多元累积函数变化率及其应用

Variation Rate of Multivariate Cumulative Function and Its Applications

摘要: 利用数学分析理论，建立了一类涉及参数函数的多元累积函数变化率的结论，并给出了其在多元积分、概率论与经济管理科学中的应用实例。

Abstract: By methods of mathematical analysis theory, some results of the variation rate of multivariate cumulative function with respect to functional parametric are established. Some applications in the fields of multiple integrals, probability theory and economic management science illustrating the usefulness of the results are also provided.

1. 背景

微积分是一门重要的认识世界、改造世界的基础科学，很多结论从哲学高度揭示了各种现象的本质。自诞生之日起，一直广受关注，虽然时至今日发展已经非常完善，然而相关主题及其在其他相关学科中应用的研究课题一直没有停止过 [1] - [7]。

设有线密度为 $f\left(x\right)$ 的直线型物体占有区间 $\left[a,u\left(t\right)\right]$，其中 $a<u\left(t\right)\le b$，那么物体在 $\left[a,u\left(t\right)\right]$ 的质量相对于参数t的变换率为： $\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_a^{u\left(t\right)}f\left(x\right)\text{d}x}=f\left[u\left(t\right)\right]u^{\prime }\left(t\right)$。

这个结论的特例： $\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_a^{t}f\left(x\right)\text{d}x}=f\left(t\right)$ 是微积分中的经典结论 [1]，是建立微积分基本公式——牛顿–莱布尼茨公式的基础。如果抛开密度与质量这个背景，这个公式则给出了函数 $f\left(x\right)$ 相对于参数t的变化率。

一个自然的推广：在区域D上连续的二元函数 $f\left(x,y\right)$ 相对于可导函数 $z=\phi \left(x,y\right)$ 给出的参数z的变化率又会呈现怎样的关系呢？该问题的物理背景是：对于占有平面区域D、面密度为连续函数 $f\left(x,y\right)$ 的物体，能否求得其质量关于参数 $z=\phi \left(x,y\right)$ 的变化率呢？这个问题结论可以很自然地应用到数理科学、工程实践、经济管理、生态学、传染病等众多涉及多元函数变化率的学科或领域中，具有一定的实践价值。

先给出一些相关引理和推论。

引理1 [1] 设 $f\left(x,y\right)$ 与 $\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}$ 在矩形域 $\left(a\le x\le b,\alpha \le y\le \beta \right)$ 上连续，则积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x,y\right)\text{d}x}$ 在 $\left[\alpha ,\beta \right]$ 上可导，且 $\frac{\text{d}}{\text{d}y}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x,y\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_a^b\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}\text{d}x}$。

根据这个引理可以得到更一般的情形：

推论1 [1] 设 $f\left(x,y\right)$ 与 $\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}$ 在矩形域 $\left(a\le x\le b,\alpha \le y\le \beta \right)$ 上连续，而函数 $a\left(y\right),b\left(y\right)$ 在 $\left[\alpha ,\beta \right]$ 上可导，且 $a\le a\left(y\right)\le b,\alpha \le b\left(y\right)\le \beta$，那么函数 $\gamma \left(y\right)={\displaystyle {\int }_{a\left(y\right)}^{b\left(y\right)}f\left(x,y\right)\text{d}x}$ 对任意 $y\in \left(\alpha ,\beta \right)$ 可导，且

$\frac{\text{d}\gamma \left(y\right)}{\text{d}y}={\displaystyle {\int }_{a\left(y\right)}^{b\left(y\right)}\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}\text{d}x}+f\left[b\left(y\right),y\right]b^{\prime }\left(y\right)-f\left[a\left(y\right),y\right]b^{\prime }\left(y\right).$

推论2 设 $z\in \left[\alpha ,\beta \right]$，函数 $f\left(x,y\right)$ 在矩形域 $\left(a\le x\le b,\alpha \le y\le \beta \right)$ 上连续， $\phi \left(x,z\right)$ 与 $\frac{\partial \phi \left(x,z\right)}{\partial z}$ 在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha ,\beta \right]$ 上连续，那么

$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta z}{\displaystyle {\int }_a^b\text{d}x{\displaystyle {\int }_{\phi \left(x,z\right)}^{\phi \left(x,z+\Delta z\right)}f\left(x,y\right)\text{d}y}}={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left[x,\phi \left(x,z\right)\right]\frac{\partial }{\partial z}\phi \left(x,z\right)\text{d}x}.$

定义1 设 $f\left(x,y\right)$ 在区域D内有定义， $D^{\prime }=\left\{\left(s,t\right)\in D|s\le x,t\le y,\left(x,y\right)\in D\right\}$，称 ${\displaystyle \underset{D^{\prime }}{\iint }f\left(s,t\right)\text{d}s\text{d}t}$ 为区域D内关于二元函数 $f\left(x,y\right)$ 的累积函数，记为 $〚f_{\left(x,y\right)}〛$，简记为 $〚f〛$。特别地， $〚f_D〛={\displaystyle \underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}x\text{d}y}$。

若 $D^{\prime }=\left\{\left(s,t\right)\in D|\left(s,t\right)\le \phi \left(x,y,z\right),\left(x,y\right)\in D\right\}$，则称 ${\displaystyle \underset{D^{\prime }}{\iint }f\left(s,t\right)\text{d}s\text{d}t}$ 为D内二元函数 $f\left(x,y\right)$ 关于参数

曲线 $\phi \left(x,y,z\right)=0$ 的累积函数，记为 $〚f_{\phi \left(x,y,z\right)}〛$，简记为 $〚f_{\phi }〛$。

若 $\Delta D$ 为D内由 $\phi \left(x,y\right)=z$ 与 $\phi \left(x,y\right)=z+\Delta z$ 围成的区域，则称 ${\displaystyle \underset{\Delta D}{\iint }f\left(s,t\right)\text{d}s\text{d}t}$ 为D内二元函数 $f\left(x,y\right)$ 关于参数曲线 $\phi \left(x,y\right)=z$ 的增量累积函数，记为 $\Delta 〚f_{\phi }〛$，即 $\Delta 〚f_{\phi }〛=〚f_{\phi \left(x,y,z+\Delta z\right)}〛-〚f_{\phi \left(x,y,z\right)}〛$。

我们的主要任务是讨论累积函数 $m_{\phi \left(x,y\right)\le z}$ 对参数z的变化率，即欲求：

$\frac{\text{d}〚f_{\phi }〛}{\text{d}z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta 〚f_{\phi }〛}{\Delta z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \underset{\Delta D}{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}x\text{d}y}}{\Delta z}.$

2. 主要结论

定理1 假设区域D边界逐段光滑，函数 $f\left(x,y\right)$ 是D上的连续函数， $\phi \left(x,y\right)-z=0$ 是D上的可微函数， $\phi \left(x,y\right)$ 在D上的最小值和最大值分别为 $\alpha ,\beta$。如果 $\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|\ne 0$，那么对于 $\alpha \le z\le \beta$ 有

$\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚f_{\phi -z}〛={\displaystyle {\int }_{\phi \left(x,y\right)=z}\frac{f\left(x,y\right)}{\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|}\text{d}s}.$ (1)

证明：因 $\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|\ne 0$，不妨设 $\frac{\partial z}{\partial y}\ne 0$，也即是说 $\frac{\partial z}{\partial y}>0$ 或 $\frac{\partial z}{\partial y}<0$，不失一般性，设 $\frac{\partial z}{\partial y}>0$。用记号 $D_z$ 表示区域D内由曲线 $z=\phi \left(x,y\right)$ 与 $z+\Delta z=\phi \left(x,y\right)$ 所围成的部分，如图1所示。

Figure 1. Cumulative rate of change of multivariate function

图1. 多元函数的累积变化率

注意到： $\Delta 〚f_{\phi -z}〛={\displaystyle \underset{D_z}{\iint }f\left(x,y\right)\text{d}x\text{d}y}$。

再将区域 $D_z$ 用x与 $x+\Delta x$ 分割成小区域 $\Delta S$，其面积也记为 $\Delta S$。设垂线x与 $\phi \left(x,y\right)=z$ 、 $\phi \left(x,y\right)=z+\Delta z$ 的交点纵坐标分别为y与 $y+\Delta y$。

注意到交点处切向量为 $T\left(x,y\right)=\left\{{\phi }_y\left(x,y\right),-{\phi }_x\left(x,y\right)\right\}$。那么

$\Delta S=\Delta y\frac{{\phi }_y}{\sqrt{{\phi }_x{}^2+{\phi }_y{}^2}}\Delta s=\frac{\Delta y}{\Delta z}\frac{{\phi }_y}{\sqrt{{\phi }_x{}^2+{\phi }_y{}^2}}\Delta s\Delta z,$ (2)

其中， $\Delta s$ 是曲线 $z=\phi \left(x,y\right)$ 被x与 $x+\Delta x$ 截得的弧长。

注意到 $z=\phi \left(x,y\right)$ 的可微性，可得 ${\phi }_y=\frac{\Delta z}{\Delta y}+o\left(\Delta y\right)$，所以

${\phi }_y\frac{\Delta y}{\Delta z}=1+o\left(\Delta y\right).$ (3)

由(2)、(3)可得

$\Delta S=\frac{1}{\sqrt{{\phi }_{cx}^2+{\phi }_y^2}}\Delta s\Delta z=\frac{1}{\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|}\Delta s\Delta z.$ (4)

由积分的元素法可得：

$\Delta 〚f_{\phi -z}〛={\displaystyle {\int }_z^{z+\Delta z}\text{d}z{\displaystyle {\int }_{\phi \left(x,y\right)=z}\frac{f\left(x,y\right)}{\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|}\text{d}s}}.$ (5)

因此，由定义2、推论2及(5)可得

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚f_{\phi -z}〛=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{\Delta 〚f_{\phi -z}〛}{\Delta z}\\ =\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta z}{\displaystyle {\int }_z^{z+\Delta z}\text{d}z{\displaystyle {\int }_{\phi \left(x,y\right)=z}\frac{f\left(x,y\right)}{\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|}\text{d}s}}\\ =\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta z}\Delta z{\displaystyle {\int }_{\phi \left(x,y\right)=\xi }\frac{f\left(x,y\right)}{\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|}\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_{\phi \left(x,y\right)=z}\frac{f\left(x,y\right)}{\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|}\text{d}s}\end{array}$

其中 $\xi$ 是z与 $z+\Delta z$ 之间的一个点。证毕。 □

推论3 设区域D边界逐段光滑，函数 $f\left(x,y\right)$ 是D上的连续函数， $z=x$，其中z的最小值和最大值分别为 $\alpha ,\beta$，那么对于 $\alpha \le z\le \beta$ 有

$\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚f_{x-z}〛={\displaystyle {\int }_{z=x}f\left(x,y\right)\text{d}s}={\displaystyle {\int }_{y_1\left(z\right)}^{y_2\left(z\right)}f\left(z,y\right)\text{d}y}.$

其中 $y_1\left(z\right),y_2\left(z\right)$ 分别是区域D在 $z=x$ 处的下边界和上边界的纵坐标。

推论4 设区域D边界逐段光滑，函数 $f\left(x,y\right)$ 是D上的连续函数， $z=y$，其中z的最小值和最大值分别为 $\alpha ,\beta$，那么对于 $\alpha \le z\le \beta$ 有

$\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚f_{y-z}〛={\displaystyle {\int }_{z=y}f\left(x,y\right)\text{d}s}={\displaystyle {\int }_{x_1\left(z\right)}^{x_2\left(z\right)}f\left(x,x\right)\text{d}x}.$

其中 $x_1\left(z\right),x_2\left(z\right)$ 分别是区域D在 $z=y$ 处的左边界和右边界的横坐标。

定理2 设凸区域D边界逐段光滑，函数 $f\left(x,y\right)$ 是D上的连续函数，函数 $G\left(x,y,z\right)=y-\phi \left(x,z\right)$ 、 $\frac{\partial G}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial G}{\partial z}$ 在 $D\times \left[\alpha ,\beta \right]$ 内连续， $\frac{\partial G}{\partial x}\ne 0$， $\frac{\partial G}{\partial z}\ne 0$，其中z的取值为 $\left[\alpha ,\beta \right]$。曲线 $y=\phi \left(x,z\right)$ 与区域D的边界交点为 $\left(a\left(z\right),\phi \left(a\left(z\right),z\right)\right)$ 和 $\left(b\left(z\right),\phi \left(b\left(z\right),z\right)\right)$，其中 $\alpha \le z\le \beta$， $a\left(z\right)<b\left(z\right)$。那么

$\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚f_G〛={\displaystyle {\int }_{a\left(z\right)}^{b\left(z\right)}f\left(x,\phi \left(x,z\right)\right)\left|\frac{\partial \phi \left(x,z\right)}{\partial z}\right|\text{d}x}.$

定理3 设凸区域D边界逐段光滑，函数 $f\left(x,y\right)$ 是D上的连续函数，函数 $G\left(x,y,z\right)=x-\phi \left(y,z\right)$ 、 $\frac{\partial G}{\partial y}$ 、 $\frac{\partial G}{\partial z}$ 在 $D\times \left[\alpha ,\beta \right]$ 内连续， $\frac{\partial G}{\partial x}\ne 0$， $\frac{\partial G}{\partial z}\ne 0$，其中z的取值为 $\left[\alpha ,\beta \right]$。曲线 $x=\phi \left(y,z\right)$ 与区域D的边界交点为 $\left(\phi \left(c\left(z\right),z\right),c\left(z\right)\right)$ 和 $\left(\phi \left(d\left(z\right),z\right),d\left(z\right)\right)$，其中 $\alpha \le z\le \beta$， $c\left(z\right)<d\left(z\right)$。那么

$\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚f_G〛={\displaystyle {\int }_{c\left(z\right)}^{d\left(z\right)}f\left(\phi \left(y,z\right),y\right)\left|\frac{\partial \phi \left(y,z\right)}{\partial z}\right|\text{d}y}.$

3. 实例与应用

3.1. 算例

例1 设密度为 $f\left(x,y\right)=x^2+y^2$ 的物体，其分布区域D是 $x\ge 0,0\le y\le x$ 包含于 $x^2+y^2\le 4$ 的部分，求该物体质量相对于 $z=x^2+y^2$ 的累积变化率。

解：这里 $\phi \left(x,y\right)=x^2+y^2$，因此 $\text{grad}\phi \left(x,y\right)=2\left\{x,y\right\}$， $\left|\text{grad}\phi \left(x,y\right)\right|=2\sqrt{x^2+y^2}$。

当 $0\le z\le 4$ 时，由(1)可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚f_{D_Z}〛={\displaystyle {\int }_{z=x^2+y^2}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{d}s}.$

令 $x=\sqrt{z}\cos \theta ,y=\sqrt{z}\sin \theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$。故 $\text{d}s=\sqrt{z}\text{d}\theta$，由曲线积分的计算法可知

$\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚f_{D_Z}〛={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}z\text{d}\theta }=\frac{\pi }{4}z.$

3.2. 概率论中的应用

设二元连续型随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合概率密度函数为 ${\rho }_{\left(X,Y\right)}\left(x,y\right)$，随机变量的函数 $Z=Z\left(X,Y\right)$，随机变量 $Z=Z\left(X,Y\right)$ 的概率密度为：

${\rho }_Z\left(z\right)=\frac{\text{d}}{\text{d}z}〚\rho 〛={\displaystyle {\int }_{z\left(x,y\right)=z}\frac{\rho \left(x,y\right)}{\left|\text{grad}z\left(x,y\right)\right|}\text{d}s}.$

作为定理1的简单应用，容易求得概率论中常见随机变量 $Z=X+Y$ 密度函数：

定理4 设二元连续型随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合概率密度函数为 ${\rho }_{\left(X,Y\right)}\left(x,y\right)$，随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数为

${\rho }_Z\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\rho }_{\left(X,Y\right)}\left(x,z-x\right)\text{d}x}.$

事实上，由于 $Y=X-Z$，由定理2可得

${\rho }_Z\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\rho \left(x,z-x\right)}{\sqrt{2}}\sqrt{2}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\rho \left(x,z-x\right)\text{d}x}.$

特别地，若随机变量 $\left(X,Y\right)$ 相互独立， ${\rho }_{\left(X,Y\right)}\left(x,y\right)={\rho }_X\left(x\right){\rho }_Y\left(y\right)$，随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数为

${\rho }_Z\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\rho }_X\left(x\right){\rho }_Y\left(z-x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\rho }_X\left(z-y\right){\rho }_Y\left(y\right)\text{d}y}.$

这就是卷积公式 [8]。

例2 设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的联合概率密度函数为 ${\rho }_{\left(X,Y\right)}\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+y}{2}{\text{e}}^{-\left(x+y\right)},\hfill & x>0,y>0\hfill \\ 0,\hfill & 其他\hfill \end{array}$，求 $Z=X+Y$ 的概率密度函数。

解：由题意可知曲线 $z=x+y$ 与 $\left(X,Y\right)$ 的非零概率区域交点为 $\left(z,0\right)$ 和 $\left(0,z\right)$，z的取值范围是 $z>0$。

由定理4，在非零概率区域 $z>0$ 内 ${\rho }_Z\left(z\right)={\displaystyle {\int }_0^z\frac{z}{2}{\text{e}}^{-z}\text{d}x}=\frac{1}{2}{z}^2{\text{e}}^{-z}$。

综上可知， ${\rho }_Z\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{z}^2{\text{e}}^{-z},\hfill & z>0\hfill \\ 0,\hfill & 其他\hfill \end{array}$。

例3 设均匀分布随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的取值满足 $-1\le x\le 1,0\le y\le 1$。求 $Y=\left|X\right|+Z$ 的概率密度函数。

解：由题意可得概率密度为

${\rho }_{\left(X,Y\right)}\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},\hfill & -1\le x\le 1,0\le y\le 1\hfill \\ 0,\hfill & 其他\hfill \end{array}$.

容易知道 $-1\le z\le 1$。

注意到 $z=\{\begin{array}{ll}y-x,\hfill & x\ge 0\hfill \\ y+x,\hfill & x<0\hfill \end{array}$，及 $z=\phi \left(x,y\right)$ 分别在 $x\ge 0$ 和 $x<0$ 时可微(如图2)，满足定理1的条件。结合 $z=\phi \left(x,y\right)$ 的奇偶性及区域的对称性可得：

Figure 2. Schematic diagram of random variable value

图2. 随机变量取值示意图

记 $G=\left|X\right|-Y+Z$。

当 $-1\le z<0$ 时，

${\rho }_Z\left(z\right)=2\frac{\text{d}〚{\rho }_G〛}{\text{d}z}=2{\displaystyle {\int }_{y-x=z}\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\text{d}s}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\displaystyle {\int }_{-z}^1\sqrt{2}\text{d}x}=1+z;$

当 $0\le z<1$ 时，

${\rho }_Z\left(z\right)=2\frac{\text{d}〚{\rho }_G〛}{\text{d}z}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\displaystyle {\int }_{y-x=z}\text{d}s}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\displaystyle {\int }_0^{1-z}\sqrt{2}\text{d}x}=1-z;$

因此 $Y=\left|X\right|+Z$ 的概率密度函数为

${\rho }_Z\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}1+z,\hfill & -1\le z<0\hfill \\ 1-z,\hfill & 0\le z<1\hfill \\ 0,\hfill & 其它.\hfill \end{array}$

3.3. 经济管理科学中的应用

在经济管理中，经常要研究多因素成本控制或利润问题。可以通过单位销售量、价格和成本得到收益的“密度”函数，而不同的销售组合就对应了不同的参数曲线，由本文理论可以求得不同的参数曲线对应的收益预期。

例3 [9] 设某公司销售A类商品x单位和B类商品y的利润

$P\left(x,y\right)=-{\left(x-200\right)}^2-{\left(y-100\right)}^2+5000.$

假设一周销售A类商品个数在150~200内变化，销售B类商品个数在80~100内变化。若某控制变量与销量间满足 $z=\frac{x}{5}+\frac{y}{2}$，求利润相对于z的变化率。

解 用L表示利润。函数 $P\left(x,y\right)$ 的取值范围 $D:150\le x\le 200,80\le y\le 100$。销量函数可改写为 $y=\phi \left(x,z\right)=\frac{10z-2x}{5}$，显然 $70\le z\le 90,\frac{\partial y}{\partial z}=2$。

由定理1可知，当 $70\le z<80$ 时，

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}L}{\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{150}^{5z-200}P\left(x,\phi \left(x,z\right)\right)\frac{\partial \phi \left(x,z\right)}{\partial z}\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{150}^{5z-200}\left(-{\left(x-200\right)}^2-{\left(2z-\frac{2}{5}x-100\right)}^2+5000\right)\cdot 2\text{d}x}\\ =-\frac{290}{3}{z}^3+23200z^2-1806000z+\frac{137690000}{3}\end{array}$

当 $80\le z\le 90$ 时，

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}L}{\text{d}z}={\displaystyle {\int }_{5z-250}^{200}P\left(x,\phi \left(x,z\right)\right)\frac{\partial \phi \left(x,z\right)}{\partial z}\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{5z-250}^{200}\left(-{\left(x-200\right)}^2-{\left(2z-\frac{2}{5}x-100\right)}^2+5000\right)\cdot 2\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{5z-250}^{200}\left(-{\left(x-200\right)}^2-{\left(2z-\frac{2}{5}x-100\right)}^2+5000\right)\cdot 2\text{d}x}\\ =\frac{290}{3}{z}^3-26100z^2+2299000z-65970000\end{array}$

综上， $\frac{\text{d}L}{\text{d}z}=\{\begin{array}{ll}-\frac{290}{3}{z}^3+23200z^2-1806000z+\frac{137690000}{3},\hfill & 70\le z<80\hfill \\ \frac{290}{3}{z}^3-26100z^2+2299000z-65970000,\hfill & 80\le z\le 90\hfill \end{array}$。

致谢

作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见。

基金项目

全国教育科学“十三五”规划2019年度教育部重点课题子课题(DCA190331-1011)；教育部产学合作协同育人项目(202002267007，202101097002)；成都大学教改项目(CDJGB2017034)、课程思政项目(CDKCSZKC202002)。