随机矩阵新的非1特征值包含集

New Sets to Localize All Eigenvalues Different from 1 for a Stochastic Matrix

摘要: 本文利用S-SDD矩阵的非奇异性及修正矩阵理论，给出具有非零相同行和实矩阵非奇异的三个新的充分条件，进而得到了随机矩阵的三个新的非1特征值包含集。数值例子表明，所得结果改进了Shen et al. [Linear Algebra Appl., 447 (2014) 74-87]，Cvetkovic et al. [ETNA., 18 (2004) 73-80]和Li et al. [Linear and Multilinear Algebra, http://dx.doi.org/10.1080/03081087.2014.986044]的结果。

Abstract: By using the nonsingularity of S-SDD matrices and the theory of modified matrices, three new suf-ficient conditions of the nonsingular real matrices with nonzero same row sums are given, and then three new sets to localize all eigenvalues different from 1 for a stochastic matrix are obtained. Numerical examples are given to illustrate that the proposed results are better than the results of Shen et al. [Linear Algebra Appl., 447(2014)74-87], Cvetkovic et al. [ETNA., 18(2004)73-80] and Li et al. [Linear and Multilinear Algebra, http://dx.doi.org/10.1080/03081087.2014.986044].

1. 引言

随机矩阵及其特征值的定位在诸如Markov链，人口流动模型，经济学和运筹学等众多领域都起着重要的作用[1] -[4] ，其定义如下：

定义1.1 [5] -[8] ：若非负矩阵的所有行和都是1，即

，

则称为(行)随机矩阵。

由非负矩阵的Perron-Frobenius定理[1] -[4] 知，1是任一随机矩阵的一个主特征值，且是其对应的一个特征向量，因此对于随机矩阵特征值的定位问题，只需对其所有非1特征值进行定位即可。为了研究这个问题，Cvetkovic等在文[9] 中引入了修正矩阵([9] , Proposition 2.1)的概念，并将著名的Gersgorin圆盘定理[10] 应用于修正矩阵，得到了如下结果。

定理1.2 [9] ：设为随机矩阵，表示的谱，为的迹，，。若，则

。

Shen等在文[11] 中通过给出非奇异随机矩阵的三个充分条件，得到了随机矩阵非1实特征值的三个包含集。随后，Li等在文[12] 中推广了Shen的结果，得到了三个比定理1.2更精确的随机矩阵非1特征值的包含集。

定理1.3 [12] ：设为随机矩阵。若，则

，

，

和

，

其中

，

。

对于矩阵特征值的定位问题，人们总是力求用尽可能少的计算量得到尽可能精确的特征值包含区域，但现有的结果还远远没有达到人们的期望，因此有必要继续对其进行研究。本文将利用修正矩阵理论及矩阵[13] 的非奇异性，研究具有非零相同行和实矩阵[1] 非奇异的条件，然后利用其讨论随机矩阵非1特征值的定位问题。

2. 具有非零相同行和实矩阵非奇异的充分条件

为下文叙述和证明方便，首先给出一些定义、引理和定理。

定义2.1 [13] ：设，是的非空真子集，为的补集。若

i)，

ii)，

其中

，

则称为严格对角占优矩阵(简记为矩阵)。

定理2.2 [13] ：若为矩阵，则是非奇异的。

定理2.3 [13] ：设，是的非空真子集，，则

，

其中

，

。

引理2.4 [9] ：设为所有行和都是常数的实矩阵(称这样的矩阵为具有相同行和实矩阵)，为任一维实向量。若，则为修正矩阵的特征值。

下面给出具有非零相同行和实矩阵非奇异的三个新的充分条件。

定理2.5：设为具有非零相同行和实矩阵，是的非空真子集，。若

， (2.1)

， (2.2)

其中

，

则是非奇异的。

证令其中。则

，

。

由(2.1)式得

，

由(2.2)式得

，

故是矩阵。由定理2.2知，是非奇异的，再由引理2.4知，是非奇异的。,

定理2.6：设为具有非零相同行和实矩阵，是的非空真子集，。若

， (2.3)

， (2.4)

其中

，

则是非奇异的。

证：令，其中。则

，

。

由(2.3)式得

，

由(2.4)式得

，

故是矩阵。由定理2.2知，是非奇异的，再由引理2.4知，是非奇异的。,

定理2.7：设为具有非零相同行和实矩阵，是的非空真子集，。若

， (2.5)

， (2.6)

其中

，

则是非奇异的。

证 令，其中。则

，

。

由(2.5)式得

，

由(2.6)式得

，

故是矩阵。由定理2.2知，是非奇异的，再由引理2.4知，是非奇异的。,

3. 随机矩阵非1特征值包含集

本节我们利用定理2.5、定理2.6和定理2.7给出随机矩阵非1特征值的三个新的包含集。

定理3.1：设为随机矩阵，是的非空真子集，。若，则

，

其中

，

。

证(反证法) 假设存在某个，使得，则由集合的定义知，对任意的，

， (3.1)

且

。 (3.2)

令，则是行和均为的实矩阵。由(3.1)式和(3.2)式知，满足定理2.5的条件，故是非奇异的，即

，

这与矛盾，故定理成立。,

类似于定理3.1的证明，由定理2.6和定理2.7易得如下两个定理。

定理3.2：设为随机矩阵，是的非空真子集，。若，则

，

其中

，

，

定理3.3 设为随机矩阵，是的非空真子集，。若，则

，

其中

，

。

4. 特征值包含定理之比较

本节将第三部分所获结果与定理1.3(即文[12] )的结果进行比较，得如下结论。

定理4.1：设为随机矩阵，是的非空真子集，，则

。

证这里只证，其它两式可类似地证明。首先考虑为单点集的情况，不妨设，则

。

由定理3.1知，对任意的，

故，于是

，

对任意的则存在，使得，即

。 (4.1)

假若，则对任意的

。 (4.2)

又

， (4.3)

故

这与(4.1)式矛盾，故。

现在考虑不是单点集的情况。对任意的，则或。若则存在使得，即

。

故；若。则存在，使得，即

。 (4.4)

假若，则由(4.2)式和(4.3)式知

这与(4.4)相矛盾，故。

综上可知，。,

5. 数值例子

本节，我们用几个数值例子说明本文所得结果(以定理3.1为例)的有效性。

例1：考虑随机矩阵

，

取。分别将定理1.2、定理1.3和定理3.1应用于随机矩阵，得到的非1特征值包含集、和，其包含关系如图1所示，图中表示的特征值。由图1可知，，因此定理3.1比定理1.2和定理1.3更精确地定位了的非1特征值。

例2：考虑随机矩阵

，

取。分别将定理2.3和定理3.1应用于随机矩阵，得到的非1特征值包含集和，其包含关系如图2所示，图中表示的特征值。由图2可知，，因此定理3.1比定理2.3更精确地定位了的非1特征值。

例3：为了进一步的探讨与的关系，我们考虑由MATLAB代码

，

生成的100个随机矩阵，并将定理2.3和定理3.1应用于它们。当取时，对于复平

Figure 1.

图1.

Figure 2.

图2.

Table 1. To compare the relation between and when taking

表1. 当取时，与的关系

面中的集合和，我们发现满足的随机矩阵的个数是98个，的随机矩阵的个数是2个，的随机矩阵的个数是0个，见表1。

基金项目

本文受国家自然科学基金资助项目(11361074)资助。