ω-Dendriform代数和ω-Quadri代数

ω-Dendriform Algebras and ω-Quadri Algebras

摘要: 本文定义了ω-dendriform代数和ω-quadri代数，并且研究了他们之间的代数结构的关系。首先，引入ω-左对称代数的表示的定义，研究其与ω-李代数的表示之间的关系。然后，类比结合代数与dendriform代数和quadri代数之间的关系，定义ω-dendriform代数和ω-quadri代数，并且研究了ω-李代数、ω-左对称代数、ω-dendriform代数和ω-quadri代数之间的关系。

Abstract: In this paper, we define ω-dendriform algebra and ω-quadri algebra, and study the relationship between them. Firstly, the definition of representation of ω-left-symmetric algebra is introduced, and the relationship between the representation on ω-dendriform algebra and ω-Lie algebra is studied. Then, by analogying the relationship among associative algebra, dendriform algebra and quadri algebra, ω-dendriform algebra and ω-quadri algebra are defined, and the relationship among ω-Lie algebra, ω-left-symmetric algebra, ω-dendriform algebra and ω-quadri algebra is studied.

1. 引言

Dendriform代数是由Loday于1995年在[1]中引入的，其动机源自于代数K-理论。Dendriform代数与数学和物理学的多个领域有着广泛的联系，例如同调理论([2])、李代数和Leibniz代数([2])、组合复曲面以及量子群([3])等。此后，更多类似的代数结构相继被提出，包括Aguiar和Loday引入的Dendriform代数([4])、Leroux提出的octo-代数等，这些都被统称为Loday代数，或在[5]中被称为ABQR算子代数。所有这些代数结构均具有“分裂结合性”的性质，即将结合代数的乘法表示为一系列二元运算的和。刘立功类比Dendriform代数，从李代数出发，引入了L-dendriform代数[6]和L-quadri代数[7]。侯冬平同样类比Dendriform代数，从Jordan代数出发，引入了J-dendriform代数[8]。本文用同样的方法，从ω-李代数出发，引入ω-dendriform代数和ω-quadri代数，并研究它们与ω-李代数之间的关系。

设A是一个向量空间，$\ast :A\times A\to A$ 是A上的一个双线性映射。定义$L_{\ast }:A\to A$ 是A上的左乘运算，即$L_{\ast }\left(x\right)\left(y\right)=x\ast y,\forall x,y\in A$ 。定义$R_{\ast }:A\to A$ 是A上的右乘运算，即$R_{\ast }\left(x\right)\left(y\right)=y\ast x,\forall x,y\in A$ 。

本文的结构如下，在第二部分给出ω-李代数和ω-左对称代数相关的概念；第三部分引入ω-dendriform代数的定义，并且给出ω-dendriform代数与ω-左对称代数和ω-李代数的关系；第四部分引入ω-quadri代数的定义，并且给出ω-quadri代数与ω-dendriform代数、ω-左对称代数和ω-李代数的关系。

2. 预备知识

定义2.1 [9]设A是数域F上的向量空间，若双线性映射$\left[\cdot ,\cdot \right]:A\times A\to A$ 和A上的反对称双线性型$\omega :A\times A\to F$ 满足对于任意$x,y,z\in A$ 有

$\left[x,y\right]=-\left[y,x\right]$ , (2.1)

$\left[\left[x,y\right],z\right]+\left[\left[y,z\right],x\right]+\left[\left[z,x\right],y\right]=\omega \left(x,y\right)z+\omega \left(y,z\right)x+\omega \left(z,x\right)y$ , (2.2)

则称$\left(A,\omega \right)$ 为ω-李代数。

定义2.2 [10]设$\left(A,\omega \right)$ 是$\omega$ -李代数，M是一个向量空间。若线性映射$\phi :A\to \text{End}\left(M\right)$ 满足

$\phi \left(\left[x,y\right]\right)m=\phi \left(x\right)\phi \left(y\right)m-\phi \left(y\right)\phi \left(x\right)m+\omega \left(x,y\right)m,\forall x,y\in A,m\in M,$ (2.3)

则称$\left(\phi ,M\right)$ 或$\phi$ 为$\left(A,\omega \right)$ 的表示。

定义2.3 如果A是数域F上的向量空间，A上有双线性映射$\left(x,y\right)\mapsto x\cdot y$ 和双线性型$\omega :A\times A\to F$ ，如果任意$x,y,z\in A$ 满足

$\left(x\cdot y\right)\cdot z-x\cdot \left(y\cdot z\right)-\left(y\cdot x\right)\cdot z+y\cdot \left(x\cdot z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$ (2.4)

则称$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 为ω-左对称代数。

定理2.1 若在$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 上定义

$\left[x,y\right]=x\cdot y-y\cdot x,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\left[\cdot ,\cdot \right],\omega \right)$ 是ω-李代数。定义线性映射$L:A\to \text{End}\left(A\right)$ ，其中$L\left(x\right)y=x\cdot y,\forall x,y\in A$ ，则$\left(L,A\right)$ 是ω-李代数$\left(A,\left[\cdot ,\cdot \right],\omega \right)$ 的表示。

类似于李代数和左对称代数的关系，本文要引入ω-dendriform代数的概念，在此之前我们先定义ω-左对称代数的表示。

3. ω-Dendriform代数

定义3.1 设$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，V是一个向量空间。若线性映射$l,r:A\to \text{End}\left(V\right)$ 满足

$l\left(x\right)r\left(y\right)-r\left(y\right)l\left(x\right)-r\left(x\cdot y\right)+r\left(y\right)r\left(x\right)=0,$ (3.1)

$l\left(x\cdot y\right)-l\left(y\cdot x\right)-l\left(x\right)l\left(y\right)+l\left(y\right)l\left(x\right)=\omega \left(x,y\right)\text{id},$ (3.2)

其中$x,y\in A$ ，则称$\left(l,r,V\right)$ 为ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示。

命题3.1 设$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，V是一个向量空间。$l,r:A\to \text{End}\left(V\right)$ 是线性映射，在$A\oplus V$ 上定义

$\left(x+u\right)•\left(y+v\right)=x\cdot y+l\left(x\right)v+r\left(y\right)v,$

$\Omega \left(x+u,y+v\right)=\omega \left(x,y\right),$

$\forall x,y\in A,u,v\in V$ ，则$\left(A\oplus V,•,\Omega \right)$ 是ω-左对称代数当且仅当$\left(l,r,V\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示。

证 $\left(A\oplus V,•,\Omega \right)$ 是ω-左对称代数当且仅当新定义的运算满足(2.4)式，将新定义的运算带入(2.4)式整理可得，新定义的运算满足(2.4)式当且仅当$\left(l,r,V\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示。

命题3.2 设$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，V是一个向量空间。若线性映射$l,r:A\to \text{End}\left(V\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示，则$\left(l-r,V\right)$ 是ω-李代数$\left(A,\left[\cdot ,\cdot \right],\omega \right)$ 的表示。

证 直接验证$l-r$ 满足(2.3)式即可。

定义3.2 如果A是数域F上的向量空间，在A上定义两个双线性映射$\ast ,\circ :A\times A\to A$ 和双线性型$\omega :A\times A\to F$ ，若任意$x,y,z\in A$ 满足

$x\ast \left(y\circ z\right)-\left(x\ast y\right)\circ z-y\circ \left(x\ast z\right)-y\circ \left(x\circ z\right)+\left(y\circ x\right)\circ z=0,$ (3.3)

$\left(x\ast y\right)\ast z+\left(x\circ y\right)\ast z-\left(y\ast x\right)\ast z-\left(y\circ x\right)\ast z-x\ast \left(y\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$ (3.4)

则称$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 为ω-dendriform代数。

对于ω-dendriform代数A，由(3.4)可见ω是反对称的。当$\omega =0$ 时，A是刘立功在[6]中定义的L-dendriform代数。

定理3.1 设$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，若在A上定义

$x\cdot y=x\ast y+x\circ y,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，则$\left(L_{\ast },R_{\circ },A\right)$ 是ω-左对称代数的$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 表示。

证 (1) 要证明$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，只需证明新定义的运算满足(2.4)式。对于(3.3)式，令$x=y$ ，$y=x$ ，则有

$y\ast \left(x\circ z\right)-\left(y\ast x\right)\circ z-x\circ \left(y\ast z\right)-x\circ \left(y\circ z\right)+\left(x\circ y\right)\circ z=0,$ (3.5)

将负的(3.3)式、(3.4)式和(3.5)式相加可得

$\begin{array}{l}-x\ast \left(y\circ z\right)+\left(x\ast y\right)\circ z+y\circ \left(x\ast z\right)+y\circ \left(x\circ z\right)-\left(y\circ x\right)\circ z+\left(x\ast y\right)\ast z+\left(x\circ y\right)\ast z-\left(y\ast x\right)\ast z\\ -\left(y\circ x\right)\ast z-x\ast \left(y\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)+y\ast \left(x\circ z\right)-\left(y\ast x\right)\circ z-x\circ \left(y\ast z\right)-x\circ \left(y\circ z\right)+\left(x\circ y\right)\circ z=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

合并第2、6、7、16项可得

$\left(x\ast y\right)\circ z+\left(x\circ y\right)\circ z+\left(x\ast y\right)\ast z+\left(x\circ y\right)\ast z=\left(x\cdot y\right)\cdot z,$

合并第1、10、14、15项可得

$-x\circ \left(y\ast z\right)-x\circ \left(y\circ z\right)-x\ast \left(y\circ z\right)-x\ast \left(y\ast z\right)=-x\cdot \left(y\cdot z\right),$

合并第5、8、9、13项可得

$-\left(y\ast x\right)\circ z-\left(y\circ x\right)\circ z-\left(y\ast x\right)\ast z-\left(y\circ x\right)\ast z=-\left(y\cdot x\right)\cdot z,$

合并第3、4、11、12项可得

$y\ast \left(x\circ z\right)+y\circ \left(x\circ z\right)+y\circ \left(x\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)=y\cdot \left(x\cdot z\right),$

则有$\left(x\cdot y\right)\cdot z-x\cdot \left(y\cdot z\right)-\left(y\cdot x\right)\cdot z+y\cdot \left(x\cdot z\right)=\omega \left(x,y\right)z$ ，即$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数。

(2) 要证$\left(L_{\ast },R_{\circ },A\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示，只需验证$L_{\ast },L_{\circ }$ 满足(3.1)(3.2)式，根据(3.3)式，令$y=z$ ，$z=y$ ，可得

$x\ast \left(z\circ y\right)-\left(x\ast z\right)\circ y-z\circ \left(x\ast y\right)-z\circ \left(x\circ y\right)+\left(z\circ x\right)\circ y=0,$ (3.6)

合并第3、4项可得

$-z\circ \left(x\ast y\right)-z\circ \left(x\circ y\right)=-z\circ \left(x\cdot y\right),$

从而

$x\ast \left(z\circ y\right)-\left(x\ast z\right)\circ y-z\circ \left(x\cdot y\right)+\left(z\circ x\right)\circ y=0,$

即

$L_{\ast }\left(x\right)R_{\circ }\left(y\right)-R_{\circ }\left(y\right)L_{\ast }\left(x\right)-R_{\circ }\left(x\cdot y\right)+R_{\circ }\left(y\right)R_{\circ }\left(x\right)=0,$

$L_{\ast },R_{\circ }$ 满足(3.1)式。

根据(3.4)式

$\left(x\ast y\right)\ast z+\left(x\circ y\right)\ast z-\left(y\ast x\right)\ast z-\left(y\circ x\right)\ast z-x\ast \left(y\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

分别合并第1、2项和第3、4项可得

$\left(x\cdot y\right)\ast z-\left(y\cdot x\right)\ast z-x\ast \left(y\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

从而

$L_{\ast }\left(x\cdot y\right)-L_{\ast }\left(y\cdot x\right)-L_{\ast }\left(x\right)L_{\ast }\left(y\right)+L_{\ast }\left(y\right)L_{\ast }\left(x\right)=\omega \left(x,y\right)\text{id},$

即$L_{\ast },R_{\circ }$ 满足(3.2)式，得证。

定理3.2 设$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，若在A上定义

$x\times y=x\ast y-y\circ x,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\times ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，则$\left(L_{\ast },-L_{\circ },A\right)$ 是ω-左对称代数的$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 表示。

证 (1) 要证明$\left(A,\times ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，只需证明新定义的运算满足(2.4)式。对于(3.3)式，令

令$x=y$ ，$y=z$ ，$z=x$ 得

$-y\ast \left(z\circ x\right)+\left(y\ast z\right)\circ x+z\circ \left(y\ast x\right)+z\circ \left(y\circ x\right)-\left(z\circ y\right)\circ x=0,$ (3.7)

将(3.4) (3.6) (3.7)式相加可得

$\begin{array}{l}\left(x\ast y\right)\ast z+\left(x\circ y\right)\ast z-\left(y\ast x\right)\ast z-\left(y\circ x\right)\ast z-x\ast \left(y\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)+x\ast \left(z\circ y\right)-\left(x\ast z\right)\circ y-z\circ \left(x\ast y\right)\\ -z\circ \left(x\circ y\right)+\left(z\circ x\right)\circ y-y\ast \left(z\circ x\right)+\left(y\ast z\right)\circ x+z\circ \left(y\ast x\right)+z\circ \left(y\circ x\right)-\left(z\circ y\right)\circ x=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

合并第1、4、9、15项可得

$\left(x\ast y\right)\ast z-\left(y\circ x\right)\ast z-z\circ \left(x\ast y\right)+z\circ \left(y\circ x\right)=\left(x\times y\right)\times z,$

合并第5、7、13、16项可得

$-x\ast \left(y\ast z\right)+x\ast \left(z\circ y\right)+\left(y\ast z\right)\circ x-\left(z\circ y\right)\circ x=-x\times \left(y\times z\right),$

合并第2、3、10、14项可得

$-\left(y\ast x\right)\ast z+\left(x\circ y\right)\ast z+z\circ \left(y\ast x\right)-z\circ \left(x\circ y\right)=-\left(y\times x\right)\times z,$

合并第6、8、11、12项可得

$y\ast \left(x\ast z\right)-y\ast \left(z\circ x\right)-\left(x\ast z\right)\circ y+\left(z\circ x\right)\circ y=y\times \left(x\times z\right),$

则有$\left(x\times y\right)\times z-x\times \left(y\times z\right)-\left(y\times x\right)\times z+y\times \left(x\times z\right)=\omega \left(x,y\right)z$ ，即$\left(A,\times ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数。

要证$\left(L_{\ast },-L_{\circ },A\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,\times ,\omega \right)$ 的表示，只需验证$L_{\ast },-L_{\circ }$ 满足(3.1) (3.2)式，根据(3.3)式，

$-x\ast \left(y\circ z\right)+\left(x\ast y\right)\circ z+y\circ \left(x\ast z\right)+y\circ \left(x\circ z\right)-\left(y\circ x\right)\circ z=0,$

合并第2、5项可得

$\left(x\ast y\right)\circ z-\left(y\circ x\right)\circ z=\left(x\times y\right)\circ z,$

从而

$-x\ast \left(y\circ z\right)+\left(x\times y\right)\circ z+y\circ \left(x\ast z\right)+y\circ \left(x\circ z\right)=0,$

即

$L_{\ast }\left(x\right)\left(-L_{\circ }\right)\left(y\right)-\left(-L_{\circ }\right)\left(y\right)L_{\ast }\left(x\right)-\left(-L_{\circ }\right)\left(x\times y\right)+\left(-L_{\circ }\right)\left(y\right)\left(-L_{\circ }\right)\left(x\right)=0,$

$L_{\ast },-L_{\circ }$ 满足(3.1)式。

根据(3.4)式

$\left(x\ast y\right)\ast z+\left(x\circ y\right)\ast z-\left(y\ast x\right)\ast z-\left(y\circ x\right)\ast z-x\ast \left(y\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

分别合并第1、4项和第2、3项可得

$\left(x\ast y\right)\ast z-\left(y\circ x\right)\ast z=\left(x\times y\right)\ast z,\left(x\circ y\right)\ast z-\left(y\ast x\right)\ast z=-\left(y\times x\right)\ast z,$

从而

$\left(x\times y\right)\ast z-\left(y\times x\right)\ast z-x\ast \left(y\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

即

$L_{\ast }\left(x\times y\right)-L_{\ast }\left(y\times x\right)-L_{\ast }\left(x\right)L_{\ast }\left(y\right)+L_{\ast }\left(y\right)L_{\ast }\left(x\right)=\omega \left(x,y\right)\text{id},$

$L_{\ast },-L_{\circ }$ 满足(3.2)式，得证。

推论3.1 设$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，若在A上定义

$\left[x,y\right]=x\ast y+x\circ y-y\ast x-y\circ x,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\left[\cdot ,\cdot \right],\omega \right)$ 是ω-李代数。

证 根据定理3.1知由$x\cdot y=x\ast y+x\circ y,\forall x,y\in A$ 定义的代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数。又由定理2.1可知由$\left[x,y\right]=x\cdot y-y\cdot x,\forall x,y\in A$ 定义的$\left(A,\left[\cdot ,\cdot \right],\omega \right)$ 是ω-李代数，从而易知如上定义的代数是ω-李代数。

定义3.3 设$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，V是一个向量空间。若$l_{\ast },r_{\ast },l_{\circ },r_{\circ }:A\to \text{End}\left(V\right)$ 满足

$l_{\ast }\left(\left[x,y\right]\right)-\left[l_{\ast }\left(x\right),l_{\ast }\left(y\right)\right]=\omega \left(x,y\right)\text{id},$ (3.8)

$\left[l_{\ast }\left(x\right),l_{\circ }\left(y\right)\right]-l_{\circ }\left(x\ast y\right)+l_{\circ }\left(y\circ x\right)-l_{\circ }\left(y\right)l_{\circ }\left(x\right)=0,$ (3.9)

$r_{\ast }\left(x\ast y\right)-r_{\ast }\left(y\right)r_{\ast }\left(x\right)-r_{\ast }\left(y\right)r_{\circ }\left(x\right)-\left[l_{\ast }\left(x\right),r_{\ast }\left(y\right)\right]+r_{\ast }\left(y\right)l_{\circ }\left(x\right)=0,$ (3.10)

$r_{\ast }\left(x\circ y\right)-r_{\circ }\left(y\right)r_{\ast }\left(x\right)-l_{\circ }\left(x\right)r_{\ast }\left(y\right)-\left[l_{\circ }\left(x\right),r_{\circ }\left(y\right)\right]=0,$ (3.11)

$\left[l_{\ast }\left(x\right),r_{\circ }\left(y\right)\right]-r_{\circ }\left(x\ast y\right)-r_{\circ }\left(x\circ y\right)+r_{\circ }\left(y\right)r_{\circ }\left(x\right)=0,$ (3.12)

其中

$\left[x,y\right]=x\ast y+x\circ y-y\ast x-y\circ x,$

$\forall x,y\in A$ ，则称$\left(l_{\ast },r_{\ast },l_{\circ },r_{\circ },V\right)$ 为ω-dendriform代数$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 的表示。

命题3.3 设$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，V是一个向量空间。$l_{\ast },r_{\ast },l_{\circ },r_{\circ }:A\to \text{End}\left(V\right)$ 是线性映射，在$A\oplus V$ 上定义

$\left(x+u\right){*}^{\prime }\left(y+v\right)=x\ast y+l_{\ast }\left(x\right)v+r_{\ast }\left(y\right)v,$

$\left(x+u\right){\circ }^{\prime }\left(y+v\right)=x\circ y+l_{\circ }\left(x\right)v+r_{\circ }\left(y\right)v,$

$\Omega \left(x+u,y+v\right)=\omega \left(x,y\right),$

$\forall x,y\in A,u,v\in V$ ，则$\left(A\oplus V,{\ast }^{\prime },{\circ }^{\prime },\Omega \right)$ 是ω-左对称代数当且仅当$\left(l_{\ast },r_{\ast },l_{\circ },r_{\circ },V\right)$ 是ω-dendriform代数$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 的表示。

命题3.4 设$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，V是一个向量空间。若线性映射$l_{\ast },r_{\ast },l_{\circ },r_{\circ }:A\to \text{End}\left(V\right)$ 是ω-dendriform代数$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 的表示，则$\left(l_{\ast }+l_{\circ },r_{\ast }+r_{\circ },V\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示。

证 直接验证$l_{\ast }+l_{\circ },r_{\ast }+r_{\circ }$ 满足(3.1) (3.2)式即可。

4. ω-Quadri代数

定义4.1设如果A是数域F上的向量空间，在A上定义四个双线性映射$\prec ,\succ ,⊲,⊳:A\times A\to A$ 和双线性型$\omega :A\times A\to F$ ，若对任意$x,y,z\in A$ 满足

$\left(x\cdot y\right)\prec z-\left(y\cdot x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$ (4.1)

$x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\vee y\right)\succ z-y\succ \left(x\ast z\right)+\left(y\wedge x\right)\succ z=0,$ (4.2)

$x\prec \left(y⊲z\right)-\left(x\prec y\right)⊲z-y⊲\left(x\cdot z\right)+\left(y⊲x\right)⊲z=0,$ (4.3)

$x\succ \left(y\circ z\right)-\left(x\succ y\right)⊲z-y⊳\left(x\wedge z\right)+\left(y⊳x\right)⊲z=0,$ (4.4)

$x\prec \left(y⊳z\right)-\left(x\ast y\right)⊳z-y⊳\left(x\vee z\right)+\left(y\circ x\right)⊳z=0,$ (4.5)

其中

$x\ast y=x\prec y+x\succ y,x\circ y=x⊲y+x⊳y,$

$x\vee y=x\prec y+x⊳y,x\wedge y=x\succ y+x⊲y,$

$x\cdot y=x\prec y+x\succ y+x⊲y+x⊳y=x\ast y+x\circ y=x\vee y+x\wedge y,$

则称$\left(A,\prec ,\succ ,⊲,⊳,\omega \right)$ 为$\omega$ -quadri代数。

对于ω-quadri代数A，由(4.1)式可知ω是反对称的。当$\omega =0$ 时，A是刘立功在[7]中定义的L-quadri代数。

定理4.1 设$\left(A,\prec ,\succ ,⊲,⊳,\omega \right)$ 是ω-quadri代数，若在A上定义

$x\ast y=x\prec y+x\succ y,x\circ y=x⊲y+x⊳y,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，则$\left(L_{\prec },R_{\succ },L_{⊳},R_{⊲},A\right)$ 是ω-dendriform代数的$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 表示。

证 (1) 要证明$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，只需证明新定义的运算满足(3.3) (3.4)式。将(4.3) (4.4) (4.5)式相加可得

$\begin{array}{l}x\prec \left(y⊲z\right)-\left(x\prec y\right)⊲z-y⊲\left(x\cdot z\right)+\left(y⊲x\right)⊲z+x\succ \left(y\circ z\right)-\left(x\succ y\right)⊲z\\ -y⊳\left(x\wedge z\right)+\left(y⊳x\right)⊲z+x\prec \left(y⊳z\right)-\left(x\ast y\right)⊳z-y⊳\left(x\vee z\right)+\left(y\circ x\right)⊳z=0,\end{array}$

按照$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$\begin{array}{l}x\prec \left(y⊲z\right)-\left(x\prec y\right)⊲z-y⊲\left(x\ast z\right)-y⊲\left(x\circ z\right)+\left(y⊲x\right)⊲z+x\succ \left(y\circ z\right)-\left(x\succ y\right)⊲z-y⊳\left(x\succ z\right)\\ -y⊳\left(x⊲z\right)+\left(y⊳x\right)⊲z+x\prec \left(y⊳z\right)-\left(x\ast y\right)⊳z-y⊳\left(x\prec z\right)-y⊳\left(x⊳z\right)+\left(y\circ x\right)⊳z=0,\end{array}$

合并第1、6、11项可得

$x\prec \left(y⊲z\right)+x\succ \left(y\circ z\right)+x\prec \left(y⊳z\right)=x\ast \left(y\circ z\right),$

合并第2、7、12项可得

$-\left(x\prec y\right)⊲z-\left(x\succ y\right)⊲z-\left(x\ast y\right)⊳z=-\left(x\ast y\right)\circ z,$

合并第3、8、13项可得

$-y⊲\left(x\ast z\right)-y⊳\left(x\succ z\right)-y⊳\left(x\prec z\right)=-y\circ \left(x\ast z\right),$

合并第4、9、14项可得

$-y⊲\left(x\circ z\right)-y⊳\left(x⊲z\right)-y⊳\left(x⊳z\right)=-y\circ \left(x\circ z\right),$

合并第5、10、15项可得

$\left(y⊲x\right)⊲z+\left(y⊳x\right)⊲z+\left(y\circ x\right)⊳z=\left(y\circ x\right)\circ z,$

从而

$x\ast \left(y\circ z\right)-\left(x\ast y\right)\circ z-y\circ \left(x\ast z\right)-y\circ \left(x\circ z\right)+\left(y\circ x\right)\circ z=0,$

即满足(3.3)式。

对于(4.2)式，令$x=y$ ，$y=x$ 得

$y\prec \left(x\succ z\right)-\left(y\vee x\right)\succ z-x\succ \left(y\ast z\right)+\left(x\wedge y\right)\succ z=0.$ (4.6)

将(4.1)式减(4.2)式加(4.6)式得

$\begin{array}{l}\left(x\cdot y\right)\prec z-\left(y\cdot x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)-x\left(y\succ z\right)+\left(x\vee y\right)\succ z+y\succ \left(x\ast z\right)\\ -\left(y\wedge x\right)\succ z+y\prec \left(x\succ z\right)-\left(y\vee x\right)\succ z-x\succ \left(y\ast z\right)+\left(x\wedge y\right)\succ z=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

按照$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$\begin{array}{l}\left(x\ast y\right)\prec z+\left(x\circ y\right)\prec z-\left(y\ast x\right)\prec z-\left(y\circ x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)-x\left(y\succ z\right)+\left(x\prec y\right)\succ z\\ +\left(x⊳y\right)\succ z+y\succ \left(x\ast z\right)-\left(y\succ x\right)\succ z-\left(y⊲x\right)\succ z+y\prec \left(x\succ z\right)-\left(y\prec x\right)\succ z-\left(y⊳x\right)\succ z\\ -x\succ \left(y\ast z\right)+\left(x\succ y\right)\succ z+\left(x⊲y\right)\succ z=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

合并第1、8、17项可得

$\left(x\ast y\right)\prec z+\left(x\prec y\right)\succ z+\left(x\succ y\right)\succ z=\left(x\ast y\right)\ast z,$

合并第2、9、18项可得

$\left(x\circ y\right)\prec z+\left(x⊳y\right)\succ z+\left(x⊲y\right)\succ z=\left(x\circ y\right)\ast z,$

合并第3、11、14项可得

$-\left(y\ast x\right)\prec z-\left(y\succ x\right)\succ z-\left(y\prec x\right)\succ z=-\left(y\ast x\right)\ast z,$

合并第4、12、15项可得

$-\left(y\circ x\right)\prec z-\left(y⊲x\right)\succ z-\left(y⊳x\right)\succ z=-\left(y\circ x\right)\ast z,$

合并第5、7、16项可得

$-x\prec \left(y\prec z\right)-x\left(y\succ z\right)-x\succ \left(y\ast z\right)=-x\ast \left(y\ast z\right),$

合并第6、10、13项可得

$y\prec \left(x\prec z\right)+y\succ \left(x\ast z\right)+y\prec \left(x\succ z\right)=y\ast \left(x\ast z\right),$

从而

$\left(x\ast y\right)\ast z+\left(x\circ y\right)\ast z-\left(y\ast x\right)\ast z-\left(y\circ x\right)\ast z-x\ast \left(y\ast z\right)+y\ast \left(x\ast z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

即(3.4)式。得证。

(2) 要证$\left(L_{\prec },R_{\succ },L_{⊳},R_{⊲},A\right)$ 是ω-dendriform代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示，只需验证$L_{\prec },R_{\succ },L_{⊳},R_{⊲}$ 满足(3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12)式。

对于(4.1)式合并前两项可得

$\left[x,y\right]\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

即$L_{\prec }\left(\left[x,y\right]\right)\left(z\right)-L_{\prec }\left(x\right)L_{\prec }\left(y\right)\left(z\right)-L_{\prec }\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)=\omega \left(x,y\right)z$ ，$L_{\prec },R_{\succ },L_{⊳},R_{⊲}$ 满足(3.8)式。

对于(4.5)式按照$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$x\prec \left(y⊳z\right)-\left(x\ast y\right)⊳z-y⊳\left(x\prec z\right)-y⊳\left(x⊳z\right)+\left(y\circ x\right)⊳z=0,$

即$L_{\prec }\left(x\right)L_{⊳}\left(y\right)\left(z\right)-L_{⊳}\left(x*y\right)\left(z\right)-L_{⊳}\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)-L_{⊳}\left(y\right)L_{⊳}\left(x\right)\left(z\right)+L_{⊳}\left(y\circ x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },R_{\succ },L_{⊳},R_{⊲}$ 满足(3.9)式。

对于(4.2)式，令$y=z$ ，$z=y$ 得

$-x\prec \left(z\succ y\right)+\left(x\vee z\right)\succ y+z\succ \left(x\ast y\right)-\left(z\wedge x\right)\succ y=0,$

按照$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$-x\prec \left(z\succ y\right)+\left(x\prec z\right)\succ y+\left(x⊳z\right)\succ y+z\succ \left(x\ast y\right)-\left(z\succ x\right)\succ y-\left(z⊲x\right)\succ y=0,$

即$-L_{\prec }\left(x\right)R_{\succ }\left(y\right)\left(z\right)+R_{\succ }\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(x\right)+R_{\succ }\left(y\right)L_{⊳}\left(x\right)\left(z\right)+R_{\succ }\left(x\ast y\right)\left(z\right)-R_{\succ }\left(y\right)R_{\succ }\left(x\right)\left(z\right)-R_{\succ }\left(y\right)R_{⊳}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },R_{\succ },L_{⊳},R_{⊲}$ 满足(3.10)式。

对于(4.4)式，令$x=z$ ，$y=x$ ，$z=y$ 得

$z\succ \left(x\circ y\right)-\left(z\succ x\right)⊲y-x⊳\left(z\wedge y\right)+\left(x⊳z\right)⊲y=0,$

按照$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$z\succ \left(x\circ y\right)-\left(z\succ x\right)⊲y-x⊳\left(z\succ y\right)-x⊳\left(z⊲y\right)+\left(x⊳z\right)⊲y=0,$

即$L_{\succ }\left(x\circ y\right)\left(z\right)-R_{⊲}\left(y\right)R_{\succ }\left(x\right)\left(z\right)-L_{⊲}\left(x\right)R_{⊲}\left(y\right)\left(z\right)+R_{⊲}\left(y\right)L_{⊳}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },R_{\succ },L_{⊳},R_{⊲}$ 满足(3.11)式。

对于(4.3)式，令$y=z$ ，$z=y$ 得

$x\prec \left(z⊲y\right)-\left(x\prec z\right)⊲y-z⊲\left(x\cdot y\right)+\left(z⊲x\right)⊲y=0,$

根据$x\cdot y=x\ast y+x\circ y$ 展开得

$x\prec \left(z⊲y\right)-\left(x\prec z\right)⊲y-z⊲\left(x\ast y\right)-z⊲\left(x\circ y\right)+\left(z⊲x\right)⊲y=0,$

即$L_{\prec }\left(x\right)R_{⊲}\left(y\right)\left(z\right)-R_{⊲}\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)-R_{⊲}\left(x\ast y\right)\left(z\right)-R_{⊲}\left(x\circ y\right)\left(z\right)+R_{⊲}\left(y\right)R_{⊲}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },R_{\succ },L_{⊳},R_{⊲}$ 满足(3.12)式。得证。

定理4.2 设$\left(A,\prec ,\succ ,⊲,⊳,\omega \right)$ 是ω-quadri代数，若在A上定义

$x\vee y=x\prec y+x⊳y,x\wedge y=x\succ y+x⊲y,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\vee ,\wedge ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，则$\left(L_{\prec },R_{⊳},L_{\succ },R_{⊲},A\right)$ 是ω-dendriform代数的$\left(A,\vee ,\wedge ,\omega \right)$ 表示。

证 (1) 要证明$\left(A,\vee ,\wedge ,\omega \right)$ 是$\omega$ -dendriform代数，只需证明新定义的运算满足(3.3)式和(3.4)式。对于(4.4)式，令$x=y$ ，$y=x$ 得

$y\succ \left(x\circ z\right)-\left(y\succ x\right)⊲z-x⊳\left(y\wedge z\right)+\left(x⊳y\right)⊲z=0.$ (4.7)

将(4.2)式、(4.3)式和(4.7)式相加得

$\begin{array}{l}x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\vee y\right)\succ z-y\succ \left(x\ast z\right)+\left(y\wedge x\right)\succ z+x\prec \left(y⊲z\right)-\left(x\prec y\right)⊲z\\ -y⊲\left(x\cdot z\right)+\left(y⊲x\right)⊲z-y\succ \left(x\circ z\right)+\left(y\succ x\right)⊲z+x⊳\left(y\wedge z\right)-\left(x⊳y\right)⊲z=0,\end{array}$

根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ 展开得

$\begin{array}{l}x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\vee y\right)\succ z-y\succ \left(x\prec z\right)-y\succ \left(x\succ z\right)+\left(y\wedge x\right)\succ z+x\prec \left(y⊲z\right)-\left(x\prec y\right)⊲z-y⊲\left(x\vee z\right)\\ -y⊲\left(x\wedge z\right)+\left(y⊲x\right)⊲z-y\succ \left(x⊲z\right)-y\succ \left(x⊳z\right)+\left(y\succ x\right)⊲z+x⊳\left(y\wedge z\right)-\left(x⊳y\right)⊲z=0,\end{array}$

合并第1、6、14项可得

$x\prec \left(y\succ z\right)+x\prec \left(y⊲z\right)+x⊳\left(y\wedge z\right)=x\vee \left(y\wedge z\right),$

合并第2、7、15项可得

$-\left(x\vee y\right)\succ z-\left(x\prec y\right)⊲z-\left(x⊳y\right)⊲z=-\left(x\vee y\right)\wedge z,$

合并第3、8、12项可得

$-y\succ \left(x\prec z\right)-y⊲\left(x\vee z\right)-y\succ \left(x⊳z\right)=-y\wedge \left(x\vee z\right),$

合并第4、9、11项可得

$-y\succ \left(x\succ z\right)-y⊲\left(x\wedge z\right)-y\succ \left(x⊲z\right)=-y\wedge \left(x\wedge z\right),$

合并第5、10、13项可得

$\left(y\wedge x\right)\succ z+\left(y⊲x\right)⊲z+\left(y\succ x\right)⊲z=\left(y\wedge x\right)\wedge z,$

则有

$x\vee \left(y\wedge z\right)-\left(x\vee y\right)\wedge z-y\wedge \left(x\vee z\right)-y\wedge \left(x\wedge z\right)+\left(y\wedge x\right)\wedge z=0,$

即(3.3)式。

对于(4.5)式，令$x=y$ ，$y=x$ 得

$y\prec \left(x⊳z\right)-\left(y\ast x\right)⊳z-x⊳\left(y\vee z\right)+\left(x\circ y\right)⊳z=0,$ (4.8)

将(4.1)式减(4.5)式加(4.8)式得

$\begin{array}{l}\left(x\cdot y\right)\prec z-\left(y\cdot x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)-x\prec \left(y⊳z\right)+\left(x\ast y\right)⊳z+y⊳\left(x\vee z\right)\\ -\left(y\circ x\right)⊳z+y\prec \left(x⊳z\right)-\left(y\ast x\right)⊳z-x⊳\left(y\vee z\right)+\left(x\circ y\right)⊳z=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ 展开得

$\begin{array}{l}\left(x\vee y\right)\prec z+\left(x\wedge y\right)\prec z-\left(y\vee x\right)\prec z-\left(y\wedge x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)-x\prec \left(y⊳z\right)\\ +\left(x\prec y\right)⊳z+\left(x\succ y\right)⊳z+y⊳\left(x\vee z\right)-\left(y⊲x\right)⊳z-\left(y⊳x\right)⊳z+y\prec \left(x⊳z\right)-\left(y\prec x\right)⊳z\\ -\left(y\succ x\right)⊳z-x⊳\left(y\vee z\right)+\left(x⊳y\right)⊳z+\left(x⊲y\right)⊳z=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

合并第1、8、17项可得

$\left(x\vee y\right)\prec z+\left(x\prec y\right)⊳z+\left(x⊳y\right)⊳z=\left(x\vee y\right)\vee z,$

合并第2、9、18项可得

$\left(x\wedge y\right)\prec z+\left(x\succ y\right)⊳z+\left(x⊲y\right)⊳z=\left(x\vee y\right)\vee z,$

合并第3、12、14项可得

$-\left(y\vee x\right)\prec z-\left(y⊳x\right)⊳z-\left(y\prec x\right)⊳z=-\left(y\vee x\right)\vee z,$

合并第4、11、15项可得

$-\left(y\wedge x\right)\prec z-\left(y⊲x\right)⊳z-\left(y\succ x\right)⊳z=-\left(y\wedge x\right)\vee z,$

合并第5、7、16项可得

$-x\prec \left(y\prec z\right)-x\prec \left(y⊳z\right)-x⊳\left(y\vee z\right)=-x\vee \left(y\vee z\right),$

合并第6、10、13项可得

$y\prec \left(x\prec z\right)+y⊳\left(x\vee z\right)+y\prec \left(x⊳z\right)=y\vee \left(x\vee z\right),$

则有

$\left(x\vee y\right)\vee z+\left(x\wedge y\right)\vee z-\left(y\vee x\right)\vee z-\left(y\wedge x\right)\vee z-x\vee \left(y\vee z\right)+y\vee \left(x\vee z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

即满足(3.4)式。

(2) 要证$\left(L_{\prec },R_{⊳},L_{\succ },R_{⊲},A\right)$ 是ω-dendriform代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示，只需验证$L_{\prec },R_{⊳},L_{\succ },R_{⊲}$ 满足(3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12)式。

对于(4.1)式，根据$x\cdot y=x\vee y+x\wedge y$ 展开得

$\left(x\vee y\right)\prec z+\left(x\wedge y\right)\prec z-\left(y\vee x\right)\prec z-\left(y\wedge x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

即$L_{\prec }\left(x\vee y\right)\left(z\right)+L_{\prec }\left(x\wedge y\right)\left(z\right)-L_{\prec }\left(y\vee x\right)\left(z\right)-L_{\prec }\left(y\wedge x\right)\left(z\right)-L_{\prec }\left(x\right)L_{\prec }\left(y\right)\left(z\right)+L_{\prec }\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)=\omega \left(x,y\right)z$ ，$L_{\prec },R_{⊳},L_{\succ },R_{⊲}$ 满足(3.8)式。

对于(4.2)式

$x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\vee y\right)\succ z-y\succ \left(x\ast z\right)+\left(y\wedge x\right)\succ z=0,$

根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y,x\circ y=x⊲y+x⊳y$ 展开得

$x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\vee y\right)\succ z-y\succ \left(x\prec z\right)-y\succ \left(x\succ z\right)+\left(y\wedge x\right)\succ z=0,$

即$L_{\prec }\left(x\right)L_{\succ }\left(y\right)\left(z\right)-L_{\succ }\left(x\vee y\right)\left(z\right)-L_{\succ }\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)-L_{\succ }\left(y\right)L_{\succ }\left(x\right)\left(z\right)+L_{\succ }\left(y\wedge x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },R_{⊳},L_{\succ },R_{⊲}$ 满足(3.9)式。

对于(4.5)式，令$y=z$ ，$z=y$ 得

$-x\prec \left(z⊳y\right)+\left(x\ast z\right)⊳y+z⊳\left(x\vee y\right)-\left(z\circ x\right)⊳y=0,$

根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ 展开得

$-x\prec \left(z⊳y\right)+\left(x\prec z\right)⊳y+\left(x\succ z\right)⊳y+z⊳\left(x\vee y\right)-\left(z⊲x\right)⊳y-\left(z⊳x\right)⊳y=0,$

即$-L_{\prec }\left(x\right)R_{⊳}\left(y\right)\left(z\right)+R_{⊳}\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)+R_{⊳}\left(y\right)L_{\succ }\left(x\right)\left(z\right)+R_{⊳}\left(x\vee y\right)\left(z\right)-R_{⊳}\left(y\right)R_{⊲}\left(x\right)\left(z\right)-R_{⊳}\left(y\right)R_{⊳}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },R_{⊳},L_{\succ },R_{⊲}$ 满足(3.10)式。

对于(4.4)式，令$y=z$ ，$z=y$ 得

$-x\succ \left(z\circ y\right)+\left(x\succ z\right)⊲y+z⊳\left(x\wedge y\right)-\left(z⊳x\right)⊲y=0,$

根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ 展开得

$-x\succ \left(z⊲y\right)-x\succ \left(z⊳y\right)+\left(x\succ z\right)⊲y+z⊳\left(x\wedge y\right)-\left(z⊳x\right)⊲y=0,$

即$-L_{\succ }\left(x\right)R_{⊲}\left(y\right)\left(z\right)-L_{\succ }\left(x\right)R_{⊳}\left(y\right)\left(z\right)+R_{⊲}\left(y\right)L_{\succ }\left(x\right)\left(z\right)+R_{⊳}\left(x\wedge y\right)\left(z\right)-R_{⊲}\left(y\right)R_{⊳}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },R_{⊳},L_{\succ },R_{⊲}$ 满足(3.11)式。

对于(4.3)式，令$y=z$ ，$z=y$ 得

$x\prec \left(z⊲y\right)-\left(x\prec z\right)⊲y-z⊲\left(x\cdot y\right)+\left(z⊲x\right)⊲y=0,$

根据$x\cdot y=x\vee y+x\wedge y$ 展开得

$x\prec \left(z⊲y\right)-\left(x\prec z\right)⊲y-z⊲\left(x\vee y\right)-z⊲\left(x\wedge y\right)+\left(z⊲x\right)⊲y=0,$

即$L_{\prec }\left(x\right)R_{⊲}\left(y\right)\left(z\right)-R_{⊲}\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)-R_{⊲}\left(x\vee y\right)\left(z\right)-R_{⊲}\left(x\wedge y\right)\left(z\right)+R_{⊲}\left(y\right)R_{⊲}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },R_{⊳},L_{\succ },R_{⊲}$ 满足(3.12)式。得证。

定理4.3 设$\left(A,\prec ,\succ ,⊲,⊳,\omega \right)$ 是ω-quadri代数，若在A上定义

$x\to y=x\prec y-y⊲x,x\leftarrow y=x\succ y-y⊳x,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\to ,\leftarrow ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，则$\left(L_{\prec },-L_{⊲},L_{\succ },-L_{⊳},A\right)$ 是ω-dendriform代数的$\left(A,\to ,\leftarrow ,\omega \right)$ 表示。

证 (1) 要证明$\left(A,\to ,\leftarrow ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数，只需证明新定义的运算满足(3.1)式和(3.2)式。对于(4.5)式，令$y=z$ ，$z=y$ 得

$-x\prec \left(z⊳y\right)+\left(x\ast z\right)⊳y+z⊳\left(x\vee y\right)-\left(z\circ x\right)⊳y=0,$ (4.9)

对于(4.4)式，令$x=y$ ，$y=z$ ，$z=x$ 得

$y\succ \left(z\circ x\right)-\left(y\succ z\right)⊲x-z⊳\left(y\wedge x\right)+\left(z⊳y\right)⊲x=0.$ (4.10)

将(4.2)式、(4.9)式和(4.10)式相加可得

$\begin{array}{l}x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\vee y\right)\succ z-y\succ \left(x\ast z\right)+\left(y\wedge x\right)\succ z-x\prec \left(z⊳y\right)+\left(x\ast z\right)⊳y\\ +z⊳\left(x\vee y\right)-\left(z\circ x\right)⊳y+y\succ \left(z\circ x\right)-\left(y\succ z\right)⊲x-z⊳\left(y\wedge x\right)+\left(z⊳y\right)⊲x=0,\end{array}$

根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ 和$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$\begin{array}{l}x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\prec y\right)\succ z-\left(x⊳y\right)\succ z-y\succ \left(x\prec z\right)-y\succ \left(x\succ z\right)+\left(y\succ x\right)\succ z+\left(y⊲x\right)\succ z-x\prec \left(z⊳y\right)\\ +\left(x\prec z\right)⊳y+\left(x\succ z\right)⊳y+z⊳\left(x\prec y\right)+z⊳\left(x⊳y\right)-\left(z⊳x\right)⊳y-\left(z⊲x\right)⊳y+y\succ \left(z⊲x\right)+y\succ \left(z⊳x\right)\\ -\left(y\succ z\right)⊲x-z⊳\left(y\succ x\right)-z⊳\left(y⊲x\right)+\left(z⊳y\right)⊲x=0,\end{array}$

合并第1、8、17、20项可得

$x\prec \left(y\succ z\right)-x\prec \left(z⊳y\right)-\left(y\succ z\right)⊲x+\left(z⊳y\right)⊲x=x\to \left(y\leftarrow z\right),$

合并第2、7、11、19项可得

$-\left(x\prec y\right)\succ z+\left(y⊲x\right)\succ z+z⊳\left(x\prec y\right)-z⊳\left(y⊲x\right)=-\left(x\to y\right)\leftarrow z,$

合并第4、9、14、15项可得

$-y\succ \left(x\prec z\right)+\left(x\prec z\right)⊳y-\left(z⊲x\right)⊳y+y\succ \left(z⊲x\right)=-y\leftarrow \left(x\to z\right),$

合并第5、10、13、16项可得

$-y\succ \left(x\succ z\right)+\left(x\succ z\right)⊳y-\left(z⊳x\right)⊳y+y\succ \left(z⊳x\right)=-y\leftarrow \left(x\leftarrow z\right),$

合并第3、6、12、18项可得

$-\left(x⊳y\right)\succ z+\left(y\succ x\right)\succ z+z⊳\left(x⊳y\right)-z⊳\left(y\succ x\right)=\left(y\leftarrow x\right)\leftarrow z,$

则有

$x\to \left(y\leftarrow z\right)-\left(x\to y\right)\leftarrow z-y\leftarrow \left(x\to z\right)-y\leftarrow \left(x\leftarrow z\right)+\left(y\leftarrow x\right)\leftarrow z=0,$

即满足(3.1)式。

对于(4.3)式，令$y=z$ ，$z=y$ 得

$x\prec \left(z⊲y\right)-\left(x\prec z\right)⊲y-z⊲\left(x\cdot y\right)+\left(z⊲x\right)⊲y=0,$ (4.11)

对于(4.3)式，令$x=y$ ，$y=z$ ，$z=x$ 得

$y\prec \left(z⊲x\right)-\left(y\prec z\right)⊲x-z⊲\left(y\cdot x\right)+\left(z⊲y\right)⊲x=0,$ (4.12)

将(4.1)式、(4.11)式和(4.12)式相加可得

$\begin{array}{l}\left(x\cdot y\right)\prec z-\left(y\cdot x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)+x\prec \left(z⊲y\right)-\left(x\prec z\right)⊲y-z⊲\left(x\cdot y\right)\\ +\left(z⊲x\right)⊲y-y\prec \left(z⊲x\right)+\left(y\prec z\right)⊲x+z⊲\left(y\cdot x\right)-\left(z⊲y\right)⊲x=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ 和$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$\begin{array}{l}\left(x\prec y\right)\prec z+\left(x\succ y\right)\prec z+\left(x⊲y\right)\prec z+\left(x⊳y\right)\prec z-\left(y\prec x\right)\prec z-\left(y\succ x\right)\prec z-\left(y⊲x\right)\prec z\\ -\left(y⊳x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)+x\prec \left(z⊲y\right)-\left(x\prec z\right)⊲y-z⊲\left(x\prec y\right)-z⊲\left(x\succ y\right)\\ -z⊲\left(x⊲y\right)-z⊲\left(x⊳y\right)+\left(z⊲x\right)⊲y-y\prec \left(z⊲x\right)+\left(y\prec z\right)⊲x+z⊲\left(y\prec x\right)+z⊲\left(y\succ x\right)\\ +z⊲\left(y⊲x\right)+z⊲\left(y⊳x\right)-\left(z⊲y\right)⊲x=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

合并第1、7、13、22项可得

$\left(x\prec y\right)\prec z-\left(y⊲x\right)\prec z-z⊲\left(x\prec y\right)+z⊲\left(y⊲x\right)=\left(x\to y\right)\to z,$

合并第2、8、14、23项可得

$\left(x\succ y\right)\prec z-\left(y⊳x\right)\prec z-z⊲\left(x\succ y\right)+z⊲\left(y⊳x\right)=\left(x\leftarrow y\right)\to z,$

合并第3、5、15、20项可得

$\left(x⊲y\right)\prec z-\left(y\prec x\right)\prec z-z⊲\left(x⊲y\right)+z⊲\left(y\prec x\right)=-\left(y\to x\right)\to z,$

合并第4、6、16、21项可得

$\left(x⊳y\right)\prec z-\left(y\succ x\right)\prec z-z⊲\left(x⊳y\right)+z⊲\left(y\succ x\right)=-\left(y\leftarrow x\right)\to z,$

合并第9、11、19、24项可得

$-x\prec \left(y\prec z\right)+x\prec \left(z⊲y\right)+\left(y\prec z\right)⊲x-\left(z⊲y\right)⊲x=-x\to \left(y\to z\right),$

合并第10、12、17、18项可得

$y\prec \left(x\prec z\right)-\left(x\prec z\right)⊲y+\left(z⊲x\right)⊲y-y\prec \left(z⊲x\right)=y\to \left(x\to z\right),$

则有

$\left(x\to y\right)\to z+\left(x\leftarrow y\right)\to z-\left(y\to x\right)\to z-\left(y\leftarrow x\right)\to z-x\to \left(y\to z\right)+y\to \left(x\to z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

即满足(3.2)式。

(2) 要证$\left(L_{\prec },-L_{⊲},L_{\succ },-L_{⊳},A\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示，只需验证$L_{\prec },-L_{⊲},L_{\succ },-L_{⊳}$ 满足(3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12)式。

对于(4.1)式，按照$x\cdot y=x\prec y+x\succ y+x⊲y+x⊳y$ 展开得

$\begin{array}{l}\left(x\prec y\right)\prec z+\left(x\succ y\right)\prec z+\left(x⊲y\right)\prec z+\left(x⊳y\right)\prec z-\left(y\prec x\right)\prec z-\left(y\succ x\right)\\ \prec z-\left(y⊲x\right)\prec z-\left(y⊳x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)=\omega \left(x,y\right)z,\end{array}$

按照$x\to y=x\prec y-y⊲x$ ，$x\leftarrow y=x\succ y-y⊳x$ 合并得

$\left(x\to y\right)\prec z+\left(x\leftarrow y\right)\prec z-\left(y\to x\right)\prec z-\left(y\leftarrow x\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

即

$\left(\left[x,y\right]\right)\prec z-x\prec \left(y\prec z\right)+y\prec \left(x\prec z\right)=\omega \left(x,y\right)z,$

亦即$L_{\prec }\left(\left[x,y\right]\right)\left(z\right)-L_{\prec }\left(x\right)L_{\prec }\left(y\right)\left(z\right)+L_{\prec }\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)=\omega \left(x,y\right)z$ ，$L_{\prec },-L_{⊲},L_{\succ },-L_{⊳}$ 满足(3.8)式。

对于(4.2)式，根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\prec y\right)\succ z-\left(x⊳y\right)\succ z-y\succ \left(x\prec z\right)-y\succ \left(x\succ z\right)+\left(y\succ x\right)\succ z+\left(y⊲x\right)\succ z=0,$

按照$x\to y=x\prec y-y⊲x,x\leftarrow y=x\succ y-y⊳x$ 合并得

$x\prec \left(y\succ z\right)-\left(x\to y\right)\succ z-y\succ \left(x\prec z\right)-y\succ \left(x\succ z\right)+\left(y\leftarrow x\right)\succ z=0,$

即$L_{\prec }\left(x\right)L_{\succ }\left(y\right)\left(z\right)-L_{\succ }\left(x\to y\right)\left(z\right)-L_{\succ }\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)-L_{\succ }\left(y\right)L_{\succ }\left(x\right)\left(x\right)+L_{\succ }\left(y\leftarrow x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },-L_{⊲},L_{\succ },-L_{⊳}$ 满足(3.9)式。

对于(4.3)式，根据$x\cdot y=x\prec y+x\succ y+x⊲y+x⊳y$ 展开得

$x\prec \left(y⊲z\right)-\left(x\prec y\right)⊲z-y⊲\left(x\prec z\right)-y⊲\left(x\succ z\right)-y⊲\left(x⊲z\right)-y⊲\left(x⊳z\right)+\left(y⊲x\right)⊲z=0,$

按照$x\to y=x\prec y-y⊲x,x\leftarrow y=x\succ y-y⊳x$ 合并得

$x\prec \left(y⊲z\right)-\left(x\to y\right)⊲z-y⊲\left(x\prec z\right)-y⊲\left(x\succ z\right)-y⊲\left(x⊲z\right)-y⊲\left(x⊳z\right)=0,$

即$L_{\prec }\left(x\right)L_{⊲}\left(z\right)-L_{⊲}\left(x\to y\right)\left(z\right)-L_{⊲}\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)-L_{⊲}\left(y\right)L_{\succ }\left(x\right)\left(z\right)-L_{⊲}\left(y\right)L_{⊲}\left(x\right)\left(z\right)-L_{⊲}\left(y\right)L_{⊳}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },-L_{⊲},L_{\succ },-L_{⊳}$ 满足(3.10)式。

对于(4.4)式，根据$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ 展开得

$x\succ \left(y⊲z\right)+x\succ \left(y⊳z\right)-\left(x\succ y\right)⊲z-y⊳\left(x\succ z\right)-y⊳\left(x⊲z\right)+\left(y⊳x\right)⊲z=0,$

按照$x\leftarrow y=x\succ y-y⊳x$ 合并得

$x\succ \left(y⊲z\right)+x\succ \left(y⊳z\right)-\left(x\leftarrow y\right)⊲z-y⊳\left(x\succ z\right)-y⊳\left(x⊲z\right)=0,$

即$L_{\succ }\left(x\right)L_{⊲}\left(y\right)\left(z\right)+L_{\succ }\left(x\right)L_{⊳}\left(y\right)\left(z\right)-L_{⊲}\left(x\leftarrow y\right)\left(z\right)+L_{⊳}\left(y\right)L_{\succ }\left(x\right)\left(z\right)-L_{⊳}\left(y\right)L_{⊲}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },-L_{⊲},L_{\succ },-L_{⊳}$ 满足(3.11)式。

对于(4.5)式，根据$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ ，$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ 展开得

$-x\prec \left(y⊳z\right)+\left(x\succ y\right)⊳z+\left(x\prec y\right)⊳z+y⊳\left(x\prec z\right)+y⊳\left(x⊳z\right)-\left(y⊲x\right)⊳z-\left(y⊳x\right)⊳z=0,$

按照$x\to y=x\prec y-y⊲x,x\leftarrow y=x\succ y-y⊳x$ 合并得

$-x\prec \left(y⊳z\right)+\left(x\leftarrow y\right)⊳z+\left(x\to y\right)⊳z+y⊳\left(x\prec z\right)+y⊳\left(x⊳z\right)=0,$

即$-L_{\prec }\left(x\right)L_{⊳}\left(y\right)\left(z\right)+L_{⊳}\left(x\leftarrow y\right)\left(z\right)+L_{⊳}\left(x\to y\right)\left(z\right)+L_{⊳}\left(y\right)L_{\prec }\left(x\right)\left(z\right)+L_{⊳}\left(y\right)L_{⊳}\left(x\right)\left(z\right)=0$ ，$L_{\prec },-L_{⊲},L_{\succ },-L_{⊳}$ 满足(3.12)式，得证。

推论4.1设$\left(A,\prec ,\succ ,⊲,⊳,\omega \right)$ 是ω-quadri代数。设$L_{\prec },L_{\succ },L_{⊲},L_{⊳},R_{\succ },R_{⊲},R_{⊳}:A\to \text{End}\left(V\right)$ 是线性映射。

(1) 若在A上定义

$x\cdot y=x\prec y+x\succ y+x⊲y+x⊳y=x\ast y+x\circ y=x\vee y+x\wedge y,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是$\omega$ -左对称代数，且$L_{\prec }+L_{\succ },R_{⊳}+R_{⊲}$ 是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示，$L_{\prec }+L_{⊳},R_{\succ }+R_{⊲}$ 也是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示。

(2) 若在A上定义

$x\times y=x\prec y+x⊳y-y\succ x-y⊲x=x\vee y-y\wedge x=x\to y-y\leftarrow x,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\times ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，且$L_{\prec }+L_{⊳},-\left(L_{\succ }+L_{⊲}\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,\times ,\omega \right)$ 的表示，$L_{\prec }-R_{⊲}$ ，$R_{⊳}-L_{\succ }$ 也是ω-左对称代数$\left(A,\times ,\omega \right)$ 的表示。

(3) 若在A上定义

$x•y=x\prec y+x\succ y-y⊲x-y⊳x=x\ast y-y\circ x=x\to y+x\leftarrow y,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,•,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，且$L_{\prec }+L_{\succ },-\left(L_{⊳}+L_{⊲}\right)$ 是ω-左对称代数$\left(A,•,\omega \right)$ 的表示，$L_{\prec }-R_{⊲}$ ，$R_{\succ }-L_{⊳}$ 也是ω-左对称代数$\left(A,•,\omega \right)$ 的表示。

证由定理4.1可知由$x\ast y=x\prec y+x\succ y$ ，$x\circ y=x⊲y+x⊳y$ ，$\forall x,y\in A$ 定义的代数$\left(A,\ast ,\circ ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数。又定理3.1可知$x\cdot y=x\ast y+x\circ y$ ，$\forall x,y\in A$ 定义的代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，易知(1)中定义的新的代数是ω-左对称代数。$L_{\prec }+L_{\succ }$ ，$R_{⊳}+R_{⊲}$ 和$L_{\prec }+L_{⊳}$ ，$R_{\succ }+R_{⊲}$ 是ω-左对称代数$\left(A,\cdot ,\omega \right)$ 的表示只需验证满足(3.1) (3.2)式即可。

又由定理3.2可知由$x\times y=x\ast y-y\circ x$ ，$\forall x,y\in A$ 定义的代数$\left(A,\times ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，易知(3)中定义的新的代数是ω-左对称代数。$L_{\prec }+L_{\succ },-\left(L_{⊳}+L_{⊲}\right)$ 和$L_{\prec }-R_{⊲}$ ，$R_{\succ }-L_{⊳}$ 是ω-左对称代数$\left(A,•,\omega \right)$ 的表示只需验证满足(3.1) (3.2)式即可。

由定理4.2可知由$x\vee y=x\prec y+x⊳y$ ，$x\wedge y=x\succ y+x⊲y$ ，$\forall x,y\in A$ 定义的代数$\left(A,\vee ,\wedge ,\omega \right)$ 是ω-dendriform代数。又由定理3.2可知由$x\times y=x\ast y-y\circ x$ ，$\forall x,y\in A$ 定义的代数$\left(A,\times ,\omega \right)$ 是ω-左对称代数，易知(2)中定义的新的代数是ω-左对称代数。$L_{\prec }+L_{⊳},-\left(L_{\succ }+L_{⊲}\right)$ 和$L_{\prec }-R_{⊲}$ ，$R_{⊳}-L_{\succ }$ 是ω-左对称代数$\left(A,\times ,\omega \right)$ 的表示只需验证满足(3.1) (3.2)式即可。

推论4.2设$\left(A,\prec ,\succ ,⊲,⊳,\omega \right)$ 是ω-quadri代数，若在A上定义

$\left[x,y\right]=x\prec y+x\succ y+x⊲y+x⊳y-y\prec x-y\succ x-y⊲x-y⊳x,\forall x,y\in A,$

则$\left(A,\left[\cdot ,\cdot \right],\omega \right)$ 是ω-李代数。

证 由推论3.1和推论4.1易证。