各向异性弹性平面的混合解析函数方法

Mixed Analytic Function Method for Anisotropic Elastic Planes

摘要: 本文将混合解析函数方法应用到含裂纹的各向异性平面弹性理论中去，得到了应力函数的混合解析函数表达式，并且运用此方法研究了含裂纹各向异性弹性平面的第一基本问题。

Abstract: In this paper, we apply the mixed analytic function method to anisotropic elastic planes with cracks, and obtain the mixed analytic function expressions for stress functions. This method is also applied to solve the first fundamental problem of anisotropic planes with cracks.

1. 应力函数的混合解析函数表达式

在平面弹性静平衡状态下，忽略体积力，应力函数F满足方程 [1]

$a_{22}\frac{{\partial }^{4}F}{\partial x^4}-2a_{26}\frac{{\partial }^{4}F}{\partial x^3\partial y}+2\left(a_{12}+a_{66}\right)\frac{{\partial }^{4}F}{\partial x^2\partial y^2}-2a_{16}\frac{{\partial }^{4}F}{\partial x\partial y^3}+a_{11}\frac{{\partial }^{4}F}{\partial y^4}=0$ (1)

其中 $a_{ij}$ 是由材料弹性参数确定的常数。

令 ${\mu }_k\left(k=1,2,3,4\right)$ 是(1)的特征方程

$L\left(\mu \right)=a_{11}{\mu }^4-2a_{16}{\mu }^3+\left(2a_{12}+a_{66}\right){\mu }^2-2a_{26}\mu +a_{22}=0$

的根。这个常系数代数方程的根为两组成对的虚部非零的共轭复根， [2] 中讨论了两组根不相等的情况。本文考虑重根的情形，为了讨论方便我们还限制正交各向异性的情形，即

${\mu }_1={\mu }_2=\beta i$, ${\bar{\mu }}_1={\bar{\mu }}_2=-\beta i\left(\beta >0\right)$.

记一阶线性微分算子的符号如下：

$D_k=\frac{\partial }{\partial y}-{\mu }_k\frac{\partial }{\partial x}$ (2)

方程(1)可重写为

$D_1{D}_2{D}_3{D}_{4}F=0$ (3)

为了简化应力函数表达式，下面，我们将给出混合解析函数的定义和相关性质。

定义1 设 $\lambda ,\eta \in R$ 且 $\lambda \ne \pm \eta$，若对复平面G中任意z，函数f满足

$\lambda \frac{\partial f}{\partial z}+\eta \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$ (4)

就称函数f为域G上的 $\left(\lambda ,\eta \right)$ 型混合解析函数。

引理1 函数f是G上的混合解析函数当且仅当g是 $\rho \left(G\right)$ 上的解析函数 [3]。

证明：设f为G上的混合解析函数，我们定义复函数 $w=\rho \left(z\right)=s+i\delta$ 如下：

$\begin{array}{c}s=\frac{x}{\eta +\lambda }\\ \delta =\frac{y}{\eta -\lambda }\end{array}\}$

其中 $z=x+iy\in G$。

在 $\rho \left(G\right)$ 上定义函数 $g\left(w\right)=f\left(z\right)$，即 $g\left(w\right)=f\left({\rho }^{-1}\left(w\right)\right)$。我们有

$\frac{1}{2}\left[\left(\lambda +\eta \right)\frac{\partial f}{\partial x}+i\left(\eta -\lambda \right)\frac{\partial f}{\partial y}\right]=0$

即

$\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g}{\partial s}+i\frac{\partial g}{\partial \delta }\right)=0$.

上式表明 $\frac{\partial g}{\partial \bar{w}}=0$， $w\in \rho \left(G\right)$，从而g是 $\rho \left(G\right)$ 上的解析函数。

反之，若g是 $\rho \left(G\right)$ 上的解析函数，我们可得到f是G上的混合解析函数。

记

${\lambda }_1=\frac{1+i{\mu }_1}{1-i{\mu }_1}$ (5)

和

$z_1=z+{\lambda }_1\bar{z}$ (6)

由 [1]，如果F是(3)的解，则它有如下表示

$F=2\mathrm{Re}\left[F_1\left(z_1\right)+{\bar{z}}_1{F}_2\left(z_1\right)\right]$ (7)

其中 $F_1\left(z_1\right)$ 、 $F_2\left(z_1\right)$ 是复变数 $z_1$ 的两个解析函数。

令

$\{\begin{array}{l}\lambda +\eta =1\\ \eta -\lambda =\frac{i}{{\mu }_1}\end{array}$ (8)

由引理1，存在混合解析函数 $\chi \left(z\right)=F_1\left(z_1\right)$， $\phi \left(z\right)=F_2\left(z_1\right)$。

从而，我们可以用混合解析函数来表示应力函数，如下：

$\begin{array}{c}F=2\mathrm{Re}\left[\left(\bar{z}+\overline{{\lambda }_1}z\right)\phi \left(z\right)+\chi \left(z\right)\right]\\ =\left(\bar{z}+\overline{{\lambda }_1}z\right)\phi \left(z\right)+\left(z+{\lambda }_1\bar{z}\right)\overline{\phi \left(z\right)}+\chi \left(z\right)+\overline{\chi \left(z\right)}\end{array}$ (9)

因为F的偏导才有直接的物理意义，所以

$\frac{\partial F}{\partial x}=\left(1+{\lambda }_1\right)\phi \left(z\right)+\left(\bar{z}+\overline{{\lambda }_1}z\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)+\left(1+{\lambda }_1\right)\overline{\phi \left(z\right)}+\left(z+{\lambda }_1\bar{z}\right)\overline{{\phi }^{\prime }\left(z\right)}+{\chi }^{\prime }\left(z\right)+\overline{{\chi }^{\prime }\left(z\right)}$ (10)

$\frac{\partial F}{\partial y}=i\left[\left(-1+\overline{{\lambda }_1}\right)\phi \left(z\right)+\left(\bar{z}+\overline{{\lambda }_1}z\right){\phi }^{\prime }\left(z\right)+\left(1-{\lambda }_1\right)\overline{\phi \left(z\right)}-\left(z+{\lambda }_1\bar{z}\right)\overline{{\phi }^{\prime }\left(z\right)}+{\chi }^{\prime }\left(z\right)-\overline{{\chi }^{\prime }\left(z\right)}\right]$ (11)

对于 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 、 $\frac{\partial F}{\partial y}$，利用复数形的结合形式，再结合(10)、(11)式我们可以得到 [4]

$f\left(x,y\right)=\frac{\partial F}{\partial x}+i\frac{\partial F}{\partial y}=2\phi \left(z\right)+2{\lambda }_1\overline{\phi \left(z\right)}+2\left(z+{\lambda }_1\bar{z}\right)\overline{{\phi }^{\prime }\left(z\right)}+2\overline{\psi \left(z\right)}$ (12)

其中 $\psi \left(z\right)={\chi }^{\prime }\left(z\right)$。

根据文献 [4]，我们有

$X_n=\frac{\text{d}}{\text{d}s}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)$， $Y_n=-\frac{\text{d}}{\text{d}s}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)$ (13)

这里作用在曲线 $\text{d}s$ 上的应力 $\left(X_n\text{d}s,Y_n\text{d}s\right)$，是指从法线正侧作用于其上的应力。在复数的形式下有

$\left(X_n+i{Y}_n\right)\text{d}s=-i\text{d}\left(\frac{\partial F}{\partial x}+i\frac{\partial F}{\partial y}\right)$

从而

$\left(X_n+i{Y}_n\right)\text{d}s=-i\text{d}\left\{2\phi \left(z\right)+2{\lambda }_1\overline{\phi \left(z\right)}+2\left(z+{\lambda }_1\bar{z}\right)\overline{{\phi }^{\prime }\left(z\right)}+2\overline{\psi \left(z\right)}\right\}$.(14)

函数f的力学意义

$\begin{array}{c}f\left(x,y\right)=2\phi \left(z\right)+2{\lambda }_1\overline{\phi \left(z\right)}+2\left(z+{\lambda }_1\bar{z}\right)\overline{{\phi }^{\prime }\left(z\right)}+2\overline{\psi \left(z\right)}\\ =i{\displaystyle {\int }_{AB}\left(X_n+i{Y}_n\right)\text{d}s+const}\\ =i\left(X+iY\right)+const\end{array}$ (15)

其中 $\left(X,Y\right)$ 是从定点A与动点 $B\left(x,y\right)$ 之间任意弧的法线正侧作用于弧上的应力主矢量 [4]。

2. 含裂纹各向异性弹性平面的第一基本问题

现设S是有界单连通域，其边界由封闭光滑曲线L所围成，现取定反时针方向为其正向。设L两侧的外应力为 $X_n^{\pm }\left(t\right)+i{Y}_n^{\pm }\left(t\right)$， $t\in L$，求弹性平衡。在弹性力学中，我们称之为第一基本问题。

我们在 $L_j$ 正、负侧上分别定义：

$f_j^{+}\left(t\right)=i{\displaystyle {\int }_{a_j}^t\left(X_n^{+}+i{Y}_n^{+}\right)\text{d}s}$, $t\in L_j$ (16)

$f_j^{-}\left(t\right)=i\left(X_j+i{Y}_j\right)-i{\displaystyle {\int }_{a_j}^t\left(X_n^{-}+i{Y}_n^{-}\right)\text{d}s}$, $t\in L_j$ (17)

其中s是 $L_j$ 上的弧长参数 [5]。

根据第一节我们得到的条件，所求问题化为下列边值问题：

$\begin{array}{l}2{\phi }^{+}\left(t\right)+2{\lambda }_1\overline{{\phi }^{+}\left(t\right)}+2\left(t+{\lambda }_1\bar{t}\right)\overline{{{\phi }^{\prime }}^{+}\left(t\right)}+2\overline{{\psi }^{+}\left(t\right)}=f_j^{+}\left(t\right)+C_j^{+}\\ 2{\phi }^{-}\left(t\right)+2{\lambda }_1\overline{{\phi }^{-}\left(t\right)}+2\left(t+{\lambda }_1\bar{t}\right)\overline{{{\phi }^{\prime }}^{-}\left(t\right)}+2\overline{{\psi }^{-}\left(t\right)}=f_j^{-}\left(t\right)+C_j^{-}\end{array}\}$, $t\in L_j$, $j=1,2,\cdots ,p$. (18)

其中 $C_j^{+}$， $C_j^{-}$ 是某些常数。由文献 [5]，我们知道 $C_j^{+}=C_j^{-}$，以后记 $C_j=C_j^{\pm }$。那么上式变为

$2{\phi }^{\pm }\left(t\right)+2{\lambda }_1\overline{{\phi }^{\pm }\left(t\right)}+2\left(t+{\lambda }_1\bar{t}\right)\overline{{{\phi }^{\prime }}^{\pm }\left(t\right)}+2\overline{{\psi }^{\pm }\left(t\right)}=f^{\pm }\left(t\right)+C$, $t\in L$. (19)

不失一般性，我们将设所有 $X_j+i{Y}_j=0$，且 $\Gamma ={\Gamma }^{\prime }=0$。假设 $\phi \left(\infty \right)=0$。记

$F\left(t\right)=f^{+}\left(t\right)-f^{-}\left(t\right)$, $G\left(t\right)=f^{+}\left(t\right)+f^{-}\left(t\right)$. (20)

引进新的函数 ${\omega }_1\left(\zeta \right)$， ${\omega }_2\left(\zeta \right)$ 使得

$\phi \left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{{\omega }_1\left(\zeta \right)}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta z-\lambda \bar{z}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)$, $z\notin L$ (21)

$\psi \left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{{\omega }_2\left(\zeta \right)}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta z-\lambda \bar{z}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)$, $z\notin L$ (22)

这样 $\phi \left(\infty \right)=0$， $\psi \left(\infty \right)=0$。

由(18)式我们可得到

$2\left[{\phi }^{+}\left(t\right)+{\phi }^{-}\left(t\right)\right]+2{\lambda }_1\left[\overline{{\phi }^{+}\left(t\right)}+\overline{{\phi }^{-}\left(t\right)}\right]+2\left(t+{\lambda }_1\bar{t}\right)\left[\overline{{{\phi }^{\prime }}^{+}\left(t\right)}+\overline{{{\phi }^{\prime }}^{-}\left(t\right)}\right]+2\left[\overline{{\psi }^{+}\left(t\right)}+\overline{{\psi }^{-}\left(t\right)}\right]=f^{+}\left(t\right)+f^{-}\left(t\right)$ (23)

$2\left[{\phi }^{+}\left(t\right)-{\phi }^{-}\left(t\right)\right]+2{\lambda }_1\left[\overline{{\phi }^{+}\left(t\right)}-\overline{{\phi }^{-}\left(t\right)}\right]+2\left(t+{\lambda }_1\bar{t}\right)\left[\overline{{{\phi }^{\prime }}^{+}\left(t\right)}-\overline{{{\phi }^{\prime }}^{-}\left(t\right)}\right]+2\left[\overline{{\psi }^{+}\left(t\right)}-\overline{{\psi }^{-}\left(t\right)}\right]=f^{+}\left(t\right)-f^{-}\left(t\right)$ (24)

利用Plemelj公式 [3]，有

${\phi }^{\pm }\left(t\right)=\pm {\omega }_1\left(t\right)+\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{{\omega }_1\left(\zeta \right)}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta t-\lambda \bar{t}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)$, $t\in L$ (25)

${\psi }^{\pm }\left(t\right)=\pm {\omega }_2\left(t\right)+\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{{\omega }_2\left(\zeta \right)}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta t-\lambda \bar{t}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)$, $t\in L$ (26)

将(25)与(26)式代入(24)式中得到

$4{\omega }_1\left(t\right)+4{\lambda }_1\overline{{\omega }_1\left(t\right)}+4\left(t+{\lambda }_1\bar{t}\right)\overline{{{\omega }^{\prime }}_1\left(t\right)}+4\overline{{\omega }_2\left(t\right)}=f^{+}\left(t\right)-f^{-}\left(t\right)$, $t\in L$ (27)

即

${\omega }_2\left(t\right)=-\overline{{\omega }_1\left(t\right)}-\overline{{\lambda }_1}{\omega }_1\left(t\right)-\left(\bar{t}+\overline{{\lambda }_1}t\right){{\omega }^{\prime }}_1\left(t\right)+\frac{1}{4}\left[\overline{f^{+}\left(t\right)}-\overline{f^{-}\left(t\right)}\right]$, $t\in L$ (28)

从而

$\begin{array}{c}\psi \left(z\right)=-\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\overline{{\omega }_1\left(\zeta \right)}}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta z-\lambda \bar{z}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)\\ -\frac{\overline{{\lambda }_1}}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{{\omega }_1\left(\zeta \right)}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta z-\lambda \bar{z}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)\\ -\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\bar{\zeta }\cdot {{\omega }^{\prime }}_1\left(\zeta \right)}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta z-\lambda \bar{z}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)\\ -\frac{\overline{{\lambda }_1}}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\zeta \cdot {{\omega }^{\prime }}_1\left(\zeta \right)}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta z-\lambda \bar{z}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)\\ +\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_L\frac{\overline{F\left(\zeta \right)}}{\left(\eta \zeta -\lambda \bar{\zeta }\right)-\left(\eta z-\lambda \bar{z}\right)}}\left(\eta \text{d}\zeta -\lambda \overline{\text{d}\zeta }\right)\end{array}$, $z\notin L$ (29)

将得到的 $\phi \left(z\right)$， $\psi \left(z\right)$ 代入(23)式中，问题(19)就化为下列混合解析函数奇异积分方程

, $t\in L$ (30)

最终，第一基本问题转化为只需求解方程(30)。而在求解上述方程时，我们可参考 [6] 中奇异积分方程的一般解法进行求解。至此，我们利用混合解析函数方法解决了含裂纹各向异性弹性平面的第一基本问题。

基金项目

国家自然科学基金项目(12101453)。