带有形状参数的八次Bezier曲线

Eighth Times Bezier Curve with a Shape Parameter

摘要: 为了有效地改进Bezier曲线的形状，给出了一组带有形状参数β的八次多项式基函数，是七次Bernstein基函数的拓展；分析了这组基的性质，基于该组基定义了带有形状参数β的八次多项式曲线。该曲线不仅具有七次Bezier曲线的特性，如：端边相切、凸包性、保凸性、变差缩减性等，而且具有形状的可调性和更好的逼近性。在控制多边形顶点不变的情况下，通过调整形状参数β，可以产生逼近多边形的不同曲线。当β=0时，曲线退化为七次Bezier曲线。应用实例表明，本文定义的曲线为曲线/曲面的设计提供了一种可行的方法。

Abstract: In order to effectively improve the shape of Bezier curve. In this paper, a set of eighth times polynomial basis function with shape parameter β is given, this is an extension of the seventh times Bernstein basis function. Next, properties of thebasis are analyzed, and a polynomial curve with a shape parameter β is defined based on it. This curve not only has the characteristics of the seventh times Bezier curve, such as tangent of end-edge, convex envelope, convexity-preserving and variation-reducing, but also has the shape adjustability and better approximation. Under the condition that the vertices of the control polygon are invariable, different curves approximating the polygon can be produced by adjusting the shape parameter β. When β=0, the curve degenerates into a seventh times Bezier curve. At last, some examples illustrate that the curves defined in this paper provide a feasible method for the design of curves/surfaces.

1. 引言

Bezier曲线是计算机辅助几何设计(CAGD)和计算机图形学(CG)中表示自由曲线曲面的重要方法之一 [1] [2]，本文研究了以Bernstein多项式作为基函数的许多独特性质，如对称性、端点性质等，正基于此基函数，所产生的Beizer曲线具有许多良好的特性，如端点性质、端边相切、凸包性、对称性、变差缩减性等优点。当然，Bezier曲线也存在不足之处。主要体现在只要给定了多边形的控制顶点及对应的Bernstein基，Bezier曲线曲面就可唯一确定，若要修改曲线的形状，则必须调整其控制顶点。

近十年来，为了调整曲线所需要的形状或者改变曲线的位置，使其具有更好的形状可调性和逼近性。于是，学者们提出了各种带有形状参数的拟Bezier曲线，并相应的推广了Bezier曲线的各种形式 [3] - [9]。例如：有理Bezier曲线通过不改变控制顶点，引入了权因子，可以调整曲线的形状，但对如何选取权因子，导致影响拟Beizer曲线的形状还不是很清楚 [10]。在文献 [11] 中，建立了一类可以调整的Bezier曲线，主要是对于该控制多边形的 $n+1$ 个控制顶点，使用 $m=l\left(n-1\right)+1$ 次Bernstein基构造了一类特殊的Bezier曲线。该曲线参数l的几何意义模糊，且曲线次数过高，不利于进行曲线的计算。而文献 [12] 提出了四次Bézier曲线的两种不同扩展，文献 [13] 提出了五次Bézier曲线的三种不同扩展，文献 [14] 提出了六次Bézier曲线的新扩展，所用的方法都是提高了多项式的次数，从而获得与Bernstein基不同且含有参数 $\beta$ 的基函数。因此，得到的曲线具有同六次Bezier曲线类似的性质。

为此，本文针对七次Beizer曲线进行拓展，也是通过增加t的次数，得出了带有形状参数 $\beta$ 的八次多项式基函数，由该基函数组构造了带有形状参数 $\beta$ 的曲线，这类曲线不仅具有与七次Bezier曲线类似的许多性质：如端点插值、端边相切、凸包性等；而且在控制多边形顶点不变的情况下，随着参数 $\beta$ 的调整，可以改变曲线的形状和位置，相对于七次Bezier曲线而言，并从本文的基函数、曲线图像以及对应的性质中可以知道，该曲线明显具有更好的形状可调性和逼近性。当 $\beta =0$ 时，该曲线退化为七次Bezier曲线。并运用张量积方法，从而生成形状可调的曲面，曲面也具有与曲线类似的性质，这为曲线曲面的设计提供了一种切实可行的方法。

2. 基函数的结构和性质

定义2.1 [15] 对 $t\in \left[0,1\right]$， $\beta \in R$，称关于t的多项式

$\{\begin{array}{l}{B}_{0,7}\left(t\right)=\left(1-\beta t\right){\left(1-t\right)}^7\\ B_{1,7}\left(t\right)=\left(7+\beta -5\beta t\right){\left(1-t\right)}^{6}t\\ B_{2,7}\left(t\right)=\left(21+4\beta -9\beta t\right){\left(1-t\right)}^5{t}^2\\ B_{3,7}\left(t\right)=\left(35+5\beta -9\beta t\right){\left(1-t\right)}^4{t}^3\\ B_{4,7}\left(t\right)=\left(35+\beta t\right){\left(1-t\right)}^3{t}^4\\ B_{5,7}\left(t\right)=\left(21-5\beta +9\beta t\right){\left(1-t\right)}^2{t}^5\\ B_{6,7}\left(t\right)=\left(7-4\beta +5\beta t\right)\left(1-t\right)t^6\\ B_{7,7}\left(t\right)=\left(1-\beta +\beta t\right)t^7\end{array}$ (1)

为带参数 $\beta$ 的基函数，其中 $-7\le \beta \le 1$。图1为 $\beta =-1$ 时8个基函数图形。

Figure 1. The images of eight basis functions

图1. 八个基函数图形

上述基函数具有以下性质：

性质2.1非负性

$B_{i,7}\ge 0$ (2)

其中 $i=0,1,2,3,4,5,6,7$

性质2.2权性

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{7}{\sum }}{B}_{i,7}\left(t\right)}\equiv 1$ (3)

性质2.3对称性

$\begin{array}{l}{B}_{0,7}\left(1-t\right)=B_{7,7}\left(t\right)\\ B_{1,7}\left(1-t\right)=B_{6,7}\left(t\right)\\ B_{2,7}\left(1-t\right)=B_{5,7}\left(t\right)\\ B_{3,7}\left(1-t\right)=B_{4,7}\left(t\right)\end{array}$ (4)

性质2.4端点性质

$B_{0,7}\left(0\right)=1$ (5)

$\begin{array}{l}{B}_{i,7}\left(0\right)\\ ={B^{\prime }}_{2,7}\left(0\right)={B^{\prime }}_{3,7}\left(0\right)={B^{\prime }}_{4,7}\left(0\right)={B^{\prime }}_{5,7}\left(0\right)={B^{\prime }}_{6,7}\left(0\right)={B^{\prime }}_{7,7}\left(0\right)\\ ={B^{″}}_{3,3}\left(0\right)={B^{″}}_{4,4}\left(0\right)={B^{″}}_{5,5}\left(0\right)={B^{″}}_{6,6}\left(0\right)={B^{″}}_{7,7}\left(0\right)\\ ={B^{‴}}_{4,4}\left(0\right)={B^{‴}}_{5,5}\left(0\right)={B^{‴}}_{6,6}\left(0\right)={B^{‴}}_{7,7}(\; 0\; )\end{array}$

$\begin{array}{l}=B_{5,5}^{\left(4\right)}\left(0\right)=B_{6,6}^{\left(4\right)}\left(0\right)=B_{7,7}^{\left(4\right)}\left(0\right)\\ =B_{6,6}^{\left(5\right)}\left(0\right)=B_{7,7}^{\left(5\right)}\left(0\right)\\ =B_{7,7}^{\left(6\right)}\left(0\right)\\ =0\end{array}$ (6)

其中 $i=1,2,3,4,5,6,7$

$B_{7,7}\left(1\right)=1$ (7)

$\begin{array}{l}{B}_{j,7}\left(1\right)\\ ={B^{\prime }}_{5,7}\left(1\right)={B^{\prime }}_{4,5}\left(1\right)={B^{\prime }}_{3,5}\left(1\right)={B^{\prime }}_{2,5}\left(1\right)={B^{\prime }}_{1,5}\left(1\right)={B^{\prime }}_{0,5}\left(1\right)\\ ={B^{″}}_{4,7}\left(1\right)={B^{″}}_{3,7}\left(1\right)={B^{″}}_{2,7}\left(1\right)={B^{″}}_{1,7}\left(1\right)={B^{″}}_{0,7}\left(1\right)\\ ={B^{‴}}_{3,5}\left(1\right)={B^{‴}}_{2,5}\left(1\right)={B^{‴}}_{1,5}\left(1\right)={B^{‴}}_{0,5}(\; 1\; )\end{array}$

$\begin{array}{l}=B_{2,7}^{\left(4\right)}\left(1\right)=B_{1,7}^{\left(4\right)}\left(1\right)=B_{0,7}^{\left(4\right)}\left(1\right)\\ =B_{1,7}^{\left(5\right)}\left(1\right)=B_{0,7}^{\left(5\right)}\left(1\right)\\ =B_{0,7}^{\left(6\right)}\left(1\right)\\ =0\end{array}$ (8)

其中 $j=0,1,2,3,4,5,6$

性质2.5单峰性

每个基函数在 $\left[0,1\right]$ 上都有一个局部最大值。从图1就可以判断，并通过对基函数求导可以验证。

性质2.6对 $\beta$ 的单调性

即对固定t， $B_{0,7}\left(t\right)$ 和 $B_{7,7}\left(t\right)$ 是 $\beta$ 的递减函数，而 $B_{1,7}\left(t\right)$， $B_{6,7}\left(t\right)$， $B_{2,7}\left(t\right)$， $B_{5,7}\left(t\right)$， $B_{3,7}\left(t\right)$， $B_{4,7}\left(t\right)$ 是 $\beta$ 的递增函数。

性质2.7当 $\beta =0$ 时，对于 $\forall i=0,1,2,3,4,5,6,7$，则有

$B_{0,7}\left(t\right)=B_i^7\left(t\right)$ (9)

此性质说明，式(1)给出的基函数是七次Bernstein基函数的拓展。

3. 曲线的结构和性质

定义3.1给定8个控制顶点 $P_i\in R^d\left(d=2,3;i=0,1,2,3,4,5,6,7\right)$，对 $t\in \left[0,1\right]$ 定义曲线

$B_1={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{7}{\sum }}{P}_i}{B}_{i,7}\left(t\right)$ (10)

因此，将等式(10)所定义的曲线称作带有形状参数 $\beta$ 的八次Bezier曲线，简记为八次 $\beta$ -Bezier曲线。

显然，当 $\beta =0$ 时，八次 $\beta$ -Bezier曲线退化为七次Bezier曲线。图2是从右到左取 $\beta =1,0,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7$ 时不同情况的八次 $\beta$ -Bezier曲线。

Figure 2. Curves with different parameter values

图2. 不同参数值的曲线

对于上述基函数的性质，可以得出曲线式(10)具有以下性质：

性质3.1端点性质

$\begin{array}{l}{B}_1\left(0\right)=P_0\\ B_1\left(1\right)=P_7\\ {B^{\prime }}_1\left(0\right)=\left(\beta +7\right))\left(P_1-P_0\right)\\ {B^{\prime }}_1\left(1\right)=\left(\beta +7\right)\left(P_7-P_6\right)\end{array}$ (11)

由此得出曲线式(10)插值在首末端点及与控制多边形的首末边相切。

性质3.2凸包性

根据基函数的性质2.1可得。

性质3.3对称性

即：由控制多边形顶点 $P_7,P_6,P_5,P_4,P_3,P_2,P_1,P_0$ 的八次 $\beta$ -Bezier曲线和由控制多边形顶点 $P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6,P_7$ 的八次 $\beta$ -Bezier曲线必定是相同的，但是方向一定相反。根据基函数的对称性，得出

$B_1\left(1-t\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{7}{\sum }}{P}_{7-i}{B}_{i,7}\left(1-t\right)}={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{7}{\sum }}{P}_j}{B}_{j,7}\left(t\right)=B_1\left(t\right)$ (12)

性质3.4几何不变性和仿射不变性

曲线只依赖控制顶点，而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标平移和旋转后仍保持不变。对于控制多边形进行扩大、缩小或剪切等仿射变换后，所对应的新曲线就是相同仿射变换后的曲线。

性质3.5逼近性

即：当参数 $\beta$ 增大时，对应的曲线更易逼近控制多边形，比七次Bezier曲线对控制多边形的逼近更优越。因此，说明了本文的曲线比七次C-Bezier曲线有着更好的逼近性。

性质3.6变差缩减法(V.D.)

证明：根据文献 [16] 所提供的方法。先证明

$B_{0,7}\left(t\right),B_{1,7}\left(t\right),B_{2,7}\left(t\right),B_{3,7}\left(t\right),B_{4,7}\left(t\right),B_{5,7}\left(t\right),B_{6,7}\left(t\right),B_{7,7}\left(t\right)$ (13)

本组基函数在 $\left(0,1\right)$ 上完全符合笛卡尔符号法制。即对于下述的常数序列

$\left\{k_0,k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6,k_7\right\}$ (14)

都有

$Zeros\left(0,1\right)\left\{{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{7}{\sum }}{k}_i{B}_{i,7}\left(t\right)}\right\}\le SA\left(k_0,k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6,k_7\right)$ (15)

其中 $Zeros\left(0,1\right)\left\{f\left(t\right)\right\}$ 表示函数 $f\left(t\right)$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上根的个数，则

$f\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{7}{\sum }}{k}_i{B}_{i,7}\left(t\right)}$ (16)

$SA\left(k_0,k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6,k_7\right)$ (17)

表示常数序列(14)的符号改变次数。

不妨设 $k_0>0$， $SA\left(k_0,k_1,k_2,k_3,k_4,k_5,k_6,k_7\right)$ 的可能取值为 $7,6,5,4,3,2,1,0$。

1) 当式(17) = 7时，根据引理，得

$k_7<0$ (18)

又因为 $f\left(t\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上是连续函数， $f\left(0\right)=k_0$， $f\left(1\right)=k_7$。

假设 $f\left(t\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上有8个根，则 $f\left(1\right)=k_7>0$ ；故相互矛盾，式(15)成立。

2) 当式(17) $=6,5,4,3,2,1$ 时，同样的方法可证式(15)成立。

显然式(17) = 0时，式(15)成立。

故结论成立。

下证变差缩减法。

令L为通过点Q且法向量为u的直线(或平面)。

如果L和控制多边形 $\langle P_0{P}_1{P}_2{P}_3{P}_4{P}_5{P}_6{P}_7\rangle$ 交于 $P_j,P_{j+1}$ 之间的边，则 $P_j,P_{j+1}$ 一定位于L的两侧，有 $u\cdot \left(P_j-Q\right)$ 和 $u\cdot \left(P_{j+1}-Q\right)$ 符号相反。

于是，一方面，有

$\begin{array}{l}SA\{u\cdot \left(P_0-Q\right),u\cdot \left(P_1-Q\right),u\cdot \left(P_2-Q\right),u\cdot \left(P_3-Q\right),\\ u\cdot \left(P_4-Q\right),u\cdot \left(P_5-Q\right),u\cdot \left(P_6-Q\right),u\cdot \left(P_7-Q\right)\}\\ \le \langle P_0{P}_1{P}_2{P}_3{P}_4{P}_5{P}_6{P}_7\rangle \end{array}$ (19)

与L交点的个数；

另一方面，有 $B_1\left(t\right)$ 与L交点的个数为

$Zero\left(0,1\right)\left\{{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{7}{\sum }}{B}_{j,7}\left(t\right)\left(P_j-Q\right)\cdot u}\right\}$ (20)

因此，根据基函数组的笛卡尔符号法则， $B_1\left(t\right)$ 与L交点的个数不大于

$\begin{array}{l}SA\{u\cdot \left(P_0-Q\right),u\cdot \left(P_1-Q\right),u\cdot \left(P_2-Q\right),u\cdot \left(P_3-Q\right),\\ u\cdot \left(P_4-Q\right),u\cdot \left(P_5-Q\right),u\cdot \left(P_6-Q\right),u\cdot \left(P_7-Q\right)\}\end{array}$ (21)

故结论得证。

性质3.7保凸性

由性质3.6知，当控制多边形为凸时，平面上任一直线与曲线的交点个数不超过2；这是因为直线与控制多边形的交点个数最多为2。

4. 曲线的应用实例

花瓣图形

八次 $\beta$ -Bezier曲线与七次Bezier曲线一样，当起点和终点重合时，可以得到一条封闭的曲线，如图3所示是 $\beta =1,0,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7$ 的闭曲线的花瓣图形。

Figure 3. The petal images of close curves

图3. 闭曲线的花瓣图形

5. 曲面的定义

运用张量积的方法，可将曲线推广到曲面上。

定义5.1设有8 × 8个控制顶点 $P_{ij}\in R^d\left(d=2,3\right)$ 其中 $i,j=0,\cdots ,7$，且相应的张量积曲面

$B_1\left(u,v\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{7}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{7}{\sum }}{P}_{ij}{B}_{i,7}}}\left(u\right)B_{j,7}\left(v\right)$ (22)

其中 $u,v\in \left[0,1\right],-7\le \beta \le 1$

称为 $\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ 上的双八次 $\beta$ -Bezier曲面。可证明双八次 $\beta$ -Bezier曲面具有与八次 $\beta$ -Bezier曲线相似的几何性质。

6. 结论

本文主要是通过提高多项式的次数得到一组带有参数 $\beta$ 的八次多项式基函数，并分析了该组基函数的性质。此外，由这组基函数相应构造的曲线称为八次 $\beta$ -Bezier曲线。该曲线具有许多类似七次Bezier曲线的特征。如端点性质、端边相切、凸包性、对称性、变差缩减性等。对于计算量而言，该曲线都比七次Bezier曲线的计算量大，可利用海纳算法来计算该曲线。曲线的优点是：在8个控制顶点不变情况下，通过调节参数 $\beta$ 值，进而改变曲线的形状和位置，而且 $\beta$ 的几何意义明显，在 $-7\le \beta \le 1$ 范围内， $\beta$ 越大，说明该曲线越逼近控制多边形，且当 $\beta =0$ 时，曲线退化为七次Bezier曲线。最后，从逼近的角度来看，所构造的曲线比七次Bezier曲线的逼近性更好。运用张量积的方法，将曲线推广到曲面，得到的曲面形状可以调整且具有与曲线相类似的性质。今后，将在此基础上考虑其它基函数所构造的Bezier曲线曲面是否具有更好的可调性和逼近性，这是需要进一步研究的工作。

NOTES

^*通讯作者。