广义Ramanujan常数R(a,c-a)的级数展开

Series Expansion of Generalized Ramanujan Constant R(a,c-a)

摘要: 本文通过Ψ（x）的n阶导数，给出了广义Ramanujan常数R（a,c-a）=-2γ-Ψ（a）-Ψ（c-a）的不同类型的级数展开式，这些级数展开式可以改进R（a,c-a）的一些已知结果。

Abstract: In this paper, the authors present several kinds of series expansion expressions of generalized Ramanujan constant R（a,c-a）=-2γ-Ψ（a）-Ψ（c-a）  by the nth order derivative of Ψ（x）. By these results, some known results about R（a,c-a） can be easily improved.

1. 引言

在本文中，对于正实数x和y，Γ-函数、B-函数以及ψ-函数分别定义 [1] 为：

$\Gamma \left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{\text{e}}^{-t}\text{d}t},B\left(x,y\right)=\frac{\Gamma \left(x\right)\Gamma \left(y\right)}{\Gamma \left(x+y\right)},\psi \left(x\right)=\frac{{\Gamma }^{\prime }\left(x\right)}{\Gamma \left(x\right)}$ (1.1)

令 $\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{k}-\log n}\right]=\text{0}\text{.57721566}\cdots$ ，是Euler-Mascheroni常数，则

(1.2)

在上定义Ramanujan常数 [2] [3] [4] 为：

(1.3)

当时，式(1.3)记为

,

结合式(1.2)~(1.3)知。

当时，式(1.3)记为

(1.4)

另外，Rieman-zeta函数

(1.5)

对，有下面一些常用到的等式：

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

.

众周所知，Ramanujan常数在零平衡的高斯超几何函数的研究中有着重要的应用，在特殊函数的一些其他领域也是必不可少的。而高斯超几何函数在特殊函数中有着极为重要的地位，与很多类型的特殊函数相关，它的性质和Γ-函数、B-函数以及ψ-函数密切相关，在研究这些函数的性质时经常用到Ramanujan常数，而的级数展开是重要而有效的研究工具 [5] [6] [7] [8] 。但目前的一些已知性质主要考虑的是的情况，本文的主要目的是建立广义Ramanujan常数(即的情形)的不同类型的级数展开。

2. 主要结果

本节给出主要结果，本节出现的均是。

首先，建立广义Ramanujan常数在点处的级数展开。

定理2.1. 设，广义Ramanujan常数有如下的级数展开式：

(2.1)

其中，。

下面的定理中给出的级数展开式。

定理2.2. 设，则有如下的级数展开式：

,(2.2)

其中，

.

下面的定理中，我们将展开成的级数。

定理2.3. 设，则有如下的级数展开式：

, (2.3)

其中，。

3. 主要结果的证明

本节给出定理2.1~2.3的证明。

定理2.1的证明：令

，则，，且

,

根据式(1.5)和(1.9)可知，

,

于是，

(3.1)

另外，由式(1.7)可知：

(3.2)

有：

(3.3)

由式(3.2)、(3.3)可得，

由可得出第二个等式

.

定理2.2的证明：令

由式(1.4)及(3.3)可将写成如下形式：

(3.4)

当时，式(3.4)化为

,

对求n阶导数，则

,

由式(3.4)和(1.9)可知：

(3.5)

因此，在处有如下的级数展开式：

.

由此可得式(2.2)中的第一个等式。根据可得式(2.2)中第二个等式。

定理2.3的证明：令，，

易知。由式(1.4)知，

(3.6)

根据式(3.3)及，可以写成

(3.7)

对求n阶导数，可得

(3.8)

其中

.

结合式(3.8)，有如下的级数展开式：

(3.9)

由式(3.9)，可直接证得等式(2.3)。

基金项目

浙江省教育厅科研基金项目(Y201635387)，浙江机电职业技术学院科研项目(A027117021)，浙江机电职业技术学院课堂教学改革项目(A015219393)，浙江省高等学校访问学者项目(FX2018093)。

NOTES

^*通讯作者。