Ο-算子的二次上同调

Secondary Cohomology of Ο-Operators

摘要: 本文主要介绍三元组(A,B,ε)上的关于双A-模M的Ο-算子的二次上同调，并进一步利用Ο-算子给出M的结合代数结构及对应三元组(M,B,ε)的二次Hochschild上同调与Ο-算子二次Hochschild上同调之间的关系。

Abstract: This paper mainly introduced the secondary cohomology of Ο-operators on (A,B,ε) with respect to the A-bimodule M. The Ο-operator is further used to derive the associative algebraic structure on M and the relation between the secondary Hochschild cohomology of corresponding triple (M,B,ε) and the secondary Hochschild cohomology of Ο-operators.

1. 引言

Hochschild上同调由Hochschild提出，常用来描述结合代数的形变 [1] ，之后Loday系统介绍了循环同调与Hochchild上同调之间的关系，及相关应用 [2] 。为了给出代数A形变的B-代数结构，Mihai介绍了形似Hochschild上同调结构的结合代数的二次上同调 [3] 。以此为基础又进一步研究了二次上同调的循环同调、扩张、导出算子等 [4] [5] [6] ，这些都丰富并完善了二次上同调的结构特征，并且不难发现二次上同调可看成Hochschild上同调的等价变形，因此可以进一步考虑结合代数Hochschild上同调的相关结构能否推广到二次上同调上。

在 [7] 中，Das介绍了 $\mathcal{O}$ -算子的上同调的结构并给出了其与Hochschild上同调之间的关系，本文延续Das的思想方法，以 [2] 为依据，进一步探究结合代数上的 $\mathcal{O}$ -算子的二次上同调及与对应结合代数的二次上同调之间的关系。

文中所有向量空间、线性映射、张量积都是在特征为0的域K上讨论。

2. 预备知识

在介绍 $\mathcal{O}$ -算子的二次上同调之前，先介绍 $\mathcal{O}$ -算子的定义并说明 $\mathcal{O}$ -算子可以导出一个相关的结合代数，进一步方便我们给出 $\mathcal{O}$ -算子的二次上同调与二次Hochschild上同调之间的关系。

定义 2.1 [7] 设A是结合代数并且M是A-双模，若线性映射 $T:M\to A$ 对于任意 $m,n\in M$ ，满

$T\left(m\right)T\left(n\right)=T\left(m\cdot T\left(n\right)+T\left(m\right)\cdot n\right)$

则称之为代数A上的关于A-双模M的 $\mathcal{O}$ -算子。

实际上，进一步地，可以利用模作用和 $\mathcal{O}$ -算子定义在线性空间M上的代数运算：

$m\ast n=m\cdot T\left(n\right)+T\left(m\right)\cdot n$ 。

在此情况下，自然可以定义代数A上的双模结构。

定义 2.2 [7] 设 $T:M\to A$ 是代数A上的 $\mathcal{O}$ -算子。定义： $\forall m\in M,a\in A$

$l:M\otimes A\to A,l\left(m,a\right)=T\left(m\right)a-T\left(m\cdot a\right)$ ，

$r:A\otimes M\to A,r\left(a,m\right)=aT\left(m\right)-T\left(a\cdot m\right)$ ，

则M是 $\left(A,l,r\right)$ 上的双模。

接下来，介绍二次上同调的定义。

若A是结合代数，B是交换代数并且 $\epsilon :B\to A$ 是满足 $\epsilon \left(B\right)\subset Z\left(A\right)$ (A的中心)的代数同态。假设线性空间M是A-双模，并且满足对于任意 $u\in M$ ， $b\in B$ ，有 $\epsilon \left(b\right)\cdot u=u\cdot \epsilon \left(b\right)$ 。令

$C^n\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right):=Ho{m}_k\left(A^{\otimes n}\otimes B^{\otimes \frac{n\left(n-1\right)}{2}},M\right)$ ，

并且， $A^{\otimes n}\otimes B^{\otimes \frac{n\left(n-1\right)}{2}}$ 的任意一个元素都记作

$\otimes \left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_{1,2}& \cdots & b_{1,n}& b_{1.n+1}\\ 1& a_2& \cdots & b_{2,n}& b_{2.n+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & a_n& b_{n.n+1}\\ 1& 1& \cdots & 1& a_{n+1}\end{array}\right)$ ，

其中， $a_i\in A$ ， $b_{i,j}\in B$ ， $1\in k$ 。对于任意 $f\in C^n\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right)$ ，定义

$d_n^{\epsilon }:C^n\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right)\to C^{n+1}\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right)$ ，

$\begin{array}{l}{d}_n^{\epsilon }\left(f\right)\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_{1,2}& \cdots & b_{1,n}& b_{1,n+1}\\ 1& a_2& \cdots & b_{2,n}& b_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & a_n& b_{n,n+1}\\ 1& 1& \cdots & 1& a_{n+1}\end{array}\right)\right)\\ =\epsilon \left(b_{1,2}{b}_{1,3}\cdots b_{1,n+1}\right)f\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccc}{a}_2& b_{2,3}& \cdots & b_{2,n}& b_{2,n+1}\\ 1& a_3& \cdots & b_{3,n}& b_{3,n+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & a_n& b_{n,n+1}\\ 1& 1& \cdots & 1& a_{n+1}\end{array}\right)\right)\\ +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}{\left(-1\right)}^{i}f\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccccc}{a}_1& b_{1,2}& \cdots & b_{1,i}{b}_{1,i+1}& \cdots & b_{1,n}& b_{1,n+1}\\ 1& a_2& \cdots & b_{2,i}{b}_{2,i+1}& \cdots & b_{2,n}& b_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & \epsilon \left(b_{i,i+1}\right)a_i{a}_{i+1}& \cdots & b_{i,n}{b}_{i+1,n}& b_{i,n+1}{b}_{i+1,n+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1& \cdots & a_n& b_{n,n+1}\\ 1& 1& \cdots & 1& \cdots & 1& a_{n+1}\end{array}\right)\right)}\\ +{\left(-1\right)}^{n}f\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_{1,2}& \cdots & b_{1,n-1}& b_{1,n}\\ 1& a_2& \cdots & b_{2,n-1}& b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & a_{n-1}& b_{n-1,n}\\ 1& 1& \cdots & 1& a_n\end{array}\right)\right)a_{n+1}\epsilon \left(b_{1,n+1}{b}_{2,n+1}\cdots b_{n,n+1}\right).\end{array}$

实际上，Staic。等人也进一步对二次Hochschild上同调结构进行了研究 [4] ，表示其具有G-代数结构，即可以定义在 ${\oplus }_{n\ge 1}{C}^n\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right):=Ho{m}_k\left(A^{\otimes n}\otimes B^{\otimes \frac{n\left(n-1\right)}{2}},M\right)$ 上的分次李代数结构。为了方便计算，对任意 $0\le i-1\le j\le n$ ，记

$T_{\text{j}}^{\text{i}-1}=\otimes \left(\begin{array}{ccc}{a}_i& \cdots & b_{i,j}\\ ⋮& & ⋮\\ 1& \cdots & a_j\end{array}\right)$ ，

为任意子张量矩阵。对 $\forall f^n\in C^n\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right),g^m\in C^m\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right)$ ，定义

$\left[f^n,g^m\right]=f^n\circ g^m-{\left(-1\right)}^{\left(n-1\right)\left(m-1\right)}{g}^m\circ f^n$ ，

其中 $f^n\circ g^m={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(-1\right)}^{\left(i-1\right)\left(m-1\right)}{f}^n{\circ }_i{g}^m}$ ，并且

$\begin{array}{l}{f}^n{\circ }_i{g}^m\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& b_{1,2}& \cdots & b_{1,n+m-2}& b_{1,n+m-1}\\ 1& a_2& \cdots & b_{2,n+m-2}& b_{2,n+m-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & a_{n+m-2}& b_{n+m-2,n+m-1}\\ 1& 1& \cdots & 1& a_{n+m-1}\end{array}\right)\right)\\ =f^n\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccccc}{a}_1& \cdots & b_{1,i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i-1}{\prod }}{b}_{1,j}}& b_{1,m+\text{i}}& \cdots & b_{1,n+m-1}\\ 1& \cdots & b_{2,i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i-1}{\prod }}{b}_{2,j}}& b_{2,m+\text{i}}& \cdots & b_{2,n+m-1}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& \cdots & a_{i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i-1}{\prod }}{b}_{i-1,j}}& b_{i-1,m+\text{i}}& \cdots & b_{i-1,n+m-1}\\ 1& \cdots & 1& g^m\left(T_{m+i-1}^{i-1}\right)& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i-1}{\prod }}{b}_{j,m+i}}& \cdots & {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i-1}{\prod }}{b}_{j,n+m-1}}\\ 1& \cdots & 1& 1& a_{m+i}& \cdots & b_{m+i,n+m-1}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& \cdots & 1& 1& 1& \cdots & a_{n+m-1}\end{array}\right)\right).\end{array}$

实际上，对任意 $b\in B$ ，映射 $\pi \in C^2\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right)$ 满足

$\pi \left(\otimes \left(\begin{array}{cc}{a}_1& b\\ 1& a_2\end{array}\right)\right)=\epsilon \left(b\right)a_1{a}_2$ ，

则有 $\pi \circ \pi =0$ 。因此 $\left[\pi ,\right]$ 自然地可以定义在 ${\oplus }_{n\ge 1}{C}^n\left(\left(A,B,\epsilon \right);M\right):=Ho{m}_k\left(A^{\otimes n}\otimes B^{\otimes \frac{n\left(n-1\right)}{2}},M\right)$ 上的微分复形。

3. $\mathcal{O}$ 算子的二次上同调

假设A是一个结合代数，B是交换代数， $\epsilon :B\to A$ 是满足 $\epsilon \left(B\right)\subset Z\left(A\right)$ 的代数同态，因此对于任意 $b\in B$ 可以定义双线性映射 $m_b:A\otimes A\to A$ ， $m_b\left(a_1\otimes a_2\right)=\epsilon \left(b\right)a_1{a}_2$ 。不难验证对于任意 $b_1,b_2,b_3\in B$ ， $q\in k$ ，都有一下恒等式成立：

$m_{b_1+b_2}\left(a_1\otimes a_2\right)=m_{a_1}\left(a_1\otimes a_2\right)+m_{b_2}\left(a_1\otimes a_2\right)$ ，

$m_{qb}\left(a_1\otimes a_2\right)=q{m}_b\left(a_1\otimes a_2\right)$ ，

$m_{b_2{b}_3}\left(m_{b_1}\otimes id\right)=m_{b_1{b}_2}\left(id\otimes m_{b_3}\right)$ 。

现在，如果向量空间M是A-双模，并且对于任意 $m\in M$ ， $b\in B$ ，有 $\epsilon \left(b\right)\cdot m=m\cdot \epsilon \left(b\right)$ 。对于三元组 $\left(A,B,\epsilon \right)$ 可以定义双线性映射：

$L_b:M\otimes A\to M,m\otimes a\mapsto \epsilon \left(b\right)\cdot \left(m\cdot a\right)$ ，

$R_b:A\otimes M\to M,a\otimes m\mapsto \epsilon \left(b\right)\cdot \left(a\cdot m\right)$ 。

类似地，不难验证对于任意 $b_1,b_2,b_3\in B$ ， $q\in k$ ， $L_b$ 和 $R_b$ 满足一下恒等式：

$L_{b_1+b_2}\left(m\otimes a\right)=L_{b_1}\left(m\otimes a\right)+L_{b_2}\left(m\otimes a\right)$ ， (3.1)

$R_{b_1+b_2}\left(m\otimes a\right)=R_{b_1}\left(m\otimes a\right)+R_{b_2}\left(m\otimes a\right)$ ， (3.2)

$L_{qb}\left(m\otimes a\right)=q{L}_b\left(m\otimes a\right)$ ， (3.3)

$R_{qb}\left(m\otimes a\right)=q{R}_b\left(m\otimes a\right)$ ， (3.4)

$L_{b_2{b}_3}\left(L_{b_1}\otimes id\right)=L_{b_1{b}_2}\left(id\otimes m_{b_3}\right)$ ， (3.5)

$R_{b_2{b}_3}\left(m_{b_1}\otimes id\right)=R_{b_1{b}_2}\left(id\otimes R_{b_3}\right)$ 。 (3.6)

实际上， $m_b$ ， $l_b$ 和 $r_b$ 与结合代数、双模作用的定义类似，因此也可以进一步考虑在三元组 $\left(A,B,\epsilon \right)$ 上关于A-双模M的 $\mathcal{O}$ -算子。

若线性映射 $T:M\to A$ 是代数A上的关于A-双模M的 $\mathcal{O}$ -算子，满足 $T\left(m\right)T\left(n\right)=T\left(m\cdot T\left(n\right)+T\left(m\right)\cdot n\right)$ ，自然对于任意 $b\in B$ ，有

$m_b\left(T\left(u\right)\otimes T\left(v\right)\right)=T\left(L_b\left(u\otimes T\left(v\right)\right)+R_b\left(T\left(u\right)\otimes v\right)\right)$ 。

以此为基础，参考 [7] 的处理方式，考虑三元组 $\left(A,B,\epsilon \right)$ 上 $\mathcal{O}$ -算子的二次上同调。

已知如果结合代数A有A-双模M，则 $A\oplus M$ 是结合代数：

$\left(a_1,m_1\right)\left(a_2,m_2\right)=\left(a_1{a}_2,a_1\cdot m_2+m_1\cdot a_2\right)$ 。

对于三元组 $\left(A,B,\epsilon \right)$ 定义 ${\epsilon }_M:B\to A\oplus M,b\mapsto \left(\epsilon \left(b\right),0\right)$ ，满足 ${\epsilon }_M\left(B\right)\subset Z\left(A\oplus M\right)$ 。自然地，可以定义三元组 $\left(A\oplus M,B,{\epsilon }_M\right)$ 的二次Hochschild上同调及分次李代数：

$\left({\oplus }_{n\ge 1}{C}^n\left(\left(A\oplus M,B,{\epsilon }_M\right);A\oplus M\right):=Ho{m}_k\left({\left(A\oplus M\right)}^{\otimes n}\otimes B^{\otimes \frac{n\left(n-1\right)}{2}},A\oplus M\right),\left[,\right]\right)$ ，

进一步利用Voronov的方法定义在 ${\oplus }_{n\ge 1}Ho{m}_k\left(M^{\otimes n}\otimes B^{\otimes \frac{n\left(n-1\right)}{2}},A\right)$ 上的分次李代数结构：

$\begin{array}{l}{\left[F^n,G^m\right]}_M\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccc}{u}_1& b_{1,2}& \cdots & b_{1,m+n-1}& b_{1,m+n}\\ 1& u_2& \cdots & b_{2,m+n-1}& b_{2,m+n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1& u_{m+n}\end{array}\right)\right)\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(-1\right)}^{m\left(i-1\right)}{F}^n\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccccc}{u}_1& \cdots & b_{1,i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{1,j}}& b_{1,m+i+1}& \cdots & b_{1,m+n}\\ 1& \cdots & b_{2,i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{2,j}}& b_{2,m+i+1}& \cdots & b_{2,m+n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& \cdots & u_{i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{i-1,j}}& b_{i-1,m+i+1}& \cdots & b_{i-1,m+n}\\ 1& \cdots & 1& \epsilon \left({\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i-1}{\prod }}{b}_{j,m+i}}\right)G^m\left(T_{m+i-1}^{i-1}\right)\cdot u_{m+i}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{j,m+i+1}}& \cdots & {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{j,m+n}}\\ 1& \cdots & 1& 1& u_{m+i+1}& \cdots & b_{i+m+1,m+n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& \cdots & 1& 1& 1& \cdots & u_{m+n}\end{array}\right)\right)}\\ \end{array}$

$-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(-1\right)}^{im}{F}^n\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccccc}{u}_1& \cdots & b_{1,i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{1,j}}& b_{1,m+i+1}& \cdots & b_{1,m+n}\\ 1& \cdots & b_{2,i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{2,j}}& b_{2,m+i+1}& \cdots & b_{2,m+n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& \cdots & u_{i-1}& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{i-1,j}}& b_{i-1,m+i+1}& \cdots & b_{i-1,m+n}\\ 1& \cdots & 1& \epsilon \left({\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{i,j}}\right)\cdot u_i\cdot G^m\left(T_{m+i}^i\right)& {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{j,m+i+1}}& \cdots & {\displaystyle \underset{j=i}{\overset{m+i}{\prod }}{b}_{j,m+n}}\\ 1& \cdots & 1& 1& u_{m+i+1}& \cdots & b_{i+m+1,m+n}\\ ⋮& \cdots & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& \cdots & 1& 1& 1& \cdots & u_{m+n}\end{array}\right)\right)}$

其中， $F^n\in Ho{m}_k\left(M^{\otimes n}\otimes B^{\otimes \frac{n\left(n-1\right)}{2}},A\right)$ ， $G^m\in Ho{m}_k\left(M^{\otimes m}\otimes B^{\otimes \frac{m\left(m-1\right)}{2}},A\right)$ 。

此时，对于任意线性映射 $T,T^{\prime }\in Ho{m}_k\left(M,A\right)$ ，满足

$\begin{array}{l}{\left[T,T^{\prime }\right]}_M\left(\otimes \left(\begin{array}{cc}{u}_1& b_{1,2}\\ 1& u_2\end{array}\right)\right)\\ =T\left(\epsilon \left(b_{1,2}\right)\cdot \left(u_1\cdot T^{\prime }\left(u_2\right)\right)\right)+T\left(\epsilon \left(b_{1,2}\right)\cdot \left(T^{\prime }\left(u_1\right)\cdot u_2\right)\right)+T^{\prime }\left(\epsilon \left(b_{1,2}\right)\cdot \left(T\left(u_1\right)\cdot u_2\right)\right)\\ +T^{\prime }\left(\epsilon \left(b_{1,2}\right)\cdot \left(u_1\cdot T\left(u_2\right)\right)\right)-\epsilon \left(b_{1,2}\right)T^{\prime }\left(u_1\right)T\left(u_2\right)-\epsilon \left(b_{1,2}\right)T\left(u_1\right)T^{\prime }\left(u_2\right).\end{array}$

对任意 $n\ge 1$ ，定义 $C^n\left(\left(M,B,\epsilon \right);A\right)=Ho{m}_k\left(M^{\otimes n}\otimes B^{\otimes \frac{n\left(n-1\right)}{2}},A\right)$ ，考虑分次向量空间 ${\oplus }_{n\ge 1}{C}^n\left(\left(M,B\epsilon \right),A\right)$ 。得到以下结论。

定理3.1 $\left({\oplus }_{n\ge 1}{C}^n\left(\left(M,B\epsilon \right),A\right),{\left[,\right]}_M\right)$ 是分次李代数。如果A是一个结合代数，B是交换代数， $\epsilon :B\to A$ 是满足 $\epsilon \left(B\right)\subset Z\left(A\right)$ 的代数同态，线性映射 $T:M\to A$ 是结合代数关于双模M的 $\mathcal{O}$ 算子当且仅当 $T\in Ho{m}_k\left(M,A\right)$ 是 $\left({\oplus }_{n\ge 1}{C}^n\left(\left(M,B\epsilon \right),A\right),{\left[,\right]}_M\right)$ 中的Maurer-Cartan元素，即微分 $d_T={\left[T,\right]}_M$ 使分次李代数 $\left({\oplus }_{n\ge 1}{C}^n\left(\left(M,B\epsilon \right),A\right),{\left[,\right]}_M\right)$ 成为微分分次李代数。

4. $\mathcal{O}$ -算子导出的二次Hochschild上同调

对于A-双模M，若线性映射 $T:M\to A$ 是 $\mathcal{O}$ -算子，则 $\left(M,\ast \right)$ 是结合代数，因此对于三元组 $\left(A,B,\epsilon \right)$ 中的 $\epsilon$ 和任意 $b\in B$ 自然可以定义 ${\ast }_b:M\otimes M\to M,u\otimes v\mapsto \epsilon \left(b\right)\cdot \left(u\ast v\right)$ ，并且满足对于任意 $b_1,b_2,b_3\in B$ ， $q\in k$ ，一下等式成立：

${\ast }_{b_1+b_2}\left(u\otimes v\right)={\ast }_{a_1}\left(u\otimes v\right)+{\ast }_{b_2}\left(u\otimes v\right)$ ，

${\ast }_{qb}\left(u\otimes v\right)=q{\ast }_b\left(u\otimes v\right)$ ，

${\ast }_{b_2{b}_3}\left({\ast }_{b_1}\otimes id\right)={\ast }_{b_1{b}_2}\left(id\otimes {\ast }_{b_3}\right)$ ，

因此，自然可以定义三元组 $\left(M,B,\epsilon \right)$ 上二次上同调。由定义2.2可知，A是M-双模。并且对于任意 $b\in B$

$l_b:M\otimes A\to A,l_b\left(m\otimes a\right)=\epsilon \left(b\right)T\left(m\right)a-T\left(\epsilon \left(b\right)\cdot \left(m\cdot a\right)\right)$ ，

$r_b:A\otimes M\to A,r_b\left(a\otimes m\right)=\epsilon \left(b\right)aT\left(m\right)-T\left(\epsilon \left(b\right)\cdot \left(a\cdot m\right)\right)$ ，

满足恒等式(3.1)~(3.6)。因此对于任意 $f\in C^n\left(\left(M,B,\epsilon \right);A\right)$ ，定义

${\delta }_n^{\epsilon }:C^n\left(\left(M,B,\epsilon \right);A\right)\to C^{n+1}\left(\left(M,B,\epsilon \right);A\right)$ ，

$\begin{array}{l}{\delta }_n^{\epsilon }\left(f\right)\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccc}{u}_1& b_{1,2}& \cdots & b_{1,n}& b_{1,n+1}\\ 1& u_2& \cdots & b_{2,n}& b_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & u_n& b_{n,n+1}\\ 1& 1& \cdots & 1& u_{n+1}\end{array}\right)\right)\\ =\epsilon \left(b_{1,2}{b}_{1,3}\cdots b_{1,n+1}\right)\left(T\left(u_1\right)f\left(\otimes \left(\begin{array}{ccccc}{u}_2& b_{2,3}& \cdots & b_{2,n}& b_{2,n+1}\\ 1& u_3& \cdots & b_{3,n}& b_{3,n+1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & u_n& b_{n,n+1}\\ 1& 1& \cdots & 1& u_{n+1}\end{array}\right)\right)\right)\\ \end{array}$

定理4.1 令 $T:M\to A$ 是A上的 $\mathcal{O}$ -算子。则上边算子 ${\delta }_n^{\epsilon }$ 和 $d_T={\left[T,\right]}_M$ 满足

$d_T\left(f\right)={\left(-1\right)}^n{\delta }_n^{\epsilon }\left(f\right),n\ge 1$ ，

其中 $f\in C^n\left(\left(M,B,\epsilon \right);A\right)$ 。

5. 总结与展望

这篇文章将 $\mathcal{O}$ -算子的Hochschild上同调的结构推广到了二次上同调，丰富了二次上同调的理论，并为二次上同调的应用提供了理论依据。在 [7] 中，作者介绍了r-矩阵与 $\mathcal{O}$ -算子的关系及r-矩阵的形变与 $\mathcal{O}$ -算子的上同调之间的关系，因此，以本篇为基础可以进一步考虑三元组 $\left(A,B,\epsilon \right)$ 的r-矩阵与 $\mathcal{O}$ -算子的关系。