1. 引言
在文献 [1] [2] [3] 中，作者们介绍了生物学的一些反应扩散模型，讨论的问题是借助于均匀底空间的非均匀流形的扩散性，对于这些非均匀性的问题，长期以来都是采取均匀底空间上讨论非均匀的丛空间，这样给问题的研究带来很多麻烦。
本文从最基本问题探讨，我们知道，瑞士数学家欧拉在1777系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号i作为虚数的单位，建立了复变函数理论，随后发现复数与调和函数有密切的联系 [4] [5] [6] ，在文献 [7] [8] 建立了广义解析函数理论，这些问题自然与扩散问题也有紧密联系，从而可以用复变函数理论解扩散问题的解，但当空间非常不均匀，扩散也不均匀时，解决问题会非常繁琐，鉴于上述问题，本文试图推广复数的定义到广义复数，具体就是对虚数单位一般化，定义j为虚数单位，但它的模不是1，这样保证在变化过程中不均匀变化，为了更突出我的问题的实际意义又不与文献 [7] [8] 概念混淆，我们把这种广义的复数称为非均匀复数，它上的函数称为非均匀复变函数。
2. 非均匀复数的定义及性质
2.1. 非均匀复数的定义
考虑到复数在各个领域的广泛应用，我们对复数单位做进一步推广，定义非均匀复数。
定义集合，其中，为实数，。
在中引入数乘
在中引入加法
定理2.1 在上式数乘和加法运算下，为上的一个线性空间。
证：
因为，所以
即证明为上的一个线性空间。
在中引入乘法
定理2.2为上的一个域。
证：为中任意元素，为中任意非零元素，
。上的加法运算构成加群
可以看出，即对加法满足结合律。
，，
即中乘法对加法满足左右分配律则称对这两个代数运算作成一个环。
易知，且有单位元1，对于中任意的非零元素，其共轭为，定义，可得的逆元，则知每个非零元都有逆元，得出为一个除环，又因，所以为一个可换除环，称为域。
定义2.1 满足定理2.1、2.2的称为非均匀复数。
3. 非均匀复变函数定义及性质
3.1. 非均匀复变函数的概念
非均匀复变函数的定义，类似于复变函数的定义，形式上和数学分析中函数定义相同，此时自变量和函数的取值均为新定义的非均匀复数.在定义函数之前，根据复平面点集的几个基本概念，我们可以推广到广义复平面上。
定义3.1 由不等式所确定的平面点集(简称点集)，就是以为圆心，以为半径的圆，称为点的邻域。
注3.1：考虑点集，同样也有聚点或极限点、孤立点、外点、闭集、内点、开集、边界点、边界的概念，与复变平面定义相同，在此不再一一赘述。
定义3.2设：从到的映射，则称为为上的非均匀复函数。
3.2. 非均匀复变函数的极限和连续性
定义3.3 设函数于点集上有定义，为的聚点如存在非均匀复数，对任给的，有，只要，就有
则称函数沿于有极限，并记为
定义3.4 设函数在点集上有定义，为 的聚点，且，若
即对任给的，有，只要，就有
则称沿于连续。
如函数在点集上各点均连续，则称在上连续。
3.3. 非均匀复变函数的导数
定义3.5 设函数在点的领域内或包含的区域内有定义，考虑比值
如果当按照任意方式趋于时，即当按照任意方式趋于0时，比值的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数在的导数，并记为即
这时称函数于点可导。
设函数在点z可导，于是
即是
，
其中为比高阶的无穷小。
称为在点的微分，记为或，此时也称在点可微，即
特别，当时，，于是上式为，即
由此可见：在处可导与在处可微是等价的。
3.4. 非均匀复变函数的解析性
定义3.6 如果函数在区域内可微，则称为区域内的解析函数，或称函数在区域内解析。函数在某点解析，是指在该点的某一个邻域内是解析的；函数在某个闭域解析，是指在包含该闭域的某区域内解析。
3.5. 非均匀复变函数的解析性与偏微分方程的关系
为了描述非均匀复变函数的解析性与偏微分方程的关系，不妨假设
是非均匀复变元的一个定义在区域内的函数，当二元实数及给定时，此函数也就完全确定。
我们假设函数是可微的，那么其实部与虚部应当不是相互独立的，这是必须满足一定的条件的仿照柯西-黎曼方程(简称C.-R.方程)的探讨方法。
若在某一点可微，而且设
又设，其中
于是变为
无论是按什么方式趋于零时，总是成立的，先设，即变点沿平行于实轴的方向趋于点，此时变成
于是可知必然存在，且有
同样，设，即变点沿平行于虚轴的方向趋于点，此时成为
由上面两式子得出，
这是类似于柯西-黎曼方程的关于及的偏微分方程，我们称为非均匀柯西-黎曼方程(简称广义C.-R.)根据以上讨论，我们获得如下结论：
定理3.1设函数在区域内有定义，且在内一点可微，则必有
偏微分在点存在；在点满足广义C.-R.方程。
而且这是可微的必要条件，并非充分的。
定理3.2设函数在区域内有定义，且在内一点可微，则必有
(1) 偏微分在点可微；
(2)在点满足广义C.-R.方程。
这是可微的充要条件。
证明：根据上述非均匀柯西-黎曼方程可知，当条件(1) (2)满足时，在点的导数可以表示为
(必要性)设在内一点 可微，则
其中是随而趋于零的复数，若令
则
这里是的高阶无穷小。
比较上式两段的实、虚部，即得
由数学分析中二元函数的微分定义即知，与在点可微，且
(充分性)由与的可微性可知，在中有
其中是的高阶无穷小。
再由广义C.-R.方程，可设
于是就有
或
其中随而趋于零。因为
所以
即
定理3.3设函数在区域内有定义，且在内一点可微，则必有
(1) 偏微分在点连续；
(2)在点满足非均匀C.-R.方程。
这是可微的充分条件。
定理3.4设函数在区域内解析，则
(1) 二元函数在区域内可微；
(2)在内满足非均匀C.-R.方程。
定理3.5设函数在区域内解析，则
(1) 偏微分在内连续；
定理3.4和3.5都是函数解析的充要条件。
3.6. 一些基本解析函数
例3.1：证明函数可导。
证明：(1)时，
(2)时，
(n)时，
例3.2：考虑函数在平面上的解析性。
不妨令，
根据定义
从而有，在平面上处处连续，且满足非均匀C.-R.方程。
由定理3.5可知，
在平面上是解析的。
4. 初等解析函数
4.1. 非均匀指数函数
由例3.2我们知道在平面上是解析的，且有，
因此我们自然可以给出下面的定义：
定义4.1 对于任何非均匀复数，我们定义下面的函数为非均匀指数函数：
对于非均匀指数函数，易得下面的一些性质：
如，我们定义与实指数函数的定义一致；
在平面上市解析的；
是以为基本周期的周期函数；
如果，我们有：
4.2. 非均匀三角函数
由，得，由于前面两公式中的以任意非均匀复数取代左边有意义，因此我们给出非均匀三角函数的定义：
定义4.2定义
，分别称为的正弦和余弦函数。
5. 非均匀解析函数与非均匀拉普拉斯方程的关系
设为非均匀解析函数，其中，假设是有两阶连续偏导数的实函数，在这些假设中，我们获得如下定理：
定理5.1设为非均匀解析函数，其中，假设是有两阶连续偏导数的实函数，则有。
证明：因为为非均匀解析函数,有非均匀C.R.条件：
两边对求偏导，再利用是有两阶连续偏导数的实函数，就可以获得：
。
注5.2：在经典的复变函数理论中，若有是解析的，利用Cauchy积分理论，可以得到的任意阶导数，从而我们就可以自然获得是有两阶连续偏导数的实函数，但是我们由于篇
幅所限，积分理论这一部分在我们准备完成的后续论文中，且我们把方程称为非均匀拉
普拉斯方程，我们可以预见，定理5.1是一个充分必要条件。
6. 结论
本文给出了非均匀复数和非均匀解析函数的定义，建立了非均匀解析函数与偏微分方程的关系。还有很多进一步讨论的内容，如何建立非均匀复函数的积分理论，是否有Cauchy积分公式和积分定理；偏微分方程与非均匀解析函数的关系，类似的留数定理；以及在物理，力学的应用。
基金项目
中国计量大学第十九届学生科研计划项目资助。浙江省自然科学基金资助，项目编号：LY16A010009。
参考文献