长区间上欧拉函数相关的均值问题

The Average of the Functions Associated Euler Function in Long Intervals

摘要: 设φ(n)为欧拉函数，本文将应用Selberg-Delange方法研究φ(n)及g(n)=φ(n)/n的均值问题并得到了一个较好的主项。

Abstract: Let φ(n) be the Euler function. In this paper, we use Selberg-Delange method to study the average behavior of φ(n) and g(n)=φ(n)/n and get a better main term.

1. 引言和主要结果

若自然数 $n\ge 1$，欧拉函数 $\phi \left(n\right)$ 表示不超过 $n$ 且和 $n$ 互素的正整数的个数。众所周知

${\displaystyle \underset{d|n}{\sum }\phi \left(d\right)}=n$，

由Mӧbius变换有

$\phi \left(n\right)={\displaystyle \underset{d|n}{\sum }\mu \left(d\right)}\frac{n}{d}$，

由此 $\phi \left(n\right)$ 也可以表示为遍历 $n$ 的不同素因子的乘积的形式，即

$\phi \left(n\right)=n{\displaystyle \underset{p|n}{\prod }\left(1-\frac{1}{p}\right)}$.

我们记

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }\phi \left(n\right)}=M\left(x\right)+R\left(x\right)$.

Dirichlet证明了对于任意的 $\epsilon >0$，

$M\left(x\right)=\frac{x^2}{2\zeta \left(2\right)},R\left(x\right)=O\left(x^{1+\epsilon }\right).$

1874年，F. Mertens [1] 进一步得出以下结论：

$R\left(x\right)=O\left(x\log x\right)$.

我们在很多数论相关的书里可见到该结论的证明(例 [2]，定理330)。1963年，Walfisz [3] 改进了余项：

$R\left(x\right)=O\left(x{\log }^{\frac{2}{3}}x{\left(\log \log x\right)}^{\frac{4}{3}}\right)$.

若令 $g\left(n\right)=\frac{\phi \left(n\right)}{n}$，可以得到：

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }g\left(n\right)}=J\left(x\right)+E\left(x\right)$，

其中 $J\left(x\right)=\frac{x}{\zeta \left(2\right)}$， $E\left(x\right)\ll \log x$。1987年，Montgomery [4] 明确给出了 $R\left(x\right)$ 和 $E\left(x\right)$ 的关系，即

$R_0\left(x\right)=\frac{R\left(x\right)}{x}+O\left(\exp \left(-c\sqrt{\log x}\right)\right)$，

其中 $c>0$ 是绝对常数。这改进了Pillai和Chowla [5] 以及Erdös和Shapiro [6] 先前的结果。

本文利用Selberg-Delange方法研究 $g\left(n\right)$ 和 $\phi \left(n\right)$ 在长区间上的均值问题，并得到了较好的主项，结果如下：

定理1 $\mathcal{D}\left(s\right):={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{g\left(n\right)}{n^s}}$ 和 $\mathcal{F}\left(s\right):={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\phi \left(n\right)}{n^s}}$ 是 $\mathcal{P}\left(z;c_0,\delta ,M\right)$ 型Dirichlet级数( $\mathcal{P}$ 型级数的定义参见第二部分)。对 $x\ge 3$， $N\ge 0$， $A>0$， $\left|z\right|\le A$ 有

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }g\left(n\right)}=x\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(z\right)}{{\left(\log x\right)}^k}}+O\left(M{\left(\frac{c_{6}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}\right)\right\}$ (1)

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }\phi \left(n\right)}=x^2\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(z\right)}{{\left(\log x\right)}^k}}+O\left(M{\left(\frac{c_{7}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}\right)\right\}$ (2)

其中正常数 $c_6$， $c_7$ 以及 $O$ 符号中的隐含常数至多依赖于 $c$， $\delta$ 和 $A$。

基于对式(1)，(2)主项的观察可以发现，本文结果的主项较 $J\left(x\right)$ 和 $M\left(x\right)$ 更为精细，它是关于 $1/\log x$ 的 $N$ 次多项式，而 $N$ 可取任意自然数。

2. 预备知识

符号说明： $A\ge 0$， $M>0$， $c>0$， $0<\delta \le 1$ 是一些常数， $\epsilon$ 是任意小的正常数， $s=\sigma +i\tau$， $\sigma ,\tau$ 为实数， $\phi \left(n\right)$ 为欧拉函数， $\Gamma \left(s\right)$ 为伽马函数， $\zeta \left(s\right)$ 是Riemann Zeta函数。

由de la Vallée-Poussin [7]，存在正常数 $c$，使得 $\zeta \left(s\right)$ 的非零区域 ${\mathcal{K}}^{\prime }$ 为

$\sigma \ge 1-c/\left(1+{\log }^{+}\left|\tau \right|\right)$，

其中 ${\log }^{+}\left|\tau \right|=\max \left\{0,\log \tau \right\}$，我们用 $\mathcal{K}$ 表示区域 ${\mathcal{K}}^{\prime }$ 除去实线段 $\left[1-c,1\right]$ 后得到的单连通区域。

定义1 设 $z\in ℂ$， $c>0$， $0<\delta \le 1$， $M>1$， $f\left(n\right)$ 是一个数论函数，其对应的Dirichlet级数为

$\mathcal{F}\left(s\right):={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{f\left(n\right)}{n^s}}$.

若Dirichlet级数

$G\left(s,z\right):=\mathcal{F}\left(s\right)\zeta {\left(s\right)}^{-z}$

在 ${\mathcal{K}}^{\prime }$ 上可延拓为全纯函数且在其上满足上界估计

$\left|G\left(s,z\right)\right|\le M{\left(1+\left|\tau \right|\right)}^{1-\delta }$，

则称级数 $\mathcal{F}\left(s\right)$ 具有性质 $\mathcal{P}\left(z;c,\delta ,M\right)$。

在 $G\left(s;z\right)$ 的全纯区域中，其 $k$ 阶偏导为

$G^{\left(k\right)}\left(s;z\right)=\frac{{\partial }^k}{\partial s^k}G\left(s;z\right)$，

及

${\lambda }_k\left(z\right):=\frac{1}{\Gamma \left(z-k\right)}{\displaystyle \underset{h+j=k}{\sum }\frac{1}{h!l!}}{G}^{\left(h\right)}\left(1;z\right){\gamma }_j\left(z\right)$.

考虑到 $\phi \left(n\right)$ 和 $g\left(n\right)$ 对应的Dirichlet级数与 $\zeta \left(s\right)$ 的关系， $s=1$ 是 $\zeta \left(s\right)$ 的一阶极点，定义函数

$Z\left(s;z\right):=\frac{{\left\{\left(s-1\right)\zeta \left(s\right)\right\}}^z}{s}$，

我们有

引理1 函数 $Z\left(s;z\right)$ 在圆盘 $\left|s-1\right|<1$ 上全纯，具有Taylor展式

$Z\left(s;z\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{j!}}{\gamma }_j\left(z\right){\left(s-1\right)}^j$ (3)

其中 ${\gamma }_j\left(z\right)$ 是 $z$ 的整函数，对任意的 $A>0$， $\epsilon >0$ 满足上界估计

$\frac{1}{j!}{\gamma }_j\left(z\right){\ll }_{A,\epsilon }{\left(1+\epsilon \right)}^j\left(\left|z\right|\le A\right).$ (4)

证明：参见 [8] 中定理II.5.1。

引理2 存在正常数 $c$，使得对 $\left|\tau \right|>3$ 及 $\sigma \ge 1-c/\log \left|\tau \right|$ 有

$\left|\log \zeta \left(s\right)\right|\le \log \log \left|\tau \right|+O\left(1\right)$.

证明：参见 [8] 中定理II.3.16。

引理3 设 $\mathcal{H}$ 为Hankel围道，对每个 $X>1$，令 $\mathcal{H}\left(X\right)$ 为Hankel围道在半平面 $\sigma >-X$ 的部分，那么对 $z\in ℂ$ 一致地有

$\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{H}\left(X\right)}{s}^{-z}}{e}^s\text{d}s=\frac{1}{\Gamma \left(z\right)}+O\left({47}^{\left|z\right|}\Gamma \left(1+\left|z\right|\right){\text{e}}^{-\frac{X}{2}}\right).$

证明：参见 [8] 中推论II.5.2.1。

3. 定理的证明

由欧拉函数 $\phi \left(n\right)$ 是乘性函数(见 [9] )，有

$\begin{array}{c}\mathcal{F}\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\phi \left(n\right)}{n^s}}={\displaystyle \underset{p}{\prod }\left(1-\frac{1}{p^s}\right)}\left(1+\frac{1}{p^{s-1}}+\frac{1}{p^{2\left(s-1\right)}}+\cdots \right)\\ =\frac{\zeta \left(s-1\right)}{\zeta (s)}\left(\sigma >2\right).\end{array}$

同理可得

$\mathcal{D}\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{g\left(n\right)}{n^s}}=\frac{\zeta \left(s\right)}{\zeta \left(s+1\right)}\left(\sigma >1\right).$

我们先证明定理中的式(1)。

$\mathcal{D}\left(s\right)=\zeta \left(s\right)G\left(s;z\right)$ 在区域 $\mathcal{K}$ 内全纯，且 $G\left(s;z\right)=\frac{1}{\zeta \left(s+1\right)}$，由于

$\frac{\sigma -1}{\sigma }\le \left|\zeta \left(s\right)\right|\le \frac{\sigma }{\sigma -1}\left(\sigma >1\right)$，

我们有

$\left|G\left(s;z\right)\right|=\left|\frac{1}{\zeta \left(s+1\right)}\right|\le \frac{\sigma +1}{\sigma }\le M{\left(1+\left|\tau \right|\right)}^{1-\delta }\left(s\in \mathcal{K}\right).$ (5)

从而级数 $\mathcal{D}\left(s\right)$ 具有性质 $\mathcal{P}\left(z;c,\delta ,M\right)$。

在 $s\in \mathcal{K}$ 上有解析延拓

$\zeta {\left(s\right)}^z=sZ\left(s,z\right){\left(s-1\right)}^{-z}$.

取 $z=1$，我们有

$\zeta \left(s\right)=sZ\left(s;1\right){\left(s-1\right)}^{-1}$.

另外由引理2的上界估计可得，对任意常数 $A>0$，有

$\zeta \left(s\right){\ll }_A{\left(1+{\log }^{+}\left|\tau \right|\right)}^A\left(\left|z\right|\le A,s\in \mathcal{K},\left|s-1\right|\gg 1\right)$，(6)

由(5)和(6)知对 $\left|z\right|\le A$， $s\in \mathcal{K}$， $\left|s-1\right|\gg 1$ 一致地有

$\mathcal{D}\left(s\right)\ll M{\left(1+{\log }^{+}\left|\tau \right|\right)}^A{\left(1+\left|\tau \right|\right)}^{1-\delta }{\ll }_{A,\delta }M{\left(1+\left|\tau \right|\right)}^{1-\frac{\delta }{2}}$. (7)

令 $A\left(x\right):={\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }g\left(n\right)}$，由Perron公式有

${\displaystyle {\int }_0^{x}A\left(t\right)}\text{d}t=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }\mathcal{D}\left(s\right)}{x}^{s+1}\frac{\text{d}s}{s\left(s+1\right)}$，

其中 $\kappa =1+\frac{1}{\log x}$。取 $T>1$ 为待定参数，令 $\Gamma$ 是包括以下三部分的Hankel围道：

1) 以 $s=1$ 为圆心， $r=1/\left(2\log x\right)$ 为半径，并且除去点 $s=1-r$ 的圆，

2) 由 $1-\frac{c}{2}$ 到 $1-r$ 的线段，幅角 $\theta =-\pi$，

3) 由 $1-r$ 到 $1-\frac{c}{2}$ 的线段，幅角 $\theta =\pi$。

$\sigma \left(\tau \right)$ 是 $0\le \tau \le T$ 及 $-T\le \tau \le 0$ 上的曲线 $\sigma \left(\tau \right):=1-\frac{1}{2}c/\left(1+{\log }^{+}\left|\tau \right|\right)$。由留数定理，可将积分线段 $\left[\kappa -iT,\kappa +iT\right]$ 转化成

$\Gamma \cup \sigma \left(\tau \right)\cup \left[\sigma \left(T\right)\pm iT,\kappa \pm iT\right]$.

我们利用(7)可算得 $\left[\kappa \pm iT,\kappa \pm i\infty \right]$ 及 $\left[\sigma \left(\tau \right)\pm iT,\kappa \pm iT\right]$ 上的贡献 ${\ll }_{A,\delta }M{x}^2{T}^{-\frac{\delta }{2}}$。事实上，

$\begin{array}{c}{I}_1:=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\kappa +iT}^{\kappa +i\infty }\mathcal{D}\left(s\right)x^{s+1}\frac{\text{d}s}{s\left(s+1\right)}}\\ {\ll }_{A,\delta }{{\displaystyle \int }}_T^{\infty }M{\left(1+\left|\tau \right|\right)}^{1-\frac{\delta }{2}}{x}^{1+\kappa }\frac{\text{d}\tau }{\left|\kappa +i\tau \right|\left|\kappa +1+i\tau \right|}\\ {\ll }_{A,\delta }M{x}^2{T}^{-\frac{\delta }{2}},\end{array}$

$\begin{array}{c}{I}_2:=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\sigma \left(T\right)+iT}^{\kappa +iT}\mathcal{D}\left(s\right)x^{s+1}\frac{\text{d}s}{s\left(s+1\right)}}\\ {\ll }_{A,\delta }{\displaystyle {\int }_{\sigma (T)}^{\kappa }M{\left(1+\left|\tau \right|\right)}^{1-\frac{\delta }{2}}{x}^{\sigma +1}\frac{\text{d}\sigma }{\left|\sigma +iT\right|\left|\sigma +1+iT\right|}}\\ {\ll }_{A,\delta }M{T}^{-1-\frac{\delta }{2}}{x}^2.\end{array}$

下面计算曲线 $\sigma =\sigma \left(\tau \right)$ 的贡献，

$\begin{array}{c}{I}_3:=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\sigma (\tau )+i\tau }\mathcal{D}\left(s\right)x^{s+1}\frac{\text{d}s}{s\left(s+1\right)}}\\ {\ll }_{A,\delta }M{\displaystyle {\int }_{\sigma (\tau )+i\tau }{\left(1+\left|\tau \right|\right)}^{1-\frac{\delta }{2}}}{x}^{\sigma (T)+1}\frac{\text{d}\tau }{{\tau }^2}\\ {\ll }_{A,\delta }M{x}^{\sigma (T)+1}{\displaystyle {\int }_0^T{\tau }^{1-\frac{\delta }{2}}}\frac{\text{d}\tau }{{\tau }^2}\\ {\ll }_{A,\delta }M{x}^2{T}^{-\frac{\delta }{2}},\end{array}$

取 $T=\exp \left(\sqrt{c{\delta }^{-1}\log x}\right)$，则对 $x\ge x_0$ 有

$T^{-\frac{\delta }{2}}=\exp \left(-\sqrt{\frac{c\delta }{4}}\sqrt{\log x}\right)=\exp \left(-c_1\sqrt{\log x}\right)$，

综上所述有

$I_1+I_2+I_3{\ll }_{A,\delta }M{x}^2\exp \left(-c_1\sqrt{\log x}\right)$，

于是

${\displaystyle {\int }_0^{x}A\left(t\right)\text{d}t}=\Phi \left(x\right)+O_{A,\delta }\left(M{x}^2{\text{e}}^{-c_1\sqrt{\log x}}\right)$，

其中

$\Phi \left(x\right):=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }\mathcal{D}}\left(s\right)x^{s+1}\frac{\text{d}s}{s\left(s+1\right)}.$

易知道 $\Phi \left(x\right)$ 是 ${ℝ}^{+}$ 上关于 $x$ 的无穷阶可微函数，我们有

${\Phi }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }\mathcal{D}}\left(s\right)\frac{x^s}{s}\text{d}s$，

对 $s\in \mathcal{K}$，有

$\mathcal{D}\left(s\right)=sG\left(s;z\right)Z\left(s;z\right){\left(s-1\right)}^{-1}$，

从而由(3)、(4)和(5)得

$\mathcal{D}\left(s\right)\ll M{\left|s-1\right|}^{-A}\left(s\in \Gamma \right).$

当 $s\in \Gamma$ 时， $G\left(s;z\right)Z\left(s;z\right)$ 在 $s=1$ 处有Taylor展式：

$\begin{array}{c}G\left(s;z\right)Z\left(s;z\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{g}_k\left(z\right)}{\left(s-1\right)}^k\\ ={\displaystyle \underset{h=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{G^{\left(h\right)}\left(1;z\right)}{h!}}{\left(s-1\right)}^h{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{r_l\left(z\right)}{l!}}{\left(s-1\right)}^l\\ ={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left({\displaystyle \underset{h+l=k}{\sum }\frac{1}{h!l!}{r}_l\left(z\right)G^{(h)}\left(1;z\right)}\right)}{\left(s-1\right)}^k,\end{array}$

于是

$g_k\left(z\right)={\displaystyle \underset{h+l=k}{\sum }\frac{1}{h!l!}{r}_l\left(z\right)G^{(h)}\left(1;z\right)}=\frac{1}{k!}{\displaystyle \underset{h+l=k}{\sum }\left(\begin{array}{c}k\\ l\end{array}\right)r_l\left(z\right)G^{(h)}\left(1;z\right)}=\Gamma \left(z-k\right){\lambda }_k\left(z\right).$

而 $G\left(s;z\right)Z\left(s;z\right)$ 全纯且在圆盘 $\left|s-1\right|\le c$ 中为 $O\left(M\right)$，由Cauchy公式可得到

$\begin{array}{c}{g}_k\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\left|s-1\right|=c}\frac{G\left(s;z\right)Z\left(s;z\right)}{{\left(s-1\right)}^{k+1}}\text{d}s}\\ \ll {\displaystyle {\oint }_{\left|s-1\right|=c}\frac{M}{{\left|s-1\right|}^{k+1}}}\left|\text{d}s\right|\\ \ll \frac{M}{c^k}\left(k\ge 0\right).\end{array}$

考虑到 $\Gamma$ 包含于 $\left|s-1\right|\le \frac{1}{2}c$ 中，我们有

${\displaystyle \underset{k=N+1}{\overset{\infty }{\sum }}{g}_k}\left(z\right){\left(s-1\right)}^k\ll {\displaystyle \underset{k=N+1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{M}{c^k}}{\left|s-1\right|}^k\ll M{\left(\frac{\left|s-1\right|}{c}\right)}^{N+1}$，

因此，对于 $s\in \Gamma$， $N\ge 0$ 有

$G\left(s;z\right)Z\left(s;z\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}{g}_k}\left(z\right){\left(s-1\right)}^k+O\left(M{\left(\frac{\left|s-1\right|}{c}\right)}^{N+1}\right).$

从而

$\begin{array}{c}{\Phi }^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }sG\left(s;z\right)Z\left(s;z\right){\left(s-1\right)}^{-1}\frac{x^s}{s}\text{d}s}\\ ={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}{g}_k\left(z\right)}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }{\left(s-1\right)}^{k-1}{x}^s\text{d}s+\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }O\left(M{\left(\frac{\left|s-1\right|}{c}\right)}^{N+1}\right)}\frac{1}{s-1}{x}^s}\text{d}s\\ =\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}{g}_k}\left(z\right){\displaystyle {\int }_{\Gamma }{\left(s-1\right)}^{k-1}}{x}^s\frac{s-1}{s}\text{d}s+O\left(M{c}^{-N}R\left(x\right)\right),\end{array}$ (8)

其中

$\begin{array}{c}M{c}^{-N}R\left(x\right):=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }O}\left(M{\left(\frac{\left|s-1\right|}{c}\right)}^{N+1}\right)\frac{1}{s-1}{x}^s\text{d}s\\ \ll M{c}^{-N-1}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }{\left|s-1\right|}^{N+1}}\left|{\left(s-1\right)}^{-1}\right|\left|x^s\right|\left|\text{d}s\right|\\ \ll M{c}^{-N}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }{\left|s-1\right|}^N\left|x^s\right|}\left|\text{d}s\right|\end{array}$

因此

$\begin{array}{c}R\left(x\right)\ll {\displaystyle {\int }_{1-\frac{c}{2}}^{1-r}{\left(1-\sigma \right)}^N{x}^{\sigma }}\text{d}\sigma +{\displaystyle {\oint }_{\left|s-1\right|=c}{r}^N{x}^{r\cos \theta +1}\left|\text{d}s\right|}\\ \ll {\displaystyle {\int }_{\frac{c}{2}}^r{x}^{1-t}}{t}^N\text{d}\left(-t\right)+x^{1+r}{r}^{N+1}\\ \ll x{\displaystyle {\int }_r^{\frac{c}{2}}{x}^{-t}}{t}^N\text{d}t+x{\left(\frac{1}{2\log x}\right)}^{N+1}.\end{array}$

令 $u=t\log x$，则 $x^{-t}={\text{e}}^{-t\log x}={\text{e}}^{-u}$，有

$\begin{array}{c}R\left(x\right)\ll x{\left(\log x\right)}^{-N-1}{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{c}{2}\log x}{\text{e}}^{-u}}{u}^N\text{d}u+x{\left(\log x\right)}^{-N-1}{2}^{-N}\\ \ll x{\left(\log x\right)}^{-N-1}\Gamma \left(N+1\right)\\ \ll x{\left(\frac{c_{2}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}.\end{array}$

我们利用引理3来估计主项 ${\Phi }^{\prime }\left(x\right)$，作变量代换 $\omega =\left(s-1\right)\log x$，则 $x^s=x^{\frac{\omega }{\log x}+1}=x{\text{e}}^{\omega }$，有

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }{\left(s-1\right)}^{k-1}{x}^s\text{d}s}=x{\left(\log x\right)}^{-k}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\mathcal{H}\left(\frac{c}{2}\log x\right)}{\text{e}}^{\omega }}{\omega }^{k-1}\text{d}\omega \\ =x{\left(\log x\right)}^{-k}\left\{\frac{1}{\Gamma \left(1-k\right)}+O\left({47}^{|1-k|}\Gamma \left(1+\left|1-k\right|\right){\text{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot \frac{c}{2}\log x}\right)\right\}\\ =x{\left(\log x\right)}^{-k}\left\{\frac{1}{\Gamma \left(1-k\right)}+O\left({\left(c_{3}k+1\right)}^k{x}^{-\frac{c}{4}}\right)\right\}.\end{array}$

于是

$\begin{array}{c}{\Phi }^{\prime }\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{g}_k\left(z\right)\left[x{\left(\log x\right)}^{-k}\left\{\frac{1}{\Gamma \left(1-k\right)}+O\left({\left(c_{3}k+1\right)}^k{x}^{-\frac{c}{4}}\right)\right\}\right]+O\left(M{c}^{-N}R\left(x\right)\right)\\ =\underset{k=0}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{g}_k\left(z\right)\frac{x}{{\left(\log x\right)}^k}\frac{1}{\Gamma \left(1-k\right)}+\underset{k=0}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{g}_k\left(z\right)\frac{x}{{\left(\log x\right)}^k}O\left({\left(c_{3}k+1\right)}^k{x}^{-\frac{c}{4}}\right)+O\left(M{c}^{-N}R\left(x\right)\right)\\ =x\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(z\right)}{{\left(\log x\right)}^k}}+O\left(E_N\right)\right\}+O\left(M{c}^{-N}R\left(x\right)\right),\end{array}$

其中

$\begin{array}{c}{E}_N:=x^{-\frac{c}{4}}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}{g}_k\left(z\right)}{\left(\frac{c_{3}k+1}{\log x}\right)}^k\ll M{x}^{-\frac{c}{4}}{c}_4^N{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}k}!{\left(\frac{5}{c\log x}\right)}^k\\ \ll M{x}^{-\frac{c}{4}}{\left(\frac{5c_4}{c\log x}\right)}^N{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{N!}{\left(N-k\right)!}}{\left(\frac{5}{c\log x}\right)}^{k-N}\\ \ll M{\left(\frac{5c_4}{c\log x}\right)}^{N}N!x^{-\frac{c}{20}}\ll M{\left(\frac{c_{5}N+1}{\log x}\right)}^{N+1},\end{array}$

将其代入(8)得

$\begin{array}{c}{\Phi }^{\prime }\left(x\right)=x\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(z\right)}{{\left(\log x\right)}^k}}+O\left(M{\left(\frac{c_{5}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}\right)\right\}+O\left(M{c}^{-N}x{\left(\frac{c_{2}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}\right)\\ =x\left\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N}{\sum }}\frac{{\lambda }_k\left(z\right)}{{\left(\log x\right)}^k}}+O\left(M{\left(\frac{c_{6}N+1}{\log x}\right)}^{N+1}\right)\right\}.\end{array}$

证毕。

式(2)的证明与式(1)的证明类似，故在此做简要说明而不再赘述。由于 $\phi \left(n\right)$ 的Dirichlet级数可表为

$\mathcal{F}\left(s\right)=\frac{\zeta \left(s-1\right)}{\zeta \left(s\right)}\left(\sigma >2\right).$

我们将用 $H\left(s;z\right):=\frac{{\left\{\left(s-2\right)\zeta \left(s-1\right)\right\}}^z}{s}$ 替换证明过程中的函数 $Z\left(s;z\right)$，它在 $\left|s-2\right|<1$ 上全纯，取 $z=1$, $G\left(s;z\right)=\frac{1}{\zeta \left(s\right)}$， $\kappa =2+\frac{1}{\log x}$，证明过程可类似推出。