完全保混合Lie零积的映射

Maps Completely Preserving Mixed Lie Zero Product

摘要: 本文刻画*代数上完全保混合Lie零积的非线性映射，利用该结论得到不含交换中心投影的von Neumann代数上*-同构的等价刻画。

Abstract: In this paper, we characterize nonlinear maps on *-algebras completely preserving mixed Lie zero products. As its application, equivalent characterization of *-isomorphism on von Neumann algebra with no abelian center projections is obtained.

1. 引言

设$\mathcal{A}$ ，$ℬ$ 是两个$\ast$ -代数，$A,B\in \mathcal{A}$ ，记$A\circ B=AB+BA$ 为A，B的Jordan乘积，$\left[A,B\right]=AB-BA$ 为A，B的Lie乘积，${\left[A,B\right]}_{*}=AB-B{A}^{*}$ 为A，B的skew-Lie乘积。Lie乘积、Jordan乘积和skew-Lie乘积在算子代数的同构、导子、交换映射和代数理想等研究领域有着重要作用，受到许多学者的广泛关注，其中(完全)保零积、Jordan零积、Lie零积、skew-Lie零积的映射是热门研究领域之一(见文献[1]-[7])。设映射$\Phi :\mathcal{A}\to ℬ$ 。称$\Phi$ 保零积，若$\Phi \left(A\right)\Phi \left(B\right)=0$ ，$\forall A,B\in \mathcal{A}$ ，$AB=0$ 。称$\Phi$ 保Jordan零积，若 $\Phi \left(A\right)\circ \Phi \left(B\right)=0$ ，$\forall A,B\in \mathcal{A}$ ，$A\circ B=0$ 。称$\Phi$ 保Lie零积，若$\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]=0$ ，$\forall A,B\in \mathcal{A}$ ，$\left[A,B\right]=0$ 。称$\Phi$ 保skew-Lie零积，若${\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]}_{*}=0$ ，$\forall A,B\in \mathcal{A}$ ，${\left[A,B\right]}_{*}=0$ 。称$\Phi$ 保混合Lie零积，若 $\left[\left[\Phi \left(A\right),\Phi \left(B\right)\right]{}_{\ast },\Phi \left(C\right)\right]=0$ ，$\forall A,B,C\in \mathcal{A}$ ，$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ 。对正整数n，定义映射 ${\Phi }_n:\mathcal{A}\otimes M_n\left(F\right)\to ℬ\otimes M_n\left(F\right)$ ，${\Phi }_n\left({\left(S_{ij}\right)}_{n\times n}\right)={\left(\Phi \left(S_{ij}\right)\right)}_{n\times n}$ 。若${\Phi }_n$ 保零积(Jordan零积、Lie零积、skew-Lie零积、混合Lie零积)，则称$\Phi$ 是n-保零积(Jordan零积、Lie零积、skew-Lie零积、混合Lie零积)的。若对每个正整数n，${\Phi }_n$ 保零积(Jordan零积、Lie零积、skew-Lie零积、混合Lie零积)，则称$\Phi$ 完全保零积(Jordan零积、Lie零积、skew-Lie零积、混合Lie零积)。在文献[1]中Bai和Hou刻画了$ℬ\left(X\right)$ 上双边保零积、Jordan零积的可加映射。文献[2]中Qi和Hou刻画$ℬ\left(H\right)$ 上保skew-Lie零积的可加满射。文献[3]-[5]中作者研究半单代数、上三角矩阵代数上保零积的线性映射，以及严格上三角矩阵上保零积的非线性映射。Huang在文献[6]刻画标准算子代数上完全保Jordan零积和Lie零积的非线性满射。Fu在文献中[7]刻画了von Neumann代数上完全保持skew-Lie零积非线性满射。受文献[1]-[7]的研讨启发，本文研究$\ast$ -代数上完全保混合Lie零积的非线性映射。并利用该结论得到不含交换中心投影的von Neumann代数上$\ast$ -同构的等价刻画。注意到尽管混合Lie零积与skew-Lie零积和Lie零积相关，但本文的结果不能由文献[6] [7]的结论得到。事实上，刻画完全保持混合了Lie零积的关键是找到足够多的$A,B,C\in \mathcal{A}$ 使得${\left[A,B\right]}_{\ast }\ne 0$ ，但$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ ，这是本文的难点和创新点。

本文$H$ 表示复Hilbert空间，$ℬ\left(H\right)$ 是$H$ 到$H$ 的全体有界线性算子。von Neumann代数$\mathcal{A}$ 是$ℬ\left(H\right)$ 满足${\mathcal{A}}^{″}=\mathcal{A}$ 的自伴子代数，其中${\mathcal{A}}^{\prime }=\left\{T\in ℬ\left(H\right),TA=AT,\forall A\in \mathcal{A}\right\}$ ，${\mathcal{A}}^{″}={\left\{{\mathcal{A}}^{\prime }\right\}}^{\prime }$ 。$\mathcal{A}$ 的中心 $\mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)={\mathcal{A}}^{\prime }\cap \mathcal{A}$ 。投影$P\in \mathcal{A}$ 称为交换投影，若代数$P\mathcal{A}P$ 是交换的。

2. 完全保混合Lie零积的映射

本节主要刻画含单位元$I$ 的$\ast$ -代数上完全保混合Lie零积的映射。

定理2.1. 设$\mathcal{A}$ 是一个包含单位元$I$ 的$\ast$ -代数。若$\Phi :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 是一个满射，则下列叙述等价：

(1) $\Phi$ 双边2-保混合Lie零积。

(2) $\Phi$ 完全保混合Lie零积。

(3) 存在$\ast$ -同构$\Psi :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 及中心元$Z\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)$ 使得对$\Phi \left(A\right)=Z\Psi \left(A\right)$ ，$\forall A\in \mathcal{A}$ 。

证明. (3) ⇒ (2) ⇒ (1)是显然的，下证(1) ⇒ (3)。

假设$\Phi$ 双边2-保混合Lie零积。

断言1. $\Phi \left(0\right)=0$ 。

对任意的$T\in \mathcal{A}$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ T& 0\end{array}\right],B=C=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],$

则$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ ，由$\Phi$ 双边2-保混合Lie零积得$\left[\left[{\Phi }_2\left(A\right),{\Phi }_2\left(B\right)\right]{}_{\ast },{\Phi }_2\left(C\right)\right]=0$ ，即

$\begin{array}{l}{\left[{\Phi }_2\left(A\right),{\Phi }_2\left(B\right)\right]}_{\ast }\\ =\left[\begin{array}{cc}2\Phi \left(0\right)\Phi \left(0\right)-2\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }& 2\Phi \left(0\right)\Phi \left(0\right)-\Phi \left(0\right)\Phi {\left(T\right)}^{\ast }-\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\\ \Phi \left(T\right)\Phi \left(0\right)+\Phi \left(0\right)\Phi \left(0\right)-2\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }& \Phi \left(T\right)\Phi \left(0\right)+\Phi \left(0\right)\Phi \left(0\right)-\Phi \left(0\right)\Phi {\left(T\right)}^{\ast }-\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\end{array}\right]\end{array}$ ，

${\left[{\Phi }_2\left(A\right),{\Phi }_2\left(B\right)\right]}_{\ast }{\Phi }_2\left(C\right)=\left[\begin{array}{cc}4\Phi {\left(0\right)}^3-3\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)-\Phi \left(0\right)\Phi {\left(T\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)& \left(1.2\right)\\ 2\Phi \left(T\right)\Phi {\left(0\right)}^2+2\Phi {\left(0\right)}^3-3\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)-\Phi \left(0\right)\Phi {\left(T\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)& \left(2.2\right)\end{array}\right]$ ，

其中$\left(1.2\right)=4\Phi {\left(0\right)}^3-3\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)-\Phi \left(0\right)\Phi {\left(T\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)$ ， $\left(2.2\right)=2\Phi \left(T\right)\Phi {\left(0\right)}^2+2\Phi {\left(0\right)}^3-3\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)-\Phi \left(0\right)\Phi {\left(T\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)$ ，

$\begin{array}{l}{\Phi }_2\left(C\right){\left[{\Phi }_2\left(A\right),{\Phi }_2\left(B\right)\right]}_{\ast }\\ =\left[\begin{array}{cc}3\Phi {\left(0\right)}^3-4\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(0\right)}^{\ast }+\Phi \left(0\right)\Phi \left(T\right)\Phi \left(0\right)& 3\Phi {\left(0\right)}^3-2\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(T\right)}^{\ast }-2\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(0\right)}^{\ast }+\Phi \left(0\right)\Phi \left(T\right)\Phi \left(0\right)\\ 3\Phi {\left(0\right)}^3-4\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(0\right)}^{\ast }+\Phi \left(0\right)\Phi \left(T\right)\Phi \left(0\right)& 3\Phi {\left(0\right)}^3-2\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(T\right)}^{\ast }-2\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(0\right)}^{\ast }+\Phi \left(0\right)\Phi \left(T\right)\Phi \left(0\right)\end{array}\right]\end{array}$

由$\Phi$ 的满射性知存在某个$T_0\in \mathcal{A}$ ，使得$\Phi \left(T_0\right)=0$ 。令$T=T_0$ 得

$\begin{array}{l}4\Phi {\left(0\right)}^3-3\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)=2\Phi {\left(0\right)}^3-3\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)\\ =3\Phi {\left(0\right)}^3-4\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(0\right)}^{\ast }=3\Phi {\left(0\right)}^3-2\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\end{array}$ ，

则有$\Phi {\left(0\right)}^3=0$ ，$\Phi {\left(0\right)}^2\Phi {\left(0\right)}^{\ast }=0$ ，$\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }\Phi \left(0\right)=0$ 。由$\Phi$ 的满射性，存在某个$T_1\in \mathcal{A}$ ，使得$\Phi \left(T_1\right)=I$ ，令$T=T_1$ ，可得$\Phi {\left(0\right)}^2=0$ 。

对任意的$T\in \mathcal{A}$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ T& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}T& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

由$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ 得$\left[{\left[{\Phi }_2\left(A\right),{\Phi }_2\left(B\right)\right]}_{\ast },{\Phi }_2\left(C\right)\right]=0$ 。由$\Phi$ 的满射性可知，存在某个$T_2\in \mathcal{A}$ ，使得$\Phi \left(T_2\right)=I$ ，令$T=T_2$ 可得$\Phi \left(0\right)\Phi {\left(0\right)}^{\ast }=\Phi \left(0\right)=0$ 。

断言2. $\Phi {\left(I\right)}^{\ast }=\Phi \left(I\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)$ 。

对任意的$S,T\in \mathcal{A}$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& I\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}S& 0\\ 0& 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& T\\ 0& 0\end{array}\right],$

由$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ 得$\left[{\left[{\Phi }_2\left(A\right),{\Phi }_2\left(B\right)\right]}_{\ast },{\Phi }_2\left(C\right)\right]=0$ 。由$\Phi$ 的满射性，存在某个$T\in \mathcal{A}$ ，使得$\Phi \left(T\right)=I$ ；存在某个$S\in \mathcal{A}$ ，使得$\Phi \left(S\right)=I$ 。则$\Phi {\left(I\right)}^{\ast }=\Phi \left(I\right)$ 且$\Phi \left(I\right)\Phi \left(S\right)=\Phi \left(S\right)\Phi \left(I\right)$ 。因此$\Phi {\left(I\right)}^{\ast }=\Phi \left(I\right)\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)$ 。

断言3. $\Phi \left(I\right)$ 可逆，$\Phi \left(-T\right)=-\Phi \left(T\right)$ ，$\forall T\in \mathcal{A}$ 且$\Phi$ 为单射。

步骤1. $\Phi \left(I\right)\Phi \left(-T\right)+\Phi \left(T\right)\Phi \left(I\right)=0$ ，$\forall T\in \mathcal{A}$ 。

对任意的$S,T\in \mathcal{A}$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ S& I\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}I& -S^{\ast }\\ -S& S\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& T\\ 0& 0\end{array}\right],$

由$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ 得$\Phi \left(S\right)\Phi \left(I\right)\Phi \left(T\right)+\Phi \left(I\right)\Phi \left(-S\right)\Phi \left(T\right)=0$ 。由$\Phi$ 的满射性，存在某个$T\in \mathcal{A}$ ，使得$\Phi \left(T\right)=I$ ，则$\Phi \left(S\right)\Phi \left(I\right)+\Phi \left(I\right)\Phi \left(-S\right)=0$ ，$\forall S\in \mathcal{A}$ 。

步骤2. $\Phi \left(I\right)$ 是可逆的。

对任意的$S,T,R\in \mathcal{A}$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}I& -S\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}ST{S}^{\ast }& ST\\ T{S}^{\ast }& T\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ R& 0\end{array}\right],$

由$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ 得$\Phi \left(I\right)\Phi \left(ST\right)\Phi \left(R\right)+\Phi \left(-S\right)\Phi \left(T\right)\Phi \left(R\right)=0$ 。由$\Phi$ 的满射性，存在某个$R\in \mathcal{A}$ ，使得$\Phi \left(R\right)=I$ ，则$\Phi \left(I\right)\Phi \left(ST\right)+\Phi \left(-S\right)\Phi \left(T\right)=0$ 。由步骤1可知$\Phi \left(-S\right)\Phi \left(T\right)=-\Phi \left(I\right)\Phi \left(ST\right)=\Phi \left(-ST\right)\Phi \left(I\right)$ ，$\forall S,T\in \mathcal{A}$ 。由于$\Phi$ 是满射和$S,T$ 的任意性，则存在$S,T$ 使得$\Phi \left(-S\right)\Phi \left(T\right)$ 可逆。因此$\Phi \left(I\right)\Phi \left(ST\right)$ 可逆，即$\Phi \left(I\right)$ 可逆。

步骤3. $\Phi$ 是单射且$\Phi \left(-T\right)=-\Phi \left(T\right)$ ，$\forall T\in \mathcal{A}$ 。

结合步骤1中所取$A,B,C$ 可得$\left[{\left[{\Phi }_2\left(A\right),{\Phi }_2\left(B\right)\right]}_{\ast },{\Phi }_2\left(C\right)\right]=0$ ，由$S,T,R$ 的任意性，设$\Phi \left(S\right)=\Phi \left(R\right)$ 则

$\left[{\left[\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \Phi \left(R\right)& \Phi \left(I\right)\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\Phi \left(I\right)& \Phi \left(-S^{\ast }\right)\\ \Phi \left(-S\right)& \Phi \left(R\right)\end{array}\right]\right]}_{\ast },\left[\begin{array}{cc}0& \Phi \left(T\right)\\ 0& 0\end{array}\right]\right]=0$ 。

由$\Phi$ 双边2-保混合Lie零积有

$\left[\begin{array}{cc}-T\left(R-S\right)& -T\left(-R{S}^{\ast }+S{R}^{\ast }\right)\\ 0& \left(R-S\right)T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ ，

由$T$ 的任意性知$R=S$ ，因此$\Phi$ 是单射。由断言2可知$\Phi \left(-T\right)=-\Phi \left(T\right)$ ，$\forall T\in \mathcal{A}$ 。

断言4. $\Phi \left(T^{\ast }\right)=\Phi {\left(T\right)}^{\ast }$ ，$\forall T\in \mathcal{A}$ 。

对任意的$S,T\in \mathcal{A}$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}S& 0\\ 0& S^{\ast }\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& T\\ 0& 0\end{array}\right],$

由$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ 得$\Phi \left(T\right)\Phi \left(S^{\ast }\right)\Phi \left(I\right)-\Phi \left(T\right)\Phi \left(I\right)\Phi {\left(S\right)}^{\ast }=0$ 。由$\Phi$ 的满射性，存在某个$T\in \mathcal{A}$ ，使得$\Phi \left(T\right)=I$ ，则$\Phi \left(S^{\ast }\right)\Phi \left(I\right)-\Phi \left(I\right)\Phi {\left(S\right)}^{\ast }=0$ ，由断言3知$\Phi \left(T^{\ast }\right)=\Phi {\left(T\right)}^{\ast }$ ，$\forall T\in \mathcal{A}$ 。

断言5. $\Phi \left(T+S\right)=\Phi \left(T\right)+\Phi \left(S\right)$ ，$\forall S,T\in \mathcal{A}$ 。

对任意的$S,T,R\in \mathcal{A}$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}I& I\\ I& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}S+T& T\\ T& S\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& R\\ 0& 0\end{array}\right],$

由$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ 得$\Phi \left(R\right)\Phi \left(I\right)\Phi \left(S+T\right)-\Phi \left(R\right)\Phi \left(T\right)\Phi \left(I\right)-\Phi \left(R\right)\Phi \left(S\right)\Phi \left(I\right)=0$ 。由$\Phi$ 的满射性，存在某个$R\in \mathcal{A}$ 使得$\Phi \left(R\right)=I$ ，则$\Phi \left(I\right)\Phi \left(S+T\right)-\Phi \left(T\right)\Phi \left(I\right)-\Phi \left(S\right)\Phi \left(I\right)=0$ ，由断言3知 $\Phi \left(T+S\right)=\Phi \left(T\right)+\Phi \left(S\right)$ ，$\forall S,T\in \mathcal{A}$ 。

断言6. 令映射$\Psi :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ ，$\Psi \left(A\right)=\Phi {\left(I\right)}^{-1}\Phi \left(A\right)$ ，$\forall A\in \mathcal{A}$ ，则$\Psi \left(I\right)=I$ ，$\Psi$ 双边2-保混合Lie零积且$\Psi$ 具有与$\Phi$ 相同的性质。

由$\Psi =\Phi {\left(I\right)}^{-1}\Phi$ ，知$\Psi \left(I\right)=\Phi {\left(I\right)}^{-1}\Phi \left(I\right)=I$ 。对任意的$A,B,C\in \mathcal{A}\otimes {ℳ}_n\left(F\right)$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}{C}_{11}& C_{12}\\ C_{21}& C_{22}\end{array}\right],$

则有$\left[{\left[{\Psi }_2\left(A\right),{\Psi }_2\left(B\right)\right]}_{\ast },{\Psi }_2\left(C\right)\right]={\left[\begin{array}{cc}\Phi {\left(I\right)}^{-1}& 0\\ 0& \Phi {\left(I\right)}^{-1}\end{array}\right]}^3\left[{\left[{\Phi }_2\left(A\right),{\Phi }_2\left(B\right)\right]}_{\ast },{\Phi }_2\left(C\right)\right]$ 。因此$\Psi$ 是双边2-保混合Lie零积的映射，具有和$\Phi$ 相同的性质。

断言7. $\Psi \left(ST\right)=\Psi \left(S\right)\Psi \left(T\right)$ ，$\forall S,T\in \mathcal{A}$ 。

对任意的$S,T,R\in \mathcal{A}$ ，令

$A=\left[\begin{array}{cc}I& -S\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}ST{S}^{\ast }& ST\\ T{S}^{\ast }& T\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ R& 0\end{array}\right],$

由$\left[{\left[A,B\right]}_{\ast },C\right]=0$ 得$\Psi \left(ST\right)\Psi \left(R\right)+\Psi \left(-S\right)\Psi \left(T\right)\Psi \left(R\right)=0$ 。由$\Psi$ 的满射性，存在某个$R\in \mathcal{A}$ 使得$\Psi \left(R\right)=I$ ，则$\Psi \left(ST\right)+\Psi \left(-S\right)\Psi \left(T\right)=0$ ，由断言3可知$\Psi \left(ST\right)=\Psi \left(S\right)\Psi \left(T\right)$ ，$\forall S,T\in \mathcal{A}$ 。

断言8. 存在可加$\ast$ -同构$\Psi :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 及中心元$Z\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)$ 使得$\Phi \left(A\right)=Z\Psi \left(A\right)$ ，$\forall A\in \mathcal{A}$ ，$\Psi \left(I\right)=I$ 。

通过断言1~7的讨论，令$Z=\Phi \left(I\right)$ 即可得证。

由定理2.1知：

推论2.2. 设$\mathcal{A}$ 是没有交换中心投影的von Neumann代数，若$\Phi :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 是一个满射，则下列叙述等价：

(1) $\Phi$ 双边2-保混合Lie零积。

(2) $\Phi$ 完全保混合Lie零积。

(3) 存在中心元$Z\in \mathcal{Z}\left(\mathcal{A}\right)$ 使得$\Psi =Z\Phi ={\Psi }_1+{\Psi }_2$ ，其中${{\Psi }_1|}_{P\mathcal{A}P}$ 是线性$\ast$ -同构，${{\Psi }_2|}_{\left(I-P\right)\mathcal{A}\left(I-P\right)}$ 是共轭线性$\ast$ -同构。

若$\mathcal{A}$ 是因子von Neumann代数，则，$ℂ$ 为实数。由推论2.2有

推论2.3. 设$\mathcal{A}$ 是因子von Neumann代数，若$\Phi :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 是一个满射，则下列叙述等价：

(1) $\Phi$ 双边2-保混合Lie零积；

(2) $\Phi$ 完全保混合Lie零积；

(3) $\Phi =ℂ\Psi$ ，$\Psi$ 为线性$\ast$ -同构或共轭线性$\ast$ -同构。

致 谢

本文作者衷心感谢诸位专家和同行的指导与帮助以及允许我们转载和引用其文献资料的作者和相关出版机构。最后，感谢审稿人和读者的宝贵意见和建议。

NOTES

^*通讯作者。