1. 引言
圆筒型永磁直线电机(Tubular Permanent Magnet Linear Motor, TPMLM)具有结构简单、推力密度高、气隙磁场高且不存在扁平型永磁直线同步电机(Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM)的横向端部效应等特点，广泛应用于智能制造 [1] 、震荡系统 [2] 、以及海浪发电 [3] 等领域，故此，研究出更高性能的TPMLM具有很好的现实意义。
目前，国内外学者在TPMLM的多目标优化方面已开展了大量研究，并提出了多种控制方法 [4] ，在对电机优化过程中采用单一控制手段研究后发现，仍存在制动能量回馈效率低及制动转矩脉动大等不足 [5] 。研究者们通过优化其再生制动控制参数进行改进，提出了诸如结构优化 [6] 、分层响应面法 [7] 、粒子群优化算法 [8] 、黑洞算法 [9] 、多目标优化算法 [10] 等方法，对TPMLM进行定位力、转矩、效率以及功率优化等多目标优化。
文献 [11] 采用正交实验法，以永磁体厚度、气隙长度、定子齿的宽度、定子槽口的宽度和极弧系数作为优化变量，通过对实验数据分析对比，对电机效率和齿槽转矩进行了优化，但该方法需要大量试验和测试，且很容易陷入局部最优解而无法找到全局最优解；文献 [12] 基于有限元模型，使用表面响应法和粒子群优化算法相结合的多目标优化设计方法计算得到了横向磁通永磁直线电机的最优结构参数，多目标优化算法往往需要几十甚至几百个样机性能数据作为分析样本，使用有限元法计算会很耗时。李祥林教授 [13] 在多目标优化问题中采用了分层优化策略，以提高转矩密度和降低转矩纹波为目标，通过结合响应面分析法(Response Surface Methodology, RSM)和第二代非支配排序遗传算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II, NSGA-II)等多种优化方法，得出了可行的优化方案，然后制作了样机，并进行了实验，实验证明了NSGA-II在电励磁双定子场调制电机的多目标优化上有很好的实践作用。黄守道 [14] 等人为了在提高转矩密度的同时减小齿槽转矩，提出了一种将转子磁极分段，对每段磁极以特定角度磁化的方法，然后结合有限元仿真结果和多目标遗传算法NSGA-II对该电机结构进行了优化分析，最后给出了Pareto解集。同样证明了NSGA-II在电机的多目标优化上有着很好的效果。
本文旨在解决现有电机在效率和功率的多目标优化方面存在的问题，包括优化效率低、优化效果不理想以及易陷入局部最优解的问题。提出了一种基于改进后的NSGA-Ⅱ算法对电机的功率和效率进行多目标优化的方法。通过实施该方法，希望能够有效提升TPMLM在多目标优化方面的效果。首先，对电机原理进行介绍，并依据TPMLM的尺寸和电机原理在ANSYS Maxwell上搭建二维模型；其次，利用敏感参数分析法得到对电机的功率和效率的多目标优化影响大的参数变量，计算电机的初始功率和效率；然后利用得到的数据使用基于高效非支配排序(Efficient Non-dominated Sorting, ENS)的NSGA-Ⅱ对电机的功率和效率进行优化，得到相应的Pareto前沿和优化后的功率和效率值与初始值进行比较。
2. 电机建模
根据电机设计的基础理论，利用ANSYS Maxwell 2D搭建电机的二维有限元仿真模型如图1所示：
Figure 1. The structure diagram of tubular permanent magnet linear machine
图1. 圆筒型永磁直线电机的结构图
实际上，在电机的优化过程中，并不需要对所有的结构变量都进行调整，只需要对电机优化目标影响较大的参数进行优化校正，而将对优化目标影响较小的变量固定在一个经验范围内即可。为了获取影响电机优化目标较大的参数信息，可以使用灵敏参数法进行分析。根据灵敏度分析 [15] 从表1中的所有参数数据中选取了灵敏度指数高的5个关键结构参数作为TPMLM的优化变量。根据输出性能随参数变化进一步给出每个参数变量的限制范围，如表2所示。
Table 1. Initial parameter data of motor design
表1. 电机设计初始参数数据
Table 2. Optimization variables and parameter ranges
表2. 优化变量及参数范围
3. 改进后的NSGA-II多目标优化
3.1. 第二代快速非支配遗传算法NSGA-II
NSGA-Ⅱ [16] 的基本原理是利用快速非支配排序和拥挤距离排序使种群个体收敛到最终的Pareto前沿，具有全局搜索能力强、参数设置少等特点。
其主要优化步骤包括：
1) 初始化种群：随机生成一组初始解作为初始种群，同时设置算法参数，如种群大小、交叉概率、变异概率等；
2) 非支配排序：对种群中的个体进行非支配排序，得到每个个体的支配解集和被支配数量，同时确定种群中的前沿(Pareto front)；
3) 拥挤度计算：对每个前沿中的个体计算其拥挤度，以保证解的多样性和分布性；
4) 选择：按照非支配排序和拥挤度计算的结果，选择下一代种群中的个体；
5) 交叉和变异：对选择出的个体进行交叉和变异操作，生成新的个体；
6) 终止条件判断：判断是否满足终止条件，如达到最大迭代次数或收敛等，若满足，结束算法，否则返回步骤2。
NSGA-II算法通过非支配排序和拥挤度计算，保证了解的多样性和分布性，能够有效地搜索多目标优化问题的全局最优解。
3.2. NSGA-II的改进
尽管NSGA-Ⅱ有全局搜索能力强、参数设置少等特点，但是在直接将NSGA-Ⅱ用在圆筒型永磁直线电机的多目标优化问题时，发现其只适用于优化无约束的优化对象，优化结果的Pareto解集的分布性不是很理想，集中在某一区域的解非常多，易陷入局部最优解。为此，在非支配排序的问题上，对NSGA-Ⅱ引入高效非支配排序(Efficient Nondominated Sort, ENS)的思想取代非支配排序，使得Pareto解具备良好的多样性且偏向于设计要求，并提升计算效率。
非支配排序和ENS的不同点在于，前者通常在将某个解分配给前沿之前，将其与总体中的所有其他解进行比较，而ENS仅将其与已分配给前沿的解进行比较。因此，添加到前端的解决方案不能主导之前添加的任何解决方案。ENS的引入大大地避免了大量冗余，提高了计算效率。引进ENS后的NSGA-Ⅱ的主要算法流程如下图2所示：
Figure 2. ENS non-dominated sorting method
图2. ENS非支配排序方式
ENS对于最小化问题，首先根据第一目标值以升序对种群P中的N个解进行排序，最大化问题则按降序进行排序，其中N是种群大小；在完成群体P中个体的排序后，ENS开始将解逐一分配给排序群体P中的前沿，从第一个解p1开始，到最后一个解pN结束。当完成一轮前沿分配后，后边的种群个体仅需与当前前沿相同的种群个体进行比较，然后看其支配关系即可，因为小于当前前沿的时候已经说明了后边的种群个体一定被前边种群支配。ENS非支配排序的主要方式如图2所示：
本文分别使用了NSGA-Ⅱ和改进后的NSGA-Ⅱ对电机模型进行了优化，参数设置如下：种群规模大小设置为300；变异算子的变异概率设置为0.2；交叉算子的交叉概率设置为0.8；最大迭代次数设置为1000。优化后的Pareto前沿如图3所示，可从图3得到通过改进后的NSGA-Ⅱ相较于原始NSGA-Ⅱ的优化效果更好，优化后的输出功率为488.62 W，效率为93.17%。
优化前后各设计变量和输出功率和效率的取值如表3所示，基于ENS的NSGA-Ⅱ搜索空间更为广阔，使得Pareto最优解分布均匀，而且解的质量要更高。
Table 3. Comparison of optimization results
表3. 优化结果对比
在速度为0.5 m/s，负载为10 Ω的条件下，分别计算了优化前、原始NSGA-Ⅱ和改进NSGA-Ⅱ优化后的TPMLM的输出功率。我们将三种优化结果的输出功率对比绘制在图4中。从图中可以看出，使用NSGA-Ⅱ和改进NSGA-Ⅱ优化后的TPMLM的输出功率明显增加。对多组数据计算平均功率，在未进行优化的情况下，TPMLM的平均功率经计算得到410.09 W。而在使用NSGA-Ⅱ算法进行优化后，输出功率有了明显的增加。在对NSGA-Ⅱ算法进行改进后，输出功率也有了些微的提升，从463.67 W增加到。这些结果表明，使用改进后的NSGA-Ⅱ算法可以有效地提高TPMLM的输出功率，实现更好的优化效果。
Figure 4. Comparison of output power optimization results
图4. 输出功率优化结果对比
TPMLM的绕组的电阻取值为0.8 Ω，在速度为0.1~1.0 m/s时分别计算优化前、原始NSGA-Ⅱ和改进NSGA-Ⅱ优化时的运行效率，结果如图5所示，根据图中的效率数据计算可得，优化前TPMLM的运行效率为79.84%，使用NSGA-Ⅱ优化后，TPMLM的工作效率相比优化前，有明显的提升，达到了86.83%，再基于改进后的NSGA-Ⅱ又在NSGA-Ⅱ的基础上提升了6.34%，运行效率为93.17%，可见改进后的NSGA-Ⅱ在电机的运行效率上有较好的效果。
Figure 5. Comparison of efficiency optimization results
图5. 效率优化结果对比
4. 结论
本文提出了基于改进的NSGA-Ⅱ对TPMLM的功率和效率的多目标优化。通过灵敏度参数分析法分析出初始优化变量，再根据电机原理对圆筒型永磁直线电机进行建模，将建模后的数据导出，使用改进后的NSGA-Ⅱ进行参数优化。
本研究充分利用基于ENS的NSGA-II的全局搜索能力对目标进行优化，基于ENS的NSGA-Ⅱ搜索空间更为广阔，使得Pareto最优解分布均匀，而且解的质量要更高，能够获得电机结构参数最优解，实现TPMLM的最佳运行性能。
仿真和试验结果表明：通过电机参数结构优化，使用改进后的NSGA-Ⅱ算法，在速度为0.1~1.0 m/s下的平均效率从79.84%提升到了93.17%，在速度为0.5 m/s，负载为10 Ω条件下的输出功率从410.09 W提升到了488.62 W。说明在不同状况下，优化后功率提高，效率提升，且样机实测表明该方法对TPMLM结构优化设计的有效性。因此，所提出的TPMLM优化设计可以方便、高效地获得最优结构设计。
致谢
在完成本篇论文《基于改进的NSGA-II的圆筒型永磁直线电机的多目标优化》之际，我要向所有支持和帮助过我的人们表示由衷的感谢，没有大家的支持和鼓励，我将无法完成这篇论文。
基金项目
浙江省科学技术厅“尖兵”“领雁”研发攻关计划(项目编号：2023C01162)；嘉兴学院大学生科研训练计划(SRT)项目(8517221278)。
参考文献
NOTES
*通讯作者。