可压缩磁流体动力学方程组密度的上界估计

Upper Bound Estimation of Density for Compressible Magnetohydrodynamic Equations

摘要: 本文证明了具有大初值的一维可压缩磁流体动力学(MHD)方程组的初边值问题的密度具有正上界。在无穷远处存在真空的情况下，利用精确的能量估计和方程结构可以得到方程组的密度具有正上界。

Abstract: In this paper, we prove that the density of the initial boundary value problem of one-dimensional compressible MHD equations with large initial values has a positive upper bound. In the case of vacuum at infinity, the density of the equations has a positive upper bound using accurate energy estimation and the structure of the equations.

1. 引言

磁流体动力学方程组在现代偏微分方程研究中起着桥梁的作用，它是流体动力学与电动力学的交叉学科，是由流体力学方程和电磁学方程共同组成的。美日等航空航天大国对磁流体动力学的研究开展较早且理论和实际应用较全面，而国内该研究主要集中于数值仿真，实验方面近几年才开始入手，总体来说与其他国家先进水平存在一定的差距。因此研究磁流体动力学有着很大的意义。从1930年法国数学家Jean-Leray给出了不可压缩流体方程组弱解的整体存在性以来，数学家和物理学家先后建立了各种各样的数学模型，关心的问题是相变的数学机理、解的奇性、动力学方程组解的整体存在性和正则性以及奇性的动力学。其中基本问题即解的适定性和渐近性态问题一直以来为非线性偏微分方程研究者所热衷的问题。本课题研究的成果对于证明此方程组的各种问题有很大的帮助。

欧拉坐标系下的平面可压缩磁流体动力学(MHD)方程组如下(见 [1] [2] )：

$\{\begin{array}{l}{\tilde{\rho }}_t+{\left(\tilde{\rho }\tilde{u}\right)}_x=0,\hfill \\ {\left(\tilde{\rho }\tilde{u}\right)}_t+{\left(\tilde{\rho }{\left(\tilde{u}\right)}^2+\tilde{p}+\frac{1}{8\pi }{\left|\tilde{b}\right|}^2\right)}_x={\left(\lambda {\tilde{u}}_x\right)}_x,\hfill \\ {\left(\tilde{\rho }\tilde{w}\right)}_t+{\left(\tilde{\rho }\tilde{u}\tilde{w}-\frac{1}{4\pi }\tilde{b}\right)}_x={\left(\mu {\tilde{w}}_x\right)}_x,\hfill \\ {\tilde{b}}_t+{\left(\tilde{u}\tilde{b}-\tilde{w}\right)}_x={\left(\nu {\tilde{b}}_x\right)}_x,\hfill \\ {\tilde{\mathcal{E}}}_t+{\left(\tilde{u}\left(\tilde{\mathcal{E}}+\tilde{p}+\frac{1}{8\pi }{\left|\tilde{b}\right|}^2\right)-\frac{1}{4\pi }\tilde{w}\cdot \tilde{b}\right)}_x={\left(\lambda \tilde{u}{\tilde{u}}_x+\mu \tilde{w}\cdot {\tilde{w}}_x+\frac{\nu }{4\pi }\tilde{b}\cdot {\tilde{b}}_x+\kappa {\tilde{\theta }}_x\right)}_x,\hfill \end{array}$ (1.2)

其中 $\left(t,x\right)\in \left(0,T\right)\times \Omega$ ， $\Omega =\left(0,L\right)$ 是 $ℝ$ 中的一个区域， $t\ge 0$ 为时间，x为欧拉坐标，未知函数 $\tilde{\rho }$ ， $u\in {ℝ}^3$ ， $\tilde{w}=\left(w_1,w_2\right)\in {ℝ}^2$ ， $b=\left(b_1,b_2\right)\in {ℝ}^2$ ，p和 $\theta$ 分别表示流体的密度、纵向速度、横向速度、横向磁场、压力和温度。 $\lambda$ 和 $\mu$ 为黏性系数。参数 $\nu$ 为磁场的磁扩散系数，热传导系数 $\kappa \ge 0$ ， $\tilde{\mathcal{E}}$ 为平面磁流体流动力学的总能量，即

$\tilde{\mathcal{E}}=\tilde{\rho }\left(\tilde{e}+\frac{1}{2}\left({\tilde{u}}^2+{\left|\tilde{w}\right|}^2\right)\right)+\frac{1}{8\pi }{\left|\tilde{b}\right|}^2.$

其中(1.1)表示内能。

本文主要研究(1.1)的一个初边值问题。理想气体和内能的状态方程为

$\tilde{p}=\tilde{p}\left(\tilde{\rho },\tilde{\theta }\right)=R\tilde{\rho }\tilde{\theta },\tilde{e}=\tilde{e}\left(\tilde{\rho },\tilde{\theta }\right)=C_v\tilde{\theta }=\frac{R\tilde{\theta }}{\gamma -1}.$

其中R是正常数， $C_v$ 是气体在恒容下的热容。

当 $b=w\equiv 0$ 时，(1.1)简化为一维可压缩的Navier-Stokes方程。Kazhiklov和Shelukhin在 [3] 中，证明了初边值问题整体解的存在性和唯一性，其中密度上下界的思想一直沿用至今。李和梁在 [4] 中研究了初边值问题和解的大时间行为，证明了温度的上下界与时间和空间无关。最近，李和辛 [5] 中证明了一维无热传导可压缩Navier-Stokes方程的Cauchy问题，即当初始密度只在无穷远处含有真空，且在无穷远处衰减率适当慢时，理想气体可以保持熵的一致有界性。李和辛在 [6] 在具有热传导的Navier-Stokes方程中证明了类似的结果。

可压缩磁流体动力学已得到广泛的研究。用Hoff和Tsyganov在 [7] 中证明了弱解的唯一性和对初始值的连续依赖性，Ducomet和Feireisl在 [8] 中证明了磁流体动力学方程整体时间弱解的存在性。Ye和Li [9] 通过加权估计证明了具有磁扩散的等熵平面MHD方程组Cauchy问题的大强解的存在性，Jang和Zhang在 [10] 中证明了一维初边值问题大强解的存在性。在 [11] 中，Tan和Wang讨论了平稳问题解的正则性和唯一性，并研究了这类弱解的大时间行为。在γ充分接近1的条件下，Hu [12] 证明了大初值平面磁流体动力学方程组整体解的存在性和渐近性。对于某 $q\ge 2$ 和 $\kappa \left(\rho ,\theta \right)$ ，满足

$C^{-1}\left(1+{\theta }^q\right)\le \kappa \left(\rho ,\theta \right)\le C\left(1+{\theta }^q\right),$

且大初始值满足

$0<\inf {\rho }_0\le {\rho }_0\left(x\right)\le \sup {\rho }_0<\infty ,{\rho }_0,u_0,b_0,w_0,{\theta }_0\in H^1\left(\Omega \right).$

Chen和Wang [13] 研究了MHD大解的唯一性、存在性和连续依赖性。Chen和Wang在 [14] 中证明了具有不连续初始值的自由边值问题的弱解。Fan和Hu在 [15] 中当 $\nu =0$ 和 ${\rho }_0\ge 0$ ，以及对于任意 $q>0$ ，热传导系数 $\kappa$ 满足以下条件时，证明了相似的结果。

$\kappa \in C^2\left[0,\infty \right),C^{-1}\left(1+{\theta }^q\right)\le \kappa \left(\rho ,\theta \right)\le C\left(1+{\theta }^q\right)$

且初始值 $\left({\rho }_0,u_0,b_0,{\theta }_0\right)$ 满足

${\rho }_0>0,{\theta }_0>0,{\rho }_0,u_0,b_0,{\theta }_0\in H^2\left(\Omega \right),{\left(u_0,{{\theta }^{\prime }}_0\right)|}_{\partial \Omega }=0$

对于任意正常数C满足 $\left|b_0\right|\le C{\rho }_0$ ，具有相容条件如下：

${u^{″}}_0-{\left({\rho }_0{\theta }_0+\frac{1}{2}{\left|b_0\right|}^2\right)}^{\prime }=\sqrt{{\rho }_0}{g}_1$

${\left(\kappa \left({\theta }_0\right){{\theta }^{\prime }}_0\right)}^{\prime }+{\left|{u^{\prime }}_0\right|}^2=\sqrt{{\rho }_0}{g}_2$

其中任意 $g_1,g_2\in L^2\left(\Omega \right)$。

Kawashima和Okanda在 [16] 中解决了小初始值的整体光滑的存在性。李和李 [17] 将柯西问题转化为无热传导系数的平面非典阻性磁流体动力学方程组，并建立了具有大初始值的强解的整体适定性。后来被很多数学家所认可。Yu在 [18] 中建立的一维零磁电阻率可压缩磁流体力学方程组初边值问题经典解的整体时间存在唯一性，可以参见Fan和Yu [19] 以及其中的参考文献。

本文首先得到了包含粘性耗散效应的基本能量估计，这对于推导密度的下界具有重要意义，这个的主要灵感来自于Kazhiklov和Selukhin文章 [3]。其次得出密度的正上界估计。

2. 重新推导拉格朗日坐标下的方程及主要定理

在本节中，我们根据Li-xin [5] [6]，Li-Li [17]，Li [20] [21] 的思想来重新定义拉格朗日坐标下的方程组(1.1)。我们假设y为拉格朗日坐标，则定义拉格朗日坐标y和欧拉坐标x之间的坐标变换作为

$x=\eta \left(y,t\right)$

其中 $\eta \left(y,t\right)$ 是由 $\tilde{u}$ 决定的flow map，即，

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t\eta \left(y,t\right)=\tilde{u}\left(\eta \left(y,t\right),t\right),\hfill \\ \eta \left(y,0\right)=y.\hfill \end{array}$ (2.1)

我们令 $\rho ,u,b,w,\theta$ 和p分别为拉格朗日坐标下的密度，速度，横向速度，横向磁场，温度和压强，并定义

$\rho \left(y,t\right)=\tilde{\rho }\left(\eta \left(y,t\right),t\right),b\left(y,t\right)=\tilde{b}\left(\eta \left(y,t\right),t\right),u\left(y,t\right)=\tilde{u}\left(\eta \left(y,t\right),t\right),$

$\theta \left(y,t\right)=\tilde{\theta }\left(\eta \left(y,t\right),t\right),w\left(y,t\right)=\tilde{w}\left(\eta \left(y,t\right),t\right),p\left(y,t\right)=\tilde{p}\left(\eta \left(y,t\right),t\right).$

我们回顾 $\eta (y,t)$ 的定义，通过简单的计算，可以得到

$\left({\tilde{u}}_x,{\tilde{\theta }}_x,{\tilde{w}}_x,{\tilde{b}}_x,{\tilde{p}}_x\right)=\left(\frac{u_y}{{\eta }_y},\frac{{\theta }_y}{{\eta }_y},\frac{w_y}{{\eta }_y},\frac{b_y}{{\eta }_y},\frac{p_y}{{\eta }_y}\right),\left({\tilde{u}}_{xx},{\tilde{w}}_{xx}\right)=\left(\frac{1}{{\eta }_y}\left(\frac{u_y}{{\eta }_y}\right),\frac{1}{{\eta }_y}\left(\frac{w_y}{{\eta }_y}\right)\right),$

和

${\tilde{\rho }}_t+\tilde{u}{\tilde{\rho }}_x={\rho }_t,{\tilde{u}}_t+\tilde{u}{\tilde{u}}_x=u_t,{\tilde{p}}_t+\tilde{u}{\tilde{p}}_x=p_t,$

${\tilde{b}}_t+\tilde{u}{\tilde{b}}_x=b_t,{\tilde{w}}_t+\tilde{u}{\tilde{w}}_x=w_t,{\tilde{\theta }}_t+\tilde{u}{\tilde{\theta }}_x={\theta }_t.$

我们根据Li-xin [5] [6]，Li-Li [17]，Li [20] [21] 的思想定义了一个新的函数 $J=J\left(y,t\right)$ ，则欧拉坐标和拉格朗日坐标之间的雅可比矩阵如下

$J\left(y,t\right)={\eta }_y\left(y,t\right)$

进一步得到

$J_t=u_y.$ (2.2)

我们将(1.1)₁在拉格朗日坐标下可以写为

${\rho }_t+\frac{u_y}{J}\rho =0$ (2.3)

利用上面的等式，我们把(1.1)₂可以写成以下形式

$\rho u_t+\frac{p_y}{J}+\frac{1}{8\pi }\frac{{\left({\left|b\right|}^2\right)}_y}{J}=\frac{\lambda }{J}{\left(\frac{u_y}{J}\right)}_y.$ (2.4)

同理，方程组(1.1)₃~(1.1)₅在拉格朗日坐标下可写为

$\{\begin{array}{l}\rho w_t-\frac{b_y}{4\pi J}=\frac{\mu }{J}{\left(\frac{w_y}{J}\right)}_y,\hfill \\ b_t+\frac{u_y}{J}b-\frac{w_y}{J}=0,\hfill \\ p_t+\gamma \frac{u_y}{J}p=\left(\gamma -1\right)\left(\lambda {\left(\frac{u_y}{J}\right)}^2+\mu {\left|\frac{w_y}{J}\right|}^2\right).\hfill \end{array}$ (2.5)

本文研究平面MHD方程组初边值问题强解的整体存在性和唯一性。这里既不考虑流体的磁电阻率，也不考虑流体的热传导，即我们假设 $\nu =0$ 和 $\kappa =0$。由(2.2)和(2.3)，我们得到

${\left(Jp\right)}_t=J_t\rho +{\rho }_{t}J=u_y\rho -J\frac{u_y}{J}\rho =0$

因此，注意到 ${\rho |}_{t=0}={\rho }_0$ 和 ${J|}_{t=0}=1$ ，我们有

$J\rho ={\rho }_0$

综上所述，本文所考虑的平面无电阻可压缩磁流体动力学方程组为如下：

$\{\begin{array}{l}{J}_t=u_y,\hfill \\ {\rho }_0{u}_t-\lambda {\left(\frac{u_y}{J}\right)}_y+p_y+\frac{1}{4\pi }b\cdot b_y=0,\hfill \\ {\rho }_0{w}_t=\mu {\left(\frac{w_y}{J}\right)}_y+\frac{1}{4\pi }{b}_y,\hfill \\ b_t+b\frac{u_y}{J}-\frac{w_y}{J}=0,\hfill \\ p_t+\gamma \frac{u_y}{J}p=\left(\gamma -1\right)\left(\lambda {\left(\frac{u_y}{J}\right)}^2+\mu {\left|\frac{w_y}{J}\right|}^2\right).\hfill \end{array}$ (2.6)

我们在给定时间T > 0和长度L > 0的条件下考虑系统(2.6)初边值问题，也就是说，系统(2.6)定义在时间和空间 $\left(0,L\right)\times \left(0,T\right)$ 上。该系统的以边界条件和初始条件如下：

$u\left(t,0\right)=u\left(t,L\right)=b\left(t,0\right)=b\left(t,L\right)=w\left(t,0\right)=w\left(t,L\right)=0,$ (2.7)

和

${\left(J,u,p,b,w\right)|}_{t=0}=\left(J_0,u_0,p_0,b_0,w_0\right).$ (2.8)

边界条件(2.7)表示边界具有防滑、不渗透和热绝缘。

本文将使用以下记号。对于 $1\le q\le \infty$ 和正整数m，定义 $L^q=L^q\left(\Omega \right)$ 和 $W^{m,q}=W^{m,q}\left(\Omega \right)$ 表示Lebesgue和Sobolev空间，其中 $H^m=W^{m,2}$。我们总是用 ${\Vert u\Vert }_q$ 来表示u的 $L^q$ 范数。

问题(2.6)~(2.8)的整体强解的定义如下。

定义2.1给定正时间 $T\in \left(0,\infty \right)$ ， $\left(J,u,w,b,p\right)$ 称为问题(2.6)~(2.8)在 $\Omega \times \left(0,T\right)$ 上的强解。如果它具有这些性质

$\underset{y\in \Omega ,t\in \left(0,T\right)}{\inf }J\left(y,t\right)>0,J-J_0\in C\left(\left[0,T\right];L^2\left(\Omega \right)\right),$

$J_y\in C\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right),J_t\in L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;H^1\left(\Omega \right)\right),$

$\left(\sqrt{{\rho }_0}u,\sqrt{{\rho }_0}w\right)\in C\left(\left[0,T\right];L^2\left(\Omega \right)\right),\left(\sqrt{{\rho }_0}{u}_t,\sqrt{{\rho }_0}{w}_t\right)\in L^2\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right),$

$\left(u_y,w_y\right)\in L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;H^1\left(\Omega \right)\right),\left(\sqrt{t}{u}_{yt},\sqrt{t}{w}_{yt}\right)\in L^2\left(0,T;L^2\right),$

$p\in C\left(\left[0,T\right];L^2\left(\Omega \right)\right),p_y\in C\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right),p_t\in L^4\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap L^{\frac{4}{3}}\left(0,T;H^1\right),$

$b\in C\left(\left[0,T\right];H^1\right),b_t\in L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap L^2\left(0,T;H^1\left(\Omega \right)\right),$

方程(2.6)在 $ℝ\times \left(0,T\right)$ 中处处满足上述性质，且满足初值和边界条件(2.7)~(2.8)。

本文有如下存在唯一性定理。

定理2.1我们假设对任意正整数 $\bar{\rho }$ 有 $0\le {\rho }_0\le \bar{\rho }$ ，初始值 $\left(J_0,u_0,w_0,p_0\right)$ 满足

$J_0\equiv 1,\left(\sqrt{{\rho }_0}{u}_0,\sqrt{{\rho }_0}{w}_0,{u^{\prime }}_0,{w^{\prime }}_0\right)\in L^2,b_0\in H^1,0\le p_0\in L^1,{p^{\prime }}_0\in L^2.$

然而，在(2.7)~(2.8)的基础上，方程组(2.6)有一个唯一整体强解。

注2.1 1) 根据定义2.1中速度的正则性，我们可以将拉格朗日坐标下建立的整体强解定理2.1转回到相应的欧拉坐标下的整体强解。

2) 注意到我们只需要初始密度是非负且一致有界，初始密度可以是非常普遍的，特别是，它允许有一个紧支集或者是单点真空或者是不连续点。

3) 因为J有正的上下界， $\rho =\frac{{\rho }_0}{J}$ ，可以看出，真空的系统(2.6)在以后的时间中既不能消失也不能重新生成，以及不连续点的密度沿特征线传播。

3. 先验估计

在本节的其余部分建立了对任意 $T>0$ 在区间 $\left[0,T\right]$ 上的 $\left(J,u,w,h,P\right)$ 的一系列先验估计，这对下一节显示整体适定性至关重要。在本节的其余部分，始终假设 $J_0\equiv 1$。

我们从下面这个命题的基本能量恒等式开始。

命题3.1对任意 $t\in \left(0,\infty \right)$ 有

${\displaystyle {\int }_0^{L}J}\left(y,t\right)\text{d}y=L,$

和

$\left({\displaystyle {\int }_0^L\left({\rho }_0\frac{u^2}{2}+{\rho }_0\frac{{\left|w\right|}^2}{2}+\frac{J{\left|b\right|}^2}{8\pi }+\frac{Jp}{\gamma -1}\right)\text{d}y}\right)\left(t\right)=E_0,$

其中 $E_0:={\displaystyle {\int }_0^L\left({\rho }_0\frac{u_0^2}{2}+{\rho }_0\frac{{\left|w_0\right|}^2}{2}+\frac{{\left|b_0\right|}^2}{8\pi }+\frac{p_0}{\gamma -1}\right)\text{d}y}$。

证明：我们将方程(2.6)₁两边在 $y\in \left(0,L\right)$ 上积分并利用边界条件(2.7)，直接得到第一个结论。将(2.6)₂乘以u，所得结果在 $y\in \left(0,L\right)$ 上进行积分得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^L{\rho }_0}\frac{u^2}{2}\text{d}y-{\displaystyle {\int }_0^L{u}_y}p\text{d}y-{\displaystyle {\int }_0^L\frac{1}{8\pi }}{\left|b\right|}^2{u}_y\text{d}y+{\displaystyle {\int }_0^L\lambda }\frac{{\left(u_y\right)}^2}{J}\text{d}y=0.$ (3.1)

将(2.6)₃乘以 $w$ ，对结果 $y\in \left(0,L\right)$ 上积分，得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^L{\rho }_0}\frac{{\left|w\right|}^2}{2}\text{d}y+\frac{1}{4\pi }{\displaystyle {\int }_0^L{w}_y}\cdot b\text{d}y+{\displaystyle {\int }_0^L\mu }\frac{{\left|w_y\right|}^2}{J}\text{d}y=0.$ (3.2)

将(2.6)₄乘以 $\frac{1}{4\pi }b$ ，对结果 $y\in \left(0,L\right)$ 上积分，得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^L\frac{J{\left|b\right|}^2}{8\pi }\text{d}y}+\frac{1}{8\pi }{\displaystyle {\int }_0^L{u}_y}{\left|b\right|}^2\text{d}y-\frac{1}{4\pi }{\displaystyle {\int }_0^L{w}_y}\cdot b\text{d}y=0.$ (3.3)

我们已知

$\begin{array}{c}{\left(Jp\right)}_t=J_{t}p+J{p}_t=p{u}_y+J{p}_t\\ =p{u}_y+\gamma p{u}_y+\left(\gamma -1\right)\lambda \frac{u_y^2}{J}+\left(\gamma -1\right)\mu \frac{{\left|w_y\right|}^2}{J},\end{array}$

因此，我们得到

$\frac{{\left(Jp\right)}_t}{\gamma -1}=-p{u}_y+\lambda \frac{u_y^2}{J}+\mu \frac{{\left|w_y\right|}^2}{J},$

对 $y\in \left(0,L\right)$ 上积分，即

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^L\frac{Jp}{\gamma -1}\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_0^{L}p}{u}_y\text{d}y-{\displaystyle {\int }_0^L\lambda }\frac{u_y^2}{J}\text{d}y-{\displaystyle {\int }_0^L\mu }\frac{{\left|w_y\right|}^2}{J}\text{d}y=0,$ (3.4)

求和等式(3.1)~(3.4)并对 $y\in \left(0,L\right)$ 上积分，得到

${\displaystyle {\int }_0^L\left({\rho }_0\frac{u^2}{2}+{\rho }_0\frac{{\left|w\right|}^2}{2}+\frac{J{\left|b\right|}^2}{8\pi }+\frac{Jp}{\gamma -1}\right)\text{d}y}=E_0.$ (3.5)

接下来，我们受Kazhiklov和Selukhin [9]、Xin和Li引用 [5] [6] 和，Li [20] [21] 的启发，推导出了J的一个有用的概念。由于(2.6)₁，从来自(2.6)₂可得

${\rho }_0{u}_t+p_y+\frac{1}{8\pi }{\left({\left|b\right|}^2\right)}_y-\lambda {\left(\ln J\right)}_{ty}=0.$

上面的方程对 $t\in \left(0,t\right)$ 上积分得

${\rho }_0\left(u-u_0\right)-\lambda {\left(\ln J\right)}_y+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(p+\frac{1}{8\pi }{\left|b\right|}^2\right)}_y\text{d}\tau }=0,$

由此，对

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_0^L\frac{J{\left|b\right|}^2}{8\pi }\text{d}y}+\frac{1}{8\pi }{\displaystyle {\int }_0^L{u}_y}{\left|b\right|}^2\text{d}y-\frac{1}{4\pi }{\displaystyle {\int }_0^L{w}_y}\cdot b\text{d}y=0.$

我们已知 $y\in \left(y,z\right)$ 进行积分，得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^y{\rho }_0}\left(u-u_0\right)\text{d}\xi -\lambda \ln J\left(y,t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\left(p\left(y,\tau \right)+\frac{1}{8\pi }{\left|b\right|}^2\left(y,\tau \right)\right)\text{d}\tau }\\ ={\displaystyle {\int }_0^z{\rho }_0}\left(u-u_0\right)\text{d}\xi +\lambda \ln J\left(z,t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\left(p\left(z,\tau \right)+\frac{1}{8\pi }{\left|b\right|}^2\left(z,\tau \right)\right)\text{d}\tau }.\end{array}$

我们发现方程

${\displaystyle {\int }_0^z{\rho }_0}\left(u-u_0\right)\text{d}\xi +\lambda \ln J\left(z,t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\left(p\left(z,\tau \right)+\frac{1}{8\pi }{\left|b\right|}^2\left(z,\tau \right)\right)\text{d}\tau }$

只依赖于y，因此我们用 $h\left(t\right)$ 来表示，即

$\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^y{\rho }_0}\left(u-u_0\right)\text{d}\xi -\ln J\left(y,t\right)+\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^t\left(p\left(y,\tau \right)+\frac{1}{8\pi }{\left|b\right|}^2\left(y,\tau \right)\right)\text{d}\tau }=\frac{1}{\lambda }h\left(t\right),$

进一步，我们得到

$\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^t\left(\frac{p}{\lambda }+\frac{1}{8\pi \lambda }{\left|b\right|}^2\right)\text{d}\tau }\right\}=J\left(x,t\right)K\left(t\right)B\left(y,t\right),$ (3.6)

其中

$\{\begin{array}{l}K\left(t\right)=\exp \left\{\frac{h\left(t\right)}{\lambda }\right\},\hfill \\ B\left(y,t\right)=\exp \left\{-\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^y{\rho }_0}\left(u-u_0\right)\text{d}\xi \right\}.\hfill \end{array}$ (3.7)

(3.6)乘以 $\frac{p}{\lambda }+\frac{1}{8\pi \lambda }J{\left|b\right|}^2$ ，得到

${\partial }_t\left(\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^t\left(\frac{p}{\lambda }+\frac{1}{8\pi \lambda }{\left|b\right|}^2\right)\text{d}\tau }\right\}\right)=\frac{1}{\lambda }pJKB+\frac{1}{8\lambda \pi }J{\left|b\right|}^{2}KB,$

进一步计算得

$\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^t\left(\frac{p}{\lambda }+\frac{1}{8\lambda \pi }{\left|b\right|}^2\right)\text{d}\tau }\right\}=1+\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{t}p}JKB\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^{2}KB\text{d}\tau .$

将其与(3.6)相加，对任意 $y\in \left(0,L\right)$ 和 $t\in \left[0,\infty \right)$ 得到

$1+\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{t}p}JKB\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^{2}KB\text{d}\tau =J\left(x,t\right)K\left(t\right)B\left(y,t\right)$ (3.8)

下面的命题证明了J的一个先验正下界，以及根据 $pJ$ 和 $J{\left|b\right|}^2$ 控制J的上界。

命题3.2对任意 $t\in \left(0,\infty \right)$ 我们有以下估计

${\left(m_{2}f\left(t\right)\right)}^{-1}\le J\left(y,t\right)\le m_1^{-1}{m}_2+\frac{1}{\lambda }{\left(m_2\right)}^2{m}_1^{-1}f\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{t}p}J\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{\left(m_2\right)}^2{m}_1^{-1}f\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^2\text{d}\tau$

其中

$m_2=\exp \left\{\frac{2}{\lambda }\sqrt{{\Vert {\rho }_0\Vert }_1{E}_0}\right\},f_1\left(t\right)=m_1^{-1}+\frac{m_2{E}_0\gamma t}{\lambda m_1^{2}L}\exp \left\{\frac{m_2{E}_0\gamma t}{\lambda m_{1}L}\right\}.$

证明：由命题3.1和Hölder不等式得到

$\left|{\displaystyle {\int }_0^y{\rho }_0}\left(u-u_0\right)\text{d}\xi \right|\le {\displaystyle {\int }_0^L\left(\left|{\rho }_{0}u\right|+\left|{\rho }_0{u}_0\right|\right)\text{d}\xi }\le 2{\Vert {\rho }_0\Vert }_1^{\frac{1}{2}}{\left(E_0\right)}^{\frac{1}{2}},$

和

$m_1:=\exp \left\{-\frac{2}{\lambda }\sqrt{{\Vert {\rho }_0\Vert }_1{E}_0}\right\}\le B\left(y,t\right)\le \exp \left\{\frac{2}{\lambda }\sqrt{{\Vert {\rho }_0\Vert }_1{E}_0}\right\}=:m_2.$ (3.9)

不等式(3.8)两边对 $y\in \left(0,L\right)$ 上积分，由(3.9)和命题3.1有

$\begin{array}{c}L\le {\displaystyle {\int }_0^L\left(1+\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{t}p}JKB\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^{2}KB\text{d}\tau \right)\text{d}y}\\ =K\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{L}J}\left(y,t\right)B\left(y,t\right)\text{d}y\\ \le m_{2}K\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{L}J}\text{d}y=m_{2}LK(\; t\; )\end{array}$

和

$\begin{array}{c}{m}_{1}LK\left(t\right)=K\left(t\right)m_1{\displaystyle {\int }_0^{L}J}\text{d}y\le K\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{L}J}B\text{d}y\\ ={\displaystyle {\int }_0^L\left(1+\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{t}p}JKB\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^{2}KB\text{d}\tau \right)\text{d}y}\\ \le L+\frac{m_2}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_0^L\left(Jp+\frac{1}{8\pi }J{\left|b\right|}^2\right)\text{d}yK\text{d}\tau }}\\ \le L+\frac{m_2{E}_0\gamma }{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{t}H}\text{d}\tau \end{array}$

利用Gronwall不等式，我们进一步得到

$m_2^{-1}\le K\left(t\right)\le m_1^{-1}\exp \left\{\frac{m_2{E}_0\gamma t}{\lambda m_{1}L}\right\}=:f\left(t\right),t\in \left[0,T\right].$ (3.10)

由(3.9)和(3.10)，以及(3.8)可以得出

$1\le 1+\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{t}p}JKB\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^{2}KB\text{d}\tau =J\left(x,t\right)K\left(t\right)B\left(y,t\right)\le J\left(y,t\right)m_{2}f\left(t\right),$

和

$\begin{array}{c}{m}_2^{-1}{m}_{1}J\left(y,t\right)\le K\left(t\right)B\left(y,t\right)J\left(y,t\right)=1+\frac{1}{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{t}p}JKB\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^{2}KB\text{d}\tau \\ \le 1+\frac{1}{\lambda }{m}_{2}f\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{t}p}J\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{m}_{2}f\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^2\text{d}\tau .\end{array}$

则对任意 $t\in \left(0,\infty \right)$ ，和任意 $y\in \left(0,L\right)$ 有

${\left(m_{2}f\left(t\right)\right)}^{-1}\le J\left(y,t\right)\le m_1^{-1}{m}_2+\frac{1}{\lambda }{\left(m_2\right)}^2{m}_1^{-1}f\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{t}p}J\text{d}\tau +\frac{1}{8\lambda \pi }{\left(m_2\right)}^2{m}_1^{-1}f\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{t}J}{\left|b\right|}^2\text{d}\tau$

证明完毕。

4. 总结

本课题得到的是可压缩磁流体动力学方程组密度的上界估计，这对求解大初值条件下可压磁流体动力学方程组MHD方程组的Cauchy问题和初边值问题有着很大的帮助，在存在真空的情况下，利用本课题得到的结果和非线性泛函分析中的一些方法，我们可以证明这个方程组强解的整体存在性。