1. 引言
带常利率的更新风险模型，时刻资产余额的微分方程形式为
，
其中常数表示初始准备金，常数表示保费率，常数表示常利息力。表示时刻为止的总索赔额，更新过程表示时刻为止的总索赔次数；索赔额是分布为，密度为的独立同分布随机变量；表示第次索赔发生时刻，其中；索赔时间间隔是独立同分布的正随机变量，其分布函数，密度函数。则。
当初始余额为时，破产时刻定义为：
若，则表示破产没有发生；若有破产发生，则破产前瞬间资产余额为，破产时赤字为，期望折现函数是破产前瞬间资产余额和破产时赤字的期望折现，当初始余额为时，定义为：
其中是破产前瞬间资产余额和破产时赤字的非负罚金函数，折现因子是非负参数，是示性函数。
相位分布是在风险理论中最常见的分布之一，近年来人们越来越关注时间间隔为为相位分布的Sparre Andersen模型。例如[Albrecher and Boxma] (2005)通过Laplace-Stieltjes变换分析折现罚金函数，[Dickson and Drekic] (2004), [Jiandong Ren] (2008)[1] 考虑了研究了破产前瞬间资产余额和破产时赤字的联合分布函数，又如[Mogens Bladt] (2005)[2] 研究了相位分布的应用。
对Gerber-Shiu折现罚金函数的研究是破产理论主要研究的问题之一。对此问题的研究始于[Gerber and Shiu] (1998)[3] ; [Dickson and Hipp] (1998), [Lin] (2003)研究了时间间隔为Erlang (2), [Rong Wu, Yuhua Lu, and Ying Fang] (2007)[4] 研究了时间间隔为相位分布。
常利息力更新风险模型也是现代风险理论研究的重要方面, 许多人都做过这方面的工作。例如[Sundt and Teugels] (1997), [Yang and Zhang] (1997), [Cai] (2002)[5] , [Cardoso and Waters] (2003)。
本文考虑带常利率的时间间隔为相位分布的更新风险模型。首先推导出Gerber-Shiu期望折现罚金函数满足的积分微分方程，然后经过一系列的推导过程得到Volterra形式的矩阵积分方程，从而得到Gerber-Shiu期望折现罚金函数的一种解法。
2. 相位分布简介
假定索赔时间间隔的分布是参数为的相位分布，连续时间马氏链有个暂态和一个吸收态。其中，，，，是从暂态跳到吸收态的密度，，。是从暂态跳到暂态的密度，是初始分布概率，其中，，。
对，是初值为，初始状态的期望罚金折现函数，定义为：
(1)
若记
(2)
则期望折现罚金函数可由下式给出：
(3)
3. 主要结论
定理2.1 对任意的
证明：考虑在足够小的时间内，由相位分布的性质，在此时间段内最多发生一次状态改变(暂态之间变化)或发生一次索赔，而且状态改变与索赔不可能同时发生，故可在下面三种情况下取得1)在时间内没有发生索赔及状态改变；2)在时间内没有发生索赔但发生状态改变；3)在时间内发生
一次索赔，索赔后可能导致破产也可能没有破产，当索赔额时，表示没有破产，当时，表示破产发生。
由以上及(1)式可知：
(4)
因为
所以(4)式为
(5)
移项整理(5)且等式两端同除得：
(6)
在(6)中，令，且由
可得：
推论2.1 对任意的
(7)
其中。
证明：由(2)(4)及相位初始分布的性质直接推出。
定理2.2 对任意的
(8)
证明：(7)式两边同乘，得到
整理得
(9)
用替换 (9)式变为
(10)
(10)式两端对变量s作积分，有
若记E为n阶单位矩阵，由分部积分法及，得
(11)
而
故而(11)式为
故而
引理2.1
若是向量函数，且是Volterra核矩阵，即
其中是上的可积函数，则对任意的，的解可以表示为：
其中
是迭核，按方阵的乘积处理。
注：引自参考文献[6] 。
定理2.3 对任意的
(12)
以方阵的乘积处理，为阶单位阵。
证明：(8)式为Volterra积分方程组形式
由于可微，故是核矩阵，从而由引理2.1可得结论。
4. 结论与建议
由(12)可知，只需求出便可得出，再由可求出期望惩罚函数。
在定理2.2中令，可得Volterra积分方程组形式
在定理2.3中取，则有
由以上推导可知，只要求出，就可求出，进而可求出。
参考文献