摘要: Landau-Lifshitz方程是描述磁性物质动态磁化现象的方程，而研究磁性物质是非常有意义的。目前学者们构造了部分精确解，本文利用Fourier展开研究无外加磁场且耗散项为零时的Landau-Lifshitz方程，给出方程有限项的迭代关系。
Abstract:
Landau-Lifshitz equations describes magnetic phenomena of magnetization dynamics equation; studying the material is very meaningful. Scholars have constructed some explicit solutions. In this paper, we study the Landau-Lifshitz equations, which have no external magnetic field and the dissipation term is zero, by Fourier expansion. And we also give the iterative relations of finite terms of the equation.
1. 引言
1935年，Landau和Lifshitz在研究铁磁体的磁导率时，给出了如下的磁化运动方程 [1] [2] ：
其中
，
是常数，
效应场
被定义为
。
在静态条件下或阻尼很强时，得
在没有外加磁场的情况下，方程可写为
方程中的第一项表示磁化强度
绕效应场
的运动，第二项表示耗散，称之为耗散项或Gilbert项。
上述三个方程是人们对铁磁体的磁化运动研究从定性分析到定量分析的飞跃。弄清这三个模型对于进一步认识铁磁体的磁化运动规律很重要，因此它们引起了许多物理学家和数学家的重视。
2. 对Landau-Lifshitz方程的常微分求解
这里针对无外加磁场的Landau-Lifshitz方程
本文优先考虑将方程化为常微分方程并求解，假设
通过
计算能够计算出
则
将
，
带入原方程便得到如下常微分方程组：
其中
。
对上述方程组等号两边同时对
求积分得：
分部积分得
同理可得
3. Landau-Lifshitz方程的Fourier展开
3.1. 通过计算
，
得
将上述结果代入原方程
运用积化和差公式化简得：
3.2. 两边与
做点乘后，在
上分别积分
注意到
则有
合并同类项得
当
时，有
，此时
因此得出
为任意的常向量。
3.3. 两边与
做点乘后，在
上分别积分
注意到
则有
得
3.4. 有限项的Landau-Lifshitz方程
假设方程是有限项的，且前
项都已知，用前
项表示出第
项。因此假设
有 [3] [4]
因为
且
，所以有如下结论成立：
故方程可以化简为
同理
因为
且
，所以有如下结论成立：
对于上面两个方程，令
，
又
为方便我们令
所以原方程可以写成如下形式
即
令
两边同乘
得 [5] [6]
。