Dirichlet空间上Hardy型Toeplitz算子的紧性

Compactness of Hardy-Type Toeplitz Operators on the Dirichlet Space

摘要: 本文讨论了Dirichlet空间上由Szegö投影以及有界调和符号诱导的Hardy型Toeplitz算子的半交换性、紧性、Fredholm性质和本质谱。给出了此算子紧的充分必要条件为算子的符号为零。同时，指出了两个算子的乘积仍然是Toeplitz算子时符号所满足的条件，并计算了本质谱。

Abstract: In this paper, we study the semi-commutativity, compactness, Fredholm properties and essential spectrum of Hardy-Type Toeplitz operators which are induced by Szegö projection and bounded harmonic symbol on the Dirichlet space. It gives that the operator is compact if and only if its symbol is zero. Also, it points out that the condition about the product of two operators is still a Toeplitz operator, and calculates the essential spectrum.

1. 引言

记 $\mathbb{D}$ 为复平面上的单位开圆盘， $\partial \mathbb{D}$ 表示开圆盘的边界， $\text{d}A=\frac{r}{\text{π}}\text{d}r\text{d}\theta$ 表示正规的面积测度。Sobolev空间 $L^{2，\text{1}}$ 是由单位开圆盘 $\mathbb{D}$ 上满足 ${\left|{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}u\text{d}A}\right|}^2\text{+}{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\left({\left|\frac{\partial u}{\partial z}\right|}^2+{\left|\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}\right|}^2\right)}\text{d}A<\text{+}\infty$ 的函数 $u$ 构成的空间，且空间 $L^{2，\text{1}}$ 在内积

${\langle u,v\rangle }_{L^{2，\text{1}}}={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}u\text{d}A}{\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}\bar{v}\text{d}A}+{\langle \frac{\partial u}{\partial z}，\frac{\partial v}{\partial z}\rangle }_{L^2}+{\langle \frac{\partial u}{\partial \bar{z}}，\frac{\partial v}{\partial \bar{z}}\rangle }_{L^2}$

下构成Hilbert空间。

Bergman空间 $L_a^2$ 是由 $L^2\left(\mathbb{D},\text{d}A\right)$ 中所有解析函数构成的空间。 $L_a^2$ 是Hilbert空间，其内积规定为 $\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{\mathbb{D}}f\bar{g}}\text{d}A$。Dirichlet空间 $D$ 是由Sobolev空间 $L^{2，\text{1}}$ 中导数属于 $L_a^2$ 且在原点取值为0的解析函数构成的空间。因此 $D$ 也是Hilbert空间，内积为 ${\langle f,g\rangle }_D=\langle f^{\prime },g^{\prime }\rangle$。

Douglas在文 [1] 中讨论了Hardy空间上Teoplitz算子的交换性。此外，Zhu & Zheng [2] 主要刻画了Hardy空间和Bergman空间上的空间理论和算子理论。由于Dirichlet空间是由函数导数来定义的，因此其性质结构与经典的Hardy空间，Bergman空间有着许多的不同之处。Cao [3] 讨论了Dirichlet空间上Toeplitz算子的Fredholm性质及本质谱。Duistermaat [4] 讨论了带调和符号的Toeplitz算子的交换性。Yu [5] 刻画了Dirichlet空间的Toeplitz算子是紧的当且仅当此算子为零算子。在 [6] 中，Chartrand主要研究了Hardy型、Bergman型算子的有界性问题。

本文主要讨论了Dirichlet空间上Hardy型Toeplitz算子的半交换性、紧性、Fredholm性质和本质谱。

2. 预备知识

我们知道空间 $D\subset H^2$ (Hardy空间)。令 $P_H$ 表示从 $L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)$ 到 $H^2\left(\mathbb{D}\right)$ 上的正交投影。如果边界 $\partial \mathbb{D}$ 上的函数 $\phi$ 满足 $\phi D\subset L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)$，则我们可以定义从 $D$ 到 $H^2$ 的Toeplitz算子为

$T_{\phi }f=P_H\left(\phi f\right)={\displaystyle {\int }_{\partial \mathbb{D}}\phi f\left(e^{i\theta }\right)}\frac{1}{1-z{e}^{-i\theta }}\frac{\text{d}\theta }{2\text{π}}$， (1)

其中 $z\in \mathbb{D}$， $f\in D$ 且 $K_z\left(e^{i\theta }\right)=\frac{1}{1-\bar{z}{e}^{i\theta }}$ 表示Szegö投影的核。

记调和函数

$\phi ={\phi }_1+{\bar{\phi }}_2={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{a}_n}{\chi }_n+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{a}_{-n}}{\chi }_{-n}$，

其中 ${\phi }_{\text{1}}$， ${\phi }_{\text{2}}$ 是解析函数。记正整数集为 ${\mathbb{Z}}^{\text{+}}$，由于 $\left\{\frac{z^l}{\sqrt{l}}\right\}\left(l\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$ 是空间 $D$ 的标准正交基，所以 $f={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{b}_l}\frac{z^l}{\sqrt{l}}$， $$。从而

$P_H\left(\phi f\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{a_n{b}_l}{\sqrt{l}}}}{z}^{n+l}+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{l}{\sum }}\frac{a_{-n}{b}_l}{\sqrt{l}}}}{z}^{l-n}=P_1+P_2$。

令 ${\hat{\phi }}_{\text{1}}$ 表示 ${\phi }_{\text{1}}$ 的Poisson积分。如果 ${\hat{\phi }}_{\text{1}}\in D$， ${\phi }_{\text{2}}\in L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)$，则

${\Vert P_1\Vert }_D^2={\Vert {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{a_n{b}_l}{\sqrt{l}}}}{z}^{n+l}\Vert }_D^2={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{n+l}{l}}}{\left|a_n{b}_l\right|}^2\le {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\left|a_n{b}_l\right|}^2}}+{\Vert {\hat{\phi }}_1\Vert }_D^2{\Vert f\Vert }_D^2$，

${\Vert P_2\Vert }_D^2={\Vert {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{l}{\sum }}\frac{a_{-n}{b}_l}{\sqrt{l}}}}{z}^{l-n}\Vert }_D^2={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{l}{\sum }}\frac{l-n}{l}}}{\left|a_{-n}{b}_l\right|}^2\le {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{l}{\sum }}{\left|a_{-n}{b}_l\right|}^2}}\le {\Vert {\phi }_2\Vert }_{L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)}^2{\Vert f\Vert }_D^2$。

设 $\phi$ 是边界 $\partial \mathbb{D}$ 上的有界调和函数，令 $G=\left\{\phi :{\hat{\phi }}_{\text{1}}\in D,{\phi }_{\text{2}}\in L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)\right\}$。若 $\phi \in G$ 满足 $\phi D\subset L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)$，那么Toeplitz算子 $T_{\phi }$ 可以定义在空间 $D$ 上。因为 ${\Vert P_1\Vert }_D^2\le 2{\Vert {\hat{\phi }}_1\Vert }_D^2{\Vert f\Vert }_D^2$， ${\Vert P_{\text{2}}\Vert }_D^2\le {\Vert {\phi }_2\Vert }_{L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)}^2{\Vert f\Vert }_D^2$ 且 $P_{\text{1}}$ 和 $P_{\text{2}}$ 正交，则此算子 $T_{\phi }$ 在空间 $D$ 上是有界的。

3. 紧性和半交换性

我们称 $\phi$ 是可导的指的是它到圆盘内部的Possion扩张是可导的。为了方便，这种意义下，我们不再区分 $\phi$ 和它的Possion扩张。一般地，。在 [7] 中，我们讨论了 $T_{\phi }^{*}\text{=}{T}_{\bar{\phi }}$ 的充要条件是 $\phi$ 为常值。

定理3.1：设 $\phi \in G$。如果 $\frac{\partial \bar{\phi }}{\partial z}\in L_a^2$，则 $T_{\phi }^{*}-T_{\bar{\phi }}$ 是紧算子当且仅当 $\phi$ 是共轭解析的。

证明：对 $\forall f,g\in D$，我们有

$\begin{array}{c}{\langle \left(T_{\phi }^{*}-T_{\bar{\phi }}\right)f,g\rangle }_D={\langle f,T_{\phi }g\rangle }_D-{\langle T_{\bar{\phi }}f,g\rangle }_D\\ ={\langle f,\phi g\rangle }_{L^{2,1}}-{\langle \bar{\phi }f,g\rangle }_{L^{2,1}}\\ =\langle f^{\prime },\frac{\partial \phi }{\partial z}g\rangle -\langle \frac{\partial \bar{\phi }}{\partial z}f,g^{\prime }\rangle \end{array}$。

不失一般性，令 $f_l=z^l$， $g=z^k\left(k\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$，则 $f_l$ 在 $D$ 上弱收敛到0。从而

$\begin{array}{c}{\langle \left(T_{\phi }^{*}-T_{\bar{\phi }}\right)f_l,g\rangle }_D=\langle f_l{}^{\prime },{\phi }_1{}^{\prime }g\rangle -\langle {\phi }_2{}^{\prime }{f}_l,g^{\prime }\rangle \\ =\langle l{z}^{l-1},{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}n{a}_n{z}^{n-1+k}}\rangle -\langle {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}n{\bar{a}}_{-n}{z}^{n-1+l}},k{z}^{k-1}\rangle \end{array}$。

对固定的 $k$，总有 $l>k$。因此，我们有

${\langle \left(T_{\phi }^{*}-T_{\bar{\phi }}\right)f_l,g\rangle }_D\text{=}\langle l{z}^{l-1},{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}n{a}_n{z}^{n-1+k}}\rangle \text{=}\left(l-k\right){\bar{a}}_{l-k}$。

于是，若 $T_{\phi }^{*}-T_{\bar{\phi }}$ 是紧算子，则 ${\Vert \left(T_{\phi }^{*}-T_{\bar{\phi }}\right)f_l\Vert }_D^{}\to \text{0}$。因此，由Cauchy-Schwarz不等式知 $\left(l-k\right)\left|{\bar{a}}_{l-k}\right|\to \text{0}$。进一步地，我们有 $$。又因为系数 $l-k\in \mathbb{N}$ (自然数)，故必要条件得证。反之，显然。证毕。

定理3.2：如果 $\phi \in G$，则 $T_{\phi }$ 紧当且仅当 $\phi =\text{0}$。

证明：显然，如果 $\phi \text{=0}$，则 $T_{\phi }$ 是紧的。若 $T_{\phi }$ 紧，令 $f_l=\frac{z^l}{\sqrt{l}}\left(l\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$，则 ${\Vert f_l\Vert }_D=1$， $f_l\stackrel{w}{\to }0$， ${\Vert T_{\phi }{f}_l\Vert }_D\to 0$。因为 $\frac{1}{1-z{e}^{-i\theta }}\text{=}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{e}^{-ik\theta }}{z}^k$，于是由(1)知，

$T_{\phi }{f}_l\left(z\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{\text{2π}}\left(\phi f\right)}\left(e^{i\theta }\right)e^{-ik\theta }\frac{\text{d}\theta }{2\text{π}}}{z}^k={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\langle \phi f,{\chi }_k\rangle }_{H^2}}{z}^k$。

又 $\phi f\left(e^{i\theta }\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{a_n}{\sqrt{l}}}{\chi }_{n+l}+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{a_{-n}}{\sqrt{l}}}{\chi }_{l-n}$，则

${\Vert T_{\phi }{f}_l\Vert }_D^2={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\left|{\langle \phi f,{\chi }_k\rangle }_{H^2}\right|}^2}{\langle z^k,z^k\rangle }_D={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{k}{l}}{\left|a_{k-l}\right|}^2$。

因此，对 $\forall \epsilon >0$， $\exists N\in {\mathbb{Z}}^{\text{+}}$，当 $l>N$ 时有 $\underset{l\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{k}{l}}{\left|a_{k-l}\right|}^2<\epsilon$。固定 $l_0\left(l_0>N\right)$，对 $\forall k\in \mathbb{N}$，我们有 $\frac{k}{l_{\text{0}}}{\left|a_{k-l_0}\right|}^2<{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{k}{l_{\text{0}}}}{\left|a_{k-l}\right|}^2<\epsilon$，于是 $\left|a_{k-l_0}\right|\text{=0}$，即 $a_{k-l_0}\text{=0}$。又因为 $k\ge 0$，从而当 $l_0\to +\infty$ 时，系数 $k-l_0$ 可以取遍整数集。故 $a_n=0\left(n\in \mathbb{Z}\right)$，进而 $\phi =0$。证毕。

接下来，我们考虑两个算子的乘积的紧性问题。假设

$\psi ={\psi }_1+{\bar{\psi }}_2={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{b}_m}{\chi }_m+{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{b}_{-m}}{\chi }_{-m}$。

定理3.3：如果 $\phi ,\psi \in G$，则 $T_{\phi }{T}_{\psi }-T_{\phi \psi }$ 是紧算子当且仅当 $\phi$ 共轭解析或 ${\bar{\psi }}_{\text{2}}$ 是多项式。

证明：对 $l\in {\mathbb{Z}}^{+}$，我们有

$\begin{array}{c}{T}_{\phi }{T}_{\psi }{z}^l=P_H\left[\phi P_H\left(\psi z^l\right)\right]\\ =P_H\left[\left({\phi }_1+{\bar{\phi }}_2\right)\left({\hat{\psi }}_1{z}^l+P_H\left({\bar{\psi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)\right]\\ ={\hat{\phi }}_1{\hat{\psi }}_1{z}^l+P_H\left({\bar{\phi }}_2{\psi }_1{z}^l\right)+P_H\left({\phi }_1{P}_H\left({\bar{\psi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)+P_H\left({\bar{\phi }}_2{P}_H\left({\bar{\psi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)\end{array}$，

$\begin{array}{c}{T}_{\phi \psi }{z}^l\text{=}{P}_H\left(\phi \psi z^l\right)\\ =P_H\left(\left({\phi }_1{\psi }_1+{\phi }_1{\bar{\psi }}_{\text{2}}+{\bar{\phi }}_{\text{2}}{\psi }_1+{\bar{\phi }}_{\text{2}}{\bar{\psi }}_{\text{2}}\right)z^l\right)\\ ={\hat{\phi }}_1{\hat{\psi }}_1{z}^l+P_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{\psi }_1{z}^l\right)+P_H\left({\phi }_1{\bar{\psi }}_{\text{2}}{z}^l\right)+P_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{\bar{\psi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\end{array}$。

此外，

$P_H\left({\phi }_1{P}_H\left({\bar{\psi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)\text{=}{P}_H\left[\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{a}_n}{\chi }_n\right)P_H\left({\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{b}_{-m}}{\chi }_{-m}{z}^l\right)\right]={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{l}{\sum }}{a}_n{b}_{-m}}}{z}^{l+n-m}$， (2)

$P_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{P}_H\left({\bar{\psi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)\text{=}{P}_H\left[\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{a}_{-n}}{\chi }_{-n}\right)\left({\displaystyle \underset{m=1}{\overset{l}{\sum }}{b}_{-m}}{z}^{l-m}\right)\right]={\displaystyle \underset{m=1}{\overset{l-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{l-m}{\sum }}{a}_{-n}{b}_{-m}}}{z}^{l-n-m}$， (3)

$P_H\left({\phi }_1{\bar{\psi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\text{=}{P}_H\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{a}_n}{\chi }_n{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{b}_{-m}}{\chi }_{-m}{z}^l\right]={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{l+n}{\sum }}{a}_n{b}_{-m}}}{z}^{l+n-m}$， (4)

。 (5)

记 $\Delta \text{=}{T}_{\phi }{T}_{\psi }-T_{\phi \psi }$，则由等式(2)，(3)，(4)和(5)知，

${\Vert \Delta \left(z^l\right)\Vert }_{H^2\left(\mathbb{D}\right)}^2={\Vert {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l+1}{\overset{l+n}{\sum }}{a}_n{b}_{-m}}}{z}^{l+n-m}\Vert }_{H^2\left(\mathbb{D}\right)}^2={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l+1}{\overset{l+n}{\sum }}{\left|a_n{b}_{-m}\right|}^2}}$。 (6)

由于 $z^l$ 在空间 $D$ 中是弱收敛到0的，从而如果 $T_{\phi }{T}_{\psi }-T_{\phi \psi }$ 是紧算子，则对 $\forall \epsilon >0$， $\exists L\in {\mathbb{Z}}^{+}$，当 $l>L$ 时有

$\underset{l\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l+1}{\overset{l+n}{\sum }}{\left|a_n{b}_{-m}\right|}^{\text{2}}}}<\epsilon$。

令 $l=l_0>L$，则

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l_0+1}{\overset{l_{\text{0}}+n}{\sum }}{\left|a_n{b}_{-m}\right|}^2}}<\epsilon$。 (7)

由(7)有， $\underset{N\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l_0+1}{\overset{l_{\text{0}}+n}{\sum }}{\left|a_n{b}_{-m}\right|}^2}}<\epsilon$。因此对整数 $n=n_0\in \left[1,N\right]$，我们有

${\left|a_{n_0}{b}_{-m}\right|}^2<{\displaystyle \underset{m=l_0+1}{\overset{l_0+n_0}{\sum }}{\left|a_{n_0}{b}_{-m}\right|}^2}<\epsilon$。

于是对整数 $n\in \left[1,+\infty \right)$ 有 ${\left|a_n{b}_{-m}\right|}^2=\text{0}$，即 $\left|a_n\right|=0$ 或 $\left|b_{-m}\right|=0$ (整数 $m\in \left[l_0+1,+\infty \right)$ )。从而，如果 $T_{\phi }{T}_{\psi }-T_{\phi \psi }$ 是紧算子，则 $\phi$ 共轭解析或是多项式。

反之，由于 $\left\{\frac{z^l}{\sqrt{l}}\right\}\left(l\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$ 是空间 $D$ 的标准正交基和等式(6)，则充分条件是显然的。证毕。

注：对 $\phi ,\psi \in G$，我们不能保证 $\phi \psi \in G$。一般地， $\Delta \left(z^l\right)\text{=}{T}_{\phi }{T}_{\psi }{z}^l-T_{\phi \psi }{z}^l\notin D$，但是 $\Delta \left(z^l\right)$ 在空间 $H^2\left(\mathbb{D}\right)$ 上却是有意义的。

推论3.4：如果 $\phi ,\psi \in G$ 且 $\psi$ 不是多项式，则 $T_{\phi }{T}_{\psi }=T_{\phi \psi }$ 当且仅当 $\phi$ 是共轭解析的。

证明：对 $\forall f\in D$，记 $f={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{c}_l{z}^l}$， ${\Delta }^{\prime }=T_{\phi }{T}_{\psi }-T_{\phi \psi }$。若 $T_{\phi }{T}_{\psi }=T_{\phi \psi }$，则 ${\Delta }^{\prime }\text{=}0$，从而

${\Delta }^{\prime }\left(z^l\right)={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l+1}{\overset{l+n}{\sum }}{a}_n}}{b}_{-m}}{c}_l{z}^{l+n-m}=0$。

进一步，我们有

${\Vert {\Delta }^{\prime }\left(z^l\right)\Vert }_{H^2\left(\mathbb{D}\right)}^{\text{2}}={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l+1}{\overset{l+n}{\sum }}{\left|a_n{b}_{-m}{c}_l\right|}^2}}}=0$。

于是当 $f\ne 0$ 时，总存在某个 $l$，满足 $c_l\ne 0$。因此，由定理3.3可知， $\phi$ 是共轭解析的。反之，显然。证毕。

定理3.5：如果 $\phi ,\psi \in G$，则 $T_{\psi }{T}_{\phi }-T_{\phi }{T}_{\psi }$ 是紧算子当且仅当下列条件中的一个成立：

1) $\phi$ 或 $\psi$ 共轭解析；

2) ${\bar{\phi }}_{\text{2}}$， ${\bar{\psi }}_{\text{2}}$ 都是多项式。

证明：通过计算，我们有

$T_{\psi }{T}_{\phi }{z}^l={\hat{\phi }}_1{\hat{\psi }}_1{z}^l+P_H\left({\bar{\psi }}_{\text{2}}{\phi }_1{z}^l\right)+P_H\left({\psi }_1{P}_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)+P_H\left({\bar{\psi }}_{\text{2}}{P}_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)$。

同时，

， $P_H\left({\psi }_1{P}_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)\text{=}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{l}{\sum }}{a}_{-n}{b}_m{z}^{l+m-n}}}$，

$P_H\left({\bar{\psi }}_{\text{2}}{P}_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{z}^l\right)\right)\text{=}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{l-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{l-n}{\sum }}{a}_{-n}{b}_{-m}{z}^{l-n-m}}}$。 (8)

记 ${\Delta }^{″}=T_{\psi }{T}_{\phi }-T_{\phi }{T}_{\psi }$。我们已经得到了(2)，(3)，为了计算 ${\Delta }^{″}\left(z^l\right)$，我们还需要计算 $P_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{\psi }_1{z}^l\right)$。事实上， $P_H\left({\bar{\phi }}_{\text{2}}{\psi }_1{z}^l\right)\text{=}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{l+m}{\sum }}{a}_{-n}{b}_m{z}^{l+m-n}}}$。此外，由于等式(3)和(8)是相等的，因此

${\Delta }^{″}\left(z^l\right)={\displaystyle \underset{n=\text{1}}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l+1}{\overset{l+n}{\sum }}{a}_n{b}_{-m}{z}^{l+n-m}}}-{\displaystyle \underset{m=\text{1}}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=l+1}{\overset{l+m}{\sum }}{a}_{-n}{b}_m{z}^{l+m-n}}}$。

从而，

${\Vert {\Delta }^{″}\left(z^l\right)\Vert }_D^{\text{2}}={\displaystyle \underset{n=\text{1}}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l+1}{\overset{l+n}{\sum }}{\left|a_n{b}_{-m}\right|}^2}}\left(l+n-m\right)+{\displaystyle \underset{m=\text{1}}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=l+1}{\overset{l+m}{\sum }}{\left|a_{-n}{b}_m\right|}^2\left(l+m-n\right)}}$。 (9)

如果 $T_{\psi }{T}_{\phi }-T_{\phi }{T}_{\psi }$ 是紧算子，则 ${\Vert {\Delta }^{″}\left(z^l\right)\Vert }_D^{\text{2}}\to \text{0}$。对 $\forall \epsilon >0$ 以及固定的 $l$， ${\Vert {\Delta }^{″}\left(z^l\right)\Vert }_D^{\text{2}}\to \text{0}$ 当且仅当 ${\displaystyle \underset{n=\text{1}}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=l+1}{\overset{l+n}{\sum }}{\left|a_n{b}_{-m}\right|}^2}}\left(l+n-m\right)<\epsilon$， ${\displaystyle \underset{m=\text{1}}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=l+1}{\overset{l+m}{\sum }}{\left|a_{-n}{b}_m\right|}^2\left(l+m-n\right)}}<\epsilon$ 同时成立。故 ${\left|a_n{b}_{-m}\right|}^2=0$ 和 ${\left|a_{-n}{b}_m\right|}^2=0$ 同时成立，从而得到必要条件。反之，由等式(9)易得。证毕。

4. 本质谱

事实上，对Toeplitz算子 $T_{\phi }$ 而言，我们有 $T_{\phi }-\lambda I=T_{\phi -\lambda }$，从而 $\sigma \left(T_{\phi }\right)=\sigma \left(\phi \right)=\Re \left(\phi \right)$ $\left(\phi 的值域\right)$。此外，如果 $T_{\phi }$ 为Fredholm算子，则 ${\sigma }_e\left(T_{\phi }\right)\subset \sigma \left(T_{\phi }\right)=\sigma \left(\phi \right)=\Re \left(\phi \right)$，其中 ${\sigma }_e\left(T_{\phi }\right)$ 表示 $T_{\phi }$ 的本质谱。自然地，我们想得到本质谱和谱之间的关系。为了达到这个目的，我们还需要以下引理。

引理4.1：设 $\phi \in G$，则 ${\Vert {\left(T_{\phi }f\right)}^{\prime }\Vert }_{L_a^2}^2<2{\Vert \phi f^{\prime }\Vert }_{L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)}^2+2{\Vert \frac{\partial \phi }{\partial z}f\Vert }_{L_a^2}^2$。

证明：令 $f={\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{c}_m{z}^m}\left(z\in \mathbb{D}\right)$。由 $\phi f\left(e^{i\theta }\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{a}_n{c}_m}}{\chi }_{n+m}+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{a}_{-n}{c}_m}}{\chi }_{m-n}$，则

$P_H\left(\phi f\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{a}_n{c}_m{z}^{n+m}}}+{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{m}{\sum }}{a}_{-n}{c}_m{z}^{m-n}}}$。

从而

。 (10)

由于

$\phi f^{\prime }\left(e^{i\theta }\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}m{a}_n{c}_m}}{\chi }_{n+m-1}+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}m{a}_{-n}{c}_m}}{\chi }_{m-n-1}$，

则

${\Vert \phi f^{\prime }\Vert }_{L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)}^2={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{m}^{\text{2}}{\left|a_n{c}_m\right|}^{\text{2}}}}+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{m}^{\text{2}}{\left|a_{-n}{c}_m\right|}^{\text{2}}}}$。 (11)

另外，由于

$\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}f\right)\left(z\right)=\left({\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}n{a}_n{z}^{n-1}}\right)\left({\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{c}_m{z}^m}\right)\text{=}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}n{a}_n{c}_m{z}^{m+n-1}}}$，

则

${\Vert \frac{\partial \phi }{\partial z}f\Vert }_{L_a^2}^2\text{=}\langle {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}n{a}_n{c}_m{z}^{m+n-1}}}，{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}n{a}_n{c}_m{z}^{m+n-1}}}\rangle \text{=}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{+\infty }{\sum }}{n}^{\text{2}}{\left|a_n{c}_m\right|}^{\text{2}}\left(\frac{1}{m+n}\right)}}$。 (12)

故由(10)，(11)和(12)得， ${\Vert {\left(T_{\phi }f\right)}^{\prime }\Vert }_{L_a^2}^2<2{\Vert \phi f^{\prime }\Vert }_{L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)}^2+2{\Vert \frac{\partial \phi }{\partial z}f\Vert }_{L_a^2}^2$。证毕。

定理4.2：设，则 ${\sigma }_e\left(T_{\phi }\right)\text{=}\sigma \left(T_{\phi }\right)=\sigma \left(\phi \right)=\Re \left(\phi \right)$。

证明：我们只需要证明 $\Re \left(\phi \right)\subset {\sigma }_e\left(T_{\phi }\right)$。如果 $\text{0}\in \Re \left(\phi \right)$，则存在 $\lambda =e^{i{\theta }_0}\in \partial \mathbb{D}$ 使得 $\phi \left(\lambda \right)=0$。令 $f_k\left(z\right)={\left(\frac{1+z\bar{\lambda }}{2}\right)}^k$，则在空间 $D$ 上有 $F_k=\frac{f_k}{{\Vert f_k\Vert }_D}\stackrel{w}{\to }0$。由于函数 $$ 在 $\theta ={\theta }_0$ 处取得最大值，则对 $\forall k\in {\mathbb{Z}}^{+}$，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert \phi F_k{}^{\prime }\Vert }_{L^2\left(\partial \mathbb{D}\right)}^2={{\displaystyle {\int }_{\partial \mathbb{D}}\left|\phi F_k{}^{\prime }\right|}}^2\frac{\text{d}\theta }{2\text{π}}\\ ={{\displaystyle {\int }_{\partial \mathbb{D}}\left|\phi \left(e^{i\theta }\right)\right|}}^2{\left(\frac{k}{2^k}\right)}^2\frac{{\left|1+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}\right|}^{2\left(k-1\right)}}{{\Vert f_k\Vert }_D^2}\frac{\text{d}\theta }{2\text{π}}\\ ={{\displaystyle {\int }_{\partial \mathbb{D}}\left|\phi \left(e^{i\theta }\right)\right|}}^2\frac{{\left|\frac{1}{2}\left(1+{\text{e}}^{i\left(\theta -{\theta }_0\right)}\right)\right|}^{2\left(k-1\right)}}{{\Vert f_{k-1}\Vert }_{L_a^2}^2}\frac{\text{d}\theta }{2\text{π}}\\ =0\end{array}$。

又 ${\Vert \frac{\partial \phi }{\partial z}{F}_k\Vert }_{L_a^2}\le {\Vert \frac{\partial \phi }{\partial z}\Vert }_{L_a^2}{\Vert F_k\Vert }_{L_a^2}$， ${\Vert F_k\Vert }_{L_a^2}\to \text{0}$，因此由引理4.1知， ${\Vert T_{\phi }{F}_k\Vert }_D\to 0$。从而 $T_{\phi }$ 不可能是一个Fredholm算子，因此 $\text{0}\in {\sigma }_e\left(T_{\phi }\right)$。证毕。

推论4.3：设 $\phi \in G$。如果 $T_{\phi }$ 是一个Fredholm算子，则 $\phi \ne 0$。

证明：如果 $T_{\phi }$ 是一个Fredholm算子，则 $\text{0}\notin {\sigma }_e\left(T_{\phi }\right)$。由定理4.2知， $\text{0}\notin \Re \left(\phi \right)$，故 $\phi \ne 0$。证毕。

基金项目

国家自然科学基金(NO. 11501068)，重庆市教委科研项目(NO. KJ1600302)。