非正规极大子群的迹对群可解性的影响

Influence of Traces of Non-Normal Maximal Subgroups on Solvability of Finite Groups

摘要: 在有限群论中，子群的性质是刻画群可解性的重要工具。本文利用非正规极大子群的迹的幂零性研究了可解群的结构，得到了一个关于可解群的充分必要条件(有限群G是可解的当且仅当G的每个非正规极大子群有幂零的迹)，推广了已知结果。

Abstract: In finite group theory, the properties of subgroups are an important tool to characterize the solv-ability of groups. In this paper, we study the structure of solvable groups by using the nilpotent property of traces of non-normal maximal subgroups, and obtain a necessary and sufficient condi-tion for solvable groups (A finite group G is solvable if and only if every non-normal maximal sub-group of G has a nilpotent trace), and generalize the known results.

1. 引言

本文所有的群都是有限群，所有的术语和符号以文献 [1] [2] [3] [4] 为标准。特别地， $\left|G\right|$ 表示群G的阶， $\pi \left(G\right)$ 表示 $\left|G\right|$ 的全体素因子的集合。 $M<\cdot G$ 表示M是群G的一个极大子群； $M\underset{\_}{⊲}G$ 表示M是群G的一个正规子群。且令 ${\mathcal{F}}_1=\left\{M<\cdot G|M\underset{\_}{⊲}G\right\}$ ， ${\mathcal{F}}_2=\left\{M<\cdot G|M\cancel{\underset{\_}{⊲}}G\right\}$ 。显然，群G的极大子群必属于其中之一。

正规子群、极大子群和Sylow子群对群结构有着重要的影响。国内外很多群论学者做过相关课题的研究。在 [5] 中，Guo，Skiba和Tang考虑了所有极大子群的迹的幂零性与群可解群的关系。继续这项研究，将群G的所有极大子群分为正规子群和非正规子群两大类，考虑非正规的极大子群迹的幂零性，得到了关于可解群的一个充要条件。

2. 基本概念

为了方便，在此先列出后面将要用到的一些概念和结果。

定义1 [5] 设A是群G的真子群，称任意的G的主因子 $H/A_G$ 是A的一个G-边界因子或一个边界因子；对于A的任意G-边界因子 $H/A_G$ ，称子群 $\left(A\cap H\right)/A_G$ 为A的一个G-迹或一个迹。这里， $A_G$ 是A在G中的柱心。

引理1 [1] 设G是有限群，则下述事实等价：

G是幂零群；

若 $H<G$ ，则 $H<N_G\left(H\right)$ ；

G的每个极大子群 $M\underset{\_}{⊲}G$ (这时 $\left|G:M\right|$ 为素数)；

G的每个Sylow子群都是正规的，且G是它的诸Sylow子群的直积。

引理2 [1] 幂零群G必为可解群。

引理3 [5] G是可解的当且仅当每个极大子群有幂零的迹(或者次正规的迹)。

引理4 [6] 设P是群G的一个Sylow p-子群， $p\ge \text{5}$ 。如果 $N_G\left(P\right)/C_G\left(P\right)$ 是一个p-群，那么 ${\text{O}}^p\left(G\right)<G$ 。

3. 主要结果

定理1 有限群G是可解的当且仅当 ${\mathcal{F}}_2$ 中的每个极大子群有幂零的迹；

证明必要性，显然成立。充分性：设G是有限群，令M是群G的极大子群。若 ${\mathcal{F}}_2\ne \varnothing$ ，则对于任意的极大子群M有 $M\in {\mathcal{F}}_1$ 。由引理1 (3)可知G是幂零群，进而由引理2知群G是可解的。若 ${\mathcal{F}}_1\ne \varnothing$ ，则对于任意的极大子群有 $M\in {\mathcal{F}}_2$ 。由引理4可得结论。下面讨论 ${\mathcal{F}}_1\ne \varnothing$ 且 ${\mathcal{F}}_2\ne \varnothing$ 。

情形1：G是单群。

如果G是单群，此时对任意极大子群M，有 $M_G=1$ 且M的G-迹是M。因为 ${\mathcal{F}}_1\ne \varnothing$ ，所以存在 $M\in {\mathcal{F}}_1$ ， $M=1$ ，从而群G为素数阶群，进而G可解。

情形2：G是非单群。

任取群G的一个极小正规子群R，下面考虑商群 $G/R$ 。设 $M/R$ 是 $G/R$ 的任意极大子群，即有 $M<\cdot G$ 。令 $H/M_G$ ， $\left(H\cap M\right)/M_G$ 分别是M的G-边界因子和G-迹，则 $\left(\left(H\cap M\right)/R\right)/{\left(M/R\right)}_{\left(G/R\right)}=\left(\left(H\cap M\right)/R\right)/\left(M_G/R\right)$ 是 $M/R$ 的 $G/R$ -迹。

若 $M/R\underset{\_}{⊲}G/R$ ，由引理1 (3)可知G是幂零群，进而由引理2可得群 $G/R$ 是可解的。若 $M/R\cancel{\underset{\_}{⊲}}G/R$ ，则 $M\cancel{\underset{\_}{⊲}}G$ 。根据定理假设，M有幂零的迹，因此 $\left(\left(H\cap M\right)/R\right)/\left(M_G/R\right)$ 是幂零的。进而， $G/R$ 满足定理条件，对 $\left|G\right|$ 进行归纳， $G/R$ 是可解的。

1) 若R可解，显然由扩张闭得G是可解的；

2) 若R不可解，取q是 $\pi \left(R\right)$ 的极大素因子，其中 $\left|\pi \left(R\right)\right|\ge 3$ ， $q\ge 5$ 。令 $Q\in Sy{l}_q\left(R\right)$ ， $\left|Q\right|=q^n$ 。且 $N_G\left(Q\right)\ne G$ ，M是G的极大子群且满足 $N_G\left(Q\right)\le M$ ，由Frattini论断，有 $G=N_G\left(Q\right)R=MR$ 。

若R不唯一，即存在群G的极小正规子群 $R_1$ ， $R_2$ 。根据前面的讨论，有 $G/R_1$ ， $G/R_2$ 是可解的，所以 $G/\left(R_1\cap R_2\right)$ 是可解的。又因为 $R_1\cap R_2=1$ ，因此G是可解的。

若R唯一，有 $M_G=1$ 且 $M\cancel{\underset{\_}{⊲}}G$ ，即 $M\in {\mathcal{F}}_2$ ， $R\cap M$ 是M的一个G-迹，且 $R\cap M$ 是幂零的。又 $N_R\left(Q\right)\le R\cap M$ ，根据引理1(4)，有 $N_R\left(Q\right)=Q\times P_1\times \cdots \times P_s$ ，其中 $P_1,\cdots ,P_s$ 是 $N_R\left(Q\right)$ 的Sylow p-子群， $p\in \pi \left(N_R\left(Q\right)\right)\backslash \left\{q\right\}$ 。因此 $P_1\times \cdots \times P_s\le C_R\left(Q\right)$ ，从而 $\frac{\left|N_R\left(Q\right)\right|}{\left|C_R\left(Q\right)\right|}=q^{\alpha }$ ， $\alpha \le n$ ，即 $N_R\left(Q\right)/C_R\left(Q\right)$ 是q-群，由引理5，有 ${\text{O}}^q\left(R\right)<R$ ， ${\text{O}}^q\left(R\right)$ char R，所以 ${\text{O}}^q\left(R\right)\underset{\_}{⊲}G$ ，矛盾。即我们完成了证明。

基金项目

四川省自然科学基金项目(2022NSFSC1843)。

NOTES

^*通讯作者。