1. 引言
近年来,有界格上Null–范数的研究是个热点问题,Null–范数在许多不同的领域中都是一个很重要的工具,例如,计算机科学技术中的专家系统,神经网络,模糊逻辑学,此外,Null–范数也常常用于模糊逻辑中的聚合算子。文章中,我们将讨论有界格上Null–范数的构造方法。F. Karacal, M.A. Ince, R. Mesiar在文 [1] 中给出了三种有界格上的Null–范数的构造方法,Umit Ertugrul在文 [2] 中给出了两种有界格上Null–范数的构造方法,那么在一般有界格上Null–范数的构造方法究竟有多少种,前人并没有给出明确的结论。我们从Null–范数在不同区间上可能的取值入手,分别讨论每个区间的具体取值,得出有界格上Null–范数的构造方法有且仅有三种,并对这三种零范数的序关系作了比较。
2. 预备知识
首先,我们给出与本论文相关的一些概念。
定义1 ([3]):在一个偏序集
中,如果任意二元
都有上确界
和下确界
,则称偏序集
(或简称L)为一个格。
这时,
和
分别叫做x与y的并与交。
定义2 ([4]):有界格是一个有最小元0与最大元1的格
,即存在两个元素
使得对所有的
,
。
定义3 ([4]):给定一个有界格
,如果a和b是不可比的,我们用符号
,这里
。
令
是一个有界格,
,那么与a不可比的元素的集合我们记作
。
定义4 ([5]):令
是一个有界格,二元运算
称为三角范数,若对任意的
,
满足以下四个条件:
1)
(交换性);
2)
(结合性);
3) 当
时,有
(单调递增性);
4)
。
定义5 ([5]):
是一个有界格,二元运算
称为三角对偶范数,若对任意的
,
满足以下四个条件:
1)
(交换性);
2)
(结合性);
3) 当
时,有
(单调递增性);
4)
。
定义6 ([1]):
是一个有界格,二元运算
称为Null–范数,若对任意的
,
满足以下四个条件:
1)
(交换性);
2)
(结合性);
3) 当
时,有
(单调递增性);
4) 存在
,对任意的
,使得
;对任意的
,使得
。
我们可以得到,对所有的
,
,因此我们说
是V的零元。
考虑L上的所有的Null–范数的集合
:对
,
,
。
我们用
表示集合:
。
例1:
是一个有界格,有界格L上最小的三角范数
,最大的三角范数
分别定义如下:
,
。
有界格L上最小的三角对偶范数
,最大的三角对偶范数
分别定义如下:
,
。
2015年,F. Karacal, M.A. Ince, R. Mesiar在文献 [1] 中提出了三种Null–范数的构造方法,具体如下:
,
。
2018年,Umit Ertugrul在文献 [2] 中给出了两种Null–范数的构造方法:
其中
是定义在
上的三角范数,
是定义在
上的三角对偶范数。
3. 主要结果
我们从Null–范数在不同区间上可能的取值入手,分别讨论每个区间的具体取值,得出了下面的定理。
定理:令
是一个有界格,
,
是
上的三角对偶范数,
是
上的三角范数。那么在有界格L上有零元a的Null–范数
有且仅有三种。
证明:首先我们来讨论一下在一般的有界格上Null–范数在不同区间上的取值,根据Null–范数的定义我们把有界格上的元素与零元a的关系划分为9个区域如图1:
这里讨论的是一般有界格,在格区间上Null–范数可能出现的取值可能是下面情况中的某一种:
1)
或者
。
2)
或者
。
3) 0,1,a,x或y。
4) 常数值
。
下面来做简单分析,分情况讨论9个区域的具体取值,由定义可得:
,;
,
;
当
时:
当
时,
,因此,
;
当
时,
,因此,
。
当
,
,所以区间
上可能的取值为;
当
,
,所以区间
上可能的取值为
;
当
时,可能的取值为:
。
1) 当
,
时,
若
时,
,
,不满足单调性。
2) 当
,
时,
2.1) 当
,
时,
2.1.1) 当
,
时,
若
时,
,不满足单调性。
2.1.2) 当
,
时,
若
时,
,不满足单调性。
2.1.3) 当
,
时,
此时我们得到了一个Null–范数的构造:
2.1.4) 当
,
时,
若
,
,不满足单调性;
若
,
,不满足单调性。
2.1.5) 当
,
时,
若
,
,不满足单调性。
2.1.6) 当
,
时,
若
,
不满足单调性。
2.2) 当
,
时,
2.2.1) 当
,
时,
若
时,
,不满足单调性。
2.2.2) 当
,
时,
若
时,
,不满足单调性。
2.2.3) 当
,
时,
若
时,
,
,不满足结合律。
2.2.4) 当
,
时,
若
,
,不满足单调性;
若
,
,不满足单调性。
2.2.5) 当
,
时,
若
,
,
,不满足结合律。
2.2.6) 当
,
时,
此时我们得到了一种Null–范数的构造方法,它的表达式为:
2.3) 当
,
时,
若
,
,不满足单调性。
3) 当
,
时,
3.1) 当
,
时,
3.1.1) 当
,
时,
若
时,
,不满足单调性。
3.1.2) 当
,
时,
若
时,
,不满足单调性。
3.1.3) 当
,
时,
若
时,
,
,不满足结合律。
3.1.4) 当
,
时,
若
,
,
,不满足结合律。
若
,
,
,不满足结合律。
3.1.5) 当
,
时,
此时我们得到了一种Null–范数的构造方法,它的表达式为:
3.1.6) 当
,
时
若
,
,
,不满足结合律。
3.2) 当
,
时,
3.2.1) 当
,
时,
若
时,
,
,不满足单调性。
3.2.2) 当
,
时,
若
时,
,不满足单调性。
3.2.3) 当
,
时,
若
时,
,
,不满足结合律。
3.2.4) 当
,
时,
若
,
,
,不满足结合律。
若
,
,
,不满足结合律。
3.2.5) 当
,
时,
若
,
,
,不满足结合律。
3.2.6) 当
,
时,
若
,
,
,不满足结合律。
因此,综上所述,有界格上的Null–范数只有三种。
证毕。
通过对定理的证明我们发现当
中
时,
;当
中时,
。也就是说,
和
是
和
的特殊情况,因此我们只需要对三种Null–范数进行比较。
命题:令
是一个有界格,
,
是
上的三角对偶范数,
是
上的三角范数。那么
。
显然成立。
4. 小结
从Null–范数的定义出发,在前人给出的五种有界格上Null–范数的构造方法的基础上,讨论了有界格上不同区间上的Null–范数的取值情况,证明了有界格上Null–范数的构造方法有且仅有三种,我们发现当
中
时,
;当
中
时,
。并给出了三种Null–范数之间的大小关系。
基金项目
中央民族大学硕士研究生自主科研项目资助(项目编号:182011)。
参考文献