1. 预备知识
设是所有特征值的集合，则它们也称为有向图的特征值。因为是斜对称矩阵，所以它的特征值都是实数。定义有向图的斜能量等于这个图的所有特征值的绝对值之和，记为，则有。根据斜能量积分公式，对于两个阶定向图我们有：。
为方便起见，我们定义(或)为单圈图中的圈定向为+ (或−)，以及为单圈图中的圈定向为任意定向*。如果，我们定义为双圈图中的圈定向是和双圈图中的圈定向是，其中。如果，定义为双圈图中的圈定向是，双圈图中的圈定向是，和双圈图中的圈定向是，其中。
根据文献[1] 对于一个有向图，我们只需要考虑偶圈的定向。为方面定义，我们采用文献[2] 图的记号。为了给出证明，我们给出一些注记：图，，及它们的定向如图1。令，是双圈图中具有个公共点的两个圈。如果，则包含两个圈；若，则包含三个圈。第三个圈我们记为，其中。不失一般性，假定。
引理1 [3] 令是一个无向图，是图的一个定向，则。其中，分别为有向图线性子图偶向圈的个数，奇向圈的个数。
引理2 [4] 令是一个具有个顶点条弧的有向图。若。
则，且等号成立当且仅当所有的有向四边形为偶定向，其中为中四边形的个数。
引理3 [5] 令是图的一条边，并且图不包含偶圈，则我们有
. (2.1)
通过等同于多项式(2.1)的系数，我们有
. (2.2)
此外，如果是图的一条悬挂边，则
Figure 1. Minimal skew energy of oriented bicyclic graphs
图1. 有向双圈图最小斜能量
2. 主要结论
定理1.是阶双圈图，基础图，则。
证明：我们通过对进行归纳假设证明。根据引理1我们可得到，，的斜特征多项式分别为：；；。
首先我们证明对于，。令。
情形1.1.。
情形1.1.1.。我们适当的在某一个上选择一条边使得是连通的。根据引理2，我们有
情形1.1.2.或者等于4。不失一般性，假定。我们在上选择一条边使得至少有4条边。根据引理2，我们有
情形1.1.3. 不论还是都不等于4。则或，。我们在任意的一个圈上选择一条边使得包含至少4条边。根据引理2。我们可以得到
情形1.2.。
情形1.2.1. 每一个圈长为4。则当时，在圈外我们有3个顶点，令作。令是图的一个悬挂点，与相邻，是图的一个悬挂点，与相邻，是图的一个悬挂点，与相邻。根据公式(2.3)，我们有
情形1.2.2. 图中有两个圈长为4，记作，，则当时，。我们有两个顶点不属于。类似于情形1.2.1的证法，我们可以得到。
情形1.2.3. 图中仅有一个圈长为4，记作。如果，则当时，我们有三个顶点不属于。类似于情形1.2.1的证法，我们可以得证。若，我们在圈选择一条边使得。类似于情形1.1.2的证法，我们可以得到。
情形1.2.4. 图中不含圈长为4的圈。类似于情形1.1.3的证法，当时，结论成立。
假定，当时，对于任意的阶有向双圈图有。定义为图中悬挂点的数目。
若，则不含悬挂点。以下我们分三种情况进行考虑：
情形2.1.。令是的一条边以及是和的公共顶点。根据，以及引理2和4，我们有
由于当时。
情形2.2.。令是圈的一条边以及是和的公共顶点。根据引理2和引理4，我们有
情形2.3.。假定圈，由一条长为的路连接。令是圈的一条边，其中顶点的度为3。类似于情形2.1的证法，则。因此，当时。
当时，是图的一个悬挂点,以及它对应的悬挂边为。由于至少含有3条边，根据公式(2.2)及归纳假设，有
命题得证。
当时，类似于定理1对的讨论，为有向双圈图的第二小斜能量。因为则当时。类似于定理1对的讨论，我们可以得到不论还是为有向双圈图的最小斜能量当时。
定理2. 在所有阶有向双圈图中，当时，为有向双圈图第二小斜能量；当时，为有向双圈图第二小斜能量；当时，不论还是为有向双圈图最小斜能量。
参考文献