高阶线性微分方程亚纯解同小函数的关系

The Relations between Solutions of High Order Complex Domain Differential Equation and Small Functions

摘要: 本文研究了高阶线性微分方程亚纯解的不动点及亚纯解同小函数的关系问题，得到了微分方程亚纯解的一些性质。

Abstract: In this paper, we investigate the problems on fixed points and hyper-order of solutions of high order differential equations with meromorphic coefficients, and we obtain the precise properties of high solutions of linear differential equations.

1. 引言与结果

本文将使用值分布的标准记号 [1] - [3] ，用和表示亚纯函数的级和下级，用和表示亚纯函数的零点收敛指数和不同零点收敛指数，并引入以下定义：

定义1 [4] 亚纯函数的超级定义为

定义2 [5] 亚纯函数的二级零点收敛指数定义为

的二级不同零点收敛指数定义为

定义3 [6] 假设为亚纯函数，那么我们定义的不动点的收敛指数为

定义4 [6] 假设为亚纯函数，那么我们定义的二级不动点的收敛指数为

自文献 [7] - [9] 以来，国际上分别对复域齐次与非齐次线性微分方程解的零点与增长性进行了许多研究，且人们用超级的概念对齐次线性微分方程的无穷解作出了更精确的估计。对于线性微分方程大量的无穷级亚纯解，如何得到其不动点的个数的精确估计，并用超级、二级零点收敛指数、二级不同零点收敛指数的概念进一步地估计微分方程的无穷解的增长性、零点密度及不动点密度，陈宗煊在文献 [5] 中首次得到了几种类型二阶线性微分方程整函数解的不动点性质，得到了以下结果：

定理A 假设为多项式，次数，那么微分方程

(1)

的所有非零解有无穷多个不动点，且满足：。

陈玉、陈宗煊、廖莉在文献 [10] 中研究了高阶复域微分方程亚纯解的不动点与超级，得到了以下结果：

定理B 假设是亚纯函数，满足，如果微分方程

(2)

有亚纯解，且，我们有

i) 如果，那么至多有一个例外解，方程(2)的其它所有非零解都有无穷多个不动点，且满足，。

ii )进一步地，如果，那么方程(2)的所有非零亚纯解都有无穷多个不动点，且满足，。

本文将在更宽泛的条件下，考虑方程(2)的非零亚纯解以及解的一阶导函数同小函数的关系。

定理1 假设是有限级亚纯函数，满足，且，不是方程(2)的解，如果是方程(2)的亚纯解，且。那么

i)；

ii) 进一步，若，则。

定理2 假设，是有限级亚纯函数，满足，且，不是微分方程

(3)

的解，如果方程(3)有非零亚纯解，且，。那么

i)，至多除去一个例外；

ii) 进一步，若，则，至多除去一个例外。

定理3 假设是有限级亚纯函数，满足，且，不是微分方程(3)的解，如果方程(3)有非零亚纯解，且，那么

i)，至多除去一个例外；

ii) 进一步，若，则，至多除去一个例外。

注记1 将定理1，定理2，定理3条件变换成，定理1，定理2，定理3结论仍然成立。

注记2 令，可以分别得到方程(2)及方程(3)非零亚纯解的不动点性质。

推论1 假设是亚纯函数，满足，且。如果是方程(2)的亚纯解，且。则满足，。

推论2 假设，是有限级亚纯函数，满足，如果方程(3)有非零亚纯解，且，，，那么，有无穷多个不动点，且满足，，至多除去一个例外。

推论3 假设,是有限级亚纯函数，满足，且，如果方程(3)有非零亚纯解，且，那么，有无穷多个不动点，且满足，，至多除去一个例外；进一步地，如果，则，。

2. 预备知识及引理

引理1 [11] 假设是亚纯函数，满足，且满足条件。如果是方程(2)的亚纯解，且。则满足，。

类似文献 [11] 中定理2的证明方法，我们可得到以下引理：

引理2 假设是有限级亚纯函数，满足，如果方程(3)有非零亚纯解，且，，那么

i)；

ii)。若，则，至多除去一个例外。

引理3 假设是有穷级亚纯函数，满足，且，如果方程(3)有非零亚纯解，且，那么

i)，至多除去一个例外。进一步地，若，则，至多可能除去一个例外；

ii)，至多可能除去一个例外。进一步地，若，则，至多可能除去一个例外。

证明 i)：若，由引理1知。若，假设方程(3)存在两个互不相等的解，满足，那么。又是方程(2)的解，由引理1得，矛盾，故，至多可能除去一个例外。进一步地，若，由引理2知，至多可能除去一个例外。

ii)：类似i)的证明可得。

3. 定理的证明

定理1的证明：i) 假设是方程(2)的非零亚纯解，且，由引理1知，。令，则，，，且，将，，代入方程(2)，得到

(4)

令。由不是方程(2)的解知，于是方程(4)可以写成

(5)

故有

(6)

为常数，下面都代表常数，取值可能不同。考虑方程(5)，假设是的一个阶零点，则至少是的阶零点，所以有

(7)

又因为，除去一个线测度为有穷的集合，所以由(6) (7)式得

(8)

故，，所以，。由引理1得，。

ii) 令，则，，，且。对方程(2)两边微分得到

(9)

又由方程(2)

(10)

故有

(11)

令，则由定理条件知。于是，方程(11)变成

(12)

对方程(12)式运用类似(6)~(8)式的方法得到

(13)

所以，故，即。

定理2的证明：i) 假设是方程(3)的非零亚纯解，且，。令，则，，，且，将，，代入方程(3)，得到

(14)

令，由于不是方程(3)的解，知。于是方程(14)可以写成

(15)

对方程(15)运用类似(6)~(8)式的方法得到

(16)

故，，所以，。由引理2得，，至多除去一个例外。

ii) 令，则，，，由引理2得。对方程(3)两边微分得到

(17)

又由方程(3)

(18)

故有

(19)

令，由已知条件知。

于是，方程(19)变为

(20)

对方程(20)运用类似(6)~(8)式的方法得到

(21)

所以，故，由引理2知即，至多除去一个例外。

定理3的证明：由引理3知，，至多可能除去一个例外。由定理1，定理2的证明方法及结论易得。