1. 引言
半群称为富足半群(abundant semigroup) [1] [2] ，如果的每一个-类和每一个-类都含有幂等元。进一步，富足半群称为超富足半群(superabundant semigroup)，如果它的每个-类都含有幂等元。正则半群是富足半群，而超富足半群是完全正则半群(completely regular semigroup)的推广。如[2] ，我们称消去幺半群(cancellative monoid)上的Rees矩阵半群的半群为完全-单半群(completely -simple semigroup) 关于这类半群，可参见[3] 。J.B. Fountain [2] 指出：富足半群为超富足半群的充分必要条件是它同构于一些完全-单半群的半格。
完全正则半群表示为一些子群的无交并。可以说，完全正则半群是一类离“群”较近的半群。又由于完全正则半群是群上Rees矩阵半群的半格，所以具有许多“矩阵”特性。这些特性足以让完全正则半群成为半群理论中的重要研究课题。事实上，许多著名半群论学者开展了完全正则半群的研究工作，也具有非常丰富的研究成果(详见[4] )。对照完全正则半群，我们对超富足半群的了解就太少了。本文希望能做一些“弥补”，将给出超富足半群的一些特征。
2. 若干准备
本文将用教科书[5] ，[6] 和文[2] 的术语和符号。首先回忆一些将不断引用的已知结论。
引理2.1 [2] ：令为半群，且，，则当且仅当对于任意的，
且.
众所周知，为右同余，而为左同余。一般的，，。但当，为正则元时，当且仅当。如[2] ，定义，。另外，当记，，之一时，我们将记为含的的-类。并且，用记的所有幂等元集。
半群的左理想称为左-理想(left -ideal)，如果。对偶的，定义右-理想(right - ideal)。半群的理想如果既是左-理想，又是右-理想，则称为-理想(-ideal)。对于，我们将用记含的最小-理想。定义
当且仅当.
我们称仅有一个-类的半群为-单半群。事实上，半群为-单的充分必要条件是它仅有一个-理想。令。易知，是的-理想。称Rees商半群为由确定的的-主因子(principal -factor)。
下面的引理可由([7] , Lemma 3.5)直接得到。
引理2.2：富足半群的所有主-因子都是富足半群。
令为非空集合，为消去幺半群，且是元为的单位(unit)的-矩阵。在集合上，定义运算：
.
关于运算，构成富足半群，称之为消去幺半群上的关于夹心矩阵的Rees矩阵半群，记为。如[2] ，我们称同构于消去幺半群上的Rees矩阵半群为完全-单半群。等价地，半群是完全-单半群当且仅当它是-单的超富足半群。
引理2.3：任一完全-单半群的所有正则元构成完全单子半群。
证明：仅需证，消去幺半群上的关于夹心矩阵的Rees矩阵半群的正则元集构成完全单子半群。令。若为正则元，则存在使得
即。比较分量，得，进而为的正则元，于是为的单位。反之，容易验证，当为单位，则为正则元。故的正则元集为。不难看出，的正则元集构成子半群，且为，其中为的所有单位组成的子群，从而的正则元集构成完全单子半群。
引理2.4 ([2] , proposition 6.9)设半群为半群的半格，则下面三款中任意两款可以推出第三款:
(1)为富足半群；
(2) 对于任意，为富足半群；
(3) 对于任一，，总有。
下面已知结论将会用到。
引理2.5：令为超富足半群，则
(1) ([2] ,Corollary 6.2, Proposition 6.5]；
(2) ([2] , Corollary 6.1 and 6.4]。
富足半群称为幂等元连接的(idempotent-connected)，如果对于任意的和任意(存在)，，存在双射使得，对所有，其中为由集合生成的的子半群。事实上，是半群同构。这一观察很重要，以后将会多次用到。以下总成为关于的连接同构。若需要强调时，则记此连接同构为。文献[8] 给出了这类半群的许多特征。
3. 主要结果
本文将给出超富足半群的一些特征。
命题3.1：超富足半群所有正则元构成完全正则子半群。
证明：设为超富足半群，且为分为完全-单半群的半格分解。若为命题3.1，据引理2.3，仅需证：的幂等元乘积为正则元。为此，令为幂等元，则存在使得分别为的幂等元。但为富足半群，于是有幂等元使得，结合，我们有，进而，再据引理2.3，为的正则元，从而为的正则元。
令为所有非负整数组成的集合。记
在集合上，定义运算
通常验证，都是半群。事实上，它们都是双循环半群(bicyclic semigroup)的全子半群，于是均为富足半群。由([9] , Example 2.6)，知都不是超富足半群。这说明，命题3.1的逆不成立。
定理3.2：令为富足半群，则为超富足半群当且仅当关于的乘法，的每一个-类都构成完全-单半群。
证明：据([2] , Theorem 6.8]，仅需证充分性。为此，设为半群关于的分类，则每一均为完全-单半群。类似于命题3.1的证明，的所有正则元构成的子半群。
首先。证明：对于任意，是的-理想。
令且，据是左同余，则有。而为右同余，于是。若，则，显然，存在使得。前面已经证明：的所有正则元构成子半群，于是均为的正则元。注意到，为完全-单半群，再由引理3.1，知在中，，于是存在使得，但为理想，从而为的右-理想。类似的，为的左-理想。因此为的-理想。
其次，证明：是的半格同余。
事实上，当且仅当存在使得。据此，不难知道：，，即，。下面证明，。由为富足半群，知有使得，显然，。据上面的证明，知，进而。另一方面， -理想的交还是-理想，以及，有。反之，若，则存在使得，于是
进而，于是。考虑到，分别为右同余和左同余，我们有，进而。因此，以致于。从而。现在对于，若，总有
于是，从而是右同余。类似地，是左同余。故为上的半格同余。
至此，我们证明了：是半群的半格。因为和所有的都是富足半群，再根据引理2.4，。但为完全-单半群，从而为超富足半群。
对于半群，，由于，易知。不难知道，为完全-单半群附加零元当且仅当为完全-单子半群。基于定理3.2，下面的定理是显然的。
定理3.3：令为富足半群，则为超富足半群当且仅当的每个主-因子都是完全-单子半群附加零元。
设为半群的幂等元。定义
众所周知，是集合上的偏序。非零幂等元称为本原的(primitive)，如果对于任意幂等元，若，则或(当有零元0)。半群称为本原的 [6] ，如果它的所有非零幂等元都是本原的。
富足半群的子半群称为-子半群(-subsemigroup)，如果对于任意，存在使得。显然，任意-子半群都是富足半群。
引理3.4：令为幂等元连接富足半群，且。若且为的关于的连接同构，则集合构成的-子半群，且同构于。
证明：注意到，和分别为子半群和的恒等元。但为到上的同构，于是。显然，，这样。继续这一过程，我们有：对于任意正整数，且。因为，所以，换言之，。另外，可归纳地证明：
对于正整数，若，则。
令，且。若，则
即。因为为的关于的连接同构，所以，进而，故，再据，从而。重复这一过程，。另一方面，.故。
若有，则，进而
即。重复这一过程，，这样，即。而
从而。
考虑到，为连接同构。对于，
后面两个等式都是由事实得到。这意味着，为的子半群。而我们已证：
故为-子半群。
定义
显然，有定义。对于任意，进而为满射。
令，若，即，则
进而，从而为单射。
据前面的证明，当，即，则由
可得
同理，当，即，则
因此为半群同态。故为半群同构。
对偶的，我们有
引理3.5：令为幂等元连接富足半群，且。若且为的关于的连接同构，则集合构成的-子半群，且同构于。
定理3.6：令为幂等元连接富足半群。若的所有正则元构成子半群，则为超富足半群当且仅当
(1)的每个-类构成子半群；
(2)；
(3)不含同构于或的-子半群。
证明：为证必要性，仅需证：当为超富足半群时，条件(3)满足。现设为半群分解成完全-单半群的半格分解。反设，含有同构于的子半群。令，则可以比较，但每个都是完全-单半群，于是属于不同的。无妨设且，那么。由于，必有使得，从而应该属于同一个-类。但每一个事实上为一个-类，所以，矛盾。故条件(3)成立。
反过来，设条件(1)，(2)，(3)成立，那么的每一个-类构成的-子半群，且满足
· -单的；
· 所有正则元构成子半群；
· 为幂等元连接的。
据引理3.4，3.5和条件(3)，知的每个-类中的幂等元不可比较，从而的每个-类中的幂等元都是本原的，再据([2] , Corollary 5.2)，的每个-类是完全-单半群。利用定理2.3，可得为超富足半群。
对偶地，可得
定理3.7：令为幂等元连接富足半群。若的所有正则元构成子半群，则为超富足半群当且仅当
基金项目
国家自然科学基金(11361027)，江西省自然科学基金和江西省教育厅科研基金资助项目。
参考文献