1. 引言
在复空间C上,令
,
表示
上解析函数空间。
函数
在
上连续,在
上解析。若
,对所有的
,有
,其中
。则复的改进的Baskakov-Kantorovich型算子的定义为:
其中
[1] - [10]
引理1.1 [11] :[Cauchy积分公式]设区域D的边界是周线(或复周线) C,函数
在D内解析,在
上连续,则有
引理1.2 [11] :[泰勒展式]设
在区域D内解析,
,只要圆
含于D,则
在L内能展成幂级数
其中系数
且展式是惟一的。
定理1.1:设
且有界于
,
,若
,对任意
以及
,有
其中
定理1.2:设
且有界于
,
,若
,对任意
以及
,假设f在
上不是阶小于等于
的多项式,当引理2.2中级数收敛时,有
其中
依赖于f和
,但
与无关。
推论:设
且有界于
,
,若
,对任意
以及
,假设f在
上不是阶小于等于
的多项式,当引理2.2中级数收敛时,有
其中
依赖于f和
,但
与无关。
注:本文C表示不依赖于x或者z与n的常数,不同地方代表不同数值。
2. 重要引理
引理2.1 [12] :设
且有界于
,
,若
,对任意
以及
,有
其中
引理2.2 [12] :设
且有界于
,
,若
,对任意
以及
,有
其中
引理2.3 [12] :设
且有界于
,
,若
,对任意
以及
,有
其中
依赖于f和r,但与n无关。
3. 定理的证明
定理1.1的证明
证明:令
是以
为圆心,半径
的圆,对任意
和
,此时,
,由高阶Cauchy积分公式得
命题得证。
定理1.2的证明
证明:对所有的
和
,有
运用高阶Cauchy积分公式,可得:
所以对所有的
和
,有
由引理2.2,对所有的
和
,有
由f的假设条件,知
。事实上,若否,则任意
,有
,其中
为阶小于等于
的多项式,故
。令
,对任意
,有
,由于
解析,令
代入上述微分方程,比较系数可知:
为阶小于等于
的多项式,故
为阶小于等于
的多项式,与假设矛盾。令
,参照引理2.3证明过程(参见文献 [12] ),可以得到定理1.2。即存在一个整数
取决于
和
,使得
,有
。当
时类似可证。
基金项目
国家自然科学基金(10571040)。