1. 引言
众所周知，最近的观测数据分析表明我们目前的宇宙是平坦的且正在经历加速膨胀的阶段。在原则上，解释现阶段宇宙加速膨胀可分为两个方面：一方面是根据最近的WMAP数据和普朗克数据表明，占据了宇宙物质总成分的四分之三的暗能量，具有大的负压强可导致宇宙的加速膨胀；另一方面，宇宙的加速膨胀可以通过引力的红外修正得到，也就是修正引力理论。对爱因斯坦广义相对论的修正方法有很多，f(R)引力是极具竞争力的候选者，f(R)引力修正理论的显著特点是不需要引入暗能量，通过对时空曲率的修正就能实现当前宇宙的加速膨胀。暗能量和修正引力理论都能够解释现阶段宇宙的加速膨胀，然而它们却存在本质的区别，前者意味着新成分的发现，后者意味着新引力论的诞生。
本文以修正引力理论为立足点，构建广义的f(R)引力即物质与曲率耦合的f(R)引力理论；在以动态表观视界为边界、其内部充满具有霍金温度的普通物质的FRW宇宙背景下，利用广义f(R)引力的场方程推导出广义热力学第二定律；运用广义热力学第二定律对具体的引力模型参数进行限制。
2. 时空背景
考虑维空间均匀、各向同性的FRW宇宙，其度规形式如下
， (1)
其中为随宇宙时间变化的宇宙的尺度因子，是维单位半径球面的度规，空间曲率常数和−1分别对应闭合的、平直的和开放的宇宙。
物质与曲率耦合的广义f(R)引力的拉格朗日量为
，(2)
对其作用量变分可得到相应的场方程：
(3)
其中是物质场的能量动量张量，表示由度规的Levi-Civita联络定义的协变导数，，，，是里奇张量。考虑宇宙空间充满理想流体，其能量动量张量有如下形式：
， (4)
式中是流体的四维速度。
3. 热力学第二定律
根据广义热力学第二定律，视界内部物质的熵与视界表面熵的总和不应随时间而减少。考虑(n + 1)维FRW宇宙充满了理想流体，并进一步假设宇宙的边界是由具有霍金温度的动力学表观视界封闭起来的。表观视界的霍金温度表述如下：
。 (5)
视界内部物质的熵可由吉布斯方程给出 [1]
， (6)
其中，是包含物质的体积，其半径为动力学表观视界半径。将(6)对时间求导并利用能量方程 [2] 可以发现
。 (7)
这时需要知道和的表达式。将度规(1)代入场方程(3)得到广义f(R)引力的弗雷德曼方程：
(8)
(9)
其中。然后将(8)和(9)代入(7)有
(10)
广义f(R)引力理论中视界面上的熵有下面的形式 [2] ：
。(11)
将其对时间求导并利用(5)，视界面熵随时间的演化为
(12)
经过复杂运算，得到广义f(R)引力的广义热力学第二定律
(13)
其中。这也就是说当时广义热力学第二定律是有效的，它依赖具体的f(R)引力模型。
4. 热力学第二定律对模型的限制
现在我们考虑四维时空()中一类具体的模型， (，) [3] 且，广义热力学第二定律表述为
(14)
此式即为这类引力模型是否满足广义热力学第二定律的判据。
进一步，取、、(这里是一个常数，且) [4] ，并令，(14)式可改写为
(15)
那么，广义热力学第二定律(15)式对此模型的参数和的限制可由图1来说明，为了不失一般性，我们取、。根据图1不难发现，对于和取定值时，模型参数和的取值范围分别为和。此外，比较1(a)和1(b)，我们发现满足广义热力学第二定律()几乎不依赖具体的而只是要求。更深入的研究也表明要满足广义热力学第二定律也不依赖，这也就是说取不同的和得到的结果都是相同的。而且，我们也做出了的对数对于固定的随参数的演化图像(图2)。从图2不难发现的对数随参数的演化轨迹为倾斜的直线，越小斜率越大。那也就是说对于固定的，随是呈指数演化的，越小随的变化越剧烈。
另外，如果我们考虑爱因斯坦带有一般耦合的情况，即，在且(由于目前加速膨胀的宇宙，真空能可视作暗能量)的情况下，(15)式变为，这意味着在此时总熵不随时间变化，广义热力学第二定律是有效的。
5. 结束语
文章构建了广义的f(R)引力即物质与曲率耦合的f(R)引力理论，在以动态表观视界为边界、其内部充满具有霍金温度的普通物质的FRW宇宙背景下，由广义f(R)引力的场方程推导出了广义热力学第二定律，在满足广义热力学第二定律的熵增加条件下，得到了具体模型及的参数合理范围。
(a)(b)
Figure 1. The constraints of the GSL on the parameters m and p in the model with and. (a) corresponds to α = 1 and l = 0.8 and (b) corresponds to α = 1 and l = 0.2, respectively
图1. 对于模型，，广义热力学第二定律对参数和的限制。(a) α = 1、l = 0.8；(b) α = 1、l = 0.2
Figure 2. Curve: The evolutions of the logarithm of with m when taking, and, respectively
图2. 当取、、时的对数随的演化
众所周知，物理学是一门实验学科，物理规律必须经得起实验的检验。探讨广义f(R)引力框架下的扰动理论，分析宇宙的密度扰动、速度扰动的演化方程、寻求修正引力下宇宙大尺度结构形成的物理规律，同时利用高精度的观测数据对修正引力模型参数加以限制，选出模型的优胜者或至少排出不合理的模型，这些是未来研究工作的又一个重要方向。
基金项目
海军大连舰艇学院科研发展基金资助项目(DJYKYKT2015-02)。
参考文献