对称2-(15,8,4)设计的区传递自同构群

Block-Transitive Automorphism Groups of Symmetric 2-(15,8,4) Designs

摘要: 本文研究2-(15,8,4)对称设计的区传递自同构群，证明了2-(15,8,4)对称设计的区传递自同构群有9个，旗传递自同构群有6个。同时也给出了该设计的点本原，非点本原，旗传递点本原，旗传递非点本原的自同构群。

Abstract: Let D be a symmetric 2-(15,8,4)design and let G≤Aut(D) be block-transitive. It is proved that, there are exactly such 9 automorphism groups of block-transitive and 6 automorphism groups of flag-transitive. And it also gives the point-primitive, point-imprimitive, flag-transitive point-primitive and flag-transitive point-imprimitive automorphism groups of this design.

1. 引言

定义1：一个 $2\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计 $\mathcal{D}$ 定义为符合下列条件的一对符号 $\mathcal{D}=\left(\mathcal{P},\mathcal{B}\right)$ ：

1) $\mathcal{P}$ 是有v个点的有限集， $\mathcal{P}$ 中的元素称为点；

2) $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{P}$ 的一组k子集的集， $\mathcal{B}$ 中的元素称为区组或者区；

3) $\mathcal{P}$ 中任意给定的2-子集都恰好包含在 $\mathcal{B}$ 中的λ个区组中。

这里v，k，λ都是正整数，且满足 $v>k>2$，即D是非平凡的。设r是过一个点的区的个数，b是区组的总数。我们称 $\left(v,b,r,k,\lambda \right)$ 为设计D的参数。它们满足： $bk=vr;\lambda \left(v-1\right)=r\left(k-1\right);b\ge v$

命题1： [1] 对于一个2-(15,8,4)设计，其中k < v，下列等价：

1) b = v；

2) r = k；

3) 任意两个区组相交于λ个区组；

4) 任意两个区组相交于常数个点。

定义2：满足上述等价条件的一个2-设计称为对称设计。它的参数满足方程： $k\left(k-1\right)=\lambda \left(v-1\right)$。

有限群论与组合设计理论之间联系紧密，对设计的自同构群的研究可以帮助我们发现新的设计。反过来，设计的自同构群又可以帮助我们更清楚地了解某些群的结构。1985年，Kantor [2] 完全分类了在点集上2-传递设计的 $2\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计；近年来，周胜林分别和董会莉 [3]，田德路 [4] [5]，王亚杰 [6] [7] 讨论了基柱是交错群 $A_n$， $\text{PSL}\left(\text{2},q\right)$ 及 $\text{PSL}\left(n,q\right)$ 和例外Lie型单群的旗传递点本原的2-(v,k,4)对称设计的分类问题，最终都得到2-(15,8,4)对称设计。本文是在前人的研究基础上，研究具体设计参数的区传递自同构群，2-(15,8,4)对称设计一共有5个互不同构的设计 [8]，本文中我们限定条件下所求的设计都是同构的，结果如下：

定理1：设 $\mathcal{D}$ 为一个2-(15,8,4)对称设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的自同构群，

a) 若G是区传递的，则群G有9个，分别为 $A_5\left(15\right)$， $F\left(5\right)\left[1/2\right]S\left(3\right)$， $\text{GL}\left(2,4\right)$， $S_5$， $A_6$， $3S_5$， $S_6$， $A_7$ 和 $\text{PSL}(4,2)$。

b) 若G是旗传递的，则群G有6个，分别为 $S_5$， $A_6$， $3S_5$， $S_6$， $A_7$ 和 $\text{PSL}(4,2)$。

c) 若G是点本原的，则群G有4个，分别为 $A_6$， $S_6$， $A_7$ 和 $\text{PSL}(4,2)$。

d) 若G是非点本原的，则群G有5个，分别为 $A_5\left(15\right)$， $F\left(5\right)\left[1/2\right]S\left(3\right)$， $\text{GL}\left(2,4\right)$， $S_5$， $3S_5$。

推论1：设 $\mathcal{D}$ 为一个2-(15, 8, 4)对称设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的自同构群，若G是旗传递且点本原的，则群G有4个，分别为 $A_6$， $S_6$， $A_7$ 和 $\text{PSL}(4,2)$。

推论2：设 $\mathcal{D}$ 为一个2-(15,8,4)对称设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的自同构群，若G是旗传递且非点本原的，则群G有2个，分别为 $S_5$ 和 $3S_5$。

2. 引理

引理1：设 $\mathcal{D}=\left(\mathcal{P},\mathcal{B}\right)$ 是一个 $2\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的自同构群，则群G在 $\mathcal{D}$ 上旗传递等价下列条件之一：

1) 群G在P上点传递，且 $G_x$ 在P (x)上传递，这里P(x)是指所有的包含点x的区组集合；

2) 群G在B上区传递，且 $G_B$ 在B上传递。

引理2： [9] 若 $\mathcal{D}=\left(\mathcal{P},\mathcal{B}\right)$ 是一个非平凡的 $2\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 对称设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的传递自同构群。那么G作用在点集P上的轨道个数等于G作用在区组 $\mathcal{B}$ 上的轨道个数，特别地，G在对称设计上是区传递的当且仅当其是点传递的。

引理3： [10] 设 $\mathcal{D}=\left(\mathcal{P},\mathcal{B}\right)$ 是一个非平凡的 $2\text{-}\left(v,k,\lambda \right)$ 对称设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的旗传递非点本原自同构群，设点集 $\mathcal{P}$ 有长为c的d个非本原区构成的非本原分划 $\mathcal{C}$ 那么存在一个常数l，使得对每一个 $B\in \mathcal{B},\Delta \in \mathcal{C}$, $\left|B\cap \Delta \right|$ 等于0或者l，且下列之一成立：

1) $k\le \lambda \left(\lambda -3\right)/2$ ；

2) $\left(v,k,\lambda \right)=\left({\lambda }^2\left(\lambda +2\right),\lambda \left(\lambda +1\right),\lambda \right)$ 这里 $\left(c,d,l\right)=\left({\lambda }^2,\lambda +2,\lambda \right)$ 或者 $\left(\lambda +2,{\lambda }^2,2\right)$ ；

3) $\left(v,k,\lambda ,c,d,l\right)=\left(\left(\frac{\lambda +2}{2}\right)\left(\frac{{\lambda }^2-2\lambda +2}{2}\right),\frac{{\lambda }^2}{2},\lambda ,\frac{\lambda +2}{2},\frac{{\lambda }^2-2\lambda +2}{2},2\right)$ 此处 $\lambda \equiv 0\left(\mathrm{mod}4\right)$ 或者 $\lambda =2u^2$ 这里u是奇数， $u\ge 3$，而且 $2\left(u^2-1\right)$ 是一个完全平方数。

4) $\left(v,k,\lambda ,c,d,l\right)=\left(\left(\lambda +6\right)\left(\frac{{\lambda }^2+4\lambda -1}{4}\right),\frac{\lambda \left(\lambda +5\right)}{2},\lambda ,\lambda +6,\frac{{\lambda }^2+4\lambda -1}{4},3\right)$ 这里 $\lambda \equiv 0$ 或者 $3\left(\mathrm{mod}6\right)$。

3. 定理1和推论的证明

我们用3.1节来证明定理1(a)，用3.2节来证明定理1(b)，并且在每节用具体的群来分别说明我们的方法。接着用3.3节来证明定理1(c)，(d)，最后用3.4节证明推论1，2。

3.1. 定理1(a)的证明

证明定理1(a)时，我们要借助计算机软件Magma [11]，设 $\mathcal{D}$ 是一个2-(15, 8, 4)对称设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的区传递自同构群，则 $\mathcal{D}$ 和G必须满足下列四个事实：

1) G中至少存在一个指数为15的子群H；

因为群G在区组 $\mathcal{B}$ 上传递，于是，对任意的 $B\in \mathcal{B}$ 有 $\left|G:G_B\right|=b=15$，即 $n=\left|G_B\right|=\left|G\right|/b=\left|G\right|/15$，我们利用命令Subgroups(G:OrderEqual:=n)，得到G的指数为15的所有子群共轭类，记为H。

2) $G_B$ 作用在点集 $\mathcal{P}$ 中至少存在一个长为k = 8的不动区；

因为B是 $G_B$ 的不动区，则 $G_B$ 存在长为8的不动区(即 $G_B$ 一些轨道的并)。利用命令Orbits(H)可以得到H作用在点集 $\mathcal{P}$ 上的所有轨道，找出子群H的长为8的不动区，记为区组B，则 $H=G_B$。

3) $G_B$ 的所有长为8的不动区中至少有一个不动区B满足 $\left|B^G\right|=b=15$。

因为G是区传递的，则 $\left|\mathcal{B}\right|=\left|B^G\right|=b=15$，利用命令 $\#\left(B^{\wedge }G\right)$，得到G作用在B上的轨道长。

4) 验证 $\left(\mathcal{P},B^G\right)$ 为一个2-设计。

利用命令 $\text{Design}\left(2,v|B^G\right)$ 验证 $\mathcal{D}$ 是否为一个2-设计。

首先，借助Magma软件我们知道15个点上的传递置换群一共有104个，然后，经过上述4个事实的筛选，剔掉不符合条件的群，最后我们得出结论，一共存在9个群，分别为 $A_5\left(15\right)$， $F\left(5\right)\left[1/2\right]S\left(3\right)$， $\text{GL}\left(2,4\right)$， $S_5$， $A_6$， $3S_5$， $S_6$， $A_7$ 和 $\text{PSL}(4,2)$。再利用命令IsIsomorphic(Di, Dj)知这9个设计两两同构，它们对应的参数 $\left(v,k,\lambda \right)$ 、群G、基区B、设计列表如下表1。

下面我们用 $A_5\left(15\right)$ 为例说明我们定理1(a)的证明方法。首先，利用命令TransitiveGroup(15, 5)输出15个点上的置换群 $A_5\left(15\right)$ 记为群G，其次，由G的区传递性，知道G有指数为15的子群，因为 $\left|G\right|/b=\left|G\right|/15=4$，所以利用命令Subgroups(G:OrderEqual:=4)得到G的指数为15的子群共轭类只有一个，记为H。利用命令Orbits(H)，得到H的所有轨道分别为：

$\left\{12\right\}$， $\left\{13\right\}$， $\left\{\text{14}\right\}$， $\left\{1,2,3,15\right\}$， $\left\{4,5,6,7\right\}$， $\left\{8,9,10,11\right\}$

Table 1. Block-transitive automorphism groups of symmetric 2-(15,8,4) designs and their base blocks

表1. 2-(15,8,4)设计区传递自同构群及基区

这些轨道的长度分别为1, 1, 4, 4, 4.显然，H没有长为8的轨道，但这些轨道的并可组成长度为8的不动区，它们分别为：

$B_1:=\left\{1,2,3,15,4,5,6,7\right\}$， $B_2:=\left\{1,2,3,15,8,9,10,11\right\}$， $B_3:=\left\{8,9,10,11,4,5,6,7\right\}$

接着，通过命令计算有 $\left|B_1^G\right|=\left|B_2^G\right|=\left|B_3^G\right|=15=b$，再通过命令 ${\mathcal{D}}_1:=\text{Design}\langle 2,15|B_1^G\rangle$，

${\mathcal{D}}_2:=\text{Design}\langle 2,15|B_2^G\rangle$， ${\mathcal{D}}_3:=\text{Design}\langle 2,15|B_3^G\rangle$。验证 ${\mathcal{D}}_1,{\mathcal{D}}_2,{\mathcal{D}}_3$ 都是2-设计。又因为通过验证发现 $B_1^G=B_2^G=B_3^G$，所以 ${\mathcal{D}}_1={\mathcal{D}}_2={\mathcal{D}}_3$。此时设计 ${\mathcal{D}}_1$ 的基区B为：

$B_1:=\left\{1,2,3,15,4,5,6,7\right\}$， $B_2:=\left\{1,2,3,15,8,9,10,11\right\}$， $B_3:=\left\{8,9,10,11,4,5,6,7\right\}$，

$B_4:=\left\{1,2,5,6,9,10,13,14\right\}$， $B_5:=\left\{1,6,7,10,11,12,13,15\right\}$， $B_6:=\left\{2,5,7,9,11,12,14,15\right\}$，

$B_7:=\left\{1,4,5,8,9,12,13,15\right\}$， $B_8:=\left\{2,4,6,8,10,12,14,15\right\}$， $B_9:=\left\{1,2,4,7,8,11,13,14\right\}$，

$B_{10}:=\left\{3,5,6,8,11,13,14,15\right\}$， $B_{11}:=\left\{1,3,5,7,8,10,12,14\right\}$， $B_{12}:=\left\{2,3,6,7,8,9,12,13\right\}$，

$B_{13}:=\left\{3,4,7,9,10,13,14,15\right\}$， $B_{14}:=\left\{2,3,4,5,10,11,12,13\right\}$， $B_{15}:=\left\{1,3,4,6,9,11,12,14\right\}$。

因此， $A_5\left(15\right)$ 为2-(15,8,4)对称设计的区传递自同构群。

3.2. 定理1(b)的证明

G是旗传递的，那么G一定是区传递的，所以只需对定理1(a)中的群进行验证。但由引理1(2)可知，子群 $G_B$ 在区组B上传递，那么 $G_B$ 作用在点集P中至少存在一个长为k=8的轨道B，我们只需要修改上述的事实(2)，同理于定理1(a)的证明，得到6个群，分别为 $S_5$， $A_6$， $3S_5$， $S_6$， $A_7$ 和 $\text{PSL}(4,2)$。可知此时存在6个两两同构的设计，它们对应表1中的情形4-9。

下面我们以 $A_6$ 为例说明我们定理1(b)的方法。首先，TransitiveGroup(15, 20)是群 $A_6$ 作用在15个点上和在Magma的位置。再利用对应的子群需要满足至少有一个长为k = 8轨道的条件，我们用Magma输入程序：

H:=Subgroups(G:OrderEqual:=24);#H ;

2

>GB1:=H[1]`subgroup;

>GB2:=H[2]`subgroup;

> Orbits(GB1);

[ GSet{ 10 },

GSet{ 1, 4, 5, 11, 14, 15 },

GSet{ 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13 }]

>Orbits(GB2);

[GSet{ 10, 11, 14 },

GSet{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15 }]

其中Orbits(GB1)：输出的是子群GB1作用在点集上的所有轨道，从得到的所有结果中我们发现，子群GB1作用在点集上一共有三个轨道，且轨道长度为1, 6, 8. 由G的旗传递性可知， $G_B$ 必须存在长为k = 8的轨道。显然，只有第三个轨道符合记为 $\text{O}1=\left\{2,3,6,7,8,9,12,13\right\}$。而子群GB2作用在点集上的所有轨道长度都不符合。我们再输入程序：

>X1:=O1^G;#X1;

15

>Design<2,15|X1>;

2-(15, 8, 4) Design with 15 blocks

Point-set of 2-(15, 8, 4) Design with 15 blocks

Block-set of 2-(15, 8, 4) Design with 15 blocks

可以知道，确实是一个2-(15,8,4)设计，因此 $A_6$ 为2-(15,8,4)对称设计的旗传递自同构群。

3.3. 定理1(c), (d)的证明

在这节我们来证明定理1(c)，(d)。在定理1(c)中，D是一个2-(15,8,4)对称设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的点本原自同构群。由Magma知，15次本原群只有6个，分别为 $A_6$， $S_6$， $A_7$， $\text{PSL}(4,2)$， $A_{15}$ 或 $S_{15}$。因为G是点本原的，则G是点传递的，由引理2，我们知道对称设计中G点传递等价于区传递，因而所求的本原群满足定理1(a)的条件，所以群G为 $A_6$， $S_6$， $A_7$ 和 $\text{PSL}(4,2)$。通过表1可知此时存在4个两两同构的设计，它们对应表1中情形5，7~9。

在定理1(d)中，D是一个2-(15,8,4)对称设计，且群G是 $\mathcal{D}$ 的非点本原自同构群，同理于定理1(c)的证明，由定理1(a)和15个点上的非本原群可知，群G为 $A_5\left(15\right)$， $F\left(5\right)\left[1/2\right]S\left(3\right)$， $\text{GL}\left(2,4\right)$， $S_5$ 和 $3S_5$。此时存在5个两两同构的设计，它们对应表1中的情形1-4，6。

3.4. 推论的证明

在推论1中，D是一个2-(15,8,4)对称设计，G是D的旗传递且点本原自同构群，那么此时群G既需要满足定理1(b)又需要满足定理1(c)，因此群G为 $A_6$， $S_6$， $A_7$ 和 $\text{PSL}(4,2)$。此时存在4个两两同构的设计，它们对应5，7~9。

Table 2. Flag-transitive point-imprimitive automorphism groups ofsymmetric 2-(15,8,4)designs and their base blocks

表2. 2-(15,8,4)设计旗传递非点本原自同构群及基区

在推论2中，群G是旗传递非点本原的，那么此时既需要满足定理1(b)又需要满足定理1(d)，因此群G为 $S_5$ 和 $3S_5$。此时存在2个两两同构的设计。而且群G是非点本原的，那么点集P存在一个长为c的d个非本原区的非本原分划 $\mathcal{C}$，由引理3(3)可知，c = 3，d = 5。它们对应的参数 $\left(v,k,\lambda \right)$，群G、非本原分划c、d、基区B、设计D列表如上表2。

致谢

本论文在写作过程中和申佳昕博士进行了有益的讨论，在此表示感谢！