双相问题基态解的存在性

Existence of Ground State Solution of Double Phase Problem

摘要: 本文在全空间R^N上研究了具有一般非线性项双相问题的基态解。利用变分法和单调性技巧，得到了双相问题在Berestycki-Lions条件下具有非平凡径向对称的基态解。

Abstract: We study a double phase problem with a general nonlinear term satisfying the Berestycki-Lions condition in R^N. Based on the Monotonicity trick and variational method, we are going to prove the existence of a nontrivial radial ground state solution for this problem.

1. 引言

本文主要研究以下双相问题：

$\{\begin{array}{l}L\left(u\right)+{\left|u\right|}^{p-2}u+a\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u=f\left(x,u\right),\text{in}{R}^N\hfill \\ u\in W_0^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)\hfill \end{array}$ (1)

其中 $L\left(u\right):=-div\left({\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u+a\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{q-2}\nabla u\right)$ $N\ge 3$ ， $1<p<q<N$ 。 $f:R^N\times R\to R$ 是一个Caratheodory函数，满足文献 [1] 的Berestycki-Lions条件：

( $f_1$ ) $f\in C\left(R^N,R\right)$ ，对所有的 $s\le 0$ ，都有 $f\left(s\right)\equiv 0$ ；

( $f_2$ )对所有的 $l\in \left[p,p^{*}\right]$ ， $-\infty <\underset{s\to 0^{+}}{\lim }\inf \frac{f\left(x,s\right)}{s^{l-1}}\le \underset{s\to 0^{+}}{\lim }\sup \frac{f\left(x,s\right)}{s^{l-1}}<0$ ，其中 $p^{*}=\frac{Np}{N-p}\in \left(p,+\infty \right)$ ；

( $f_3$ ) $-\infty \le \underset{s\to +\infty }{\lim }\sup \frac{f\left(x,s\right)}{s^{q^{*}-1}}\le 0$ ，其中 $q^{*}=\frac{Nq}{N-q}\in \left(p^{*},+\infty \right)$ ；

( $f_4$ ) 存在一个 $\zeta >0$ ，使得 $F\left(\zeta \right)={\displaystyle {\int }_0^{\zeta }f\left(x,s\right)\text{d}s}>0$ 。

本文对于问题(1)的解是在弱的意义下讨论的，即对于所有的 $v\in W_0^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ ，下面等式成立

${\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u+a\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{q-2}\nabla u\right)\nabla v\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|u\right|}^{p-2}u+a\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u\right)v\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{R^N}f\left(x,u\right)v\text{d}x}$

我们将在第二节介绍Sobolev空间 $W_0^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 。

形如

$div\left({\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u+a\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{q-2}\nabla u\right)u\in W_0^{1,\mathcal{H}}(\; R\; N\; )$

的算子称为双相算子。它的积分形式为

${\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla u\right|}^p+a\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^q\right)\text{d}x}$

在研究强各向异性材料的行为特性时，Zhikov引入了这个算子。算子中函数 $a\left(x\right)$ 用作调节两种不同材料之间的混合物的辅助工具。同时，他了解到，强各向异性材料的硬化性能因点而异，泛函根据点改变其椭圆率，当 $a\left(x\right)>0$ 时，泛函表现为 $\left(p,q\right)$ 相，具体表现为梯度多项式的次数为q。在 $\left|\nabla u\right|$ 很小时， ${\left|\nabla u\right|}^p$ 是主项，反之 ${\left|\nabla u\right|}^q$ 是主项。特别的，当 $a\left(x\right)=0$ 时，梯度多项式的次数变为p。关于这个算子的更多性质请参阅文献 [2] [3] 。

Berestycki-Lions在文献 [1] 中对非线性项f作出以下假设

( ${f^{\prime }}_1$ ) $f:R\to R$ 是连续的奇函数；

( ${f^{\prime }}_2$ ) $-\infty <\lim \underset{t\to 0}{\inf }\frac{f\left(t\right)}{t}\le \lim \underset{t\to 0}{\sup }\frac{f\left(t\right)}{t}<0$ ；

( ${f^{\prime }}_3$ ) $\lim \underset{t\to \infty }{\sup }\frac{f\left(t\right)}{t^{2^{*}-1}}\le 0$ ，其中 $2^{*}=\frac{2N}{N-2}$ ；

( ${f^{\prime }}_4$ ) 存在一个 $\zeta >0$ ，使得 $F\left(\zeta \right)>0$ ，其中 $F\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(s\right)\text{d}s}$ 。

得到了

$-\Delta u=f\left(u\right)\text{in}{R}^{N}u\in H^1(\; R\; N\; )$

的解，并且他们证明这是得到该问题解的最优条件。

受文献 [1] 的启发，在处理问题(1)时，我们也希望在Berestycki-Lions条件下找到双相问题的解。

双相问题应用广泛，近些年来，许多学者都对双相问题的研究产生了兴趣，其中Liu和Dai在文献 [4] [5] 中利用变分法对双相问题解的存在性和多重性进行了研究。但是他们是在以下条件研究的

( $F_1$ ) $f\in C\left(R^N\times R\right)$ ，存在一个 $\gamma \in \left(q,p^{\ast }\right)$ ，使得 $\left|f\left(x,t\right)\right|\le k\left(x\right){\left|t\right|}^{\gamma -1},\forall \left(x,t\right)\in R^N\times R$ 。其中 $p^{\ast }=\frac{Np}{N-p}$ ， $k\left(x\right)\in L^{\theta }\left(R^N\right)\cap L^{\infty }\left(R^N\right)$ ；

( $F_2$ ) 对 $x\in R^N$ ，一致地有 $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f\left(x,t\right)}{t^{p-1}}=0$ ；

( $F_3$ ) 对 $x\in R^N$ ，一致地有 $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{F\left(x,t\right)}{t^q}=+\infty$ ；

( $F_4$ ) $\frac{f\left(x,t\right)}{t^{q-1}}$ 在 $\left(-\infty ,0\right)$ 和 $\left(0,+\infty \right)$ 是严格单调递增的；

( $F_5$ ) (A-R条件)存在 $M>0$ ， $\theta >q$ 使得对所有的 $\left|t\right|\ge M$ ，都有 $0<\theta F\left(x,t\right)\le tf\left(x,t\right)$ 。

需要指出的是，( $F_1$ )是次临界增长条件，( $F_3$ )意味着函数 $f\left(x,t\right)$ 在无穷远处是超线性的，( $F_4$ )则是著名的Nehair条件。特别地，他们证明了符号变化解的存在。文献 [6] 通过用超线性条件代替 [5] 中的A-R条件，证明了该问题存在无穷多个解。文献 [7] 中，Leszek Gasinski and Patrick Winkert利用Nehair流形方法，解决了具有非线性边界条件的双相问题的符号变化解。除此之外，双相问题在跨音速流动理论 [8] ，量子物理学 [9] ，反应扩散系统 [10] 等方面都有应用。

本文的创新点在于：我们是Berestycki-Lions条件下进行研究的，利用单调技巧找到PS序列，从而证明基态解的存在性。这在之前的文献中是没有的。

本文的主要结构如下：第一部分为引言，介绍了所研究的双相算子的背景和一些应用；第二部分是准备工作，介绍了Musielak-Orlicz Sobolev空间 $L^{\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 和 $W^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 的一些性质和定理，然后是对非线性项进行了截断处理；最后在2.3节介绍了本文主要用到的方法—单调技巧(Monotonicity trick)。第三部分主要是利用单调技巧 [11] 找到泛函有界的PS序列，以及证明了问题(1)非平凡径向对称的基态解的存在性。

2. 预备知识

2.1. Musielak-Orlicz Sobolev空间

在这一小节中我们回顾了Musielak-Orlicz Sobolev空间的一些性质和重要的定理。具体的可参阅文献 [12] [13] [14] [15] 。

我们定义函数 $\mathcal{H}:R^N\times \left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ ，且

$\mathcal{H}\left(x,t\right)=t^p+a\left(x\right)t^q$ .

Musielak-Orlicz Sobolev空间 $L^{\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 定义为

$L^{\mathcal{H}}\left(R^N\right)=\left\{u:R^N\to R是可测的且{\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right)<\infty \right\}$ ,

其Luxemburg范数为

${\Vert u\Vert }_{\mathcal{H}}=\inf \left\{\tau >0:{\rho }_{\mathcal{H}}\left(\frac{u}{\tau }\right)\le 1\right\}$ ,

模函数

${\rho }_{\mathcal{H}}\left(u\right):={\displaystyle {\int }_{R^N}\mathcal{H}\left(x,\left|u\right|\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|u\right|}^p+a\left(x\right){\left|u\right|}^q\right)\text{d}x}$ .

同时我们可定义 $W^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 空间

$W^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right):=\left\{u\in L^{\mathcal{H}}\left(R^N\right):\left|\nabla u\right|\in L^{\mathcal{H}}\left(R^N\right)\right\}$ ,

其范数形式为

$\Vert u\Vert :={\Vert u\Vert }_{\mathcal{H}}+{\Vert \nabla u\Vert }_{\mathcal{H}}$ .

其中 ${\Vert \nabla u\Vert }_{\mathcal{H}}={\Vert \left|\nabla u\right|\Vert }_{\mathcal{H}}$ 。参阅文献 [5] ，我们有范数 $\Vert \cdot \Vert$ 和模 $\rho$ 的关系如下

定义1 [5] 令 $\rho \left(u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla u\right|}^p+a\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^p+a\left(x\right){\left|u\right|}^q\right)\text{d}x}$ ，则下面关系成立：

a) 若 $u\ne 0$ ， $\Vert u\Vert =\lambda$ 当且仅当 $\rho \left(\frac{u}{\lambda }\right)=1$ ；

b) $\Vert u\Vert <1$ (或 $=1;>1$ )当且仅当 $\rho \left(u\right)<1$ (或 $=1;>1$ )；

c) 若 $\Vert u\Vert <1$ ，则 ${\Vert u\Vert }^q\le \rho \left(u\right)\le {\Vert u\Vert }^p$ ，若 $\Vert u\Vert >1$ ，则 ${\Vert u\Vert }^p\le \rho \left(u\right)\le {\Vert u\Vert }^q$ ；

d) $\Vert u\Vert \to 0$ 当且仅当 $\rho \left(u\right)\to 0$ ， $\Vert u\Vert \to +\infty$ 当且仅当 $\rho \left(u\right)\to +\infty$ 。

接下来我们定义 $W^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 的径向对称空间

$W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right):=\left\{u\in W^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right):u是径向对称的\right\}$

我们很容易知道Sobolev空间 $W^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 和 $W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 是自反的Banach空间。为了得到径向对称的解，接下来的工作都是在 $W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 进行的。此外，我们还有以下紧嵌入结论

定义2 [4] 若 $1\le p<N$ ，则对于所有的 $\gamma \in \left(p,p^{*}\right)$ ， $W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)\to L^{\gamma }\left(R^N\right)$ 是连续的紧映射。

接下来，我们定义问题(1)所对应的泛函为

$J\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{1}{p}\left({\left|\nabla u\right|}^p+{\left|u\right|}^p\right)+\frac{1}{q}a\left(x\right)\left({\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^q\right)\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{R^N}F\left(x,u\right)\text{d}x}$

其中， $F\left(x,u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}f\left(x,s\right)\text{d}s}$ 。易知J是 $C^1$ 的并且问题(1)的解就是泛函J的临界点。

2.2. 截断与分解

这一小节，我们主要是对非线性项f进行截断和分解处理。

我们定义

$s_0:=\min \left\{s\in \left[\zeta ,+\infty \right)|f\left(s\right)=0\right\}$

对于所有的 $s\ge \zeta$ ，若 $f\left(s\right)\ne 0$ ，则 $s_0=+\infty$ 。令

$\tilde{f}\left(s\right)=\{\begin{array}{l}f\left(s\right)当s\in \left[0,s_0\right],\\ 0当s\in \left(s_0,+\infty \right).\end{array}$

通过计算分析易知 $\tilde{f}\left(s\right)$ 也满足同样的条件，因此由极大值定理， $\tilde{f}\left(s\right)$ 对应方程的解同时也是 $f\left(s\right)$ 对应方程的解。不失一般性，接下来我们用 $\tilde{f}\left(s\right)$ 代替 $f\left(s\right)$ 。

接下来我们对非线性项进行分解处理。

对于所有的 $s\ge 0$ ，令

$f_1\left(s\right):=f_{+}\left(s\right)$ , $f_2\left(s\right):=f_1\left(s\right)-f\left(s\right)$ .

由 $f_2$ 和 $f_3$ ，我们有

$\underset{s\to 0}{\lim }\frac{f_1\left(x,s\right)}{s^{p^{*}-1}}=0$ , $\underset{s\to +\infty }{\lim }\frac{f_1\left(x,s\right)}{s^{q^{*}-1}}=0$ . (2)

因此，对所有的 $s\ge 0$ ，由(2)得

$0\le f_1\left(x,s\right)\le C\left(s^{p^{*}-1}+s^{q^{*}-1}\right)$ , (3)

$0\le f_2\left(x,s\right)$ . (4)

对于 $i=1,2$ ，不妨设 $F_i\left(x,s\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_i\left(x,s\right)\text{d}s}$ ，则对所有的 $s\in R$ ，我们有

$F_2\left(x,s\right)\ge 0$ (5)

$0\le F_1\left(x,s\right)\le C\left(s^{p^{*}}+s^{q^{*}}\right)$ (6)

2.3. 单调技巧

下面我们简单介绍单调技巧：假设 $\left(W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)，\Vert \cdot \Vert \right)$ 是一个Banach空间且 ${\left(W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)，\Vert \cdot \Vert \right)}^{-1}$ 为其对偶空间， $I\subset R^{+}$ 是一个非空的紧区间。考虑一个 $C^1$ 泛函族 ${\left\{J_{\lambda }\right\}}_{\lambda \in I}$

$J_{\lambda }\left(u\right)=A\left(u\right)-\lambda B(\; u\; )$

其中A，B都是 $C^1$ 泛函，B是非负的，当 $\Vert u\Vert \to \infty$ 时， $A\left(u\right)\to +\infty$ 或者 $B\left(u\right)\to +\infty$ 。

如果对于每一个 $\lambda \in I$ ，集合

${\Gamma }_{\lambda }:=\left\{\gamma \in C\left[0,1\right],X|\gamma \left(0\right)=0,J_{\lambda }\left(\gamma \left(t\right)\right)<0\right\}$ (7)

是非空的。且

$c_{\lambda }:=\underset{\lambda \in \Gamma }{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{J}_{\lambda }\left(\gamma \left(t\right)\right)>0$ (8)

存在。则存在序列 $\left\{v_n\right\}\subset W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 使得

a) $\left\{v_n\right\}$ 在 $W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 中是有界的；

b) $J_{\lambda }\left(v_n\right)\to c_{\lambda }$ ；

c) 在 $W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 的对偶空间 $W_r^{1,\mathcal{H}}{\left(R^N\right)}^{-1}$ 中 ${J^{\prime }}_{\lambda }\left(v_n\right)\to 0$ 。

3. 主要结论

为了得到问题(1)的解，我们先来考虑以下这个辅助问题

$L\left(u\right)+{\left|u\right|}^{p-2}u+a\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u+f_2\left(x,u\right)=\lambda f_1\left(x,u\right)$ (9)

当 $\lambda \to 1$ 时，该问题的解就是(1)的解。(9)对应的泛函 $J_{\lambda }\left(u\right)$ 为

$J_{\lambda }\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{1}{p}\left({\left|\nabla u\right|}^p+{\left|u\right|}^p\right)+\frac{1}{q}a\left(x\right)\left({\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^q\right)\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2}\left(x,u\right)\text{d}x-\lambda {\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1\left(x,u\right)\text{d}x}$ .

不妨令

$A\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{1}{p}\left({\left|\nabla u\right|}^p+{\left|u\right|}^p\right)+\frac{1}{q}a\left(x\right)\left({\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^q\right)\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2\left(x,u\right)\text{d}x}$ ,

$B\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1\left(x,u\right)\text{d}x}$ .

由于问题(1)所对应的泛函在Berestycki-Lions条件下不满足紧性(A-R)条件，寻找有界的PS序列存在困难，为此，我们需要引入单调技巧，以便找到PS序列，即，引理1，引理2。

引理1 对于所有的 $\lambda \in \left[{\lambda }_0,1\right]$ ，存在 ${\lambda }_0\in \left(0,1\right)$ ，使得集合 ${\Gamma }_{\lambda }$ 是非空的。

证明 由 $f_4$ 知，存在一个 $\zeta >0$ ，使得 $F\left(\zeta \right)>0$ ，又因为 $F\left(x,s\right)=F_1\left(x,s\right)-F_2\left(x,s\right)$ ，因此存在一个 $0<{\lambda }_0<1$ ，使得

${\lambda }_0{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1\left(x,u\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2\left(x,u\right)\text{d}x}>0$ . (10)

作变换 $w\left(t,x\right)=\phi \left(\frac{x}{t}\right)$ ， $\left(t>0\right)$ ，则

$\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\nabla w\right|}^p\text{d}x}=\frac{1}{p{t}^p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\nabla \phi \left(\frac{x}{t}\right)\right|}^p\text{d}x}=\frac{1}{p}{t}^{N-p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\nabla \phi \left(x\right)\right|}^p\text{d}x}$ ,

$\frac{1}{q}a\left(x\right){\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\nabla w\right|}^q\text{d}x}=\frac{a\left(xt\right)}{q{t}^q}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\nabla \phi \left(\frac{x}{t}\right)\right|}^q\text{d}x}=\frac{a\left(xt\right)}{q}{t}^{N-q}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\nabla \phi \left(x\right)\right|}^q\text{d}x}$ ,

$\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|w\right|}^p\text{d}x}=\frac{1}{p}{t}^N{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\phi \left(x\right)\right|}^p\text{d}x}$ ,

$\frac{a\left(x\right)}{q}{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|w\right|}^q\text{d}x}=\frac{a\left(xt\right)}{q}{t}^N{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|\phi \left(x\right)\right|}^q\text{d}x}$ .

令 $R_t=\Vert w\Vert$ ，则

$R_t{}^p={\Vert w\Vert }^p=t^{N-p}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla \phi \left(x\right)\right|}^p+{\left|\phi \left(x\right)\right|}^p\right)\text{d}x}+a\left(xt\right)t^{N-q}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla \phi \left(x\right)\right|}^q+{\left|\phi \left(x\right)\right|}^q\right)\text{d}x}$

因此

$\begin{array}{c}J\left(w\right)=\frac{1}{p}{t}^{N-p}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla \phi \left(x\right)\right|}^p+{\left|\phi \left(x\right)\right|}^p\right)\text{d}x}+\frac{1}{q}a\left(xt\right)t^{N-q}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla \phi \left(x\right)\right|}^q+{\left|\phi \left(x\right)\right|}^q\right)\text{d}x}\\ +t^N{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2}\left(\phi \right)\text{d}x-\lambda t^N{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1}\left(\phi \right)\text{d}x\\ \le \frac{1}{p}{t}^{N-p}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla \phi \left(x\right)\right|}^p+{\left|\phi \left(x\right)\right|}^p\right)\text{d}x}+\frac{1}{q}a\left(xt\right)t^{N-q}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left({\left|\nabla \phi \left(x\right)\right|}^q+{\left|\phi \left(x\right)\right|}^q\right)\text{d}x}\\ -t^N\left({\displaystyle {\int }_{R^N}{\lambda }_0{F}_1}\left(\phi \right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2}\left(\phi \right)\text{d}x\right).\end{array}$

因此，由(10)知，当 $t>1$ 且足够大时， $J\left(w\right)<0$ 。定义函数 $\gamma$ ：

$\gamma \left(t\right)=\{\begin{array}{l}2t\phi \left(\frac{2}{\tau }\right)当t\in \left[0,\frac{1}{2}\right],\hfill \\ \phi \left(\frac{1}{t\tau }\right)当t\in \left[\frac{1}{2},1\right].\hfill \end{array}$

由此可知， $\gamma \in {\Gamma }_{\lambda }$ ，证毕。

引理2 对于所有的 $\lambda \in \left[{\lambda }_0,1\right]$ ，条件(8)成立。

证明 对于任意的 $u\in W_0^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 和 $\lambda \in \left[{\lambda }_0,1\right]$ ，由(5) (6)，我们有

$\begin{array}{c}J\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{1}{p}\left({\left|\nabla u\right|}^p+{\left|u\right|}^p\right)+\frac{1}{q}a\left(x\right)\left({\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^q\right)\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{R^N}F\left(x,u\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{q}{\Vert u\Vert }^p-\frac{\epsilon }{l}{m}_l{\left|u\right|}^l-\frac{C\left(\epsilon \right)}{q^{*}}{\left|u\right|}^{q^{*}}.\end{array}$

取 $\epsilon >0,C_1\left(\epsilon \right)>0,C_2\left(\epsilon \right)>0$ ，由紧嵌入得

$J\left(u\right)\ge C_1\left(\epsilon \right){\Vert u\Vert }^p-C_2\left(\epsilon \right){\Vert u\Vert }^{q^{*}}$

又因 $q^{*}>p$ ，则当 $\rho$ 足够小时，存在一个 $\alpha >0$ ，使得对所有的 $u\in W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ ，都有 $J\left(u\right)\ge \alpha$ 且 $\Vert u\Vert \le \rho$ 。下面固定 $\lambda \in I$ 和 $\gamma \in {\Gamma }_{\lambda }$ ，由于 $\gamma \left(0\right)=0\ne \gamma \left(1\right)$ ， $J_{\lambda }\gamma \left(1\right)<0$ ，我们推断出 $\Vert \gamma \left(1\right)\Vert >\rho$ ，又由 $\gamma$ 的连续性，我们知，存在 $t_{\gamma }\in \left(0,1\right)$ ，使得 $\Vert \gamma \left(t_{\gamma }\right)\Vert =\rho$ 。因此对于任意的 $\lambda \in I$

我们有

$\alpha \le \underset{\gamma \in \Gamma }{\inf }{J}_{\lambda }\left(\gamma \left(t_{\gamma }\right)\right)\le c_{\lambda }$

证毕。

现在由引理1，引理2，我们可以找到一个有界的PS序列 $\left\{u_n^{\lambda }\right\}\subset W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ ，使得

$J_{\lambda }\left(u_n^{\lambda }\right)\to c_{\lambda },{J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n^{\lambda }\right)\to 0$

接下来就是研究其收敛性，取一个子列，即在 $W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 中存在 $\left\{u^{\lambda }\right\}$ 使得当 $n\to +\infty$ 时 $u_n^{\lambda }\rightharpoonup u_{\lambda }$ ， $u_n^{\lambda }\left(x\right)\to u_{\lambda }\left(x\right)x\in R^N$ 几乎处处成立。

引理3 $u_{\lambda }$ 满足 $u_{\lambda }\ne 0$ ， $J_{\lambda }\left(u_{\lambda }\right)\le c_{\lambda }$ 且 ${J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_{\lambda }\right)=0$ 。

证明 由 $f_3$ , $f_4$ 知，存在 $\epsilon >0$ ， $C=C\left(\epsilon \right)$ 使得

$\left|f\left(x,t\right)\right|\le \epsilon m_l{\left|t\right|}^{l-1}+C\left(\epsilon \right){\left|t\right|}^{q^{*}-1},t\in R$ .

即

$\left|F\left(x,t\right)\right|\le \frac{\epsilon }{l}{m}_l{\left|t\right|}^l+\frac{C\left(\epsilon \right)}{q^{*}}{\left|t\right|}^{q^{*}},t\in R$ .

令函数 $P,Q:R\to R$ 且

$P\left(t\right)=F\left(t\right)$ , $Q\left(t\right)={\left|t\right|}^{p^{*}}+{\left|t\right|}^{q^{*}}$ .

则

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P\left(t\right)}{Q\left(t\right)}=0$ , $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{P\left(t\right)}{Q\left(t\right)}=0$ .

设

$u_n^{\lambda }\rightharpoonup u_{\lambda }$

则

$\underset{n\in N}{\sup }{\displaystyle {\int }_{R^N}\left|Q\left(u_n^{\lambda }\left(x\right)\right)\right|\text{d}x}\le C\underset{n\in N}{\sup }\left({\Vert u_n\Vert }^{p^{*}}+{\Vert u_n\Vert }^{q^{*}}\right)<+\infty$ .

因此，由Strauss紧性引理 [16] ，我们有

${\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1\left(x,u_n^{\lambda }\left(x\right)\right)\text{d}x}\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1\left(x,u_{\lambda }\left(x\right)\right)\text{d}x}$ . (11)

同理，得

${\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_1\left(x,u_n^{\lambda }\left(x\right)\right)u_n^{\lambda }\left(x\right)\text{d}x}\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_1\left(x,u_{\lambda }\left(x\right)\right)u_n^{\lambda }\left(x\right)\text{d}x}$ (12)

对任意的 $i=1,2$ ， $\phi \in C_0^{\infty }\left(R^N\right)$ ，我们有

${\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_i\left(x,u_n^{\lambda }\left(x\right)\right)\phi \text{d}x}\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_i\left(x,u_{\lambda }\left(x\right)\right)\phi \text{d}x}$ . (13)

由(13)， ${J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n^{\lambda }\right)\to 0$ 和 $u_n^{\lambda }\rightharpoonup u_{\lambda }$ ，我们有 ${J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_{\lambda }\right)=0$ 。假设 $u_{\lambda }=0$ ，因为 ${J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n^{\lambda }\right)\to 0$ ，我们有

${\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\left({\left|\nabla u_n^{\lambda }\right|}^p+{\left|u_n^{\lambda }\right|}^p\right)+a\left(x\right)\left({\left|\nabla u_n^{\lambda }\right|}^q+{\left|u_n^{\lambda }\right|}^q\right)\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_2}\left(x,u_n^{\lambda }\right)u_n^{\lambda }\text{d}x=\lambda {\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_1\left(x,u_n^{\lambda }\right)u_n^{\lambda }\text{d}x}+o\left(1\right)$ .

根据(12) (13)，我们得到 $\Vert u_n^{\lambda }\Vert \to 0$ ，又因为 $J_{\lambda }\left(u_n^{\lambda }\right)\to c_{\lambda }>0$ ，矛盾。故 $u_{\lambda }\ne 0$ 。

最后由于 $u_n^{\lambda }\left(x\right)\to u_{\lambda }\left(x\right)x\in R^N$ 几乎处处成立，根据Fatou's引理我们有

${\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2\left(x,u_{\lambda }\right)\text{d}x}\le \underset{n\to +\infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2\left(x,u_n^{\lambda }\right)\text{d}x}$

由(11)和 $\Vert \cdot \Vert$ 的弱下半连续性，我们有 $J_{\lambda }\left(u_{\lambda }\right)\le c_{\lambda }$ ，证毕。

到现在为止，我们仅仅是证明了对几乎所有的 $\lambda \in I$ ， $u_{\lambda }$ 是辅助问题(9)的一个非平凡的解。接下来就是寻找问题(1)的解，因此我们考虑序列 $\left\{{\lambda }_n\right\}$ ，使得当 $n\to +\infty$ 时， ${\lambda }_n\to 1$ 。然后根据第二节中单调技巧的结论以及引理3知，存在 $\left\{v_n\right\}\subset W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)\backslash \left\{0\right\}$ 使得下面式子成立

${J^{\prime }}_{{\lambda }_n}\left(v_n\right)=0$ , $J_{{\lambda }_n}\left(v_n\right)\le c_{{\lambda }_n}$ . (14)

下面这个引理主要是要说明序列 $\left\{v_n\right\}$ 的有界性。

引理4 序列 $\left\{v_n\right\}$ 在 $W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ 中是有界的。

证明 首先，由于 ${J^{\prime }}_{{\lambda }_n}\left(v_n\right)=0$ ，则在弱的意义下 $v_n$ 满足

$L\left(v_n\right)+{\left|v_n\right|}^{p-2}{v}_n+a\left(x\right){\left|v_n\right|}^{q-2}{v}_n+f_2\left(x,v_n\right)-{\lambda }_n{f}_1\left(x,v_n\right)=0$

此外， $\left\{v_n\right\}$ 满足下列的Pohozaev恒等式 [17]

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{N-p}{p}\left({\left|\nabla v_n\right|}^p+{\left|v_n\right|}^p\right)+\frac{N-q}{q}a\left(x\right)\left({\left|\nabla v_n\right|}^q+{\left|v_n\right|}^q\right)\right)\text{d}x}\\ +N{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2\left(x,v_n\right)\text{d}x}-N{\lambda }_n{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1\left(x,v_n\right)\text{d}x}=0.\end{array}$ (15)

由(14)，得

$\begin{array}{l}{J}_{{\lambda }_n}\left(v_n\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{1}{p}\left({\left|\nabla v_n\right|}^p+{\left|v_n\right|}^p\right)+\frac{1}{q}a\left(x\right)\left({\left|\nabla v_n\right|}^q+{\left|v_n\right|}^q\right)\right)\text{d}x}\\ +{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2\left(x,v_n\right)\text{d}x}-{\lambda }_n{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1\left(x,v_n\right)\text{d}x}\le c_{{\lambda }_n}.\end{array}$ (16)

在(16)两边同时乘N，即

$\begin{array}{l}N{J}_{{\lambda }_n}\left(v_n\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{N}{p}\left({\left|\nabla v_n\right|}^p+{\left|v_n\right|}^p\right)+\frac{N}{q}a\left(x\right)\left({\left|\nabla v_n\right|}^q+{\left|v_n\right|}^q\right)\right)\text{d}x}\\ +N{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_2\left(x,v_n\right)\text{d}x}-N{\lambda }_n{\displaystyle {\int }_{R^N}{F}_1\left(x,v_n\right)\text{d}x}\le N{c}_{{\lambda }_n}.\end{array}$ (17)

由(17) (15)以及 $c_{\lambda }$ 关于 $\lambda$ 的单调性( [11] , Theorem 1.1)知

${\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\left({\left|\nabla v_n\right|}^p+{\left|v_n\right|}^p\right)+a\left(x\right)\left({\left|\nabla v_n\right|}^q+{\left|v_n\right|}^q\right)\right)\text{d}x}\le N{c}_{{\lambda }_n}<N{c}_{{\lambda }_0}$ .

所以 $\left\{v_n\right\}$ 是有界的，证毕。

下面的两个定理是本文的主要结果。

定理1 若条件( $f_1$ )~( $f_4$ )成立，则问题(1)存在非平凡径向对称的解。

证明 由引理4，取一个子列，使得 $v_n\rightharpoonup v$ 。由 $J^{\prime }\left(v_n\right)$ 和 ${J^{\prime }}_{{\lambda }_n}\left(v_n\right)$ 的定义以及 ${J^{\prime }}_{{\lambda }_n}\left(v_n\right)=0$ ，我们有

$J^{\prime }\left(v_n\right)={J^{\prime }}_{{\lambda }_n}\left(v_n\right)+\left({\lambda }_n-1\right)f_1\left(v_n\right)=\left({\lambda }_n-1\right)f_1\left(v_n\right)$ .

由(11)的证明，对于任意的 $\phi \in C_0^{\infty }\left(R^N\right)$ ，都有

${\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_1}\left(v_n\right)\phi \text{d}x\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{f}_1}\left(v\right)\phi \text{d}x$ .

这就意味着

$\left({\lambda }_n-1\right)f_1\left(v_n\right)=o(\; 1\; )$

因此， $v_n$ 是泛函J的一个PS序列，再次应用紧性引理，得 $J^{\prime }\left(v\right)=0$ 。类似于引理3的证明，我们可以得到 $v\ne 0$ 。因为我们是在径向对称空间处理的，很自然的，这个解是径向对称的。下面我们将给出基态解的存在性。所谓的基态解就是所有解中，使得泛函成立的最小能量的解。分两步证明：首先证明集

合 $S_0$ 非空，再证明存在 $\bar{u}\in W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ ，使得 $J\left(\bar{u}\right)=\underset{u\in S_0}{\min }J\left(u\right)$ 。

定理2 若条件( $f_1$ )-( $f_4$ )成立，则问题(1)存在非平凡径向对称的基态解。

证明首先，我们定义 $S_0$ 为所有非平凡径向解的集合

$S_0=\left\{u\in W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)\backslash \left\{0\right\}|J^{\prime }\left(u\right)=0\right\}$ .

显然， $S_0$ 是非空的，由Pohozaev恒等式：

${\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{N-p}{pN}\left({\left|\nabla u\right|}^p+{\left|u\right|}^p\right)+\frac{N-q}{qN}a\left(x\right)\left({\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^q\right)\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{R^N}F\left(x,u\right)\text{d}x}$ (18)

又因为

$J\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\frac{1}{p}\left({\left|\nabla u\right|}^p+{\left|u\right|}^p\right)+\frac{1}{q}a\left(x\right)\left({\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^q\right)\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{R^N}F\left(x,u\right)\text{d}x}$ (19)

由(19)~(18)，得

$J\left(u\right)=\frac{1}{N}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\left({\left|\nabla u\right|}^p+{\left|u\right|}^p\right)+a\left(x\right)\left({\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^q\right)\right)\text{d}x}$

因此

$\eta =\underset{u\in S_0}{\inf }J\left(u\right)>0$ .

令 $\left\{u_n\right\}\subset S_0$ 是一个极小化序列，由

$J\left(u_n\right)=\frac{1}{N}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\left({\left|\nabla u_n\right|}^p+{\left|u_n\right|}^p\right)+a\left(x\right)\left({\left|\nabla u_n\right|}^q+{\left|u_n\right|}^q\right)\right)\text{d}x}\to \eta$

我们推断出 $\left\{u_n\right\}$ 是有界的，因此存在一个 $\bar{u}\in W_r^{1,\mathcal{H}}\left(R^N\right)$ ，使得 $u_n\rightharpoonup \bar{u}$ ，因此我们有 $\bar{u}\in S_0$ 。最后由范数的弱下半连续性得

$\begin{array}{l}\eta \le J\left(\bar{u}\right)=\frac{1}{N}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\left({\left|\nabla u\right|}^p+{\left|u\right|}^p\right)+a\left(x\right)\left({\left|\nabla u\right|}^q+{\left|u\right|}^q\right)\right)\text{d}x}\\ \le \underset{n\to +\infty }{\lim \inf }\frac{1}{N}{\displaystyle {\int }_{R^N}\left(\left({\left|\nabla u_n\right|}^p+{\left|u_n\right|}^p\right)+a\left(x\right)\left({\left|\nabla u_n\right|}^q+{\left|u_n\right|}^q\right)\right)\text{d}x}\\ =\underset{n\to +\infty }{\lim \inf }J\left(u_n\right)=\eta .\end{array}$

因此，存在 $\bar{u}\in S_0$ ，使得 $J\left(\bar{u}\right)=\underset{u\in S_0}{\min }J\left(u\right)$ 。证毕。

4. 不足与展望

本文在Berestycki-Lions条件下应用单调技巧得到的基态解是非负非平凡的径向对称的，对于非径向解我们没有提及，我们希望在以后的工作中研究问题(1)的非径向对称解，以及考虑在Berestycki-Lions条件下研究解的衰减性。

致谢

感谢各位审稿专家的指导！

基金项目

本文得到了中国国家自然科学基金会的部分支持(批准号为11961030)。