基于L型域上泊松问题的虚拟元方法

Virtual Element Method Based on Poisson Problem in L-Type Domain

摘要: 本文应用虚拟元方法研究L型域上泊松问题。首先构造虚拟元函数空间，并给出空间中函数的自由度。其次对空间进行虚拟元离散，构造与问题相关的投影算子。然后借助自由度来计算投影算子，得到连续问题的虚拟元离散形式，而后对离散形式进行误差分析。最后给出泊松方程的数值计算，通过不同范数意义下的相对误差与绝对误差，可以看出随着网格剖分的细化，数值解的收敛效果变得更好。当网格剖分最细时，数值解的收敛效果最好，验证了虚拟元方法的有效性和准确性。

Abstract: In this paper, the virtual element method is applied to study the Poisson problem on the L-type field. Firstly, the virtual element space is constructed, and the degrees of freedom of the functions in the space are given. Secondly, the virtual element discrete of the space is constructed, and the pro-jection operator related to the problem is constructed. Then, with the help of degrees of freedom, the projection operator is calculated to obtain the virtual element discrete form of the continuous problem, and then the error analysis of the discrete form is carried out. Finally, the numerical cal-culation of Poisson equation is given, and through the relative error and absolute error in the meaning of different norms, it can be seen that with the refinement of meshing, the convergence ef-fect of the numerical solution becomes better. When the mesh is the finest, the convergence effect of the numerical solution is the best, which verifies the effectiveness and accuracy of the virtual ele-ment method.

1. 引言

随着科学的发展和计算机技术的进步，数值计算的应用越来越广泛。在多种数值求解方法中，有限元方法的应用非常普遍，运用有限元方法求解二维问题时，剖分单元选择三角形或四边形剖分，传统有限元方法构造的有限维空间，基底选择单项式函数、样条基函数等。对于有限元方法在剖分区域和基底构成的限制，在2013年L.beirao da Veiga等人在 [1] 中提出虚拟元方法，对此做出改进。该方法可认为是有限元方法的推广，虚拟元方法选择凸或非凸多边形。其次，虚拟元方法不需要给出具体的基底求解，仅使用自由度计算出系数。虚拟元方法可以用来解决许多方程问题，比如Poisson方程 [1] ，Stokes方程 [2] ，Cahn-Hilliard方程 [3] ，semilinear sine-Gordon双曲方程 [4] 等。也可以运用虚拟元方法求解一些具体的问题，文献 [5] 给出了应用虚拟元方法解决非线性抛物问题，文献 [6] 给出了应用虚拟元方法解决板弯曲问题，文献 [7] 给出了应用虚拟元方法求解线性弹性问题，文献 [8] [9] [10] 给出应用虚拟元方法求解特征值问题，文献 [11] 给出应用虚拟元方法求解二维线弹性带孔板问题，文献 [12] 给出应用虚拟元方法求解端部受抛物线荷载的悬臂梁问题。本文将利用虚拟元方法求解L型域上的泊松问题。

本文第2部分给出虚拟元方法在求解L型域上的泊松问题中的理论推导。第3部分给出具体数值算例，通过数值计算结果验证了理论分析的准确性。第4部分对本文进行总结。

2. 虚拟元方法

2.1. 连续问题

首先在L型区域上考虑泊松问题

$\{\begin{array}{ll}\Delta u=f,\hfill & u\in \Omega ,\hfill \\ \frac{\partial \bar{u}}{\partial n}=g,\hfill & u\in {\Gamma }_N,\hfill \\ \bar{u}=0,\hfill & u\in {\Gamma }_D,\hfill \end{array}$ (1)

其中 $\Omega$ 为 $R^2$ 上的一个多边形区域， $f\in L^2\left(\Omega \right)$ ， $\left(\cdot ,\cdot \right)$ 为 $L^2\left(\Omega \right)$ 中的内积，由分部积分公式可得，方程(1)的变分形式为：找到 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ ，使得

$a\left(u,v\right)=\left(f,v\right),v\in H_0^1\left(\Omega \right)$ (2)

其中 $a\left(u,v\right):=\left(\nabla u,\nabla v\right)$ ， $\Delta$ 为Laplace算子，由Lax-Milgram定理可知连续问题(2)的解存在且唯一。

2.2. 构造虚拟元空间

首先，对区域 $\Omega$ 进行剖分， ${\tau }_h$ 为 $\Omega$ 上的一个剖分， ${\Gamma }_N$ 与 ${\Gamma }_D$ 分别为 ${\tau }_h$ 边的集合， $h_K$ 为单元直径，h为单元直径的最大值，对剖分网格要求满足如下条件：存在整数N与正实数 $\lambda$ ，使得对于每一个h与 $K\in {\tau }_h$ ，满足：1) 剖分单元K的边数不大于N；2) 剖分单元K的最短边与直径的比值大于 $\lambda$ ；3) K相对于半径为 $\lambda h_K$ 的球每一点都是星型的。

对于 $k\ge 1$ 时，定义空间 $B_k\left(\partial K\right):=\left\{v\in C^0\left(\partial K\right):{v|}_e\in {\mathbb{P}}_k\left(e\right),e\in \partial K\right\}$ 。

定义全局虚拟元空间为 $V_h:=\left\{v\in H^1\left(K\right):{v|}_{\partial K}\in B_k\left(\partial K\right),{\Delta v|}_E\in {\mathbb{P}}_{k-2}\left(K\right)\right\}$ 。

定义局部虚拟元空间为 $V_{h,K}:=\left\{v\in V_h:{v|}_K\in V_h,K\in {\tau }_h\right\}$ ，且 ${\mathbb{P}}_{-1}\left(K\right)=\left\{0\right\}$ 。

下面对于任给的 $v_h\in V_h$ ，选取以下自由度：

1) $v_h$ 在单元K内部顶点处的值；

2) 对于 $k\ge 1$ ， $v_h$ 在单元K每条边e上的值；

3) 对于 $k\ge 1$ ， $v_h$ 在单元K内部 $\frac{1}{\left|K\right|}{\displaystyle {\int }_K{m}_{\alpha }{v}_h\text{d}x}$ ， $\alpha =1,\cdots ,n_{k-2}$ ；

其中， $m_{\alpha }\in M_k\left(K\right)$ ， $M_k\left(K\right)$ 是 ${\mathbb{P}}_k\left(K\right)$ 的一组基函数，且 $n_{k-2}=\dim {\mathbb{P}}_{k-2}\left(K\right)=\frac{k\left(k-1\right)}{2}$ 。

2.3. 离散双线性形式与右端项

首先，定义 $H^1$ 投影算子 ${\prod }^{\nabla }:V_{h,K}\to {\mathbb{P}}_k\left(K\right)$ ，对于每一个 $v_h\in V_{h,K}$ ，满足如下正交条件

$\{\begin{array}{l}{\left(\nabla p_k,\nabla \left({\prod }^{\nabla }{v}_h-v_h\right)\right)}_{0,K}=0,p_k\in {\mathbb{P}}_k\left(K\right),\hfill \\ \overline{{\Pi }^{\nabla }{v}_h}=\overline{v_h},\hfill \end{array}$

下面对双线性形式进行虚拟元离散，定义双线性形式 $a_K:H^1\left(K\right)\times H^1\left(K\right)\to R$ ，对于任意的 $u,v\in H^1\left(K\right)$ 有 $a_K\left(u,v\right):={\left(\nabla u,\nabla v\right)}_{0,K}$ ，故双线性形式的局部对应为 $a\left(u,v\right)={\displaystyle \underset{K\in {\tau }_h}{\sum }{a}_K\left(u,v\right)}$ 。

定义局部离散双线性形式 $a_{h,K}:V_{h,K}\times V_{h,K}\to R$ ，有

$a_{h,K}\left(u_h,v_h\right):={\left(\nabla {\Pi }^{\nabla }{u}_h,\nabla {\Pi }^{\nabla }{v}_h\right)}_{0.K}+S_K\left(u_h-{\Pi }^{\nabla }{u}_h,v_h-{\Pi }^{\nabla }{v}_h\right),$ (3)

由于 ${\Pi }^{\nabla }$ 是恒等算子，故式(3)中稳定项 $S_K\left(u_h-{\Pi }^{\nabla }{u}_h,v_h-{\Pi }^{\nabla }{v}_h\right)$ 为0，故式(3)可以转化为

$a_{h,K}\left(u_h,v_h\right):={\left(\nabla {\Pi }^{\nabla }{u}_h,\nabla {\Pi }^{\nabla }{v}_h\right)}_{0.K},$

故上述连续问题离散双线性形式为： $a_h\left(u_h,v_h\right)={\displaystyle \underset{K\in {\tau }_h}{\sum }{a}_{h,K}}\left(u_h,v_h\right)$ 。

局部离散双线性形式具有如下两个重要性质：

1) 一致性：对任意的 $v\in V_K$ ，与任意的 $p\in {\mathbb{P}}_k\left(K\right)$ 有

$a_{h,K}\left(p,v\right)=a^K\left(p,v\right).$

2) 稳定性：存在常数 ${\alpha }_{\ast },{\alpha }^{\ast }>0$ ，且 ${\alpha }_{\ast },{\alpha }^{\ast }$ 不受 $h,E$ 的限制，有

${\alpha }_{*}{a}_K\left(v_h,v_h\right)\le a_{h,K}\left(v_h,v_h\right)\le {\alpha }^{*}{a}_K\left(v_h,v_h\right).$

定义 $L^2$ 投影算子 ${\prod }^0:V_{h,K}\to {\mathbb{P}}_k\left(K\right)$ ，对于每一个 $v_h\in V_{h,K}$ ，满足如下正交条件

${\left(p_k,\left({\prod }^0{v}_h-v_h\right)\right)}_{0,K}=0,p_k\in {\mathbb{P}}_k\left(K\right),$

接下来，f经过 $L^2$ 投影算子作用后变为 $f_h$ ，对 $K\in {\tau }_h$ 有

$\langle f_h,v_h\rangle ={\displaystyle \underset{K\in {\tau }_h}{\sum }{\displaystyle {\int }_K{f}_h{v}_h}}\text{d}x={\displaystyle \underset{K\in {\tau }_h}{\sum }{\displaystyle {\int }_K\left({\prod }^{0}f\right)v_h\text{d}x}}={\displaystyle \underset{K\in {\tau }_h}{\sum }{\displaystyle {\int }_{K}f\left({\prod }^0{v}_h\right)\text{d}x}}.$

因此，本文对应的离散问题为：对于任意的 $v_h\in V_{h,K}$ ，存在 $u_h\in V_h$ ，使得

$a_h\left(u_h,v_h\right)=\langle f_h,v_h\rangle .$ (4)

由于离散双线性形式具有一致性和稳定性，因此可以证得上述离散问题(4)有唯一解。

2.4. 误差分析

下面对离散问题进行误差分析。

定理1 [13] 对足够小的h，等式(4)存在唯一解 $u_h\in V_h$ ，则 $H^1$ 范数误差估计为

${\Vert u-u_h\Vert }_{1,\Omega }\le C{h}^k\left({\Vert u\Vert }_{k+1,\Omega }+{\left|f\right|}_{k,\Omega }\right),$

其中C是一个正常数，并且C与h无关。

定理2 [13] 对足够小的h，则 $L^2$ 范数的误差估计为

${\Vert u-u_h\Vert }_{0,\Omega }\le C{h}^{k+1}\left({\Vert u\Vert }_{k+1,\Omega }+{\left|f\right|}_{k,\Omega }\right),$

其中C是一个正常数，并且C与h无关。

3. 数值实验

本节通过数值算例，验证上述理论分析结果，直观地说明了运用虚拟元方法在处理L型区域上的泊松问题的有效性。考虑L型域上的泊松方程为

$\{\begin{array}{ll}\Delta u=f,\hfill & u\in \Omega ,\hfill \\ f=0,\hfill & u\in \Omega ,\hfill \\ \frac{\partial \bar{u}}{\partial n}=g,\hfill & u\in {\Gamma }_N,\hfill \\ \bar{u}=0,\hfill & u\in {\Gamma }_D,\hfill \end{array}$ (5)

此方程的精确解为 $u={\left(x^2+y^2\right)}^{\frac{1}{3}}\sin \frac{2\theta -\pi }{3}$ ， $\theta \in \left(0,2\pi \right]$ 。运用虚拟元方法在处理L型域上的泊松问题时，选择尺寸大小如图1所示的L型区域。

Figure 1. Geometry of the L-domain

图1. L型域的几何模型

在数值模拟时，首先对区域 $\Omega$ 进行网格剖分，剖分区域为矩形区域 $\Omega =\left[-1,1\right]\times \left[-1,1\right]$ ，图2给出网格剖分数分别为 $104,300,1050,3509,17000,51494$ 的剖分图。

(a) N = 104 (b) N = 300 (c) N = 1050 (d) N = 3509 (e) N = 17,000 (f) N = 51,494

Figure 2. Grid division diagram

图2. 网格剖分图

图3给出网格数分别为 $104,300,1050,3509,17000,51494$ 对应的数值解，从结果中看出，淡黄色区域代表误差相对较大，红色区域代表误差相对较小，且淡黄色逐渐变淡误差逐渐越小。从而随着剖分程度的细化，淡黄色逐渐变淡，误差逐渐变小。符合上文理论推导，即随着网格剖分的细化误差逐渐达到最优。

(a) N = 104 (b) N = 300 (c) N = 1050 (d) N = 3509 (e) N = 17,000 (f) N = 51,494

Figure 3. Numerical solutions for different mesh numbers

图3. 不同网格数对应的数值解

表1给出在不同网格下数值解的误差， $Err\left(H^1\right)$ 为 $H^1$ 范数下的绝对误差， $err\left(L^2\right)$ 代表 $L^2$ 范数下的相对误差。随着网格剖分的细化，误差逐渐变小。由于在拐角处有奇异点，因此，在 $L^2$ 范数下的收敛速率k相对于自由度的总数是由拐角的角度 $\beta \left(\beta =\pi /2\right)$ 决定的。

Table 1. Relative and absolute errors under different meshes

表1. 不同网格下的相对误差与绝对误差

4. 总结

本文基于L型域上泊松问题利用虚拟元方法求解，通过对比在不同网格剖分下的相对误差与绝对误差的收敛效果，验证了运用虚拟元方法所得的误差结果与理论分析的结果相一致。运用虚拟元方法的优势在于空间中网格的剖分很灵活，网格采用多边形或多面体剖分，可以很好解决网格悬挂节点问题。与传统有限元方法相比，该方法由于近似解中包含非多项式，所以在计算过程中不需要给出基函数的显式表达式，只利用自由度来计算系数，进而逼近真解。

参考文献

NOTES

^*通讯作者。