基于改进的二次曲面与BP神经网络组合模型的GNSS高程异常拟合

GNSS Height Abnormal Fitting Based on Modified Combined Model of Quadric Surface and BP Neural Network

摘要: 针对GNSS高程异常拟合模型未能很好拟合高程异常，本文在传统二次曲面模型中，引入一个附加高程的趋势项，将其与BP神经网络进行组合建立组合模型，并应用于高程异常拟合计算实例中。通过实例，将二次曲面拟合模型、改进的二次曲面拟合模型、半参数平差模型以及BP神经网络模型与文中提出的组合模型进行比较分析。结果表明组合模型推估外部点精度最高。

Abstract: In view of the fact that the GNSS elevation anomaly fitting model fails to fit the elevation anomaly well, this paper introduces an additional elevation trend term in the traditional quadratic surface model, combines it with the BP neural network to establish a combined model, and applies it to the elevation anomaly fitting calculation example. Through examples, the quadratic surface fitting model, the improved quadratic surface fitting model, the semi-parametric adjustment model and the BP neural network model are compared and analyzed with the combined model proposed in this paper. The results show that the combined model has the highest accuracy in estimating ex-ternal points.

1. 引言

目前，GNSS测量技术已被广泛应用 [1] ，利用GNSS测量技术可快速测量地面上任意点的大地高，传统的水准测量可测量地面上任意点的正常高 [2] 。在实际应用中，目前由于我国采用的是正常高系统，故需对高程进行转换，二者的关系为 [3] ：

$H=H_g+\zeta$ (1)

式中，H为大地高；H_g为正常高；ζ为高程异常。故GNSS测量代替水准测量的关键在于获取高精度的高程异常值。常用高程异常拟合方法有二次多项式曲面法、多面函数法和BP神经网络等 [4] [5] [6] [7] 。

雷伟伟等 [8] 使用二次曲面模型合拟合高程异常，模型精度可达厘米级。有些学者 [9] [10] [11] 使用二次曲面模型和BP神经网络的组合模型用于GNSS高程异常拟合，其结果优于单一模型。有些学者 [12] [13] [14] [15] 在高程异常拟合中提出了加权二次曲面拟合和多面函数的组合模型，在一定程度上提高了GNSS高程拟合的精度和稳定性。有些学者 [16] [17] [18] 提出最小二乘配置法的高程拟合，该方法对于大面积高程异常值变化较大的地区能够取得较高的拟合精度。沈雪峰等 [19] 提出改进的BP神经网络用于拟合高程异常，降低了模型误差。有些学者 [20] [21] [22] 采用自适应最小二乘来保持信号与噪声向量的权重矩阵相对应的方差系数恒定，一定程度上控制了观测值粗差对检核点的影响。有的学者 [23] [24] 引入非参数模型补偿项建立高程异常的半参数拟合模型。张志杰等 [25] 使用遗传算法优化优化似大地水准面，采用移去–恢复法对残差进行建模求解似大地水准面和参考椭球面之间的高程异常。

本文将改进的二次曲面和BP神经网络集成为组合模型，并将其用于GNSS高程异常拟合中，从内可靠度、外可靠度等方面对结果进行对比分析。

2. 原理与方法

2.1. 改进的二次曲面模型

改进的二次曲面拟合高程异常的数学模型为：

$\zeta =a_0+a_{1}x+a_{2}y+a_3{x}^2+a_4{y}^2+a_{5}xy+a_{6}h$ (2)

式中， $a_i\left(i=0,\text{1},\cdots ,\text{6}\right)$ 为模型系数；(x, y)为已知点平面坐标。由于x，y的数值过大，故需对其进行归一化处理。有n个已知点的模型其误差方程为：

$V=BX-\zeta$ (3)

式中

$B=\left[\begin{array}{ccccccc}1& x_1& y_1& x_1^2& y_1^2& x_1{y}_1& h_1\\ 1& x_2& y_2& x_2^2& y_2^2& x_2{y}_2& h_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& x_n& y_n& x_n^2& y_n^2& x_n{y}_n& h_n\end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ a_5\\ a_6\end{array}\right]$ ， $\zeta =\left[\begin{array}{c}{\zeta }_1\\ {\zeta }_2\\ ⋮\\ {\zeta }_n\end{array}\right]$ ， $V=\left[\begin{array}{c}{V}_1\\ V_2\\ ⋮\\ V_n\end{array}\right]$

加入未知点到中心点的距离倒数平方作为评价各已知点对整个模型的贡献度，即定权，求出函数的拟合系数。引入距离定权，联测点(x_p, y_p)的权值为

$p_i=\frac{1}{{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2+{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2},i=\left(1,2,\cdots ,n\right)$ (4)

根据最小二乘原理V^TPB = min，可解得改进得二次曲面模型系数：

$X={\left(B^{\text{T}}PB\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}P\zeta$ (5)

利用系数矩阵B和式(2)即可求解待定点的高程异常ζ(x, y)，再根据式(1)即可计算正常高。

2.2. BP神经网络模型

BP神经网络是一种监督学习，其用均方误差和梯度下降实现对连接权重的修改，旨在实现误差平方和最小以确保输出值接近预期值 [26] [27] [28] 。BP神经网络是通过线性模型和连续可导激活函数的组合来实现的 [29] [30] [31] 。本文的BP神经网络模型使用MATLAB自带的神经网络工具箱实现。高程异常拟合模型中，输入层含有3个神经元，隐藏层含有6个神经元，输出层含有1个神经元，输入层到隐含层激活函数为双曲正切函数，隐含层到输出层激活函数为线性函数，训练方法结合了梯度下降法和牛顿法。其示意见图1。

输入层输入向量X和隐含层输出向量Y分别为：

$X=\left\{x_i\right\},i=1,2,\cdots$ (6)

$Y=\left\{y_j\right\},j=1,2,\cdots$ (7)

隐含层输入和输出分别为：

$ne{t}_j={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{v}_{ij}{x}_i}$ (8)

$y_j=f\left(ne{t}_j\right)$ (9)

式中： $v_{ij}$ 为隐含层系数；n为输入自变量数量。

输出层输出向量O和期望输出向量D分别为

$O=\left\{o_k\right\},k=1$ (10)

$D=\left\{d_k\right\},k=1$ (11)

BP神经网络输出层的输入和输出分别为：

$ne{t}_k={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{w}_{jk}{y}_j}$ (12)

式中： $w_{jk}$ 为输出层各神经元权重；m为隐含层神经元个数。

$O_k=f\left(ne{t}_k\right)$ (13)

误差E为：

$E=\frac{1}{2}{\left(D-O\right)}^2=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\left(d_k-o_k\right)}^2}$ (14)

BP神经网络法拟合高程异常主要包括以下处理步骤。

1) 权值设为较小的随机数。

2) 提供训练样本。选取n个点，提取其x坐标，y坐标，大地高，正常高作为训练样本。

3) 分别计算隐含层和输出层各神经元输出。

4) 计算输出误差。

5) 计算权值梯度。

6) 返回步骤3计算，直到E满足用户设定数值或达到用户设定的迭代计算次数，即可得出最终的各连接权值。

Figure 1. Schematic diagram of BP neural network

图1. BP神经网络示意

2.3. 组合模型

组合模型即将GNSS高程异常拟合模型组合起来，以提高模型精度 [32] 。在本文中，将改进得二次曲面模型和BP神经网络相结合建立组合模型。

设

$\zeta =w_1{\zeta }_1+w_2{\zeta }_2$ (15)

式中，ζ为组合模型的高程异常值，ζ₁, ζ₂分别为改进的二次曲面模型和BP神经网络模型求出的高程异常值；w₁，w₂分别为二次曲面模型和BP神经网络模型对应的权重。

权值w₁，w₂由下式确定：

$\{\begin{array}{l}{w}_1=\frac{\frac{1}{{\delta }_1^2}}{\frac{1}{{\delta }_1^2}+\frac{1}{{\delta }_2^2}}\\ w_2=\frac{\frac{1}{{\delta }_2^2}}{\frac{1}{{\delta }_1^2}+\frac{1}{{\delta }_2^2}}\end{array}$ (16)

式中：δ₁和δ₂分别为改进的二次曲面模型和BP神经网络模型求得的已知点高程异常值的标准差。

3. 算例分析

为得到较为理想的高程异常拟合的效果，降低数据对建模的影响，先对坐标数据归一化处理，其公式如下：

$X=\frac{X-Min\left(X\right)}{Max\left(X\right)-Min\left(X\right)}$ (17)

$Y=\frac{Y-Min\left(Y\right)}{Max\left(Y\right)-Min\left(Y\right)}$ (18)

本文使用GNSS测量计算观测了某水准控制网的17个点，并使用水准测量观测了这些点，选取其中1~12号点的建立拟合模型，13~17号点用于检核。点位分布如图2所示。

Figure 2. Point plan

图2. 点位平面图

为对比各模型的拟合效果，本文选取4种拟合方法分别建立高程异常拟合模型：1) 二次曲面模型；2) 改进的二次曲面模型；3) BP神经网络模型；4) 组合模型。使用上述4种方法解算出测区高程异常拟合模型，然后使用高程异常拟合模型计算出测区5个检核点的高程异常值。表1为各模型求解出的13~17号点高程异常估算值、模型拟合残差及中误差。为更直观的表达高程异常的拟合精度，以外部检核点号为横坐标，外部检核点高程异常改正数为纵坐标建立折线图，折线图见图3。

Table 1. Extrapolation checkpoint elevation anomaly estimation and fitting residuals

表1. 外推检核点高程异常推估值及拟合残差

Figure 3. Extrapolation of the residual error of the abnormal fitting of the checkpoint elevation of each model

图3. 各模型外推检核点高程异常拟合残差

从表1以及图3可知，二次曲面模型解算出检核点高程异常的中误差为2.3186 mm，改进的二次曲面模型解算出检核点高程异常的中误差为1.8849 mm，BP神经网络模型解算出检核点高程异常的中误差为3.5035 mm，而组合模型解算出检核点高程异常的中误差为1.3591 mm，故就中误差而言，采用改进的二次曲面模型计算高程异常结果由于传统的二次曲面模型，而本文使用的组合模型计算出的检核点高程异常值是最优的。采用组合模型拟合高程异常可能会导致相对于单个模型有精度损失，但是其数值整体表现更加平稳，不会出现单个模型拟合出极值的现象，也就是说误差的跳跃性有所减小，结果更稳定。

为了更直观的表达高程异常的拟合精度，以各模型名称为横坐标，内、外符合精度为纵坐标建立直方图，如图4所示。

从表2及图4可知，使用半参数模型对高程异常进行拟合内符合精度最高，使用组合模型对高程异常进行拟合的内符合精度略低于二次曲面，但组合模型的外符合精度要高于改进的二次曲面模型。对于已知高程点采用半参数模型对其平差效果最好。对于已知一些点的高程异常来推估测区内其余点的高程异常，采用组合模型推算效果最佳。

Table 2. Accuracy of inside and outside of each model

表2. 各模型内、外符合精度

Figure 4. Accuracy histogram of the inside and outside of each model

图4. 各模型内、外符合精度直方图

4. 结语

将GNSS测量的大地高转化为我国所用的正常高，实现GNSS测量的优越性，是当前是测绘行业研究的热点之一。本文提出的改进的二次曲面模型拟合高程异常，相较于传统的二次曲面模型增加了一项附加高程的去实现，提高了模型精度。通过实例解算，对比研究了5种GNSS高程拟合模型在实验测区的拟合效果，结果表明，改进的二次曲面拟合与BP神经网络组合拟合法的拟合精度高于单一拟合法的精度。从内、外符合精度控制上来看，半参数模型对要求较高的内符合度更适用，组合模型对推估外部点的效果更佳。

本文是基于试验数据不含有粗差，而当试验数据中含有粗差时有待进一步研究。