1. 引言与主要结果
本文使用单位圆
和复平面
上亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的基本结果和标准符号(见文 [1] [2] [3] )。我们回顾或引入以下定义。
定义1 [3] :单位圆
内亚纯函数
的级定义为
对于
内解析函数
,其级定义为
其中
是
的最大模。
注1 [4] :如果
在
内解析,那么
。如果
,则
。
定义2 [5] :单位圆
内亚纯函数
的超级定义为
定义3 [6] :对于单位圆
内解析函数
,定义
定义4 [7] :单位圆
内亚纯函数
在
内的a-值点
序列的超级收敛指数定义为
且
,
内亚纯函数
在
内判别的a-值点
序列的超级收敛指数定义为
注2:若
,则
和
分别表示
在
内零点序列和判别零点序列的超级收敛指数。
注3 [6] : 1)设
在单位圆
内解析,则
,这与复平面
上整函数的超级的结果一样。因此不失一般性,下文仅用符号
。
2) 当
在
内亚纯,则
和
,其中
。
自从J. Heittokangas在 [3] 中研究单位圆
内微分方程解的增长性以来,近年来国内外有了不少这方面的研究(如文 [5] - [11] )。曹廷彬与仪洪勋在 [6] 中研究了单位圆内微分方程解的增长性,改进了 [3] [5] 的结果,并进一步研究了单位圆内二阶线性微分方程解的不动点性质,得到
定理A [6] :假设
和
为
内解析函数,且满足
或
,则方程
(1.1)
的每个解
满足
。
文 [7] 研究了相应的单位圆内高阶微分方程解的增长性及不动点问题。
文 [8] 进一步研究了方程
(1.2)
的解的导数的不动点问题,得到
定理B [8] :设
是单位圆内可允许的解析函数,
,则方程(1.2)的所有解
及其
都有无穷个不动点且不动点收敛指数满足
注4:不动点收敛指数
即
,不动点二级收敛指数
即
。
本文进一步讨论了在定理A的条件下方程(1.1)解的各阶导数的不动点性质,得到以下结果。
定理1:假设
和
为
内解析函数,且满足
或
,则方程(1.1)的每个解
满足
定理2:假设
和
为
内解析函数,且满足
或
,如果
,则方程(1.1)的每个解
满足
推论1:假设
和
为
内解析函数,且满足
或
,如果
,则方程(1.1)的每个解
满足
注5:定理1是定理A与定理B的推广,定理2是文 [7] 结果(见后面的引理6)当
时的改进与推广。
2. 引理
引理1 [6] :设
和
为
内解析函数且满足1)
,或2)
而
,则方程(1.1)的所有解
都满足
且
。
引理2 [6] :设
和
为
内亚纯函数,
,则
1)
;
2)
;
3)
;
4) 如果
,那么
,
。
引理3 [6] :设
是方程
的一个亚纯解,其中
是
内的亚纯函数。若
这里
,则有
,其中
和
分别表示为
和
。
引理4 [6] :设
和
为
内解析函数,
,则
1)
;
2)
;
3)
;
4) 如果
,那么
。
引理5 [6] :设
和
为
内解析函数且满足(i)
,或(ii)
而
,则方程(1.1)的所有解
都满足
且
,其中
。
引理6 [7] :设方程
(2.1)
的系数
在
内解析,
或
。如果
,那么(2.1)式的每个解
满足
。
引理7 [7] :设(2.1)式的系数
在
内解析,如果
,那么(2.1)式的所有解
都满足
。
引理8 [7] :设
内解析的函数
是(2.1)式的系数,如果
,那么(2.1)式的所有解
都满足
,其中
。
3. 定理1的证明
下面证
的情形。
设
为方程(1.1)的解,由引理1知,
(3.1)
1) 首先考虑
的不动点。假设
,由(3.1),有
(3.2)
微分(1.1),得
(3.3)
由(1.1),有
(3.4)
将(3.4)代入(3.3),得
(3.5)
将
代入(3.5),得
(3.6)
其中,
(3.7)
(3.8)
(3.9)
下证
,若
,由(3.9),有
(3.10)
令
,由(3.5)、(3.10)知,
为(3.5)的解。因此,方程(1.1)有解
满足
且
。这与(3.1)矛盾。故
。由注1知,
,
,从而由(3.7)~(3.9)与引理2可知
,
,
,从而由(3.1)、(3.2)得
(3.11)
由(3.6)与引理3得
,从而
2) 再次考虑
的不动点。假设
,由(3.1),有
(3.12)
微分(3.3),得
(3.13)
下证
。假设
,由(3.8),得
,或
。因此,
,可得
(3.14)
其中
为任意常数。则
,
。又因为
,从而由引理4可知
,
即
,与题设矛盾。故
。由(3.5)得
(3.15)
将(3.4)、(3.15)代入(3.13),得
(3.16)
其中,
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
将
代入(3.16),得
(3.21)
其中
(3.22)
下证
。假设
,由(3.22),得
(3.23)
令
,由(3.16)、(3.23),可知
为(3.16)的一个解。因此,方程(1.1)有解
满足
且
。这与(3.1)矛盾。故
。由注1知,
,
,故由(3.17)~(3.20)、(3.22)与引理2,易知
,
,
。从而由(3.12)得
(3.24)
由(3.21)与引理3得
,从而
综上所述,在
的情形下,有
在
的情形下,结合引理5,类似可证得结论也成立。
4. 定理2的证明
由引理6并注意到当
或
时,
,可知在定理2的条件下,方程(1.1)的每个解
满足
。
由引理7及引理8知,
。
1) 若
,则
或
,由定理1知,定理2结论成立。
2) 若
,由
知,
。由
或
,
可知
,又
,从而
。由引理2知,
则(3.11)与(3.24)成立。从而类似于定理1的证明,可知定理2结论成立。
基金项目
国家自然科学基金项目(11271045, 11561031)。