关于序列投资模型中的一个强极限定理

A Limiting Theorem in the Successive Investment Market of Modeling

摘要: 本文给出渐近样本相对熵的概念作为任意投资序列联合分布与其边缘分布之间不相似性的度量，利用Borel-Cantelli引理，得到了一般市场条件下序列投资模型的一个强极限定理。

Abstract: In this paper, we use the notion of asymptotic sampling relative entropy as the dissimilarity be-tween the true distribution of investment market and their margins. Furthermore, by using Boreel-Cantelli lemma, a strong limiting theorem for successive investment under general market condition is obtained.

1. 引言

最优投资组合的理论和算法是数理金融学中的一个重要问题，从马科维茨(H. Markowitz) [1] 提出的投资组合理论至今已有半个多世纪，然而关于最优投资组合的研究依然方兴未艾，众多学者从多方面、多层次地推广了马科维茨的模型 [2] [3]，近年来，叶中行 [4] [5] 等研究了一般市场条件下投资组合的增长率以及log-最优投资组合的极限定理。本文在此基础上利用渐近样本相对熵 [6]，研究了更一般的情况下序列投资组合的极限定理。

假设市场上有m种股票可供投资，投资者的初始财富为单位资金,他每次都将经上期末所得财富全部投资于下一个周期.在第n个周期中，m种股票的收益向量为 ${\xi }_n={\left({\xi }_{n1},\cdots ,{\xi }_{nm}\right)}^{\text{T}}$，其中 ${\xi }_{nj}$ 为第n个周期第j种股票的收益。在第n个周期中，投资者采取的投资组合向量为 ${\omega }_n={\left({\omega }_{n1},\cdots ,{\omega }_{nm}\right)}^{\text{T}}$，其中 ${\omega }_{nj}$ 表示在第

n个周期中分配在第j种股票上的资金比例，满足 ${\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\omega }_n}=1$， ${\omega }_{nj}\ge 0,j=1,\cdots ,m$，表示不允许卖空那么，

投资者在第n个周期末的累积资金为

$S_n:={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}\left({\omega }_k^{\text{T}}{\xi }_n\right)}$ (1.1)

累积收益率为 $\log S_n$，其中 ${\omega }_k^{\text{T}}{\xi }_n={\displaystyle {\sum }_{j=1}^m{\omega }_{kj}{\xi }_{kj}}$。

设收益向量序列 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n$ 的联合概率函数为 $p_n\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)$，其边缘概率函数为 $p_k\left({\xi }_k\right),k=1,\cdots ,n$。为了刻画其联合分布与其边缘乘积分布之间的差异，受文献 [7] 的启发，我们引入：

定义1 设 $\left\{a_n,n\ge 1\right\}$ 为一列单调不减的实数列 $a_n\uparrow \infty$，定义似然比：

$r_n\left(\omega \right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{p}_k\left({\xi }_k\right)/p_n\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)}$ (1.2)

称

$r_n\left(\omega \right):=\underset{n}{\lim }\sup \frac{1}{a_n}\log \frac{1}{r_n\left(\omega \right)}$ (1.3)

为渐近样本相对熵。

定义2 设函数为常数，且满足当 $0<v\le u$ 时，有

$C_n\frac{u^{\alpha \left(n\right)}}{v^{\alpha \left(n\right)}}\le \frac{{\phi }_n\left(u\right)}{{\phi }_n\left(v\right)}\le D_n\frac{u^{{\beta }_n}}{v^{{\beta }_n}}$ (1.4)

引理1 设 $\left\{{\text{Λ}}_n\left(\omega \right),n\ge 1\right\}$ 为一列似然函数且满足 $E{\text{Λ}}_n\left(\omega \right)\le C$ ( $C>0$ 是常数)， $\left\{a_n,n\ge 1\right\}$ 为一列单调不减的实数列，且满足对任意的 $\delta >0$，

${{\displaystyle \sum }}^{\text{}}\frac{C}{{\text{e}}^{a_n\delta }}<\infty$ (1.5)

则 $\left\{{\Lambda }_n,n\ge 1\right\}$ 几乎处处收敛，且

$\lim \sup \frac{1}{a_n}{\text{Λ}}_n\left(\omega \right)\le 0\text{a}\text{.s}\text{.}$ (1.6)

证明因为 $\left\{{\text{Λ}}_n\left(\omega \right),n\ge 1\right\}$ 是似然函数，易知 $\left\{{\text{Λ}}_n\left(\omega \right),{\mathcal{F}}_n,n\ge 0\right\}$ 是鞅，其中 ${\mathcal{F}}_n,n\ge 0$ 是自然 $\sigma$ 代数流。注意到 $E{\text{Λ}}_n\left(\omega \right)\le C$，由鞅收敛定理知： $\left\{{\text{Λ}}_n\left(\omega \right),n\ge 1\right\}$ 几乎处处收敛。又，对 $\forall \delta >0$ 由切比雪夫不等式有

${\displaystyle \sum P\left\{\frac{1}{a_n}\log {\Lambda }_n\left(\omega \right)>\delta \right\}}\le {{\displaystyle \sum }}^{\text{}}\frac{C}{{\text{e}}^{a_n\delta }}<\infty$

由Borel-Cantelli引理可得(1.6)成立。

2. 主要结论及证明

定理 设 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots$ 为连续投资于m种股票的收益向量序列， ${\omega }_1,{\omega }_2,\cdots$ 为投资组合向量序列，设 $\left\{a_n,n\ge 1\right\}$ 是一列正的实数列，且满足(1.5)。令

$\mathcal{H}:=\left\{\omega :0<r\left(\omega \right)<+\infty \right\}$ (2.1)

如果

$D:=\left\{w:{\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_{n}E\frac{{\phi }_n\left(\left|\log w_n^{\text{T}}{\xi }_n\right|\right)}{{\phi }_n\left(a_n\right)}}<\infty \right\}$ (2.2)

其中 $A_n=\max \left(\frac{1}{C_n},D_n\right)$，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{a_n}{\displaystyle {\sum }_{k=1}^n\left\{\log \left(w_k^{\text{T}}{\xi }_k\right)-E\left[\log \left(w_k^{\text{T}}{\xi }_k\right)\right]\right\}}=0\text{a}\text{.s}.\omega \in \mathcal{H}\cap \mathcal{D}$ (2.3)

证明：令

$f_n\left({\xi }_n\right)=\log \left(w_n^{\text{T}}{\xi }_n\right),f_n^{*}\left({\xi }_n\right)=f_n\left({\xi }_n\right)I_{\left[\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|\le a_n\right]}$ (2.4)

其中 $I_{[\cdot ]}$ 为示性函数。

当 $\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|\ge a_n$，有

$\frac{\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|}{a_n}\le \frac{{\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|}^{{\alpha }_n}}{a_n}\le A_n\frac{{\phi }_n\left(\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|\right)}{{\phi }_n\left(a_n\right)}$ (2.5)

于是

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}P\left[f_n\left({\xi }_n\right)\ne f_n^{*}\left({\xi }_n\right)\right]}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}E{I}_{\left[\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|>a_n\right]}}\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}E\left[\frac{\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|}{a_n}\right]}\\ \le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{A}_{n}E\left[\frac{{\phi }_n\left(\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|\right)}{{\phi }_n\left(a_n\right)}\right]}<\infty ,\omega \in D\end{array}$ (2.6)

由Borel-Cantelli引理

$P\left[f_n\left({\xi }_n\right)\ne f_n^{*}\left({\xi }_n\right),i.o.\right]=0$ (2.7)

所以

$\underset{n=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\frac{f_n\left({\xi }_n\right)-f_n^{*}\left({\xi }_n\right)}{a_n}$ 收敛a.s. (2.8)

因为

$\begin{array}{c}\frac{E{f}_n^{*}\left({\xi }_n\right)-E{f}_n\left({\xi }_n\right)}{a_n}\le \frac{E\left|f_n^{*}\left(X_n\right)-f_n\left({\xi }_n\right)\right|}{a_n}=E\left\{\frac{\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|}{a_n}{I}_{\left[\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|>a_n\right]}\right\}\\ \le E\left\{A_n\frac{{\phi }_n\left(\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|\right)}{{\phi }_n\left(a_n\right)}{I}_{\left[\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|>a_n\right]}\right\}\\ \le A_{n}E\left[\frac{{\phi }_n\left(\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|\right)}{{\phi }_n\left(a_n\right)}\right]<\infty \end{array}$ (2.9)

所以

$\underset{n=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\frac{E{f}_n^{*}\left({\xi }_n\right)-E{f}_n\left({\xi }_n\right)}{a_n}\le \underset{n=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{A}_{n}E\left[\frac{{\phi }_n\left(\left|f_n\left({\xi }_n\right)\right|\right)}{{\phi }_n\left(a_n\right)}\right]<\infty \text{,}\omega \in D$ (2.10)

令 ${\eta }_k=\frac{f_k^{*}\left({\xi }_k\right)-E{f}_k^{*}\left({\xi }_k\right)}{a_k},y_k=\frac{f_k^{*}\left(x_k\right)-E{f}_k^{*}\left(x_k\right)}{a_k}$，易知 $\left|{\eta }_k\right|\le 2$。定义

$g_n\left(x_1,\cdots ,x_n\right):=\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \prod }}}\frac{p_k\left(x_k\right)\exp \left(\lambda y_k\right)}{E\left[\exp \left(\lambda {\eta }_k\right)\right]}\cdot r_n\left(\omega \right)$ (2.11)

易知 $g_n\left(x_1,\cdots ,x_n\right)$ 是概率密度函数。定义随机变量如下：

${\Lambda }_n\left(\omega \right):=\frac{g_n\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)}{p_n\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)}=\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \prod }}}\frac{\exp \left(\lambda {\eta }_k\right)}{E\left[\exp \left(\lambda {\eta }_k\right)\right]}\cdot r_n\left(\omega \right)$ (2.12)

易知 $E{\Lambda }_n\left(\omega \right)=1$，则由引理1有

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\exp \left(\lambda {\displaystyle {\sum }_{k=1}^n{\eta }_k}\right)}{{\displaystyle {\prod }_{k=1}^{n}E\left[\exp \left(\lambda {\eta }_k\right)\right]}}\cdot r_n\left(\omega \right)<\infty \text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{H}$ (2.13)

由不等式 $0\le {\text{e}}^x-1-x\le \frac{x^2}{2}{\text{e}}^{\left|x\right|}\left(x\in R\right)$，并注意到 $E{\eta }_k=0$，有

$\begin{array}{c}0\le \underset{k=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}E\left[\exp \left(\lambda {\eta }_k\right)\right]-1=\underset{k=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\left[\exp \left(\lambda {\eta }_k\right)-1-\lambda {\eta }_k\right]\\ \le \underset{k=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}E\left[\frac{{\lambda }^2{\eta }_k^2}{2}\exp \left(\left|\lambda \right|\cdot \left|{\eta }_k\right|\right)\right]\le \frac{{\lambda }^2}{2}{\text{e}}^{2\left|\lambda \right|}\underset{k=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}E\left[{\eta }_k^2\right]\end{array}$ (2.14)

又

$\begin{array}{c}E\left[{\eta }_k^2\right]=E{\left[\frac{f_k^{*}\left({\xi }_k\right)-E{f}_k^{*}\left({\xi }_k\right)}{a_k}\right]}^2\le E{\left[\frac{f_k^{*}\left({\xi }_k\right)}{a_k}\right]}^2\\ ={\displaystyle {\int }_{\left|f_k\left(x_k\right)\right|\le a_k}\frac{f_k^2\left({\xi }_k\right)}{a_k{}^2}\text{d}{F}_k\left(x_k\right)}\le {\displaystyle {\int }_{\left|f_k\left(x_k\right)\right|\le a_k}\frac{{\left|f_k\left({\xi }_k\right)\right|}^{{\beta }_k}}{a_k{}^{{\beta }_k}}\text{d}{F}_k\left(x_k\right)}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\left|f_k\left(x_k\right)\right|\le a_k}{A}_k\frac{{\phi }_k\left(\left|f_k\left({\xi }_k\right)\right|\right)}{{\phi }_k\left(a_k\right)}\text{d}{F}_k\left(x_k\right)}\le A_{k}E\left[\frac{{\phi }_k\left(\left|f_k\left({\xi }_k\right)\right|\right)}{{\phi }_k\left(a_k\right)}\right]\end{array}$ (2.15)

由(2.2)和(2.14)，(2.15)有

$\underset{k=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}E\left[\exp \left(\lambda {\eta }_k\right)\right]-1<\infty \text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$ (2.16)

从而

$\underset{k=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \prod }}}E\left[\exp \left(\lambda {\eta }_k\right)\right]<\infty \text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$ (2.17)

由(2.13)和(2.17)有

$\underset{n\to \infty }{\lim }\exp \left(\lambda \underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{\eta }_k\right)<\infty \text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$ (2.18)

分别令 $\lambda =\pm 1$ 有

$\underset{n\to \infty }{\lim }\exp \left(\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{\eta }_k\right)<\infty \text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$ (2.19)

$\underset{n\to \infty }{\lim }\exp \left(-\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{\eta }_k\right)<\infty \text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$ (2.20)

于是

$\underset{k=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{\eta }_k=\underset{n=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\frac{f_k^{*}\left({\xi }_k\right)-E{f}_k^{*}\left({\xi }_k\right)}{a_k}<\infty \text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$ (2.21)

由 (2.8)，(2.10)和(2.21)，得

$\underset{n=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\frac{f_n\left({\xi }_n\right)-E{f}_n\left({\xi }_n\right)}{a_n}<\infty \text{a}\text{.s}.\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$ (2.22)

由Kronecker引理知

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{a_n}\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\left\{f_n\left({\xi }_n\right)-E{f}_n\left({\xi }_n\right)\right\}=0\text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$ (2.23)

即

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{a_n}\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\left\{\log \left(w_k^{\text{T}}{\xi }_k\right)-E\left[\log \left(w_k^{\text{T}}{\xi }_k\right)\right]\right\}=0\text{a}\text{.s}\text{.}\omega \in \mathcal{D}\cap \mathcal{H}$。

基金项目

安徽工业大学大学生创新创业项目：信息论与最优投资组合理论的若干问题(s201910360389)。