1. 引言
高等数学课程是理、工科大学重要的公共学科基础课，是学习专业知识的重要基础[1] [2]。长期以来，教学重理论，学生感到内容抽象，学了之后怎么用，学习兴趣不高。其次，数学教学与课程思政相分离的现象仍然存在，教师在有限的学时内很少融入思政元素。基于此，构建“基于思想价值引导、理论知识传授、应用能力培养”三位一体的大学数学教学模式尤为重要[3] [4]。在教学中将课程思政融入知识传授中，同时注重学生应用能力的培养，实现思政教育与知识传播、能力培养的有机统一[5] [6]。三位一体教学模式如图1所示。
Figure 1. “Trinity” teaching mode
图1. “三位一体”教学模式
2019年3月18日，习近平总书记主持召开学校思想政治理论课教师座谈会并发表重要讲话指出，“思政课是落实立德树人根本任务的关键课程，思政课作用不可替代。”课程思政是指在教学过程中融入思想政治教育的元素，旨在培养学生的社会主义核心价值观，提升学生的道德情操和公民素养，培养德才兼备的人才，为国家和社会的繁荣发展作出贡献。三位一体教学模式的理论依据主要基于马克思主义认识论，这一模式强调了“知识–思想–方法”的转化演进机制，即人们认识事物的过程需要理论与实践相结合。
2. 将思政元素融入高等数学教学
(1) 在教学中融入数学史
数学的发展史就是探索世界、追求科学真理的过程[7]。通过数学史的介绍，培养学生追求真理、批判质疑、探索创新的科学精神。
(2) 在教学中融入数学家的事迹
将数学家的事迹融入教学中，数学家在解决科学难题过程中都会遇到重重困难，任何科学成果的获取都不是轻而易举的，使学生看到数学家攻坚克难的决心，引导学生奋发图强，努力成才，激发学生的民族自豪感[8] [9]。
杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，通过图形把组合数内在的性质直观地反映出来。而在欧洲，帕斯卡发现这一规律比杨辉要晚三百多年。
(3) 在教学中注重学生的课程体验
长期以来，谈到数学，容易联想到抽象、枯燥、复杂等特征，其实，数学是非常生动形象的。数学创造了很多美，比如，图形的优美性、公式结构的对称性，定理的协调性，方法的精巧性等处处体现了数学美[10]。以牛顿、高斯、莱布尼兹为代表的数学家，将复杂的计算现象转化为几个公式，简单明了，极具美感。如图2所示的四叶玫瑰线、伯努利双纽线都体现了数学的图形美。
Figure 2. Four-leaf rose line and Bernoulli double newt line
图2. 四叶玫瑰线和伯努利双纽线
(4) 在教学中挖掘蕴含的哲学思想
在教学过程中，除了应从数学的角度讲清楚基本的知识和方法，还应从哲学角度进行适度的辩证剖析，使学生深刻地理解其实质，学会用辩证的思想去分析问题，建立学生唯物主义的方法论与价值观。
通过在教学中融入数学史、数学家的故事、学生的课程体验、哲学思想等思政元素，对学生思想价值进行塑造，培养学生的家国情怀、科学精神、创新精神、奉献精神、追求真理的精神、社会责任感等。如图3所示。
Figure 3. Mathematics teaching is combined with ideological and political elements
图3. 数学教学与思政元素相结合
3. 教学过程中注重学生应用能力的培养
3.1. 注重数学知识与实际生活的联系
在数学教学过程中应当联系实际生活，让学生认识到抽象的概念、定理是有其现实的背景和来源[11] [12]。例如在介绍极限概念时，先启发学生思考在生活中是否有这样的实例，然后可以从学生非常数学的一首古诗引出极限的概念。唐代诗人李白在他的诗《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中的诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。”就初步渗透了极限思想，其意思是李白送朋友时，看到朋友乘坐的小船越行越远，小船越来越小，以至于最后几乎看不见了。这其实就是极限思想的体现。
在讲授曲线凹凸性时，结合港珠澳大桥的设计，将桥抽象成一条曲线，研究其性质，如图4所示。港珠澳大桥横穿大海，宛若一条长龙飞向天际。从这个例子中学生不仅能深刻领悟数学知识，而且能认识到我国科研水平处于世界领先地位，增强学生民族自豪感。
Figure 4. Hong Kong-Zhuhai-Macao Bridge
图4. 港珠澳大桥
3.2. 注重与后续专业课程的联系
数学教学应与专业知识相联系，拓广数学在其他专业领域中的应用，让学生切实体会到数学是自然学科的基础。它除了解决数学问题，在流体力学、电磁学及物理学中都有广泛的应用。在人工智能卷积神经网络算法中，通过卷积方法可以进行自动特征提取。将数学教学与专业课程相结合，培养学生知识迁移、融会贯通、解决问题的能力。
Figure 5. Example of convolution operation
图5. 卷积运算示例
例1. 采用卷积方法进行自动特征提取，定义如公式(1)所示。
(1)
卷积层包括一组具有可学习权值的滤波器，通过考虑填充、步幅和滤波器的大小，将输入数据与每个滤波器进行卷积。图5是一个使用3 × 3滤波器、步长为2、填充大小为1的卷积操作示例。
3.3. 注重与数学实验的联系
在高等数学学习中，一些学生存在畏难情绪，学习积极性不高。主要原因就是很多空间图形很难画出，只能靠学生的空间想象力；而且计算量较大[13]。将数学教学与数学实验相联系，一方面可以将复杂的图形通过数学软件和简单编程演示出来，使问题更形象直观；另一方面，学生在做数学实验的过程中，既提高了学习兴趣，又增强了动手能力。
例2. 设
和
计算区间[0, 4]上两曲线所围成的平面的面积。
输入命令
Clear[f,g];f[x_]=2Exp[-(x-2)^2 cos[Pi x]];g[x_]=6 cos[x-2];
Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],
RGBColor[0,0,1]}];
FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}]
FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}]
NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}]
则输出两函数的图形(图6)及所求面积是5.12412。
Figure 6. The graph enclosed by two functional curves
图6. 两函数曲线围成的图形
3.4. 注重与数学建模的联系
数学建模主要针对实际需要解决的问题，要求学生通过所学的理论知识，将实际问题转化为用数学模型来表示，基于所建立的模型解决实际问题[14] [15]。根据学习进度和内容，筛选典型的数学建模问题，发布在学习通上，组织学生以小组为单位完成。这种针对实际问题建立数学模型，进而分析、解决问题的实践过程，可以培养学生的建模能力、分析问题及解决问题的实际应用能力。
例如，关于倾斜卧式储油罐油量标定的实用方法的建模问题。储油罐长期使用会产生变位，从而使罐容表的标定值与理论值存在误差。因此，需要进行识别变位并对罐容表进行重新标定。针对这个问题，可以启发学生首先利用微积分知识建立储油罐无变位情况下罐内油量和油位高度关系的数学模型，并在此基础上建立有倾角时罐内油量和油位高度关系的理论模型，使学生真正做到学以致用。
在教学中，通过将数学教学与实际生活、专业课、数学实验及数学建模相联系，从而培养学生的实际应用能力。如图7所示。
Figure 7. The combination of mathematics teaching and students’ application ability training
图7. 数学教学与学生应用能力培养相结合
4. 基于三位一体教学模式的教学方式，评价方式
高等数学教学内容多，理论性强，三位一体教学模式是在传统讲授理论知识的基础上，融入思政元素和应用案例。如何在有限的固定学时的基础上增加授课内容，拟借助网络教学平台[16] [17]，通过线上线下混合式教学实现。
4.1. 混合式教学方式的实现
在采用混合式教学方式时，首先合理分配线上线下学习内容。对于一些抽象概念、公式的实际背景，可以穿插在教学过程中讲解，通过形象生动的案例使学生可能需要花大量时间去理解的知识直观、易于理解；而对于一些需要通过软件、简单编程才能实现的实验、以及数学建模等问题则可以发布在网上，留给学生课外完成。其次合理分配在线学时。根据学习内容合理安排线上线下学时[18]。
4.2. 多元考核评价方式的建立
研究如何建立多元考核评价方式。作为教学反馈的一部分，为教学的持续改进提供依据，对学生的评价主要包括线下的统一测试，线下完成的练习情况，以及线上后台对教学行为数据，包括学生线上教学视频的学习，学生参与完成的数学实验、建模等进行全方位记录[19]。考核评价方式如表1所示。
Table 1. Examples of multiple assessment methods in “Higher Mathematics”
表1. 《高等数学》多元考核评价方式举例
|
教学视频
学习、预习 |
数学实验 |
数学建模 |
练习题、测试题 |
考试 |
成绩权重 |
0.1 |
0.15 |
0.15 |
0.1 |
0.5 |
考核方式 |
线上 |
线上 + 线下 |
线上 + 线下 |
线上 + 线下 |
线下 |
评分方式 |
自动评分 |
教师评分 + 学生互评 |
教师评分 + 学生互评 |
自动 + 教师评分 |
教师评分 |
考核目的 |
自主学习能力 |
分析能力 |
创新意识、
解决问题能力 |
自主性、计算能力 |
理解能力、
计算能力 |
5. 三位一体教学模式的效果
高等数学教学内容多，理论性强，通过学习通、超星学习平台，三位一体教学模式已经实施了一个学期。以本学期和上一学年同学期学生卷面成绩进行对比分析，如表2所示。各分数段的成绩分布对比图如图8所示。
Table 2. Comparison of student achievement data under two modes
表2. 两种模式下学生成绩数据对比
|
平均成绩 |
及格率(%) |
三位一体模式 |
传统 |
三位一体模式 |
传统 |
期中考试 |
70.65 |
69.87 |
77.51 |
72.73 |
期末考试 |
83.12 |
76.46 |
93.49 |
80.15 |
Figure 8. Grade distribution comparison chart
图8. 成绩分布对比图
从表2中可以看到，实施三位一体教学模式后，学生的期中、期末成绩整体上都得到了提高。对于期中成绩，两种模式下的情况相差不大，平均成绩从69.87分增加到70.65分，及格率从72.73%增加到77.51%。但对于期末成绩，两种模式下的差异就很明显，平均成绩从76.46分增加到83.12分，及格率从80.15%增加到93.49%。从图8可以看到，虽然新模式下学生的平均成绩和及格率都有所提高，但优良率略低于传统模式。而在期末考试中，新模式下的优良率大幅度提升，90分以上的学生人数占36.7%，80~89之间的学生人数占32%。这是由于期中考试所考内容主要是微积分部分，很多同学在中学也学过一些基本知识，有一定的基础，三位一体教学模式的成效并未完全体现，从成绩来看整体相差不大。而期末考试主要考察积分部分，对于学生来说是全新的内容，难度也加大，学生平均成绩达到了80分以上，优良率达到了68.7%，及格率更是超过了90%，三位一体教学模式下的学生成绩得到明显提高，新教学模式效果得到体现。
6. 结论
基于三位一体大学数学教学模式，在传统的数学教学中，融入思政元素，注重对学生应用能力的培养。通过在教学中融入数学史、数学家的故事、学生的课程体验、哲学思想等思政元素，将数学教学与课程思政有机结合，起到润物细无声的育人效果。将数学教学与实际生活、专业课、数学实验及数学建模相联系，使学生认识到抽象的数学理论并不是空中楼阁，而是来源于生活并应用于生活，从而培养学生的应用实践能力。三位一体大学数学教学模式的实施，可以帮助学生树立正确的世界观、人生观、价值观，增强国家认同感和民族自豪感；促进教学质量的提升，通过课堂教学、实践活动等多种形式，使学生能够在实践中学习和体验，从而提高学习效果；推动高等教育在教学方式和内容上的创新，使教育更加贴近社会需求和学生发展需要。将三位一体教学模式应用于教学实践中，取得了一定的成效，后期将根据实践的情况不断进行修正，以便持续改进。
基金项目
江西省高等学校教学改革研究省级课题(JXGJ-22-8-22, JXGJ-22-8-11)，南昌航空大学校级教学改革课题(JY21058)。