用于流体力学的FHP-II格子气自动机的碰撞规则数字电路实现

Collision Rules and Digital Circuit Implementation of the FHP-II Lattice Gas Automata in Fluid Mechanics

摘要: 本文给出了用于模拟不可压缩流动的FHP-II格子气自动机模型中演化规则的数字电路。利用这个电路，生成了FHP-II的Look-Up表。作为算例，我们模拟了小雷诺数的方腔流动，再现了经典的数值结果。

Abstract: In this paper, a digital circuit for simulating the evolution rules of the FHP-II lattice gas automaton model for incompressible flow is presented. Using this circuit, the Look-Up table of FHP-II is gen-erated. As an example, we simulate the square cavity flow with small Reynolds number. The clas-sical numerical results are reproduced.

1. 引言

上个世纪80年代出现的格子气自动机(Lattice Gas Automata，简记LGA)是模拟流体力学一种方法，由于其无舍入误差和运行速度快等优点受到学术界广泛关注 [1] [2]。Frisch等人应用正六边形网格，构造了包含静止粒子的满足泡利不相容原理的格子气自动机，解决了四阶张量各项同性问题，得到了低雷诺数限制的Navier-Stokes方程，该模型被称为FHP-II模型 [1]。随后的d’Humières，Lallemand和Frisch引入了四维的超四面体FCHC网格将FHP模型推广到了三维问题上 [3]。应用LGA，研究者们已经成功地模拟了许多流动，例如：卡门涡街 [4] 、磁流体力学 [5] [6] 、反应扩散模型 [7] 、Kelvin不稳定 [8]。

格子气自动机的运算是通过对每点的输入状态进行翻转实现的，翻转规则又称演化规则。根据演化规则将所有的输入状态翻转成输出状态，这个二维关系称为Look-Up表 [8] [9]。这样LGA的运算速度很大程度取决于Look-Up表的查找速度。文 [9] [10] 给出了Look-Up表状态编码的抽取和合成方法，并且用这样的Look-Up表实现了几种流动的模拟。到了21世纪，量子格子气自动机应运而生。量子格子气是基于传统格子气的设计思想，将Look-Up表进行量子实现，预期能使数据的处理和计算速度得到大幅度的提升。由此可见，Look-Up表是格子气自动机乃至量子格子气自动机的重要组成部分，而Look-Up表的数字逻辑电路的研究是硬件的基础。本文以FHP-II格子气自动机为例，给出了其Look-Up表的逻辑电路，并用这个电路验证了Look-Up表的正确性，进一步，我们用这样的结果模拟了小雷诺数的方腔流动。

2. FHP-II格子气自动机的演化规则

2.1. FHP-II碰撞规则

我们将二维空间离散成正六边形的网格，每个节点有6个邻点，假设粒子满足泡利不相容原理，则每个节点上的状态变量 $S\left(i,j,k\right)$ 是一个Boolean量，当 $k$ 方向存在粒子时 $S\left(i,j,k\right)=1$ ，否则为零。其中 $i,j$ 表示节点坐标， $k$ 代表粒子运动的7个方向(静止状态也表示为一个方向，取 $k=7$ )，这7个运动方向的定义如图1。

FHP-II格子气自动机共提供4类碰撞规则，这些规则满足粒子守恒和动量守恒。基于流体介质的各项同行要求，碰撞是满足旋转对称的，这样一共有17种具体的规则 [9] [10]。

1) 两个粒子对头碰撞，1、4方向碰撞，输出为3、6方向，或者2、5方向。通过旋转，这种对头碰撞有3种情况。

2) 一运动粒子与一静止粒子碰撞，1、7碰撞，输出为2、5方向，这种有6种情况。

3) 两粒子120度输入，得到一静止粒子和第三个方向，即2、6方向碰撞输出为1、7方向，共6种情况。

4) 夹角120度的三粒子碰撞，即1、3、5，碰撞输出为2、4、6方向，共2种情况。

Figure 1. Schematic diagram of node orientation

图1. 节点方向示意图

2.2. Boolean动力学方程

上面的FHP-II格子气自动机的碰撞规则，可以用Boolean动力学方程描述 [11] ：

$\begin{array}{c}{R}_1=S_1+S_2{S}_7\left(1-S_1\right)\left(1-S_3\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_5\right)\left(1-S_6\right)\\ +S_6{S}_7\left(1-S_1\right)\left(1-S_2\right)\left(1-S_3\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_5\right)\\ +\frac{1}{2}{S}_3{S}_6\left(1-S_1\right)\left(1-S_2\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_5\right)\left(1-S_7\right)\\ +\frac{1}{2}{S}_2{S}_5\left(1-S_1\right)\left(1-S_3\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_6\right)\left(1-S_7\right)\\ +S_2{S}_6\left(1-S_1\right)\left(1-S_3\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_5\right)\left(1-S_7\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}+S_2{S}_4{S}_6\left(1-S_1\right)\left(1-S_3\right)\left(1-S_5\right)\left(1-S_7\right)\\ -S_1{S}_7\left(1-S_2\right)\left(1-S_3\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_5\right)\left(1-S_6\right)\\ -S_1{S}_4\left(1-S_2\right)\left(1-S_3\right)\left(1-S_5\right)\left(1-S_6\right)\left(1-S_7\right)\\ -S_1{S}_3\left(1-S_2\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_5\right)\left(1-S_6\right)\left(1-S_7\right)\\ -S_1{S}_5\left(1-S_2\right)\left(1-S_3\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_6\right)\left(1-S_7\right)\end{array}$

$-S_1{S}_3{S}_5\left(1-S_2\right)\left(1-S_4\right)\left(1-S_6\right)\left(1-S_7\right)$

其中， $S_k=S\left(i,j,k\right)$ ， $R_k=R\left(i,j,k\right)$ ，同理可得类似的 $R_2,R_3,\cdots ,R_7$ 的Boolean动力学方程。上述方程中的运算均为逻辑运算，式子中的 $\frac{1}{2}$ 表示发生概率。我们将输入状态排列成7位的二进制数，其对应的整

数称为状态数。同样输出状态也可以表示成状态数。这样，在任何一个输入便得到输出，根据上面的演化规则，以及Boolean动力学方程，可得到输入输出的二维关系表，即Look-Up表。表1给出了FHP-II模型的Look-Up表。图2中，我们给出了发生碰撞的输入输出的状态分布。可以发现，大多数的输入数与输出数相同，这表示只有17个情况发生碰撞，与前文2.1部分的理论结果一致。

Table 1. Look-Up table of FHP-II lattice gas automata

表1. FHP-II格子气自动机的Look-Up表

Figure 2. Figure of relation between input number and output number

图2. 输入数与输出数的关系图

2.3. FHP-II碰撞规则的数字逻辑电路

图3中分别给出了输出 $P_1\cdots P_{11}$ ，其中符号表示与门电路，符号表示非门电路，符号表示或门电路，符号表示异或门电路，符号表示在两个输入端中随机取其中一个的判断器。

Figure 3. Circuit representation of R₁

图3. R₁的电路表示图

同样的，如果分别设 $P_0=S_2,S_3,\cdots ,S_7$ ，我们也可以得到 $R_2,\cdots ,R_7$ 的电路图。如果将各个 $R$ 的电路表示做成一个小的电路元件，那么以上的所有电路可以整合成如下的总电路图，如图4。

Figure 4. The digital circuit of FHP-II rule

图4. FHP-II规则的数字电路

其中，带小方格的 $A,B,\cdots ,G$ 分别为表示 $R_1,R_2,\cdots ,R_7$ 的电路元件。这样，只要输入一组 $S_1,S_2,\cdots ,S_7$ 的值，我们便可以立即得到FHP-II规则下对应的 $R_1,R_2,\cdots ,R_7$ 的值。

为了验证电路图的可靠性，我们给出所有的 $S_1,S_2,\cdots ,S_7$ 的取值，利用上述电路图得出的 $R_1,R_2,\cdots ,R_7$ 的值，与利用碰撞规则和Boolean动力学的结果完全一致。

3. 算例

作为算例，我们利用上面的逻辑电路生成Look-Up表进行计算。在程序中，先将Look-Up表读入内存，然后，在每个迭代步中进行查表。具体的例子是方腔流动。

选择网格数128 × 128，方腔上边界速度U = 0.2，雷诺数Re = 30.71，迭代50,000步，从48,000步开始做时间统计平均。方腔的下、左、右边界均为无滑移边界条件 [12] ，在方腔上边界处放置一个均匀向右运动的薄板，这意味着上边界是均匀流动并且方腔内的流体质点运动到上边界后“回弹”至方腔流体内部。

从图5(a)中可以看到，方腔内部存在一个顺时针的大涡旋，方腔右下角处存在类似涡旋的混乱，图5(b)给出了方腔流动的流线图。可以清楚看到涡旋出现，再现了该问题经典算法的定性结果 [13]。

(a) (b)

Figure 5. (a) Velocity field in square cavity flow, (b) Streamline

图5. (a) 方腔流动速度场，(b) 流线

4. 结论

本文给出了FHP-II格子气自动机的演化规则的数字逻辑电路，利用此逻辑电路达到的结果与利用碰撞规则和Boolean动力学的结果完全一致。在此基础上，我们计算了小雷诺数的方腔流动，结果是令人满意的。

Look-Up表的逻辑线路是格子气自动机电路的主要部分，仍然有许多问题需要研究，例如将流的过程加入数字电路中，更进一步，整体格子气自动机的线路的实现将是非常有意义的。

致谢

国家自然科学基金(NO. 11602033, NO. 11272133)资助。

NOTES

^*通讯作者。