Cahn-Hilliard-Oono方程在三维空间中的适定性

Well-Posedness of the Cahn-Hilliard-Oono Equation in Three-Dimensional Space

摘要: 考虑Cahn-Hilliard-Oono方程在三维空间中的柯西问题。通过对经典方程添加βu项(β>0)，更好的分析系统的长程相互作用，首先证明了方程在H¹(R³)上是局部可解的，进一步得到解的整体适定性和解半群的耗散性。

Abstract: The Cauchy problem of Cahn-Hilliard-Oono in three-dimensional space is considered. By adding a term βu to the classical equation, we can better analyze the long-range interaction of the system. Firstly, it is proved that the equation is locally solvable on H¹(R³), and then the global well posedness of the solution and the dissipation of the semigroup are obtained.

1. 引言

我们将研究以下方程在 $R^3$ 上的整体适定性：

$\{\begin{array}{l}{u}_t+\beta u=\left(-\Delta +\epsilon I\right)\left(\Delta u-f\left(u\right)\right)\hfill \\ u\left(0,x\right)=u_0\left(x\right)\hfill \end{array}$ (1)

其中 $x\in R^3,\beta \ge 0,t>0,\epsilon >0$ 充分小。后面再给出关于f的假设。

当 $\beta$ 和 $\epsilon$ 都为零时，(1)为经典Cahn-Hilliard方程 [1] (简称CH方程)。特别的，当 $\beta >0$， $\epsilon =\text{0}$ 时，我们称(1)为Cahn-Hilliard-Oono方程(简称CHO方程)，用于描述二元合金诱导反应中超导体的生成。通过引入耗散项，可以简化方程动力行为分析的复杂度。短程作用使系统同质化，另一方面长程作用阻碍了系统形成过大的结构，这种竞争形成了I型超导体(参见 [2] 和 [3] )。

对CH方程的研究结果很多，Cholewa和Dlotko [4] 证明方程在 $\mathcal{H}={\left[H^2\left(\Omega \right)\right]}^m$ 上有耗散半群，同时在其子集上存在全局吸引子。Elliott和郑 [5] 研究了方程局部解的存在性问题。Cholewa和Rodriguezbernal [6] 在全空间H¹上找到全局吸引子。还有关于CH方程及其变形的研究 [7] [8] [9]。

然而对CHO方程的研究相对较少，Miranville [10] 对CHO方程的初边值问题进行了研究，并讨论了在有限维中其吸引子的渐进行为。Giorgini，Grasselli和Miranville [11] 研究了CHO方程在Neumann边界上的情况，证明了方程在二维和三维空间中全局吸引子的存在性。Porta和Grasselli [12] 引入自由能函数，得到了CHO方程在无通量边界条件下的适定性，以及有界吸收集和全局吸引子的存在性。然而在无界区域上的研究很少，Savostianov和Zelik [13] 证明了在三维全空间中，双曲形式CHO方程的能量空间是耗散的，以及方程存在光滑的全局吸引子。

我们对CHO方程进行小范围扰动，使得 $\left(-\Delta +\epsilon I\right)$ 成为可逆算子，利用Cholewa和Dlotko [14] 的扇算子理论，讨论CHO方程的柯西问题。

本文假设：f是 $2p-1$ 次多项式， $a_{2p-1}>0$ 为其首项系数：

$f\left(u\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{2p-1}{a}_i{u}^i},p\in \mathbb{N}$ (2)

其中 $F^{\prime }=f$， $b_{2p}$ 为F首项系数，有 $a_{2p-1}=2p{b}_{2p}$， $p\in \left[2,6\right)$ 且 $p\ne 3$， $f\left(u\right)u\ge 0$。

现给出两个主要结果：

定理1. 在满足本文假设条件下，方程(1)在 $H^1\left(R^3\right)$ 中有局部解，即任取初值 $u_0\in H^1\left(R^3\right)$， $t\in \left(0,{\tau }_0\right)$，都存在唯一的解 $u\left(t\right)\in H^1\left(R^3\right)$，同时满足：

$u\left(t\right)\in \mathcal{C}\left(\left[0,{\tau }_0\right),H^1\right)\cap \mathcal{C}\left(\left(0,{\tau }_0\right),D\left(-{\Delta }^2+\epsilon I\right)\right)$

$u_t\in \mathcal{C}\left(\left(0,{\tau }_0\right),H^{\kappa }\right)$

其中 $\kappa \in \left[0,1\right)$。

定理2. 在满足定理1的条件下，方程(1)在 $H^{\text{1}}\left(R^3\right)$ 中全局可解，任取 $u_0\in H^1\left(R^3\right)$，都存在唯一的解 $u\left(t\right)$，定义与方程(1)对应的半群 $\left\{T\left(t\right)\right\}$ ：

$T\left(t\right)u_0=u\left(t\right),t\in \left[0,+\infty \right)$

本文在第二章利用扇形算子理论证明了方程(1)在 $H^1$ 中有局部解，第三章先给出能量泛函和 $H^1$ 上的先验估计，再证明了方程的整体适定性以及解半群的耗散性。

我们将 ${\Vert u\Vert }_{H^q\left({ℝ}^3\right)}$ 简记为 ${\Vert u\Vert }_{H^q}\left(q>1\right)$，文中的常数C值，按具体需要取值。

2. 预备知识和解的存在性

$X_1$ 为Banach空间，A是扇形算子，且 $Re\left(\delta \left(A\right)\right)>0$，算子 $A^{-\alpha }:X_1\to X_1$，若满足：

$A^{-\alpha }v=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{t}^{\alpha -1}{\text{e}}^{-At}v\text{d}t},\alpha \in \left(0,+\infty \right)$

则称 $A^{-\alpha }$ 为分数幂算子 [14]。

回顾柯西问题：

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{u}+Au=F_1\left(u\right)\hfill \\ u\left(0\right)=u_0\hfill \end{array}$ (3)

在 $X_1^{\alpha }$ 中，对于任意取定的 $\alpha \in \left[0,1\right)$，存在非增函数 $L:\left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$，使得 $F_1$ 为局部Lipschitz连续的。

定义1. 设 $X_1$ 是Banach空间， $A:D\left(A\right)\to X_1$ 是 $X_1$ 中的扇形正算子， $F_1:X_1^{\alpha }\to X_1$ 是局部Lipschitz连续的， $u_0\in X_1^{\alpha }$，对任意时刻 $t\in \left(0,\tau \right)$，方程(3)都成立，同时有： $u\in {\mathcal{C}}^1\left(\left(0,\tau \right),X_1\right)\cap \mathcal{C}\left(\left(0,\tau \right),D\left(A\right)\right)$，则称u是局部 $X_1^{\alpha }$ 解，更进一步，若 $\tau$ 趋于正无穷，则是全局解。

定理3. [14] 在定义1的条件下，若方程(3)在 $X_1^{\alpha }$ 上局部可解，同时 $F_1$ 满足次线性增长条件：

${\Vert F_1\left(u\right)\Vert }_{X_1}\le C\left(1+{\Vert u\Vert }_{X_1^{\alpha }}\right),u\in X_1^{\alpha }$

则方程(3)在 $X_1^{\alpha }$ 上是全局可解的，且可定义解半群：

$S\left(t\right)u_0=u\left(t,u_0\right),t\ge 0.$

下面给出定理1的证明，由假设条件易得，对任意 $u\in ℝ$ ：

$\begin{array}{l}\left|f\left(u\right)\right|\le C+C{\left|u\right|}^{2p-1}\\ \left|f^{\prime }\left(u\right)\right|\le C+C{\left|u\right|}^{2p-2}\end{array}$ (4)

同理有：

$p{b}_{2p}{u}^{2p}-C\le f\left(u\right)u$ (5)

$b_{2p}{u}^{2p}-C\le 2F\left(u\right)\le 3b_{2p}{u}^{2p}+C$ (6)

我们希望相空间等价于 $H^1$，记 $X=H^{\sigma -3}$， $X^{\alpha }=H^1$ ( $\alpha =\frac{4-\sigma }{4}$， $0<\sigma \ll 1$ )，从而 ${\left(-\Delta \right)}^2+\epsilon I$ 是X中的扇形正算子，方程(1)变成以下形式：

$\{\begin{array}{l}{u}_t+\beta u=\left(-{\Delta }^2+\epsilon \Delta \right)u-\left(-\Delta +\epsilon I\right)f\left(u\right)\hfill \\ u\left(0,x\right)=u_0\left(x\right)\hfill \end{array}$ (7)

由局部解定义可知，还需验证非线性项 $\left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(u\right)-\beta u$ 在 $X^{\alpha }$ 上的局部Lipschitz连续性。任取有界集 $B\subset H^1$，同时取 $\varphi ,\psi \in B$，因算子 $\left(\Delta -\epsilon I\right):L^2\to X$ 是线性同构的，可以推出：

$\begin{array}{l}{\Vert \left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(\varphi \right)-\beta \varphi -\left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(\psi \right)+\beta \psi \Vert }_{H^{\sigma -3}}\\ \le {\Vert \left(\Delta -\epsilon I\right)\left(f\left(\varphi \right)-f\left(\psi \right)\right)\Vert }_{H^{\sigma -3}}+\beta {\Vert \varphi -\psi \Vert }_{H^{\sigma -3}}\\ \le C{\Vert \left(f\left(\varphi \right)-f\left(\psi \right)\right)\Vert }_{L^2}+C\beta {\Vert \varphi -\psi \Vert }_{L^2}\end{array}$ (8)

对不等号右边进行估计，存在常数λ：

$f\left(\varphi \right)-f\left(\psi \right)=\left(\varphi -\psi \right)f^{\prime }\left(\lambda \varphi +\left(1-\lambda \right)\psi \right),\left(0<\lambda <1\right)$

容易看到：

${\Vert 1+{\left[\lambda \varphi +\left(1-\lambda \right)\psi \right]}^{2p-2}\Vert }_{L^2}\le 1+C{\Vert \lambda \varphi \Vert }_{L^2}^{2p-2}+C{\Vert \left(1-\lambda \right)\psi \Vert }_{L^2}^{2p-2}\le C$

再利用Hölder不等式：

$\begin{array}{l}{\Vert \left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(\varphi \right)-\beta \varphi -\left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(\psi \right)+\beta \psi \Vert }_{H^{\sigma -3}}\\ \le C{\Vert \varphi -\psi \Vert }_{L^2}{\Vert f^{\prime }\left(\lambda \varphi +\left(1-\lambda \right)\psi \right)\Vert }_{L^2}+C\beta {\Vert \varphi -\psi \Vert }_{L^2}\\ \le C{\Vert \varphi -\psi \Vert }_{L^2}{\Vert 1+{\left[\lambda \varphi +\left(1-\lambda \right)\psi \right]}^{2p-2}\Vert }_{L^2}+C\beta {\Vert \varphi -\psi \Vert }_{L^2}\\ \le C_B{\Vert \varphi -\psi \Vert }_{H^1}\end{array}$ (9)

其中 $H^1\subset L^p\left(p\in \left[2,6\right)\right)$。

由以上结果，定理1证明完毕，同时可以得到柯西积分法则：

$u\left(t\right)={\text{e}}^{-\left(-{\Delta }^2+\epsilon \Delta \right)t}{u}_0+{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{-\left(-{\Delta }^2+\epsilon \Delta \right)\left(t-s\right)}}\left[\left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(u\right)-\beta u\right]\text{d}s,t\in \left(0,{\tau }_0\right)$

3. 整体适定性

以下我们得到解的能量估计，先给出能量泛函：

$\Phi \left(u\left(x,t\right)\right)=\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}F\left(u\right)\text{d}x}$ (10)

定理4. 在本文假设条件下，方程(1)在其存在区间上的解满足：

$u\in \mathcal{C}\left(\left[0,{\tau }_0\right);H^1\right)\cap L^2\left(\left[0,{\tau }_0\right);H^2\right)$

证：对(10)求导，由本文假设条件可知：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}\Phi }{\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left[f\left(u\right)u_t+\nabla u\cdot \nabla u_t\right]\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(-\Delta u+f\left(u\right)\right)u_t\text{d}x}\\ =-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(-\Delta +\epsilon I\right){\left[\Delta u-f\left(u\right)\right]}^2\text{d}x}-\beta {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(f\left(u\right)-\Delta u\right)u\text{d}x}\\ =-{\Vert \nabla \left(\Delta u-f\left(u\right)\right)\Vert }_{L^2}^2-\epsilon {\Vert \Delta u-f\left(u\right)\Vert }_{L^2}^2-\beta {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(u\right)u\text{d}x}-\beta {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\\ \le 0\end{array}$

容易得到：

$\Phi \left(0\right)\ge \Phi \left(t\right)=\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}F\left(u\right)\text{d}x}$ (11)

由(6)，(10)可改写为：

${\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(b_{2p}{u}^{2p}-C\right)\text{d}x}\le {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}F\left(u\right)\text{d}x}\le C\left(u_0\right)$ (12)

我们得到：

$u\in \mathcal{C}\left(\left[0,{\tau }_0\right);H^1\right)$

将(1)与 $u$ 作内积，可以推出：

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }_{L^2}^2=-{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2-\epsilon {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2-\beta {\Vert u\Vert }_{L^2}^2-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(-\Delta +\epsilon I\right)f\left(u\right)u\text{d}x}$ (13)

利用式(5)和(12)，得到上式的最后一项小于常数 $C\left(u_0\right)$。

再利用式(4)以及Hölder不等式：

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\Delta uf\left(u\right)\text{d}x}=-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{f}^{\prime }\left(u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(1+{\left|u\right|}^{2p-2}\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2p-2\cdot \frac{14}{2p-2}}\text{d}x}\right)}^{\frac{2p-2}{14}}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\Vert \nabla u\Vert }^{2\cdot \frac{7}{8-p}}\text{d}x}\right)}^{\frac{8-p}{7}}+C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\\ \le C{\Vert u\Vert }_{L^{14}}^{2p-2}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^{\frac{14}{8-p}}}^2+C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\end{array}$ (14)

由G-N不等式 [16] 和 [17]：

${\Vert u\Vert }_{L^{14}}^{2p-2}\le C{\left[{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{\frac{2}{7}}{\Vert u\Vert }_{L^6}^{\frac{5}{7}}\right]}^{2p-2}\le C{\left[{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{\frac{2}{7}}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{\frac{5}{7}}\right]}^{2p-2}$

${\Vert \nabla u\Vert }_{L^{\frac{14}{8-p}}}^2\le C{\left[{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{\frac{17-3p}{14}}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{\frac{3p-3}{14}}\right]}^2\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{\frac{17-3p}{7}}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{\frac{3p-3}{7}}$

代入式(14)有：

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\Delta uf\left(u\right)\text{d}}x\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{p+1}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{p-1}+C(\; u\; 0\; )$

由Young不等式：

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(u\right)\Delta u\text{d}x}\le C{\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{p+1}\right)}^{\frac{2}{3-p}}+\frac{1}{2}{\left({\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{p-1}\right)}^{\frac{2}{p-1}}+C\left(u_0\right)\le \frac{1}{2}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+C\left(u_0\right)$ (15)

利用Sobolev嵌入定理和Grönwall不等式，得到：

${\Vert u\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_0^t{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\text{d}s}\le C\left(u_0,{\tau }_0\right),t\in \left[0,{\tau }_0\right)$ (16)

有：

$u\in L^2\left(\left[0,{\tau }_0\right);H^2\right)$

到此定理4证明完毕。

容易看出，在空间 $H^1$ 上u的能量估计对时间而言是一致的，我们可以把局部 $H^1$ 解延展成为全局解。由定理3，我们还要验证 $\left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(u\right)-\beta u$ 的次线性性质。类似于(9)：

${\Vert \left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(u\right)-\beta u\Vert }_{H^{\sigma -3}}\le C{\Vert f\left(u\right)\Vert }_{L^2}+C\beta {\Vert u\Vert }_{L^2}\le C{\Vert u\Vert }_{L^2}{\Vert 1+{\left|\lambda u\right|}^{2p-2}\Vert }_{L^2}$ $+C\beta {\Vert u\Vert }_{L^2}\le C\left(u_0\right){\Vert u\Vert }_{H^1},\forall u\in H^1$

因此，定理2证明完毕。

我们将说明以下式子是方程(1)的Lyapunov函数，更准确来说： $L\left(t\right):H^1\to R$ 有：

$L\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}F\left(u\right)\text{d}x}$ (17)

取合适的常数 $C_1,C_2>0$，有：

${\Vert m\Vert }_{H^1}\le C_{1}L\left(m\right)+C_2$ (18)

已经证到方程(1)全局解的存在性，则下面的估计成立：

${\Vert u\left(t\right)\Vert }_{H^1}\le C_{1}L\left(u\left(t\right)\right)+C_2\le C_{1}L\left(u_0\right)+C_2$

更进一步， $L\left(u\left(t\right)\right)$ 关于时间t是非增的：

$\begin{array}{l}L\left(u\left(t_2\right)\right)-L\left(u\left(t_1\right)\right)\\ =-{\Vert \nabla \left(\Delta u-f\left(u\right)\right)\Vert }_{L^2}^2-\epsilon {\Vert \Delta u-f\left(u\right)\Vert }_{L^2}^2-\beta {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(u\right)u\text{d}x}-\beta {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\\ \le L\left(u_0\right)+C\end{array}$

其中 $t_2\ge t_1\ge 0$， $u_0\in H^1$，同时可以看到：若 $L\left(T\left(t\right)u\right)$ 为常数，由上式可知， $u_t=0$，因此 $T\left(t\right)u=u$。综上：

推论1. 1) L下有界，在 $H^1$ 上是连续；2) 对任意 $\nu \in H^1,t\ge 0$，若 $L\left(T\left(t\right)\nu \right)$ 为常数，那么 $\nu$ 是一个不动点；3) 对任意的 $\nu \in H^1$ 函数 $t\in \left(0,+\infty \right)\mapsto L\left(T\left(t\right)\nu \right)\in ℝ$ 是非増的，当 ${\Vert \nu \Vert }_{H^1}\to \infty$ 时，有 $L\left(\nu \right)\to \infty$。

下面我们讨论方程(1)的定常解。容易得到 $\left\{T\left(t\right)\right\}$ 有界集其轨道是有界的：

定理5. 在定理3的条件下，存在常数 $r>0$，有界集 $B\subset H^1,t\ge T_{1B}$，存在 $T_{1}B=T_1\left(B\right)$，有

${\Vert T_1\left(t\right)B\Vert }_{H^2}\le r,r>0$

记 $\omega$ 是方程的一个弱解， $X\in R^N$，有：

$\left(-{\Delta }^2+\epsilon \Delta \right)\omega -\left(-\Delta +\epsilon I\right)f\left(x,\omega \right)-\beta \omega =0$

将上式与 $\omega$ 做内积，类似于式(13)，得到：

${\Vert \Delta \omega \Vert }_{L^2}^2+\epsilon {\Vert \nabla \omega \Vert }_{L^2}^2+\beta {\Vert \omega \Vert }_{L^2}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left(\Delta -\epsilon I\right)f\left(x,\omega \right)\omega \text{d}x}\le C$

定理6. [18] 设Y为度量空间， $S_1\left(t\right)$ 是Y上的梯度函数，对任意的有界集 $B_1\subset Y$，存在t，使得 ${\gamma }_{B_1}^{+}={\displaystyle {\cup }_{t\ge 0}{S}_1\left(t\right)B_1}$ 是有界的，定常解集合 $\mathcal{E}=\left\{\eta \in Y|S_1\eta =\eta ,\forall t\ge 0\right\}$ 是有界的当且仅当 $S_1\left(t\right)$ 是点耗散的。

可以看到，式(17)是方程(1)的一个Lyapunov函数，而且方程在 $H^1$ 上的定常解集合是有界的，根据Raugel的研究，(1)能够在 $H^1$ 上生成一个梯度系统 [18]。同时我们已经证明了方程在 $H^1$ 上的整体适定性，由定理6可知，定常解集合其有界性，保证了全局解对应的半群在 $H^1$ 上是点耗散的。