三对角型行列式的计算方法探讨

Discussion on Calculation of the Tridiagonal Determinant of Larger Matrix

摘要: 三对角型行列式是一类典型的行列式，其计算方法灵活多样。本文在对三对角型行列式的通用特征值计算方法优缺点分析的基础之上，针对具体的三对角型行列式给出几种不同的计算方法，以加深学生对各种行列计算方法的理解，其思想方法对于一般的高阶行列式的求解具有一定的参考意义。

Abstract: Tridiagonal determinant is a kind of typical determinant, and its calculation methods are very flexible and diverse. Based on the analysis of the advantages and disadvantages of the general eigenvalue method of the tridiagonal determinant, this paper discusses several different calculation methods for the specific tridiagonal determinant, and deepens the understanding of determinant computation methods. The idea of the listed methods has certain reference significance for the calculation of the general determinant of larger matrix.

1. 引言

行列式计算是线性代数中的重要内容之一，计算行列式时可根据行列式的定义、性质、代数余子式的性质及利用某些特殊行列式来计算，常见的计算方法 [1] [2] [3] [4] [5] 有：定义法、化三角形法、利用行列式性质化简法、目标法(即利用已知行列式(如范德蒙行列式)进行计算)、降阶法、升阶法、加边法、递推法、数学归纳法和特征值法 [1] [2] [4] [5] [6] [7] 等。

2. 三对角型行列式特征值通用计算方法

当一个n阶行列式 $\left|A\right|$ 非零元集中在主对角线(即行标i和列标j满足： $i-j=0$ )、低对角线(即行标i和列标j满足： $i-j=1$ )和高对角线(即行标i和列标j满足： $i-j=-1$ )上时，称此类行列式为三对角型行列式或带状行列式。三对角型行列式是一类典型的行列式，相关习题在各类教材的例题和习题中多次出现，其计算是线性代数学习中的难点之一。本文主要研究以下三对角型行列式(主对角线上元素全为a，低对角线元素全为c，高对角线元素全为d，且 $cd\ne 0$ )的计算问题：

$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}a& d& 0& \cdots & 0& 0\\ c& a& d& \cdots & 0& 0\\ 0& c& a& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& d\\ 0& 0& 0& \cdots & c& a\end{array}\right|$ (*)

显然，当 $n=1$ 时， $D_1=a$ ； $n=2$ 时， $D_2=a\times a-c\times d=a^2-cd$ ；当 $n=3$ 时，按第一行展开

$D_3=\left|\begin{array}{ccc}a& d& 0\\ c& a& d\\ 0& c& a\end{array}\right|=a\times \left|\begin{array}{cc}a& d\\ c& a\end{array}\right|-d\times \left|\begin{array}{cc}c& d\\ 0& a\end{array}\right|=a\left(a^2-cd\right)-dca$

一般地，计算n阶行列式时，可按照第一行展开可以得到递推关系：

$D_n=a{D}_{n-1}-cd{D}_{n-2}$ (1)

即

$D_n-\alpha D_{n-1}=\beta \left(D_{n-1}-\alpha D_{n-2}\right)$， $D_n-\beta D_{n-1}=\alpha \left(D_{n-1}-\beta D_{n-2}\right)$ (2)

这里 $\alpha +\beta =a$， $\alpha \beta =cd$， $D_1=a$， $D_2=a^2-cd$。于是，求行列式值的问题转化为求参数 $\alpha ,\beta$ 的问题，而 $\alpha ,\beta$ 又可看作一元二次方程 $x^2-ax+cd=0$ 的两个根。

当判别数 $\Delta =a^2-4dc>0$ 时， $x^2-ax+dc=0$ 有两个相异的实根

$\alpha =\frac{a+\sqrt{a^2-cd}}{2}$， $\beta =\frac{a-\sqrt{a^2-cd}}{2}$

此时，由(2)反复递推得

$D_n-\alpha D_{n-1}={\beta }^{n-2}\left(D_2-\alpha D_1\right)$， $D_n-\beta D_{n-1}={\alpha }^{n-2}\left(D_2-\beta D_1\right)$ (3)

联立(3)解得

$D_n=\frac{{\beta }^n\left(D_2-\alpha D_1\right)}{\beta \left(\beta -\alpha \right)}+\frac{{\alpha }^n\left(\beta D_1-D_2\right)}{\alpha \left(\beta -\alpha \right)}$ (4)

当判别数 $\Delta =a^2-4dc=0$ 时， $x^2-ax+dc=0$ 有两个相等根 $\alpha =\beta =\frac{a}{2}$。此时由式(3)有

$D_n=\alpha D_{n-1}+{\alpha }^{n-2}\left(D_2-\alpha D_1\right)$ (5)

$D_n=\beta D_{n-1}+{\beta }^{n-2}\left(D_2-\beta D_1\right)$ (6)

对(5)反复递推有

$\begin{array}{c}{D}_n=\alpha D_{n-1}+{\alpha }^{n-2}\left(D_2-\alpha D_1\right)\\ =\alpha \left[\alpha D_{n-2}+{\alpha }^{n-3}\left(D_2-\alpha D_1\right)\right]+{\alpha }^{n-2}\left(D_2-\alpha D_1\right)\\ =\cdots =\left(\frac{D_2-\alpha D_1}{{\alpha }^2}n+\frac{2\alpha D_1-D_2}{{\alpha }^2}\right){\alpha }^n\end{array}$ (7)

对(6)反复递推有

$D_n=\left(\frac{D_2-\beta D_1}{{\beta }^2}n+\frac{2\beta D_1-D_2}{{\beta }^2}\right){\beta }^n$ (8)

当判别数 $\Delta =a^2-4dc<0$ 时， $x^2-ax+dc=0$ 有一对共轭的复根

$\alpha =\frac{a+i\sqrt{cd-a^2}}{2}$， $\beta =\frac{a-i\sqrt{cd-a^2}}{2}$ (9)

此方法称为特征值法 [1] [2]，它是一类典型的三对角行列式计算方法。此方法的优点在于计算方法具有一定的通用性，不论 $a,b,c$ 取何值都可用统一的方法求得行列式的值，其缺点在于计算过程比较复杂且难以理解，而且忽略了三对角型行列式对角线元素本身的特点。事实上，在实际计算中，针对具体的三对角型行列可以采用多种灵活的计算方法，如递推公式法、数学归纳法和化三角形行列式法等。以下结合一个具体的行列式来说明三对角行列的计算方法。

3. 特定三对角型行列式其它计算方法

例 [3] 计算n阶行列式。

$\left|\begin{array}{cccccc}2& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\end{array}\right|$ (10)

解法1 (特征值法)该矩阵的特点是主对角线上元素都是2，次对角线上元素都为1。记该n阶行列式的值为 $D_n$，相当于行列式(*)中 $a=2,c=1,d=1$，容易计算 $D_1=2$， $D_2=2\times 2-1\times 1=3$。又

$\Delta =a^2-4dc=2^2-4\times 1\times 1=0$，故对应的一元二次方程 $x^2-ax+cd=0$ 有两个相等实根 $\alpha =\beta =\frac{a}{2}=1$。由

式(9)有该行列式的值

$D_n=n\left(D_2-D_1\right)+2D_1-D_2=\left(n-1\right)D_2+\left(2-n\right)D_1=3\left(n-1\right)+2\left(2-n\right)=n+1$

注：此题目用特征值法求解，首先需推导出 $D_n$ 的递推关系式，然后再由一阶、二阶行列式的值代入求得n阶行列式的值为 $D_n$。

解法2 (递推公式法)记该n阶行列式的值为 $D_n$，为了找出 $D_n$ 的递推关系式，可将该行列式按照第一行展开，有

$D_n=2D_{n-1}-\left|\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 2& 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 2\end{array}\right|$ (11)

再将上式右端第二项按第一列展开有

$D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$

移项得 $D_n-D_{n-1}=D_{n-1}-D_{n-2}$，知 $\left\{D_n-D_{n-1}\right\}$ 是首项 $D_2-D_1=3-2=1$，公差为0的等差数列， $D_n-D_{n-1}=1\left(n\ge 2\right)$，求前 $n-2$ 项的和有

$\left(D_n-D_{n-1}\right)+\left(D_{n-1}-D_{n-2}\right)+\cdots +\left(D_2-D_1\right)=D_n-D_1=\left(n-2\right)\times 1=n-2$

所以 $D_n=n-2+D_1=n-2+3=n+1$。

注：此法根据矩阵的特点，按某一行或某一列利用行列式的计算方法，得到递推公式，最后通过递推关系进而求得n阶行列式的值。

解法3 (化三角形行列式法)记该n阶行列式的值为 $D_n$，将第一列乘以 $\left(-\frac{1}{2}\right)$ 加到第二列，再将第二列乘以 $\left(-\frac{2}{3}\right)$ 加到第三列， $\cdots$，依次类推，将第 $\left(n-1\right)$ 列乘以 $\left(-\frac{n-1}{n}\right)$ 加到第n列，有

$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}2& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& \frac{3}{2}& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \frac{4}{3}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & \frac{n}{n-1}& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& \frac{n+1}{n}\end{array}\right|=2\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{n}{n-1}\times \frac{n+1}{n}=n+1$ (12)

注：此法运用行列式的运算性质，将所给行列式化为三角型行列式，从而求得行列式的值。

解法4 (数学归纳法)记该n阶行列式的值为 $D_n$，为了计算 $D_n$，先计算 $D_1,D_2,D_3$，看能否找出规律？

$D_1=\left|2\right|=2=1+1$， $D_2=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=2\times 2-1\times 1=3=2+1$

$D_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right|=2\times \left(2\times 2-1\times 1\right)-\left(1\times 2-0\times 1\right)=2\times 3-2=4=3+1$

一般地， $D_k=k+1$。以下用数学归纳法证明n阶行列式的值 $D_n=n+1$ 成立，计算 $D_{n+1}$ 时按照第一列展开，

$\begin{array}{c}{D}_{n+1}=2\times \left|\begin{array}{cccccc}2& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 2& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 2\end{array}\right|=2D_{n-1}-D_{n-2}\\ =2n-\left(n-2+1\right)=n+1\end{array}$ (13)

综上知，n阶行列式的值 $D_n=n+1$。

注：此法先计算一阶、二阶和三阶行列式的值，观察规律，进而运用数学归纳法求得该n阶行列式的值。

4. 结语

计算行列式时没有固定的方法，同一题目可以采用不同计算方法，而不同行列式非零元的取值和分布不同，在计算过程中可以巧妙地根据行列式特点选择恰当的方法，会使高阶行列式的计算变得更简单，同时有时需要多种方法综合使用。总而言之，高阶行列式的计算方法比较灵活，对于行列式的计算，首先应该仔细观察行列式构造上的特点，然后采用合适的计算方法，从而达到有效求解行列式的目的。

基金项目

西安电子科技大学研究生核心课程项目(HXKC2203)、西安电子科技大学杭州研究院研究生教学改革项目(1022121000210)和国家自然科学基金面上项目(61877066)。