分数阶方程组的解与特定分数阶方程的解之间的一个对应关系

A Correspondence between Solutions of a Fractional System and Solutions of a Specific Fractional Equation

摘要: 为了更好地了解下述分数阶方程组 的解的存在性及其性态，其中 ， 是分数阶拉普拉斯算子， 是一个有光滑边界的区域(可以是全空间)且 满足某些特定条件，我们在本文中将证明上述方程组的解与某个特定的分数阶方程的解之间的一个对应关系以便于通过特定的分数阶方程组的解的非存在性、存在性以及唯一性来得到上述方程组的解的非存在性、存在性和唯一性。

Abstract: ITo better understand the existence and behavior of the solution to the following fractional equations where , is the fractional Laplacian operator, is a region with a smooth boundary (which can be a full space) and satisfy some certain conditions. In this paper, we will prove a correspondence between the solutions of the above system and the solutions of a particular fractional equation, which, combining the non-existence, existence, and uniqueness of the solutions of a particular fractional equation, can give out the non-existence, existence and uniqueness of the solutions of the above system.

1. 引言

在本文中，我们将研究以下分数阶椭圆型方程组

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{s}u=f\left(u,v\right),x\in \Omega ,\\ {\left(-\Delta \right)}^{s}u=g\left(u,v\right),x\in \Omega ,\\ u=v=0,{\Re }^N\backslash \Omega ,\end{array}$ (1.1)

其中 $0<s<1$ ， ${\left(-\Delta \right)}^s$ 是分数阶拉普拉斯算子， $\Omega \in {\Re }^N$ 是一个边界光滑的区域且 $f,g$ 满足如下条件：

(C₁) $\exists x_0>0$ 使得 $f\left(1,x_0\right)x_0-g\left(1,x_0\right)=0$ 且下述分数阶方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^s=f\left(u,x_{0}u\right),x\in \Omega ,\\ u=0,{\Re }^N\backslash \Omega ,\end{array}$ (1.2)

存在至少一个非零解 $u_0$ ；

(C₂) 对于任意的 $t\in \Re$ ，有 $F\left(tu,tu\right)=t^{p+1}F\left(u,v\right)$ ，其中 $F\left(u,v\right):=f\left(u,v\right)v-g\left(u,v\right)u$ ；

(C₃) $\exists x_0>0$ 使得 $f\left(1,x_0\right)x_0-g\left(1,x_0\right)=0$ ，当 $x\in \left(0,x_0\right)$ 时， $f\left(1,x\right)x-g\left(1,x\right)<0$ 且当 $x\in \left(x_0,+\infty \right)$ ， $f\left(1,x\right)x-g\left(1,x\right)>0$ 。

He和Peng在文献 [1] 中考虑了下述合作的，可能不具有变分结构的方程组

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+\lambda u={\mu }_1{\left|u\right|}^{2p}u+{\beta }_1{\left|v\right|}^{q_1}{\left|u\right|}^{p_1-1}u,x\in \Omega ,\\ -\Delta v+\lambda v={\mu }_2{\left|v\right|}^{2p}v+{\beta }_2{\left|u\right|}^{q_2}{\left|v\right|}^{p_2-1}u,x\in \Omega ,\\ u=v=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$

其中， $\lambda \in \Re ,{\beta }_i>0,{\mu }_i<0,q_i>0,1<p_i+q_i=2p+1\left(i=1,2\right),\Omega \subset {\Re }^N\left(N\ge 1\right)$ 既可以是有界区域也可以是无界区域，并得到了其正解与其所对应的单个方程的正解之间的一个关系。最近，何其涵等考虑了下述椭圆方程组

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=f\left(u,v\right),x\in \Omega ,\\ -\Delta v=g\left(u,v\right),x\in \Omega ,\\ u=v=0,x\in \partial \Omega \end{array}$

并在其非线性项 $f,g$ 满足(C₁) (C₂) (C₃)条件下证明了上述方程组的解与其所对应的单个方程的解之间的一个对应关系以及应用此对应关系和其所对应的单个方程的解的情况来得到方程组的解的非存在性、存在性和唯一性 [2] 。但是，关于分数阶方程组的类似于 [2] 的结果仍没有。因此，我们想研究分数阶方程组(1.1)的解与其所对应的单个分数阶方程的解之间的一个对应关系。

2. 主要结果及其证明

我们可以得出关于解的存在性的结论：

定理1. 若假设(C₁) (C₂)成立，则 $\left(u_0,x_0{u}_0\right)$ 一定是分数阶方程组(1.1)的一个非零解。

证明：假设(C₁)成立，那么不妨假设问题(1.2)有一个非零解 $u_0$ 。即 $u_0$ 满足方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{s}u=f\left(u,x_{0}u\right),x\in \Omega ,\\ u=0,x\in {\Re }^N\backslash \Omega \end{array}$

又因为(C₂)成立，所以 $\frac{F\left(u_0,x_0{u}_0\right)}{u_0{x}_0}=\frac{u^p\left(F\left(1,x_0\right)\right)}{u_0{x}_0}=0$ 从而， ${\left(-\Delta \right)}^s{u}_0=\frac{g\left(u_0,x_0{u}_0\right)}{x_0},x\in \Omega$ 。这说明 $v_0=x_0{u}_0$ 是问题 $\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{s}v=g\left(u_0,v\right),x\in \Omega ,\\ v=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ 的一个非零解。因此， $\left(u_0,v_0\right):=\left(u_0,x_0{u}_0\right)$ 是分数阶方程组(1.1)的一个非零解。

定理1告诉我们：若分数阶方程(1.2)存在非零解，则分数阶方程组(1.1)也必定有一个解。但是，下面定理却告诉我们：如果分数阶方程组(1.1)有一个正解，则分数阶方程(1.2)也一定存在一个正解，从而得到它们的正解之间的一个一一对应关系。

定理2. 若(C₂) (C₃)成立，那么分数阶方程组(1.1)的每一个正的经典解 $\left(u_0,v_0\right)$ 一定满足： $\frac{v_0}{u_0}=x_0$ 。因

此，在此情况下， $u_0$ 就是单个分数阶方程问题(1.2)的一个正解。

证明：假设 $\left(u_0,v_0\right)$ 是分数阶方程组(1.1)的一个正的经典向量解。令 $\left(u,v\right):=\left(u_0,\frac{1}{x_0}{v}_0\right)$ ，其中， $x_0$ 是

方程 $f\left(1,x\right)x-g\left(1,x\right)=0$ 的唯一正根。那么， $\left(u,v\right)$ 是以下分数阶方程组

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{s}u=f\left(u,x_{0}v\right),x\in \Omega ,\\ {\left(-\Delta \right)}^{s}v=\frac{1}{x_0}g\left(u,x_{0}v\right),x\in \Omega ,\\ u=v=0,x\in {\Re }^N\backslash \Omega ,\end{array}$ (2.1)

的一个正的经典解。记 ${\Omega }_{+}:=\left\{x\in \Omega :u\left(x\right)>v\left(x\right)\right\}$ ， ${\Omega }_{-}:=\left\{x\in \Omega :u\left(x\right)<v\left(x\right)\right\}$ ，那么区域 ${\Omega }_{+}$ 和 ${\Omega }_{-}$ 显然是 $C^{\text{1}}$ 光滑的。(2.1)中的一式乘v，二式乘u，在区域 ${\Omega }_{+}$ 上进行积分并相减，可以得到

${\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}\left[{\left(-\Delta \right)}^{s}u\cdot v-{\left(-\Delta \right)}^{s}v\cdot u\right]\text{d}x}=\frac{1}{x_0}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{u}^{p+1}\left(f\left(1,x_0\frac{v}{u}\right)x_0\frac{v}{u}-g\left(1,x_0\frac{v}{u}\right)\right)\text{d}x}$ (2.2)

由 ${\left(-\Delta \right)}^s$ ， ${\Omega }_{+}$ 和 ${\Omega }_{-}$ 的定义有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}\left[{\left(-\Delta \right)}^{s}u\cdot v-{\left(-\Delta \right)}^{s}v\cdot u\right]\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Re }^N}\frac{u\left(x\right)-u\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\cdot v\left(x\right)\text{d}x}}-{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Re }^N}\frac{v\left(x\right)-v\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\cdot u\left(x\right)\text{d}x}}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Re }^N}\frac{u\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(y\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}-{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Re }^N}\frac{v\left(x\right)u\left(x\right)-v\left(y\right)u\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Re }^N}\frac{u\left(x\right)v\left(y\right)-u\left(y\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}\cup {\Omega }_{-}}\frac{u\left(x\right)v\left(y\right)-u\left(y\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}\end{array}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}\cup {\Omega }_{-}}\frac{\left(u\left(x\right)-v\left(x\right)\right)v\left(y\right)+\left(v\left(y\right)-u\left(y\right)\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}\frac{\left(u\left(x\right)-v\left(x\right)\right)v\left(y\right)+\left(v\left(y\right)-u\left(y\right)\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}\\ +{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{-}}\frac{\left(u\left(x\right)-v\left(x\right)\right)v\left(y\right)+\left(v\left(y\right)-u\left(y\right)\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}\frac{\left(u\left(x\right)-v\left(x\right)\right)v\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}+{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}\frac{\left(v\left(y\right)-u\left(y\right)\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}\\ +{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{-}}\frac{\left(u\left(x\right)-v\left(x\right)\right)v\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}+{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{-}}\frac{\left(v\left(y\right)-u\left(y\right)\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}\end{array}$ (2.3)

由富比尼定理，我们可以得到

${\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}\frac{\left(u\left(x\right)-v\left(x\right)\right)v\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}+{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}\frac{\left(v\left(y\right)-u\left(y\right)\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}=0}$ (2.4)

且有

${\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{-}}\frac{\left(u\left(x\right)-v\left(x\right)\right)v\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}+{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{-}}\frac{\left(v\left(y\right)-u\left(y\right)\right)v\left(x\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y\text{d}x}}>0$ (2.5)

所以由(2.2)~(2.5)得到

$\frac{1}{x_0}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{u}^{p+1}\left(f\left(1,x_0\frac{v}{u}\right)x_0\frac{v}{u}-g\left(1,x_0\frac{v}{u}\right)\right)\text{d}x}>0$ (2.6)

由条件(C₃)， ${\Omega }_{+}$ 的定义以及 $u,v$ 的正性，我们得到：对于任意的 $x\in {\Omega }_{+}$ ，都有

$\frac{1}{x_0}{u}^{p+1}\left(f\left(1,x_0\frac{v}{u}\right)x_0\frac{v}{u}-g\left(1,x_0\frac{v}{u}\right)\right)<0$

因此，

$\frac{1}{x_0}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{+}}{u}^{p+1}\left(f\left(1,x_0\frac{v}{u}\right)x_0\frac{v}{u}-g\left(1,x_0\frac{v}{u}\right)\right)\text{d}x}<0$

这与(2.6)矛盾。因此，可以推出 ${\Omega }_{+}=\Phi$ 。

类似地，在区域 ${\Omega }_{-}$ 上重复上面的过程可以推出 ${\Omega }_{+}=\Phi$ 。

因此， $u=v$ 证毕。

致谢

感谢国家自然科学基金和广西自然科学基金的支持(国家自科基金号：11701107，广西自科基金号：2017GXNSFBA198190)。

NOTES

^*通讯作者。