基于多元统计分析对重庆人均GDP的分析与预测

Analysis and Prediction of Chongqing’s per Capita GDP Based on Multivariate Statistical Analysis

摘要: 人均GDP是衡量一个国家或地区经济状况的有效指标，及时了解人均GDP的发展动态对一个国家或地区至关重要。本文通过多元统计分析方法，对重庆市的人均GDP进行描述统计分析及时间序列分析。首先，通过描述统计分析考察重庆直辖以来人均GDP的发展趋势、产业结构变化情况及与优势省市对比，找出发展不充分的行业及人口结构的劣势；其次，通过时间序列分析对重庆市1998年到2022年的人均GDP进行平稳化处理和纯随机性检验，确定ARIMA(0, 2, 2)模型，预测重庆市未来5年人均GDP；最后，根据重庆市人均GDP的发展特征及预测结果提出建议。

Abstract: Per capita GDP is an effective indicator to measure the economic status of a country or region, and it is crucial to keep abreast of the development dynamics of per capita GDP for a country or region. This article utilizes multivariate statistical analysis methods to conduct descriptive statistical analysis and time series analysis on Chongqing’s per capita GDP. Firstly, through descriptive statistical analysis, the development trend of per capita GDP since Chongqing’s establishment as a municipality, changes in industrial structure, and comparisons with advantageous provinces and cities are examined to identify underdeveloped industries and disadvantages in population structure. Secondly, through time series analysis, the stabilization processing and pure randomness test of Chongqing’s per capita GDP from 1998 to 2022 are conducted to determine the ARIMA(0, 2, 2) model and predict Chongqing’s per capita GDP for the next five years. Finally, based on the development characteristics and prediction results of Chongqing’s per capita GDP, suggestions are put forward.

1. 引言

人均GDP作为宏观经济指标之一，由一个国家或地区的GDP和总人口决定，能够很好地体现地区或国家的一个平均经济水平[1]。及时了解人均GDP的发展动态对一个国家或地区做出对应的政策至关重要，因此准确分析人均GDP的发展特征及预测人均GDP的动态趋势显得尤为重要。在时间的长河里，研究者们运用大量的理论和实证分析得出，时间序列分析方法在预测人均GDP的研究中非常有效。金鑫等人[2]分析了1978年~2010年兰州市GDP数据，得到最优模型ARIMA(1, 1, 4)，预测了兰州市2011到2016年的GDP情况。樊怡囡[3]研究了1978年~2015年陕西省人均GDP，通过序列自相关和偏自相关分析建立了时间序列模型，分析了增长规律并预测了未来趋势。对比灰色预测法，发现传统时间序列预测法更准确。孙敬敬[4]基于1978年~2019年的数据，利用ARIMA模型对郑州市人均GDP进行了预测。经过验证，该模型在预测2018年~2019年人均GDP时误差控制在3%以内，显示出较高的预测准确性。

重庆地处长江与嘉陵江交汇处，作为中西部地区的交通枢纽，不仅连接着中国的东西部，还是中国西部地区的经济重镇，更是长江经济带的重要节点，一直以来都备受国家重视，被誉为“西南第一城”。重庆的独特地位和影响力在西南地区乃至全国都是无可替代的，所以有必要对重庆的人均GDP进行研究分析。1997年，重庆直辖市正式成立，自此以后重庆市不再受四川省的管辖行政独立，因此本文选用重庆市1998年~2022年人均GDP数据、总产值构成数据及产业指数(上年100)数据等，剖析重庆市直辖以来的经济增长情况、产业结构变化情况、行业发展情况及人口结构变化情况等，得到重庆市的经济发展特征，应用时间序列分析ARIMA模型对重庆市2023年~2027年未来5年的人均GDP进行预测，并根据经济发展特征及预测结果对重庆市经济稳步发展提出相应的建议。

2. 重庆市人均GDP描述统计分析

2.1. 数据来源

本文数据来自《中国统计年鉴》–国民经济核算–地区生产总值板块数据，时间跨度1998年~2022年25年间的数据，包含全国人均GDP、重庆市人均GDP、生产总值构成及指数(上年100)等，部分数据结构如表1所示。

Table 1. Per capita GDP and index of Chongqing from 1998 to 2022

表1. 1998年~2022年重庆市人均GDP及指数

年份	重庆市 人均GDP (元)	重庆市总产值构成 (总产值100)			重庆市总产值指数 (上年100)			重庆市人均生产总值 指数 (上年100)
		第一 产业	第二 产业	第三 产业	第一 产业	第二 产业	第三 产业
1998	4670	21	41	38	102	107	114	108.4
1999	4826	19	41	40	100	110	108	107.6
2000	5157	18	41	41	102	111	110	108.5
2001	5654	17	42	42	102	112	109	109.0
2002	6347	16	42	42	104	114	109	110.3

2.2. 直辖以来重庆市人均GDP概况分析

2.2.1. 重庆市人均GDP持续增长，增长速度放缓

1998年以来，重庆市人口从3060万增长到2022年的3213万，25年间人口增长153万(5.0%)；重庆市GDP从1429.3亿元增长到2022年的29,129亿元，25年间GDP增长27699.7亿元(19.4倍)。

如图1所示，结合地区生产总值指数分析。从1998年到2022年，重庆市人均GDP持续走高，从1998年的人均4670元，到2005年首次突破万元大关人均10,982元，再到2022年的人均90,663元，直辖25年来，人均GDP增长了18.4倍，增长速度可观。25年期间人均GDP指数(上年100)出现了5个小高峰，分别是2004年(133.3)、2009年(127.2)、2011年(125.0)、2019年(115.0)、2021年(111.1)，呈现出3个比较完整的经济周期，1998年到2004年行政独立初期经济增长缓慢；2005年到2011年，历经了7年探索逐步找到经济发展的方向，这个阶段经济迎来了高速增长；2011年至今，经济增长速度放缓，特别是疫情三年，人均GDP增长速度波动，艰难前进，但人均GDP整体呈现稳步增长的良好态势。

Figure 1. 25-year trend and growth index of per capita GDP in Chongqing

图1. 25年重庆市人均GDP趋势及增长指数

2.2.2. 重庆市GDP产业结构显著变化，最终趋于稳定

从产业结构看，GDP主要由第一、二、三产业构成，我国的三次产业划分是：第一产业主要指农业，包括渔业、畜牧业、林业和种植业等；第二产业主要指工业，其中包括制造业、建筑业等；第三产业主要是指服务业，具体包括金融业、旅游业、房地产业等[5]。

如图2所示，结合地区生产总值构成分析。1998年到2022年，重庆市国内生产总值构成不断发生变化并趋于稳定。党的十八大以来，重庆市坚持把经济结构调整作为转型发展的关键，三次产业总产值由1998年的21:41:38发展为2022年的7:40:53，呈现一、二产业总产值下降，三产业总产值提升的产业发展趋势。总产值的构成变化主要分为三个阶段，第一阶段是1998年到2004年，生产总值结构相对稳定，第一产业生产总值占比小幅度下降，第二、三产业生产总值占比相当，总产值构成结构没有较大的波动；第二阶段是2005年到2011年，第二产业发展迅猛，占国内生产总值的比例迅速提升，从2005年的41%到2011年的55%，增长14 pp，尤其是汽车摩托车行、装备制造业、材料工业等支柱产业发展速度显著；第三个阶段是2012年到2022年，第三产业发展迅速，在2014年第三产业占比反超第二产业位居首位并一直保持至今，第一、二产业生产总值占比逐年下降，近几年趋于稳定。

Figure 2. GDP composition of Chongqing from 1998 to 2022

图2. 重庆市1998~2022年生产总值构成

2.3. 2022年重庆市人均GDP表现情况

2.3.1. 重庆市人均GDP全国排名第十，城市个性化发展和金融业表现欠佳

如图3所示，从全国各省市横向比较。2022年全国人均GDP为84,461元，同比增长4.3%，重庆市人均GDP为90,663元，同比增长4.4%，重庆市人均GDP高于全国平均水平7.3%，增长速度与全国平均水平持平。全国TOP 3省市分别为北京市(190,313元/人)、上海市(179,907元/人)、江苏省(144,390元/人)，重庆市全国排名第十，处于中上游水平，但与全国排名前列的省市相比，依然存在较大的差距。

Figure 3. Per capita GDP of all provinces and cities in China in 2022

图3. 2022年全国各省市人均GDP

如图4所示，从人均GDP排名前三省市的国内生产总值构成情况对比分析。北京市、上海市、江苏省三个省市的第三产业均超过50%，尤其是北京市第三产业占比83.9%，上海市第三产业占比74.1%，第三产业发展相对成熟，是地区生产总值的主要来源。但是同为直辖市的重庆第三产业仅53%，低于北京30.9 pp、上海21.1 pp，第三产业发展不充分。重庆市的生产总值结构与江苏基本相似，但江苏省的GDP总量却是重庆市的4.2倍，人口仅是重庆市的2.7倍，人均GDP相差甚远，进一步说明重庆市的第三产业发展不充分。

Figure 4. Proportion of three industries in regional gross output in 2022

图4. 2022年三次产业在地区总产值占比

如图5所示，从第三产业细分行业的人均增加值分析。四个省市的行业人均增加值，发展结构基本相当，明显差异表现在金融业和其他两个行业。就房地产行业而言，北京和上海的房地产行业发展结构更为接近，江苏和重庆的房地产发展结构更为相似，但总体情况差距不明显；就住宿和餐饮业，交通运输、仓储和邮政业，批发和零售业三个行业而言，四个省市发展基本相当；就个性化发展其他类行业而言，北京的个性化其他类行业发展异军突起，远超其他三个省市；就金融行业而言，上海与北京的金融行业难分伯仲，重庆市与江苏省金融业发展类似，比较靠后。而城市经济的发展，就行业的人均增加值而言，拉开差距的主要集中在城市个性化发展的其他类别行业和金融业两个行业，重庆市均表现欠佳。

Figure 5. Per capita value-added of sub-sectors in the tertiary industry in 2022

图5. 2022年第三产业细分行业人均增加值

2.3.2. 重庆市劳动力短缺，人口结构呈现一低三高的局面，制约经济增长速度

经济的发展离不开劳动力，而人口结构的变化直接影响到劳动力的供给和需求[6]。如图6所示，从人口结构情况分析，重庆的劳动人口比例为67.13%，与优势省市相比劳动力短缺，特别是北京(72.82%)和上海(71.56%)，劳动人口比例均超过70%，明显高于重庆，重庆劳动力不足，制约了生产力的发展，使经济增长速度受到限制。重庆的总负担系数为48.96%，远高于北京(37.33%)和上海(39.74%)；重庆负担少儿系数21.70%，高于三个优势省份，从长远来看，劳动力的储备较其他省市相对充足；重庆负担老年系数为27.26%，同样高于三个优势省份，特别是北京仅20.76%。较低的劳动人口比例和较高的负担系数，导致重庆的整体劳动力短缺，制约经济增长，经济发展速度稍缓。

Figure 6. Population structure of Chongqing and advantageous provinces in 2022

图6. 2022年重庆与优势省份人口结构情况

3. ARIMA建模及预测

3.1. 时间序列模型简介

3.1.1. ARIMA模型概要

生活中的时间序列大部分都是非平稳序列，但在时间序列分析中研究的对象往往都是在平稳序列的基础上。目前对于平稳序列的研究及建模方法都较为完善，相对成熟，那非平稳序列如何转化为平稳序列，且尽可能多地提取它的随机信息[7]。Cramer分解定理中表明，序列中的确定性信息能够通过差分方法进行充分的获取[8]。$d$ 阶差分表示：

${\nabla }^d{x}_t={\displaystyle \sum _{i=0}^d{\left(-1\right)}^{i+1}{C}_d^i{x}_{t-i}}$

3.1.2. ARIMA模型

求和自回归移动平均模型的结构如下所示，简记为ARIMA(p, d, q)：

${\nabla }^d{x}_t={\varphi }_0+{\varphi }_1{x}_{t-1}+{\varphi }_1{x}_{t-2}+\cdots +{\varphi }_p{x}_{t-p}+{\epsilon }_t-{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}-{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}-\cdots -{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$

模型中有三个限制条件：

1) ${\varphi }_p$ 、${\theta }_q$ 不能同时为零。

2) $E\left({\epsilon }_t\right)=0,Var\left({\epsilon }_t\right)={\sigma }_{\epsilon }^2,E\left({\epsilon }_s\cdot {\epsilon }_t\right)=0,\left(s\ne t\right)$ ，要求随机干扰项为零均值的纯随机序列。

3) $E\left({\epsilon }_s\cdot {\epsilon }_t\right)=0,\forall s<t$ ，过去的序列值与当期的干扰项无相关性。

其实，ARIMA模型就是进行差分后的ARMA模型，模型的条件和性质与ARMA保持一致。所以在实际应用中遇到非平稳的时间序列，通常是将非平稳的时间序列通过差分运算转化为平稳的时间序列，继而对平稳的时间序列进行建模分析[9]。

3.1.3. ARMA模型确定阶数的基本原则

通常按照自相关系数和偏自相关系数标准差的2倍进行判断。假如一个样本的相关系数在最初的$n$ 阶超过2倍标准差，但是后面阶的相关系数都在2倍标准差的范围内，且变化的过程非常突然，就可以判定为截尾，截尾的阶数为$n$ 。如果衰减的过程比较缓慢或者是连续的，就可以判定为拖尾，拖尾的阶数为$n$ [10]。ARMA模型确定阶数的基本原则如表2所示。

Table 2. Principles for order determination of ARMA model

表2. ARMA模型定阶原则

自相关系数	偏自相关系数	模型定阶
拖尾	p阶截尾	AR(p)模型
q阶截尾	拖尾	MA(q)模型
拖尾	拖尾	ARMA(p, q)

3.1.4. 时间序列分析建模步骤

第一步平稳性检验。观测值序列是否平稳，如果序列非平稳，则按上述方式通过差分运算将序列转化为平稳时间序列，如果序列为平稳序列，那么将对序列进行纯随机性检验。

第二步纯随机性检验。当序列为纯随机序列，序列之间没有联系，结束分析。

第三步当序列是非纯随机序列。通过拟合ARIMA模型，根据自相关系数图和偏自相关系数图，选择合适的ARIMA(p, d, q)模型参数，随后进行拟合分析。

第四步对模型进行有效性检验。如果模型通过检验，结束分析；如果模型未通过，则回到步骤三，对模型进行重新拟合分析。建模的基本步骤如图7所示。

Figure 7. Basic steps for ARIMA modeling

图7. ARIMA建模的基本步骤

3.2. 时序图

下面就是通过时间序列分析，对重庆市1998年到2022年的人均GDP进行分析建模，最后预测未来5年的人均GDP情况。首先绘制1998年到2022年重庆市人均GDP的时序图，由图8观测，时序图为非平稳时间序列，且带有一定的指数趋势，同时未见明显的周期特征，仅需对序列进行简单的差分方法，就可以将非平稳序列转化为平稳的时间序列。

3.3. 二阶差分及纯随机性检验

先对时间序列做一阶差分运算，如图9所示，发现一阶差分后的序列并未表现明显的平稳特征，

Figure 8. Per capita GDP of Chongqing from 1998 to 2022

图8. 1998年~2022年重庆市人均GDP

说明还需进一步做差分运算处理。再次对序列做差分运算，通过二阶差分之后，如图10所示，发现序列波动在0水平线，表明在二阶差分之后，序列趋于平稳。同时，延迟6期和12期的$Q_{LB}$ 统计量的$p$ 值分别为0.0008285和0.007177，如表3所示，均小于显著性水平0.05，即以95%的置信水平拒绝纯随机性的假设，确定二阶差分后的序列为非纯随机序列，通过纯随机性检验。说明该序列存在相关性，能够进行下一步建模分析。

Figure 9. First-order difference time series chart

图9. 一阶差分时序图

Figure 10. Second-order difference time series chart

图10. 二阶差分时序图

Table 3. Results of pure randomness test for the differenced series

表3. 差分后序列纯随机性检验结果

延迟期数	p值
延迟6期	0.0008285
延迟12期	0.007177

3.4. 确定ARIMA(0, 2, 2)模型

接下来，需要通过自相关系数图和偏自相关系数图确定模型的具体阶数。ACF图显示，1~2阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其他均在2倍标准差范围内，而且趋于0的速度比较突然，可以认定该序列的自相关系数为2阶截尾，如图11所示。然而PACF图显示，趋于0的过程比较缓慢，可以认定该序列的偏自相关系数为拖尾，如图12所示。

通过对残差序列的纯随机性检验，如表4所示。延迟6期和12期的$Q_{LB}$ 统计量的$p$ 值分别为0.4565和0.8744，均大于显著性水平0.05，即以95%的置信水平接受纯随机性假设，认为残差序列为纯随机序列，不包含任何有用信息，说明模型显著性成立。说明ARIMA(0, 2, 2)模型对该序列拟合成功。拟合模型为：

$x_t=2x_{t-1}-x_{t-2}+{\epsilon }_t+0.9209{\epsilon }_{t-1}-0.4641{\epsilon }_{t-2},{\epsilon }_t\sim N\left(0,3312257\right)$

Figure 11. Autocorrelation plot

图11. 自相关图

Figure 12. Partial autocorrelation plot

图12. 偏自相关图

Table 4. Results of pure randomness test for the residual series

表4. 残差序列纯随机性检验结果

延迟期数	p值
延迟6期	0.4565
延迟12期	0.8744

3.5. 预测未来5年重庆市人均GDP

使用最终得到的ARIMA(0, 2, 2)模型，预测未来5年重庆市的人均GDP，预测结果及其95%的置信区间如表5所示。

Table 5. Estimated per capita GDP of Chongqing in the next 5 years

表5. 未来5年重庆人均GDP

年份	预测值	95%置信区间下限	95%置信区间下限
2023	97197.76	93630.70	100764.80
2024	102888.78	97640.86	108136.70
2025	108579.80	100767.70	116391.90
2026	114270.82	103284.57	125257.10
2027	119961.84	105331.19	134592.50

预测图如图13所示，其中黑色表示1998年到2022年实际重庆市人均GDP，蓝色表示2023年到2027年重庆市人均GDP的预测值，分别为97197.76元、102888.78元、108579.80元、114270.82元、119961.84元，灰色表示置信区间为95%的重庆市的人均GDP的预测值范围。根据预测结果，2024年重庆市人均GDP突破10万大关。

Figure 13. Estimated plot of per capita GDP of Chongqing in the next 5 years

图13. 未来5年重庆市人均GDP预测图

4. 结论

根据上述分析，重庆市目前的经济发展特征主要为：一是直辖以来重庆市人均GDP持续增长，从2011年以后经济增长速度放缓，增长动力不足。二是直辖以来重庆市GDP产业结构变化显著，主要经历三个阶段，近几年产业结构趋于稳定，优势产业发展势头不明显。三是重庆市人均GDP全国排名中上游，与优势省份对比，第三产业发展不充分，细分行业主要集中在城市个性化发展和金融业两个行业，表现欠佳。四是重庆市劳动力短缺，人口结构呈现一低三高的局面，劳动人口比例低和负担系数高，导致劳动力不足，经济发展速度较缓。

通过时间序列分析方法，首先对1998年到2022年重庆市人均GDP画时序图，观察序列的趋势，并运用差分运算平稳化处理序列；其次根据自相关图和偏自相关图确定模型的阶数，且残差序列的纯随机性检验结果显著；最后确定ARIMA(0, 2, 2)模型，并运用该模型对2023年到2027年重庆市人均GDP进行预测。结果表明，2024年重庆市人均GDP突破10万大关，人民生活水平越来越好，幸福指数越来越高。

人均GDP的增长是一个必然的趋势，同时受多种因素的影响，结合以上特征，提出相应建议：一是政府出台灵活的人口政策调整，增加劳动力供给。提高育儿津贴、降低育儿成本，鼓励适婚、适育人群积极响应国家号召；优化人才引进和劳动力流动机制，加大人才引进成本投入。二是产业优化升级，科技创新发展。建立创新型生态系统，为创新企业提供良好的发展环境；持续调整产业结构，优化经济结构，坚持绿色发展，增强市场活力和竞争力。三是聚焦金融业和城市个性化发展。放开金融市场准入，吸引更多的金融机构落地，增加金融业竞争，推动金融创新；加强金融监管，提高金融业的透明度和稳定性，增强投资者信心；整合自然风光与城市景观，打造自然生态景观与8D魔幻城市相结合的宜居、宜游的城市环境；提升城市形象和吸引力，吸引国内外游客和投资者，拉动重庆的经济增长。