

定理3.5 设K为有向虚拟纽结图，则$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{3v}$ 移动下为不变量。

证明 设K为有向虚拟纽结图，$K^{c_i}$ 为所对应的进行1-smoothing后的虚拟链环图，$K^{\prime }$ 为通过${\Omega }_{3v}$ 移动从K得到的有向虚拟纽结图，如图15所示。

Figure 15. Transformation of ${\Omega }_{3v}$

图15. ${\Omega }_{3v}$ 变换

设图15中交叉点为c，$c^{\prime }$ 是$K^{\prime }$ 中与c相对应的点。对于K中任意实交叉点h且$Ind\left(h\right)\ne 0$ ，若交叉点h是c，则对c、$c^{\prime }$ 分别进行1-smoothing变换后得到的$K^c$ 与${K^{\prime }}^{c^{\prime }}$ 相比较均相同，且由于$K^c$ 中没有增加自交叉点，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。

若交叉点h不是c，则将分别对h、$h^{\prime }$ 进行1-smoothing变换后得到的$K^h$ 与${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$ 相比较，若c不是自交叉点则对$W\left(t\right)$ 没有影响。若c是自交叉点，且$Ind\left(c\right)=0$ ，则对$W\left(t\right)$ 没有影响，若c是自交叉点，且$Ind\left(c\right)\ne 0$ ，由于$K^h$ 与${K^{\prime }}^{h^{\prime }}$ 均相同，则对$W\left(t\right)$ 没有影响。

综上所述，$W\left(t\right)$ 在${\Omega }_{3v}$ 移动下是不变的。

定理3.6 [9]所有定向的Reidemeister移动均由${\Omega }_{1a}$ 、${\Omega }_{1b}$ 、${\Omega }_{2a}$ 、${\Omega }_{2b}$ 、${\Omega }_{3a}$ 和${\Omega }_3^v$ 移动生成。

定理3.7 $W\left(t\right)$ 是虚拟纽结的不变量。

证明 由定理3.1、定理3.2、定理3.4、定理3.5及定理3.6可知，$W\left(t\right)$ 在所有Reidemeister移动下都是不变的，由定义可知，$W\left(t\right)$ 在虚拟移动下是不变的。因此，$W\left(t\right)$ 是虚拟纽结的不变量。

定理3.8 [10]如果D是一个经典纽结图，那么对于D中的任何经典交叉c，有$Ind\left(c\right)=0$ 。

定理3.9 如果K是一个有向经典纽结图，则$W\left(t\right)=0$ 。

证明 对K中任意一个交叉点h，根据定理3.8有$Ind\left(h\right)=0$ ，由$W\left(t\right)$ 定义可知，所有经典交叉点都不计算在内，则$W\left(t\right)=0$ 。

例3.1 设K是如图16所示的有向虚拟纽结。

Figure 16. Knot diagram for virtual knot K

图16. 虚拟纽结K的纽结图

对图K进行计算有：

$\mathrm{sgn}\left(c_1\right)=\mathrm{sgn}\left(c_2\right)=+1$ ；

$Ind\left(c_1\right)=\mathrm{sgn}\left(c\right)\left(a-b-1\right)=-1$ ；

$Ind\left(c_1\right)=\mathrm{sgn}\left(c\right)\left(a-b-1\right)=1$ ；

$Ind\left(c_1\right)=\mathrm{sgn}\left(c\right)\left(a-b-1\right)=0$ ；

$Ind\left(c_1\right)=\mathrm{sgn}\left(c\right)\left(a-b-1\right)=0$ 。

由定义可知，只需计算$c_1$ 、$c_2$ 相关数据即可。

对$c_1$ 进行1-smoothing得到$K^{c_1}$ ，得到表1数据。

Table 1. The index value and sign of each crossing in the virtual knot $K^{c_1}$

表1. 虚拟纽结$K^{c_1}$ 中各交叉点的指标值和符号

$c_i$	$c_i\in s\left(K^{c_1}\right)$	$Ind\left(c_i\right)$	$In{d}^{\prime }\left(c_i\right)$	$s\left(c_i\right)$
$c_2$	√	+1	0	+1
$c_3$	√	−1	−1	+1
$c_4$	×	无	无	+1

则有$W_{c_1}\left(t\right)=s\left(c_2\right)t^{Ind\text{'}\left(c_2\right)}+s\left(c_3\right)t^{Ind\text{'}\left(c_3\right)}=1+t^{-1}$ 。

对$c_2$ 进行1-smoothing得到$K^{c_2}$ ，得到表2数据。

Table 2. The index value and sign of each crossing in the virtual knot $K^{c_2}$

表2. 虚拟纽结$K^{c_2}$ 中各交叉点的指标值和符号

$c_i$	$c_i\in s\left(K^{c_2}\right)$	$Ind\left(c_i\right)$	$In{d}^{\prime }\left(c_i\right)$	$s\left(c_i\right)$
$c_1$	√	-1	0	+1
$c_3$	×	无	无	+1
$c_4$	√	+1	+1	+1

则有$W_{c_2}\left(t\right)=s\left(c_1\right)t^{In{d}^{\prime }\left(c_1\right)}+s\left(c_4\right)t^{In{d}^{\prime }\left(c_4\right)}=1+t$ 。

则$W\left(t\right)=\mathrm{sgn}\left(c_1\right)W_{c_1}\left(t\right)+\mathrm{sgn}\left(c_2\right)W_{c_2}\left(t\right)=t^{-1}+t+2$ 。

4. 结语

本文主要在零多项式和链环Writhe多项式基础上给出了虚拟纽结一新多项式$W\left(t\right)$ ，并证明其是虚拟纽结不变量。多项式$W\left(t\right)$ 可以将虚拟纽结多项式结合虚拟链环多项式进行计算，并在最后给出了其性质及一个虚拟有向纽结计算实例。