PSL(2,2ⁿ)与单纯3-(2ⁿ + 1,2ld + 1,λ)设计(l为奇数，d|(2ⁿ - 1)且d ≥ 3)

PSL(2,2ⁿ) and Simple 3-(2ⁿ + 1,2ld + 1,λ) Designs Where l Is Odd, d|(2ⁿ - 1) and d ≥ 3

摘要: 令X=GF(q)∪｛∞｝是射影直线。设l为奇数，d为满足d丨（2ⁿ-1）且d ≥ 3的正整数。本文确定了以PSL(2,2ⁿ)为自同构群，区组长度为2ld + 1，初始区组的稳定子群中含有d阶元的单纯3-设计的参数，并计算了构成这一参数的轨道的条数。利用PSL(2,2ⁿ)在X上作用的轨道，得到如下结论：这类单纯3-设计的参数为3-(2ⁿ + 1,2ld + 1，2l（2ld-1）（2ld+1）），构成这一设计的轨道的条数为。

Abstract: Let X=GF(q)∪｛∞｝ be the projective line. Let l be an odd integer. The integer d satisfies d丨（2ⁿ-1） and d ≥ 3. In this paper, we determined the parameter set of simple 3-designs from PSL(2,2ⁿ) with block size 2ld + 1 where the stabilizer of the initial block contains order d element of PSL(2,2ⁿ) and calculated the number of the orbits which form the simple 3-design with that pa-rameter set. By using the orbits of PSL(2,2ⁿ) on the X, the results show that the number of the orbits is which forms the simple 3-(2ⁿ + 1,2ld + 1，2l（2ld-1）（2ld+1）） design.

1. 引言

1.1. 研究背景

参数为 $t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 的一个设计，简称t-设计，定义为符合以下条件的一对符号 $\left(X,\mathfrak{B}\right)$ ：

1) X是一个v-集合；

2) $\mathfrak{B}$ 是X的一组k-子集；

3) X的任意给定的t-子集都恰好含于 $\mathfrak{B}$ 的 $\lambda$ 个成员之中。

X的元素称为点， $\mathfrak{B}$ 的成员称为区组。若一个 $t\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计不包含重复的区组，则称这个设计为单纯的。在本文中我们只考虑单纯t-设计。

令 $G\le sym\left(X\right)$，则对于任意的 $g\in G$，， $S^g=\{x^g:x\in S\}$。 $S^G=\left\{S^g:g\in G\right\}$ 称为S的轨道， $G_S=\left\{g\in G:S^g=S\right\}$ 称为S的稳定子群，且 $\left|G\right|=\left|S^G\right|\left|G_S\right|$。 $\left(X,\mathfrak{B}\right)$ 的一个自同构是指具有下述性质的X的置换g：如果 $B\in \mathfrak{B}$，则 $B^g\in \mathfrak{B}$。G是 $(X,\mathfrak{B})$ 的自同构群当且仅当区组集 $\mathfrak{B}$ 是G作用下X的k-子集的轨道的并。

令q为素数幂， $X=GF\left(q\right)\cup \left\{\infty \right\}$ 为射影直线。对任意的 $a,b,c,d\in GF\left(q\right)$，定义 $a/0=\infty$，， $\infty +a=a+\infty =\infty$， $\left(a\infty +b\right)/\left(c\infty +d\right)=a/c$。所有行列式为非零平方元的线性分式的集合构成线性分式群 $LF\left(2,q\right)$，它同构于 $PSL\left(2,q\right)$。即

$LF\left(2,q\right)=\left\{f{|f:X\to X,x}^f=\frac{ax+b}{cx+d},ad-bc为非零平方元\right\}$ .

设 $q=p^n$，其中p为素数。利用 $PSL\left(2,q\right)$ 为设计的自同构群来研究t-设计是一个可行的方法。特别的，文献 [1] 已完整解决了以 $PSL\left(2,q\right)$ 为自同构群，区组长度为k的3-设计的存在性问题，其中 $k\cancel{\equiv }0,1\left(\mathrm{mod}p\right)$。文献 [2] [3] [4] [5] 完整讨论了以 $PSL\left(2,2^n\right)$ 为自同构群，区组长度为k ( $4\le k\le 8$ )的单纯3-设计的存在性问题。文献 [6] [7] 介绍了以 $PSL\left(2,2^n\right)$ 为自同构群，区组长度为d和的单纯3-设计的有关结果，这里 $d|\left(2^n-1\right)$。文献 [8] - [13] 找到了一些 $t\ge 4$ 时的t-设计存在的例子。

注意到当 $q=2^n$ 时，对于任意的区组长度k总满足 $k\equiv 0,1\left(\mathrm{mod}\text{2}\right)$。又 $PSL\left(2,2^n\right)=PGL\left(2,2^n\right)$ 在X上的作用是精确3重传递的，故任意不相交的k-子集的轨道的并可构成单纯 $\text{3}-\left(2^n+1,k,\lambda \right)$ 设计，其中 $\lambda$ 为正整数。

本文只考虑 $q=2^n$ 的情形。用表示 $PSL\left(2,2^n\right)$，用 表示射影直线。总假设l为奇数，d为满足 $d|\left(2^n-1\right)$ 且 $d\ge 3$ 的整数。利用 $PSL\left(2,2^n\right)$ 在X上作用的轨道，确定了以 $PSL\left(2,2^n\right)$ 为自同构群，区组长度为 $2ld+1$，初始区组的稳定子群中含有d阶元的单纯3-设计的参数，并计算了满足这一参数的轨道的条数。得到了如下结果：

定理：令B为 $\mathcal{G}$ 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 $2ld+1$ -子集，则 $\left(X,B^{\mathcal{G}}\right)$ 构成一个 $3\text{-}\left(2^n+1,2ld+1,2l\left(2ld-1\right)\left(2ld+1\right)\right)$ 设计。构成这一设计的轨道的条数为 $\frac{1}{2l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2l-1}{\prod }}\frac{2^n-1-id}{d}}$。

1.2. 预备知识

引理1 [14] ：设 $g\in \mathcal{G}$，g的阶为h且 $h>1$，则g有a个不动点和 $b=\left(2^n+1-a\right)/h$ 个h圈。其中当 $h=2$ 时， $a=1$ ；当 $h|\left(2^n-1\right)$ 时， $a=2$ ；当 $h|\left(2^n+1\right)$ 时， $a=0$。

注：由引理1易知若B为X的一个k-子集， $g\in {\mathcal{G}}_B$ 当且仅当B由g的q个h圈和r个不动点构成，其中 $k=hq+r$， $0\le r<h$。

引理2 [14] ： $\mathcal{G}$ 的一个非平凡子群必为下列之一：

1)阶初等Abel群，其中 $h\le n$ ；

2) d阶循环群，其中 $d|\left(2^n\mp 1\right)$ ；

3) 二面体群 $D_{2d}$，其中 $d|\left(2^n\mp 1\right)$ ；

4) $2^h$ 阶的初等Abel群和d阶循环群的半直积，其中 $d|\left(2^n-1\right)$ ；

5) $PSL\left(2,2^k\right)$，其中 $k|n$ ；

6) 交错群 $A_4$。

引理3 [6] ：类型(4)的子群不可能是2d阶的。

引理4 [14] ：所有二面体群 $D_{2d}$ 在 $\mathcal{G}$ 中共轭。

以下总假设 $d|\left(2^n-1\right)$ 且 $d\ge 3$， $\alpha$ 为 $G{F}^{\ast }\left(2^n\right)$ 中的一个d阶元， $x^{f_1}=\alpha x$， $x^{f_2}=\frac{\text{1}}{x}$， $G=\langle f_1,f_2\rangle$，m为任意正整数，l为任意奇数。

引理5 [6] ： $G=\langle f_1,f_2\rangle$ 为一个二面体群 $D_{2d}$。

引理6 [7] ：若S为一个 $d+1$ -子集，则无二面体群 $D_{2d}$ 包含在 ${\mathcal{G}}_S$ 中。

由引理6易得下面的推论。

推论1：若S为一个 $md+1$ -子集，则无二面体群 $D_{2d}$ 包含在 ${\mathcal{G}}_S$ 中。

证明：若存在一个二面体群 $D_{2d}\subseteq {�}_S$，由引理4及引理5知存在 $g\in \mathcal{G}$，使得 $g^{-1}{D}_{2d}g=G\subseteq {\mathcal{G}}_{S^g}$。由引理1知 $S^g$ 由 $f_1$ 的m个d圈和1个不动点构成，则 $S^g$ 中恰包含0和 $\infty$ 中的一个元素。又因为 $f_2\in G\subseteq {\mathcal{G}}_{S^g}$，由此推得若 $0\in S^g$ 必有 $\infty \in S^g$，产生矛盾。证毕。

引理7 [6] ：若S为X的k-子集，则 $\left(X,S^{\mathcal{G}}\right)$ 是一个单纯 $3\text{-}\left(2^n+1,k,\lambda \right)$ 设计，其中 $\lambda =\frac{k\left(k-1\right)\left(k-2\right)}{\left|{\mathcal{G}}_S\right|}$。

2 定理的证明

引理8：令B为 $\mathcal{G}$ 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 $2ld+1$ -子集，则 $\left(X,B^{\mathcal{G}}\right)$ 构成一个 $3\text{-}\left(2^n+1,2ld+1,2l\left(2ld-1\right)\left(2ld+1\right)\right)$ 设计。

证明：由于 ${\mathcal{G}}_B$ 中有d阶元，由引理2知 ${\mathcal{G}}_B$ 不为类型(1)。由推论1知 ${\mathcal{G}}_B$ 不为类型(3)。进一步的 ${\mathcal{G}}_B$ 不为类型(5)，否则存在一个二面体群 $D_{2d}$ 包含在 ${\mathcal{G}}_B$ 中，与推论1矛盾。又类型(6)是类型(4)的一种情形，综上述 ${\mathcal{G}}_B$ 只能为类型(2)或类型(4)的子群。可设 $\left|{\mathcal{G}}_B\right|=2^{h}d$，其中h为非负整数。由引理7知 $\lambda =\frac{\left(2ld+1\right)2ld\left(2ld-1\right)}{2^{h}d}$ 为整数，又l是奇数，故 $h=0$ 或1。再由引理3知 $h=0$。故 $\left(X,B^{\mathcal{G}}\right)$ 构成一个 $3\text{-}\left(2^n+1,2ld+1,2l\left(2ld-1\right)\left(2ld+1\right)\right)$ 设计。

推论2：令S为X的 $2ld+1$ -子集，若 ${\mathcal{G}}_S$ 中有d阶元，则 ${\mathcal{G}}_S$ 为d阶循环群。

引理9：设S是X的 $md+1$ -子集，若 ${\mathcal{G}}_S$ 中有d阶元，则轨道 $S^{\mathcal{G}}$ 中包含形如 $\left\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1},{\beta }_1,{\beta }_1\alpha ,\cdots ,{\beta }_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{\beta }_{m-1},{\beta }_{m-1}\alpha ,\cdots ,{\beta }_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$ 的区组。其中 $\alpha$ 为 $G{F}^{\text{*}}\left(2^n\right)$ 中的一个d阶元， ${\beta }_i\in G{F}^{\text{*}}\left(2^n\right)$ （ $i=1,2,\cdots ,m-1$ ）。

引理10：若 $\left(X,\Gamma \right)$ 是一个 $3\text{-}\left(2^n+1,md+1,m\left(md-1\right)\left(md+1\right)\right)$ 设计，则轨道 $\Gamma$ 中包含m个形如 $\left\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1},{\beta }_1,{\beta }_1\alpha ,\cdots ,{\beta }_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{\beta }_{m-1},{\beta }_{m-1}\alpha ,\cdots ,{\beta }_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$ 的区组。其中 $\alpha$ 为 $G{F}^{\text{*}}\left(2^n\right)$ 中的一个d阶元， ${\beta }_i\in G{F}^{\text{*}}\left(2^n\right)$ ( $i=1,2,\cdots ,m-1$ )。

证明：设S为轨道 $\Gamma$ 中的一个区组。由引理7得 $\left|{\mathcal{G}}_S\right|=d$，即d阶循环群。由引理9可设

$S=\left\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1},{\beta }_1,{\beta }_1\alpha ,\cdots ,{\beta }_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{\beta }_{m-1},{\beta }_{m-1}\alpha ,\cdots ,{\beta }_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$ .

若

$S^{\prime }=\left\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1},{{\beta }^{\prime }}_1,{{\beta }^{\prime }}_1\alpha ,\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_{m-1},{{\beta }^{\prime }}_{m-1}\alpha ,\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$

与S位于同一条轨道，则存在 $\mathcal{G}$ 中的一个线性分式 $f^{\prime }$，使得 $S^{f^{\prime }}=S^{\prime }$。设 $x^{f^{\prime }}=\frac{ax+b}{cx+d}$， $x^{f_1}=\alpha x$。由于 $\left|{\mathcal{G}}_S\right|=\left|{\mathcal{G}}_{S^{\prime }}\right|=d$ 且 $f_1\in {\mathcal{G}}_{S^{\prime }}\cap {\mathcal{G}}_S$，从而 ${\mathcal{G}}_S={\mathcal{G}}_{S^{\prime }}=\langle f_1\rangle$。又 ${\mathcal{G}}_{S^{\prime }}={f^{\prime }}^{-1}{\mathcal{G}}_S{f}^{\prime }$，由此可得 $f^{\prime }{\mathcal{G}}_S={\mathcal{G}}_S{f}^{\prime }$。即 $\left\{f^{\prime },f^{\prime }{f}_1,\cdots ,f^{\prime }{f}_1^{d-1}\right\}=\left\{f^{\prime },f_1{f}^{\prime },\cdots ,f_1^{d-1}{f}^{\prime }\right\}$。对于 $1\le i\le d-1$，若 $f^{\prime }{f}_1=f_1^i{f}^{\prime }$，则对任意的 $x\in X$，有 $x^{f^{\prime }{f}_1}=x^{f_1^i{f}^{\prime }}$。即

$\frac{a\alpha x+b\alpha }{cx+d}=\frac{a{\alpha }^{i}x+b}{c{\alpha }^{i}x+d}$ .

由上述等式知存在 $u\in G{F}^{\ast }\left(2^n\right)$，使得

$\left[\begin{array}{cc}a\alpha & b\alpha \\ c& d\end{array}\right]=u\left[\begin{array}{cc}a{\alpha }^i& b\\ c{\alpha }^i& d\end{array}\right]$ .

故只能 $u=1$， $b=c=0$ 且 $i=1$。即 $f^{\prime }{f}_1=f_1{f}^{\prime }$。可令 $x^{f^{\prime }}=rx$，其中 $r=\frac{a}{d}$。因此

$S^{\prime }=S^{f^{\prime }}=\left\{r,r\alpha ,\cdots ,r{\alpha }^{d-1},r{\beta }_1,r{\beta }_1\alpha ,\cdots ,r{\beta }_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,r{\beta }_{m-1},r{\beta }_{m-1}\alpha ,\cdots ,r{\beta }_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$ .

又 $S^{\prime }=\left\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1},{{\beta }^{\prime }}_1,{{\beta }^{\prime }}_1\alpha ,\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_{m-1},{{\beta }^{\prime }}_{m-1}\alpha ,\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$，令 $H=\langle \alpha \rangle$，从而 $r\in H$ 或 $r\in {{\beta }^{\prime }}_{j}H$，其中 $1\le j\le m-1$。下分两种情况讨论：

1) 若 $r\in H$，从而 $S^{\prime }=S$。

2) 若 $r\in {{\beta }^{\prime }}_{\text{1}}H$，不失一般性，可令 $r\in {{\beta }^{\prime }}_{\text{1}}H$，从而

$S^{\prime }=\left\{{{\beta }^{\prime }}_1,{{\beta }^{\prime }}_1\alpha ,\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_1{\alpha }^{d-1},{{\beta }^{\prime }}_1{\beta }_1,{{\beta }^{\prime }}_1{\beta }_1\alpha ,\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_1{\beta }_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_1{\beta }_{m-1},{{\beta }^{\prime }}_1{\beta }_{m-1}\alpha ,\cdots ,{{\beta }^{\prime }}_1{\beta }_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$ .

故对于 1 ≤ k ≤ m−1，必存在 ${{\beta }^{\prime }}_{\text{1}}{\beta }_k\in H$。即

$S^{\prime }=\left\{{\beta }_k^{-1},{\beta }_k^{-1}\alpha \cdots {\beta }_k^{-1}{\alpha }^{d-1},{\beta }_k^{-1}{\beta }_1,{\beta }_k^{-1}{\beta }_1\alpha ,\cdots ,{\beta }_k^{-1}{\beta }_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{\beta }_k^{-1}{\beta }_{m-1},{\beta }_k^{-1}{\beta }_{m-1}\alpha ,\cdots ,{\beta }_k^{-1}{\beta }_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$ .

令 $x^{g_k}={\beta }_k^{-1}x$ Math_207#，其中 ${\beta }_0=1$，则上述 $S^{\prime }=S^{g_k}$。综上述若 $S^{\prime }\in S^{\mathcal{G}}$ 当且仅当 $S^{\prime }=S^{g_k}$ Math_212#。

下证 $S,S^{g_1},S^{g_2},\cdots ,S^{g_{m-1}}$ 互不相同。由此说明 $\Gamma$ 中包含m个形如 $\left\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1},{\beta }_1,{\beta }_1\alpha ,\cdots ,{\beta }_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{\beta }_{m-1},{\beta }_{m-1}\alpha ,\cdots ,{\beta }_{m-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}$ 的区组。对于任意的 $0\le s,t\le m-1$，若 $S^{g_s}=S^{g_t}$，则 $g_s{g}_t^{-1}\in {\mathcal{G}}_S=\langle f_1\rangle$，即 ${\beta }_s^{-1}{\beta }_t\in H$。从而 ${\beta }_s^{-1}{\beta }_t\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1}\}=\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1}\}$，即

$\{{\beta }_t,{\beta }_t\alpha ,\cdots ,{\beta }_t{\alpha }^{d-1}\}=\{{\beta }_s,{\beta }_s\alpha ,\cdots ,{\beta }_s{\alpha }^{d-1}\}$ .

这是不可能的。

引理11：构成 $3\text{-}\left(2^n+1,2ld+1,2l\left(2ld-1\right)\left(2ld+1\right)\right)$ 设计的轨道的条数为 $\frac{1}{2l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2l-1}{\prod }}\frac{2^n-1-id}{d}}$。

证明：设l为奇数， $\alpha$ 为 $G{F}^{\text{*}}\left(2^n\right)$ 中的一个d阶元， ${\beta }_i\in G{F}^{\text{*}}\left(2^n\right)$ ( $i=1,2,\cdots ,2l-1$ )。令 $\mathcal{B}=\left\{S|S=\left\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{d-1},{\beta }_1,{\beta }_1\alpha ,\cdots ,{\beta }_1{\alpha }^{d-1},\cdots ,{\beta }_{2l-1},{\beta }_{2l-1}\alpha ,\cdots ,{\beta }_{2l-1}{\alpha }^{d-1},\infty \right\}\right\}$，易得 $\mathcal{B}$ 中元素的个数为。再由引理10可得构成 $3\text{-}\left(2^n+1,2ld+1,2l\left(2ld-1\right)\left(2ld+1\right)\right)$ 设计的轨道条数为 $\frac{1}{2l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2l-1}{\prod }}\frac{2^n-1-id}{d}}$。

定理：令B为 $\mathcal{G}$ 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 $2ld+1$ -子集，则 $\left(X,B^{\mathcal{G}}\right)$ 构成一个 $3\text{-}\left(2^n+1,2ld+1,2l\left(2ld-1\right)\left(2ld+1\right)\right)$ 设计。构成这一设计的轨道的条数为 $\frac{1}{2l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2l-1}{\prod }}\frac{2^n-1-id}{d}}$。

证明：利用引理8和引理11可以得到定理。

推论3：令B为 $\mathcal{G}$ 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 $2ld+1$ -子集，则对于任意的正整数t，其中 $1\le t\le \frac{1}{2l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2l-1}{\prod }}\frac{2^n-1-id}{d}}$，可构造出单纯 $3\text{-}\left(2^n+1,2ld+1,2l\left(2ld-1\right)\left(2ld+1\right)\right)$ 设计。

致谢

衷心感谢导师李伟霞在本文写作过程中的悉心指导！

NOTES

^*通讯作者。