1. 引言与预备知识
广义拓扑空间的概念由匈牙利数学家A. Csaszar于2002在文献[1] 中引入。近些年来，不少学者积极投入，取得了不少的研究成果(参见文献[1] -[7] 等)。然而，广义拓扑定义中条件仅是拓扑定义中条件的一半，即广义拓扑实际上是一类半拓扑。在此，下列问题自然被提出：
问题1：如果把广义拓扑相对于拓扑的另一半条件作为另一类半拓扑，那么这类半拓扑能否像广义拓扑那样可以进行研究?
本文首先引入上述半拓扑(称为下半拓扑)及其相关的点集概念；然后，类比拓扑空间的点集理论，讨论下半拓扑空间对拓扑空间中的一系列点集性质的保持性；最后，引入下半拓扑空间的分离性质，得到了与拓扑空间的分离性质相同和相异的一系列结果。
首先，回忆广义拓扑的概念：
定义1.1 [8] ：设是任一非空集合，是的一些子集构成的集族，如果下列两个条件被满足：(GO1)；(GO2)若，其中为任意指标集，则。则称为集合上的一个广义拓扑，并且称有序偶为一个广义拓扑空间，集族中的每一个集合都称为广义拓扑空间的广义开集。
不难看出：广义拓扑的条件只有拓扑条件的一半。因此，广义拓扑实际上就是一个半拓扑。为了引入新的半拓扑，本文也称广义拓扑为上半拓扑(Sup-semi-topology)，新引入的半拓扑称为下半拓扑(Inf-semi-topology)，如下：
定义1.2：设是任一非空集合，是的一些子集构成的集族，如果下列两个条件被满足：(IO1)；(IO2)若，则。则称为上的一个下半拓扑(Inf-semi-topology)，并称为下半拓扑空间(Inf-semi-topological space)，简记为ISTS。集族中的每一个元都称为中的下半开集。下半开集的余集称为下半闭集。
显然，下一结论是不证自明的：
定理1.1：设是任一非空集合，则的一些子集构成的集族是上的一个拓扑当且仅当既是上的广义拓扑(上半拓扑)又是上的下半拓扑。
根据定理1.1，下面问题自然被提出：
问题2：在一般拓扑学中，拓扑的哪些是由上半拓扑导出的，哪些又是由下半拓扑导出的呢？
本文就此问题展开讨论。首先，对下半拓扑引入如下相关概念：
定义1.3：设是一个ISTS，称为是上的一个强下半拓扑，如果。这时也称下半拓扑空间为强下半拓扑空间，简记为S-ISTS。
从上面的定义可以看出，强下半拓扑空间是一类特殊的下半拓扑空间。
定义1.4：设是一个ISTS，，，如果使得，则称为点的一个下半邻域。点的下半邻域的全体称为的下半邻域系，记为。
定义1.5：设是一个ISTS，，，若使得，则称为点集的下半内点；点集的下半内点的全体称为的下半内部，记为。
定义1.6：设是一个ISTS，，，如果，有，则称为点集的下半聚点；点集的下半聚点的全体称为的下半导集，记为；记，并称为的下半闭包。
定义1.7：设是下半拓扑空间中的一个网，，若，，使得，当时，恒有，则称网 (按下半拓扑)收敛于或称以为下半极限，通常记为或。
类比拓扑空间的分离性质，在下半拓扑中引入IS-分离性质如下：
定义1.8：设是一个ISTS。
(1) 称为空间，如果，若，则，使得，或者使得；
(2) 称为空间，如果，若，则，，使得并且。
定义1.9：设是一个S-ISTS。
(1) 称为空间，如果，若，则，，使得；
(2) 称为-正则空间，如果对，下半闭于且，则，，使得；
(3) 称为-正规空间，如果下半闭于且，则，，使得。
此外，本文中所有没定义的关于拓扑空间的概念、术语和记号，如果没有特殊声明都选自文献[9] 。在不引起混淆的情况下，本文也将下半开集、下半闭集、下半闭包等称为开集、闭集、闭包等。
2. 下半拓扑空中基本点集性质
命题2.1：设是一个ISTS，，，则：
(1) 若为中的开集，则；
(2) 若是中的闭集，则。
证明：(1) 由内部的定义得，下证。事实上，，由，故，取，则，，故，。
(2) 由闭包的定义，下证。事实上，由于为闭集，故为开集，故，使，故，即。所以，。从而。
在§4中，我们将通过例4.1和例4.2说明上述命题的逆命题是不成立的。
命题2.2：设是一个ISTS，，则当且仅当对，有。
证明：必要性：设，因为，则或者。若，则对，；若，则，由聚点的定义，对，，故。
充分性：假设，则。故，。又因为，故，这与，有矛盾。因此，。
命题2.3：设是一个ISTS，是的任意子集，则。
证明：由闭包的定义知，下证。
事实上，对，，有。因是点的邻域，故，使，因为，故，取，则，故，从而。于是，故。
3. 关于分离性质的一些结果
由定义1.8和定义1.9，显然有：
定理3.1：空间空间空间。
在§4中，例4.3与例4.4将说明上述定理的不可逆性。关于这三类分离性质，我们有如下等价刻画：
定理3.2：设是一个ISTS，则为空间当且仅当对:，。
证明：充分性：(反证)。假设不是空间，则:，使得有，并且对有，故且。命题2.2知，并且。再由命题2.3，有并且，故。这与对:，矛盾，故是空间。
必要性：设为空间，，若，则使得，或者。
使。不妨设使得，则使，且。因此，。故，即。因此，。
定理3.3：设是一个ISTS，则为空间当且仅当对的每个单点集，都有。
证明：充分性：，，则，则，由引理2.2知，，使得，故。同理，，使得，故为空间。
必要性：对的每个单点集，由闭包的定义知成立，下证成立。事实上，对，有，由为空间，则使得，故，从而，，即，故。从而，，。
定理3.4：设是一个S-ISTS，则为空间当且仅当中的每个收敛网都有唯一极限。
证明：必要性：(反证)，假设是中的一个网，并且，，其中。
由，对，，有；同理。，
有。取且，则当时，有。这与是空间矛盾。
充分性：(反证)。若不是空间，则，使得，，有。取，并且定义：
在上定义半序关系“”：当且仅当且，则是一个定向集。因此，为中的网并且，，这与中的每个收敛网都有唯一极限矛盾。
在§4中，将用例4.5~例4.8四个反例来说明：、-正则与-正规三者是互相不蕴含的，而且关于-正则与-正规，至今还没能类似于定理3.2~定理3.4的任何等价刻画。关这两种分离性质，我们仅得到如下两个类似于拓扑空间的定理：
定理3.5：设是S-ISTS，若为-正则空间，则，，，使得。
证明：对，，，使得，闭于且，因为为-正则空间，则，存在开集，使得。因此，
由于是开集，故为闭集。因此，。
定理3.6：设是一个S-ISTS，若为-正规空间，则对中的任意闭集，，，使得。
证明：设是的任一闭集，，，使得。则为中的闭集并且，则存在，存在开集，使得。故并且。故。
上述两个定理的逆命题是不成立的，关于这点在例4.9说明。
4 下半拓扑空间中的反例
首先用下面两例分别说明：命题2.1(1)与命题2.1(2)的逆命题是不真的。
例4.1：存在下半拓扑空间，并且成立，但。
事实上，可取，，则是一个下半拓扑空间。又取，则。这是因为，使得。故，但。
例4.2：存在下半拓扑空间，且成立，不是中的闭集。
事实上，设，，则是一个下半拓扑空间。由定理2.2推得，。但，从而不是中的闭集。
现在，用如下两例说明定理3.1的每个逆命题都是不成立的：
例4.3：存在空间不是空间。事实上，取，，易知是一个下半拓扑空间，则是空间，但不是空间。
例4.4：存在空间不是空间。设为实数集， {至多可数}，易知是一个下半拓扑空间，则是空间，但不是空间。
事实上，，若，则为的一个不包含邻域，为的一个不包含邻域。因此，是空间。若是空间，则对，，使得。因为，，故存在至多可数集使得，。故。因此，。这与，是不可数集矛盾。从而，不是空间。
问题3：与-正则和-正规之间是否存在蕴含关系呢？
下面的两个例子分别说明：与-正则以及与-正规之间均不存在蕴含关系。
例4.5：存在空间不是-正则的，也不是-正规的。设，，则是一个空间。但不是-正则空间，也不是-正规空间。
事实上，可取，，则是的闭集且，是唯一包含的开集。故，有。因此，不是-正则空间。此外，取，，则，是中闭集，并且。因为，都有，并且，故。因此，不是-正规空间。
例4.6：存在-正则空间、-正规空间不是空间。
设，，则为上的一个下半拓扑并且也是中闭集全体，所以是-正则空间，也是-正规空间。但不是空间。从而，也不是空间和空间。事实上，对于:，不存在的邻域使得，也不存在的邻域，使得。故不是空间。
问题4： -正则空间和-正规空间是否有相互蕴含关系呢？
下面的两个例子说明：它们两者也没有蕴含关系。
例4.7：存在-正则空间不是-正规空间。设，并令
又{使得}，则是以为基的拓扑，且是正则空间，但不是正规空间[10] 。故是-正则空间，但不是-正规空间。
例4.8：存在-正规空间不是-正则空间。设，，则是一个- 正规空间，但不是-正则空间。
事实上，中的闭集全体为，故没有不相交的非空闭集。因此，是一个-正规空间。此外，取闭于，，由于是包含的唯一开集，则，有。所以，不是-正则空间。
虽然，空间、-正则空间与-正规空间之间不存在任何蕴含关系，但是根据定义1.8，下面结论成立是显然的：
定理4.1：设是一个S-ISTS，如果，单点集是下半闭集，则有-正规空间-正则空间空间。
最后，我们用下面两个例子分别说明：定理3.5和定理3.6的逆命题都是不成立的。
例4.9：存在下半拓扑空间，对，，使成立，但不是-正则空间；也存在下半拓扑空间，对中的任意闭集，，使得，但不是-正规的。
事实上，可取，，由命题2.3推知，，都有。这是因为，，都有，但，故。因此，对，，，使得，因为，所以且。对于中的任意闭集，，，使得。因为，所以且。
但由例4.5知，既不是-正则空间，也不是-正规空间。
5. 小结
本文首先相对于广义拓扑(上半拓扑)，对偶地引入下半拓扑的概念。然后类比拓扑空间的点集理论与分离性质，引入下半拓扑空间中相应的基本点集与分离性质。进而使拓扑空间的分离性质：、、以及正则性和正规性分别被推广为下半拓扑空间中的、、、-正规和-正则空间，并且先后给出了上述5种分离性质之间的蕴含关系以及、和三种分离性质的等价刻画。此外，还分别给出了-正规和-正则分离性质的必要条件，并且分别通过反例指出：所得到的-正规和-正则的必要条件的逆命题不真。
致谢
感谢电子科技大学科研实训创新项目基金的经费资助。
参考文献