具非局部边界条件的奇异分数阶微分方程正解的存在性和唯一性

Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Singular Fractional Differential Equation with Nonlocal Boundary Conditions

摘要: 本文研究了一类具非局部边界条件的奇异分数阶微分方程。先构造Green函数，并讨论相关性质，然后在一定条件下，借助Banach压缩映射原理和Krasnoselskii不动点定理，得到边值问题正解的存在性和唯一性。最后列举一个实例说明主要结果的可行性。

Abstract: In this paper, we mainly study a class of singular fractional order differential equations with nonlocal boundary conditions. Firstly, the properties of the Green function are discussed. Then, under some appropriate assumptions, by using the Banach contraction mapping principle and the Krasnoselskii Fixed Point theorem, the existence and uniqueness of positive solutions for the singular boundary value problems are obtained. An example is given to illustrate the feasibility of the main results.

1. 引言

随着分数阶微分方程在物理、化学、工程、生物科学等领域的应用不断推广，国内外各界学者开始广泛关注分数阶微分方程 [1] [2] [3] [4] [5]；近几年，越来越多的学者利用各种不动点定理及其它工具，研究了带有各种边值条件的分数阶微分方程解的存在性与唯一性，取得了很多重要的成果 [6] [7] [8] [9]。但有关奇异分数阶微分方程边值问题的研究并不太多。文献 [10] 运用混合单调算子方法和半序集合上的不动点定理证明了奇异Caputo型分数阶微分方程边值问题

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)=\lambda f\left(t,u\left(t\right)\right),0<t<1,\lambda >0,\\ a_{1}u\left(0\right)-b_1{u}^{\prime }\left(0\right)=0,a_{2}u\left(1\right)+b_2{u}^{\prime }\left(1\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}m\left(s\right)u\left(s\right)\text{d}p\left(s\right)},\\ u^{‴}\left(0\right)=0,u^{″}\left(1\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}n\left(s\right)u^{″}\left(s\right)\text{d}q(s)}\end{array}$

正解的存在性，这里f在0和1点是奇异的。文献 [11] 利用Krasnoselskii不动点定理研究了奇异分数阶微分方程系统边值问题

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }u\left(t\right)=\lambda v\left(t\right)f\left(u\left(t\right)\right)+\lambda h\left(t\right),0<t<1,\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(1\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0\end{array}$

正解的存在性，这里f在0点是奇异的。文献 [12] 利用上下解方法和Schauder不动点定理讨论了分数阶边值问题

$\{\begin{array}{l}-D_t^{\beta }\left({\phi }_p\left(D_t^{\alpha }u\right)\right)\left(t\right)=\lambda f\left(t,u\left(t\right)\right),0<t<1,\\ u\left(0\right)=0,D_t^{\alpha }u\left(0\right)=0,u\left(1\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}u\left(s\right)\text{d}A(s)}\end{array}$

正解的存在性，这里f在0和1点是奇异的。

受以上文献的启发，本文将用Krasnoselskii不动点定理和Banach压缩映射原理，研究下面一类带积分边值的奇异分数阶微分方程

$\{\begin{array}{l}{D}_{0^{+}}^{\alpha }x\left(t\right)+\lambda f\left(t,x\left(t\right),\left(\phi x\right)\left(t\right)\right)=0,2<\alpha \le 3,t\in \left[0,1\right],\\ x\left(0\right)=x^{\prime }\left(0\right)=0,x^{\prime }\left(1\right)={\displaystyle {\int }_0^1\left(\alpha -1\right)q\left(x\left(s\right)\right)\text{d}s}\end{array}$ (1.1)

正解的存在性，并进一步确定其唯一性。其中 $D_{0^{+}}^{\alpha }$ 是Riemann-Liouville型分数阶导数， $f:\left(0,1\right]\times \left[0,+\infty \right)\times \left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ 连续， $\left(\phi x\right)\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t\gamma \left(t,s\right)x\left(s\right)\text{d}s}$， $\gamma :\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\to \left[0,+\infty \right)$， $\lambda >0$， $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f\left(t,x\left(t\right),\left(\phi x\right)\left(t\right)\right)=+\infty$ (即f在 $t=0$ 点奇异)，q是 $\left[0,+\infty \right)$ 上的非负有界连续函数。

2. 预备知识

在本文的讨论中我们应用了分数阶微分方程的一些基本定义及结论。可以参见文献 [3] [13] [14] [15]。

定义2.1 [3] [15] 函数 $f:\left[0,+\infty \right)\to R$ 的 $\alpha$ 阶 $\left(\alpha >0\right)$ Riemann-Liouville分数阶积分定义为：

$I_{0^{+}}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f\left(s\right)\text{d}s,}$

其中f使得上式右侧在 $\left(0,+\infty \right)$ 是逐点有定义的， $\Gamma$ 是通常的Gamma函数。

定义2.2 [3] [15] 函数 $f:\left[0,+\infty \right)\to R$ 的 $\alpha$ 阶 $\left(\alpha >0\right)$ Riemann-Liouville分数阶微分定义为：

$D_{0^{+}}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}{\left(\frac{\text{d}}{\text{d}t}\right)}^n{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{n-\alpha -1}f\left(s\right)\text{d}s,}$

其中 $n=\left[\alpha \right]+1$， $\left[\alpha \right]$ 表示实数 $\alpha$ 的整数部分，f使得上式右侧在是逐点有定义的。

引理2.1 [3] [15] 设且f的阶分数阶导数属于，那么

其中，其中n是不小于的最小整数。

本文在证明分数阶微分方程正解的存在性时，利用Krasnoselskii不动点定理。

引理2.2 (Krasnoselskii不动点定理)设E是Banach空间X的有界闭凸集，S与T为X上的算子，使得

(i) 当时，有，

(ii) S是全连续算子，

(iii) T是压缩映射，

则存在，使得。

引理2.3 (Arzela-Ascoli定理)假设函数族在区间上是一致有界和等度连续的，则存在子函数序列在区间上是一致收敛的。

本文在证明分数阶微分方程正解的唯一性时，利用了Banach压缩映射原理。

引理2.4 (Banach压缩映射原理)假设D是Banach空间E的非空闭子集，是压缩算子，即对任意的，有

.

则存在唯一的，使得，即T在D内存在唯一的不动点。

3. 正解的存在性

定义是Banach空间的一个正规锥，E的范数是，定义为：。我们有如下假设：

令连续，假设在上连续，记。

存在常数，使得：

存在正函数，使得：

，。

我们先给出边值问题(1.1)的解的存在性定理：

定理3.1假设，成立，且有，则边值问题(1.1)至少存在一个正解。

为了证明定理3.1，我们先给出下面三个重要的引理。

引理3.1 若，，分数阶边值问题

(3.1)

有唯一解，可以表示成：

其中格林函数

(3.2)

证明由引理2.1，方程(3.1)等价于积分方程：

其中，由边值条件，可得。则

由得：

则边值问题(3.1)的唯一解为：

由引理3.1可知，边值问题(1.1)等价于积分方程

引理3.2由(3.2)式定义的格林函数具有下列性质：

(1)，对；

(2)，对。

证明 (1) 当时，有，又由，知

当时，显然有

即。

(2) 对，有

引理3.3设连续，，假设在上连续，则函

数在上连续。

证明由条件易得。下面分三种情况讨论：

情形一：。对，由于，存在正数M，使得，则

情形二：。对，

情形三：。对，证明类似于情形二，此处省略。

接下来我们证明定理3.1：

证明 第一步：证明当，有。

令。在上定义两个算子和，其中：

对，有：

从而

则对于，有。

第二步：证明是上的压缩映射。

因为，所以对于任意的，有

由，得到。又对任意的，有：

又由可得是上的压缩映射。

第三步：证明是全连续算子。

对每一个，有：

所以

从而可得。

设，由在上是连续的，故在上是一致连续的，因此，对，当时，使得

显然，若，则对，有

从而有：

由的任意性，可知连续。令有界，即存在一个正常数a，使得对，有。又在上连续，由上述证明可得一致有界。

再证等度连续。对，取

则对，不妨设，使得，有：

接下来，证明分为两个部分：

(i) 若，

(ii) 若，

所以等度连续。由Arzela-Ascoli定理，可知是全连续算子。通过以上证明过程可知Krasnoselskii不动点定理的条件皆满足，从而边值问题(1.1)至少存在一个正解。

4. 正解的唯一性

现在，我们给出分数阶微分方程边值问题(1.1)正解的唯一性结果：

定理4.1 如果，，，成立，且

那么边值问题(1.1)有唯一正解。

证明令。

定义：

则。对，证。

即，则有。现在，对，有：

由条件

知F是压缩算子，则由Banach压缩映射原理知，问题(1.1)有唯一的正解。

5. 应用举例

考虑以下带积分边值的奇异分数阶微分方程

(5.1)

其中，，。易知连续， (即f在点奇异)，q是上的非负有界连续函数。找到常数使得：

同时有，使得

即满足定理3.1，所以问题(5.1)至少存在一个正解。进一步的，当足够小时，可以满足。于是由定理4.1可知，此时问题(5.1)有唯一正解。

致谢

作者对审稿人提出的宝贵意见和编辑老师的工作表示衷心的感谢。

基金项目

本文受国家自然科学基金项目(NSFC11501260)，江苏高校优势学科建设工程项目(PAPD)，江苏高校品牌专业建设工程资助项目 (PPZY2015A013)和江苏省大学生创新创业训练计划项目(201810320015Z)资助。

NOTES

^*通讯作者。