1. 前言
在20世纪70年代,W. Nowacki在他的论文 [1] 中给出了一维空间中热扩散的微分方程,参考文献中的许多论文研究了这一系统。例如, [2] 和 [3] 利用不同的参数研究了热扩散线性系统的初边界值问题。通过 [4] 得到了相关线性柯西问题解的
时间衰减估计。然而,在本文中,我们考虑了三维热扩散的微分方程,并研究了系统解的空间衰减估计。实际上,很多文献都是关于各种微分方程系统的空间衰减估计问题,为了查阅关于圣维南原理的这类工作,可以参考 [5] - [13] 以及其中引用的论文。
我们假设瞬态流体占据了边界
的半无限圆柱管R的内部。管道的截面用D表示,截面的边界用
表示,管道R平行于
轴。我们定义:
其中z是沿
轴的变量。显然,
和
。设
、T和C分别表示位移、温度和化学势为独立场。这些依赖于空间变量
和时间变量t,并满足以下方程组:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
在初始边界条件下
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
在方程(1.1)~(1.3)中,
是拉普拉斯算子;
表示密度;
和
是热和扩散扩张的系数;
和
是材料系数;K是导热系数;M是扩散系数。
是热扩散的系数。以上常数均为正,满足
(1.8)
这意味着(1.1)~(1.3)是一个偏微分方程组的双曲分解系统。在下面的几节中,我们可以使用下面的不等式。设D为带t的平面域D,他的边界为
。如果w在
上等于0,那么
(1.9)
其中
是问题的最小特征值
这种不平等现象已经得到了很好的研究(见 [14] [15])。在本文中,通常的求和约定是使用重复的拉丁下标从1到3,并重复希腊字母下标从1到2。逗号用来表示部分区分,例如:
2. 能量衰减
在这一部分中,我们导出了问题(1.3)~(1.6)的主要指数衰减结果。应用方程(1.1)和(1.4)~(1.6),得到
(2.1)
我们用T乘以(1.2),并积分得
(2.2)
以同样的方式,我们也可得
(2.3)
现在,我们定义一个函数
(2.4)
然后得
(2.5)
很明显,(2.5)的最后一项是正的,因为
。从(2.1)~(2.3)开始,我们有
(2.6)
利用Schwarz,Poincar’e定理,以及AG的平均不等式,我们得到了
(2.7)
和
(2.8)
还有
(2.9)
利用Schwarz定理,(1.9)和AG平均不等式,我们得到了
(2.10)
将(2.7)~(2.10)代入(2.6),我们有
(2.11)
其中
(2.12)
我们可以知道,(2.11)得出的结论是:
(2.13)
不等式(2.13)就是我们所寻求的空间衰减结果。
3. 总能量E(0, t)的边界
为了使我们的衰变结果在第3节中明确化,我们根据已知的数据导出了
的界。首先,我们将等式(2.4)和(2.6)代入
的时候,即,
(3.1)
为了得到
的界,我们现在介绍函数
(3.2)
其中和是待定的正常数。所以,我们可得
(3.3)
根据散度定理可知
(3.4)
由Schwarz的不等式和AG的平均不等式,从(3.4)我们得到了
(3.5)
对于。挑选,,,,,,,,,,,,,,,,,结合(3.1)和(3.5),我们有
(3.6)
因此,
(3.7)
其中
(3.8)
回顾(3.2)中和的定义,我们得出结论,我们通过选择适当的和,的界,不等式(2.13)就可以明确表示。
基金项目
广东大学生攀登计划(pdjh2019b0335)。