弗兰克–赫兹实验灯丝电压对实验结果影响的研究

Study on the Effect of Filament Voltage in the J. Frank-G. Hertz Experiment on the Experimental Results

摘要: 本文探究了灯丝电压变化对弗兰克–赫兹实验实验结果影响，可以得出大致的灯丝工作温度，通过所测I_A-U_G2K曲线，得知弗兰克–赫兹实验在相同U_K下I_A-U_G2K特征曲线极大值位置连线成一条直线，不同灯丝电压各条直线的交点恰好为拒斥电压U_G2A的大小。

Abstract: The influence of the filament voltage variation on the experimental results of J. Frank-G. Hertz Experiment is investigated. The approximate temperature of the filament can be obtained. With the curve I_A-U_G2K measured, it is found that in the J. Frank-G. Hertz Experiment with the same U_K, the maximum positions of the characteristic curve I_A-U_G2K could be linked together as a straight line, and the intersection of the lines with different filament voltages is just the same as the size of the spurn voltage U_G2A.

1. 引言

1913年，丹麦物理学家玻尔(N. Bohr)提出了氢原子的量子模型，指出原子存在能级，原子光谱中的每条谱线来自于原子从某一个较高能态向另一个较低能态跃迁时的辐射，从而成功地解释了氢原子光谱规律。1912~1914年夫兰克和赫兹进行了一系列实验来证明这一理论。他们利用电场使热阴极电子加速获得能量，与管中汞蒸气原子发生碰撞，实验发现电子能量末达到某一临界值时，电子与汞原子发生弹性碰撞，电子不损失能量；当电子能量达到某一临界值时，发生非弹性碰撞，电子的一定能量传递给汞原子，使后者激发，并观察到汞原子跃迁发射的谱线。夫兰克–赫兹实验(简称F-H实验)表明原子的能量只能是一系列离散值，这说明原子的能级的存在，从而直接证明了原子的量子理论的正确性。这一研究成果使夫兰克和赫兹同获1925年诺贝尔物理学奖 [1]。

F-H实验至今仍是探索原子结构的重要手段之一，实验中用的“拒斥电压”筛去小能量电子的方法，己成为广泛应用的实验技术，并已成为一个传统而重要的大学物理实验项目。该实验除了能验证原子能级的存在，还涉及到热电子发射、电子与原子的碰撞过程，以及原子能级跃迁与光的发射、光电效应等物理过程，可以为学生提供多方面的观察与研究。因此，在F-H实验中，影响实验结果的因素十分复杂，影响弗兰克–赫兹法测能级的因素有很多，主要的有灯丝电压、第一栅极电压、拒斥电压、靶原子浓度、弗兰克–赫兹管尺寸、温度等，要得到理想的实验结果，选择合适的工作参量十分重要 [2][3][4][5][6]。本文主要分析研究灯丝电压对实验结果的影响。

2. 实验装置

弗兰克–赫兹实验装置如图1所示，电子由热阴极发出，阴极K和第一栅极G₁之间的加速电压主要用于消除阴极电子散射的影响，阴极K和栅极G₂之间的加速电压U_G2K使电子加速。在板极A和第二栅极G₂之间加有反向拒斥电压U_{G 2A} 。如果电子通过KG₂进入G ₂A 空间时，能量大于eU_{G 2A} 则电子能被微安表检出。否则的话，由于电子束将原子激发，使得自身能量减小，从而不足以通过G ₂A ，使得检出电流明显减小。

3. 灯丝电压对实验的影响

3.1. 实验原理

我们假设实验中气体分子从灯丝到栅极K的电子几乎没有发生碰撞，那么根据气体分子运动的模型，可以构建如下的灯丝到栅极K的理论模型 [7]：

Figure 1. F-H diagram

图1. F-H装置图

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}v+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{F}{m}=0$ (1)

其中f表示单位坐标空间单位速度空间中粒子数密度。上述方程表示，在没有碰撞情况下，在外场的作用下，粒子数密度变换。对于稳定状况下，f不显含时间，此时方程的第一项为0，则一定有解形如波尔兹曼分布形式

$f=C\exp \left\{-\frac{1}{kT}\left[\frac{1}{2}m{v}^2+E_{\text{p}}\left(x\right)\right]\right\}$ (2)

其中E_p为势能，本实验中为电势能。T为灯丝温度。将灯丝到栅极K考虑成点源和金属平板，则如图2所示。

如果认为灯丝到栅极处没有电子被器壁吸收，且满足能量守恒定律，那么对于灯丝与栅极K所组成的系统而言，有

$f=C\exp \left\{-\frac{1}{kT}\left[\frac{1}{2}m{v}^2-eU\left(x\right)\right]\right\}$ (3)

对于栅极K处所有粒子的中心速度满足

$\frac{1}{2}m{v}^2=e{U}_{\text{K}}$ (4)

这恰好是能量守恒定律所要求的。在式中，C还需要满足归一化条件，

$C{\displaystyle \underset{V_{\text{K}}}{\int }{\text{d}}^{3}x}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\text{d}}^{3}v}\exp \left\{-\frac{1}{kT}\left[\frac{1}{2}m{v}^2-eU\left(x\right)\right]\right\}=1$ (5)

其中V_K表示灯丝与栅极K所组成的系统尺寸。由于此尺寸很小，且上式积分之后C与U_K的多项式有关，而之后的分析表明电流I与电压U_K呈指数关系，因此我们忽略了不同的U_K对常数C的影响。

通过对速度空间积分，可以知道改变U_K得到通过栅极K的粒子数之比应如下述形式：

$\frac{n_2}{n_1}=\exp \left[\frac{e}{kT}\left(U_2-U_1\right)\right]$ (6)

Figure 2. Model of filament to grid K

图2. 灯丝到栅极K模型

其中U₂，U₁两次实验中U_K的数值。上式的意义在于，如果我们认定了粒子分布满足波尔兹曼分布，那么对于处于不同能量状态的粒子，其可能的粒子数之比满足上式。由于U_G1K可以增加到很大，使管中电场强度很高，同时通过与靶原子的碰撞，使得大部分的电子都趋于能量交换的平衡下，此时，可以认为最终检测的电流应该与输入的电子数成正比。即有，

$\frac{I_2}{I_1}=\frac{n_2}{n_1}=\exp \left[\frac{e}{kT}\left(U_2-U_1\right)\right]$ (7)

对上式两边取对数可简化为

$\ln I=AU+B$ (8)

其中 $A=\frac{e}{kT}$

3.2. 实验条件设置

为进一步的研究影响弗兰克–赫兹实验效果的因素，选择在相同条件下，对不同的灯丝电压U_K进行考量。设置如表1参数。

3.3. 实验结果分析

将整个实验的特征曲线绘制成图3，可以看到曲线是呈波动上升的。

改变U_K测定同一级峰谷下所对应的电流，表2不同灯丝电压各级的极小值处对应的电流，表3不同灯丝电压各级极大值出所对应的电流。

根据式(8)，绘制了图4、图5不同灯丝电压各级峰谷所对应曲线。

可以看出各条直线的A系数近似相同，将各个A、B系数制成表4与表5。

因此，我们可以估计灯丝的工作温度，取

$\bar{T}=\frac{e}{k\bar{A}}\approx 1755\text{K}$ (9)

$\Delta T=\left|\bar{T}\frac{\Delta A}{\bar{A}}\right|\approx 30\text{K}$ (10)

则灯丝工作温度大致上在：

$T=\bar{T}\pm \Delta T\approx \left(176\pm 3\right)\times 10\text{K}$ (11)

将整个实验的特征曲线绘制成图6，可以看到曲线是呈波动上升的。图7用最小二乘法处理，显示同一曲线下各个极大值所对应的曲线，每条曲线都形成一条直线。

Table 1. Experimental parameters

表1. 实验参数设置

Table 2. The current (×10−7 A) at the minimum values with different filament voltages

表2. 不同灯丝电压各级极小值处对应的电流(×10⁻⁷ A)大小

Table 3. The current (×10−7 A) at the maximum values with different filament voltages

表3. 各级极大值处对应的电流(×10⁻⁷ A)大小

Table 4. AB parameters at the minimum position

表4. 极小位置下AB系数

Table 5. AB parameters at the maximum position

表5. 极大位置下AB系数

通过观察比较可以发现，图7中各条直线的交点恰好为拒斥电压U_{G 2A} 的大小，在本实验中U_{G 2A} 设置成8 V。

改变灯丝电压U_K可以明显地改善整个特征曲线，使得观察峰值变得更容易，但是灯丝电压不能太大，因为电压过大，阴极温度过高，容易导致阴极蒸发太快而剥落。对于本次实验仪器，灯丝电压U_K在2.5 V左右较为适宜。

Figure 3. Experimental characteristic curve with various filament voltages

图3. 各个灯丝电压下实验特征曲线

Figure 4. The relationship between current and filament voltage at the minimum position

图4. 极小位置下电流与灯丝电压的关系

4. 结论

对灯丝电压与弗兰克–赫兹实验影响进行研究，有以下结论：

Figure 5. The relationship between current and filament voltage at the maximum position

图5. 极大位置下电流与灯丝电压的关系

Figure 6. Experimental characteristic curve with each filament voltage

图6. 各个灯丝电压下实验特征曲线

① 丝电压U_K的增大会使得测量曲线整体的扩大，且检测的电流I随电压呈指数变化，灯丝电压不能过大也不能过小。U_K过大会损坏灯丝，过小会使得微安表检测不出。

Figure 7. The maximum value curves at different filament voltages

图7. 不同灯丝电压下测量曲线的极大值对应的曲线

② 可以通过检测电流I与灯丝电压U_K的关系估计灯丝温度。

③ 通过观察I-U_G2K曲线中各个极大值位置可以知道极大值是随U_G2K线性增加的。

基金项目

本文得到浙江工业大学2016创新性实验教学改革项目资助。