1. 引言
Gram-Schmidt正交化过程是线性代数中的重要内容，传递性定理是算子代数中的重要定理和基本工具。本文通过他们之间的关系，将二者统一地去看待：将正交化过程看作传递性定理的特例。传递性定理可以在一般Hilbert空间中给出非构造性证明。Gram-Schmidt正交化过程可以在可分Hilbert空间中具体构造出来。为了统一起见，本文假定Hilbert空间都是可分的。
2. 预备知识
定义：A是的-子代数，称A是不可约的若A的不变子空间只有0和H。
设V是复数域C上的n维线性空间，T 是V上的一个线性变换。任取V上的一组基，则存在一个唯一的矩阵T，使得：T。V上的线性变换全体记作，则关于加法，数乘和映射的乘法构成一个代数。
在线性代数中，我们有如下结论；
引理2.1. [1] - [3] 设是V的一组基，则对任意V中的任意n个向量，存在唯一的V到V的线性变换T，满足。
在泛函分析中，我们有传递性定理；
引理2.2. [4] - [7] 设A是Hilbert空间H上的不可约-代数，是H中的线性无关向量组，是V中的任意向量组，则存在算子，使得，。
3. 正交化过程与传递
下面的定理给出了可分Hilbert空间上可列基到另一组可列基的传递定理：
定理3.1.设H是可分的Hilbert空间，则对H的任意两组基和，存在线性算子A，满足，
证明：令。则H关于的Gram-Schmidt标准正交化基。即对于
，
这里，，定义H上的算子u：
其中，，，
由此可知，，
记，，其中，则有，。
说明：在定理3.1的证明中，我们没能确定传递算子A的有界性。下面的推论表明：若把定理3.1中的基换成正交基，可使相应的传递算子A是可逆的，并且Gram-Schmidt正交化过程可以作为传递定理3.1的特例。
推论3.2.若是可分Hilbert空间H上的一组基，则存在H上的可逆线性变换T和标准正交基，使得。
证明：由定理3.1可知，存在有线性变换T和正交基，满足，
同理，利用定理3.1，我们可以给出线性变换T的逆变换存在。
下面在可分Hilbert空间中给出几个关于Gram-Schmidt正交化过程和传递性定理的例子：
命题3.3. 设是可列无穷空间的一组基，其中，，，，，那么对于另一组标准正交基，其中，我们可以通过一个变换；
把传递到上。
命题3.4.
(1)
(2)
分别是空间的两组标准正交基，记，，，，
则存在一个算子，使得。
推论3.5. 设V是n维欧式空间，是V中个线性无关的向量，则在V中存在m个两两正交的向量，使得张成的V的子空间恰好为由张成的V的子空间，即是该子空间的一组正交基。
证明：由推论3.2可得。
4. 总结
在本文中，Gram-Schmidt正交化过程是代数中的结果，传递性定理是泛函分析中的重要结果，通过建立它们之间的关系，我们能够把正交化过程看成是传递性定理的一个特例。
参考文献