涉及高阶导数的亚纯函数正规定则

Normal Rules for Meromorphic Functions Involving Higher-Order Derivatives

摘要: 本文讨论了关于分担值的亚纯函数正规族，在Zalcman-pang引理的基础上，利用分担值的方法，并结合前人的研究，关于和这两种形式IM分担b的正规定则，其中a，b为非零复数，本文将其推广到有关函数f的非零复数b_f,c_f，得到了两个新的正规定则。

Abstract: This paper discusses the normal family of meromorphic functions on sharing values, based on the Zalcman-pang lemma, using the method of sharing values, and combined with previous research, the positive rule of IM sharing b in the two forms and , where a and b are non-zero complex numbers, this paper generalizes them to the non-zero complex number b_f,c_f of the function f, and obtains two new normal rules.

1. 引言及主要结果

设 $D\subseteq ℂ$ 为一个区域， $\mathcal{F}$ 为区域D内一族亚纯函数， $\left\{f_n\right\}$ 为函数列，如果对于 $\forall \left\{f_n\right\}\subset \mathcal{F}$ 均存在子序列 $\left\{f_{n_v}\right\}$ 在区域D内按球距内闭一致收敛到一个亚纯函数或者 $\infty$，则称 $\mathcal{F}$ 在区域D内是正规的。显然， $\mathcal{F}$ 在D内的每一点都正规(参见 [1] [2] [3])。

设 $f\left(z\right)$， $g\left(z\right)$ 是区域D内的两个亚纯函数，a，b是两个复数，如果 $f\left(z\right)=a$ 则 $g\left(z\right)=b$，记为

$f\left(z\right)=a\Rightarrow g\left(z\right)=b$

则， $f\left(z\right)=a\Rightarrow g\left(z\right)=b$ 且 $g\left(z\right)=b\Rightarrow f\left(z\right)=a$，将其记为

$f\left(z\right)=a\iff g\left(z\right)=b$

当 $a=b$ 时，我们称f，gIM分担a。

本文我们用 $\sigma \left(x,y\right)$ 表示x和y的球面距离，有关球面定义见(见文献 [4])。

2000年，庞学诚和Zalcman在(文献 [5])中，证明了定理A。

定理A设为单位圆 $\text{Δ}$ 内的一族亚纯函数，a，b为互相判别的两个复数，c为一个非零复数，若对 $\forall f\in \mathcal{F}$，都满足 $f\left(z\right)=0\iff f^{\prime }\left(z\right)=a$ 和 $f\left(z\right)=c\iff f^{\prime }\left(z\right)=b$ ，则 $\mathcal{F}$ 在单位圆 $\text{Δ}$ 内正规。

2004年，A.P. Singh和A. Singh在(文献 [6])中将定理A中的常数a，b推广到依赖于f的常数，他们证明了如下定理。

定理B设 $\mathcal{F}$ 在单位圆 $\text{Δ}$ 内的一族亚纯函数，对任意函数 $f\in \mathcal{F}$，存在非零复数 $b_f,c_f$，满足：

i) $\frac{b_f}{c_f}$ 为常数

ii) $\min \left\{\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(0,c_f\right)\sigma \left(c_f,b_f\right)\right\}\ge m$，其中 $m>0$，

iii) $f\left(z\right)=0\iff f^{\prime }\left(z\right)=0$ 和 $f\left(z\right)=c_f\iff f^{\prime }\left(z\right)=b_f$，

则 $\mathcal{F}$ 在单位圆 $\text{Δ}$ 内正规。

2008年，张庆彩在文献 [7] 中证明了定理C。

定理C设 $n\left(\ge 4\right)\in \mathbb{Z}$， $a\left(\ne 0\right),b$ 为两个有穷复数，设 $\mathcal{F}$ 为区域D内的一族亚纯函数，若对 $\forall f,g\in \mathcal{F}$，满足 $f^{\prime }\left(z\right)-a{f}^n\left(z\right)$ 和 $g^{\prime }\left(z\right)-a{g}^n\left(z\right)$ 在D内IM分担b，则 $\mathcal{F}$ 是正规的于区域D内。

2012年，由仇惠玲等人在文献 [8] 证明了定理D。

定理D设 $n,k\left(n\ge k+3\right)$ 是一个整数， $a\left(\ne 0\right),b$ 为两个有穷复数，设 $\mathcal{F}$ 为区域D内的一族亚纯函数，其中 $\forall f\in \mathcal{F}$ 的零点重级均 $\ge k$，如果对 $\forall f$， $g\in \mathcal{F}$，满足 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)-a{f}^n\left(z\right)$ 和 $g^{\left(k\right)}\left(z\right)-a{g}^n\left(z\right)$ 在D内IM分担b，则 $\mathcal{F}$ 在区域D内正规。

2013年，由陈玮等人在文献 [9] 证明了定理E。

定理E设 $n,k\left(n\ge k+1\right)$ 是一个整数， $a\left(\ne 0\right),b$ 为两个复数且有穷，设 $\mathcal{F}$ 在区域D内的一族亚纯函数，其中 $\forall f\in \mathcal{F}$ 的零点重级均 $\ge k$，如果对 $\forall f,g\in \mathcal{F}$，满足 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)-a{f}^{-n}\left(z\right)$ 和 $g^{\left(k\right)}\left(z\right)-a{g}^{-n}\left(z\right)$ 在D内IM分担b，则 $\mathcal{F}$ 在区域D内正规。

本文将根据定理A推广到定理B的方式，对定理D和定理E进行推广，得到了以下结论。

定理1设 $n,k\left(n\ge k+3\right)$ 是一个整数， $a\left(\ne 0\right),b$ 为两个复数且有穷，设 $\mathcal{F}$ 为区域D内的一族亚纯函数，其中 $\forall f\in \mathcal{F}$ 的零点重级均 $\ge k$，若 $\exists b_f,c_f$ 为非零复数，满足：

i) $\frac{b_f}{c_f}$ 为常数

ii) $\min \left\{\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(0,c_f\right)\sigma \left(c_f,b_f\right)\right\}\ge m$，其中 $m>0$，

iii) $f^{\left(k\right)}\left(z\right)-\frac{1}{b_f^{n-1}}{f}^n\left(z\right)=c_f\iff g^{\left(k\right)}\left(z\right)-\frac{1}{b_g^{n-1}}{g}^n\left(z\right)=c_g$，

则 $\mathcal{F}$ 在区域D内正规。

定理2设 $n,k\left(n\ge k+1\right)$ 是一个整数， $a\left(\ne 0\right),b$ 为两个有穷复数，设 $\mathcal{F}$ 在在区域D内的一族亚纯函数，其中 $\forall f\in \mathcal{F}$ 的零点重级均 $\ge k$，若 $\exists b_f,c_f$ 为非零复数，满足：

i) $\frac{b_f}{c_f}$ 为常数，

ii) $\min \left\{\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(0,c_f\right)\sigma \left(c_f,b_f\right)\right\}\ge m$，其中 $m>0$，

iii) $f^{\left(k\right)}\left(z\right)-b_f^{n+1}{f}^{-n}\left(z\right)=c_f\iff g^{\left(k\right)}\left(z\right)-b_g^{n+1}{g}^{-n}\left(z\right)=c_g$，

则 $\mathcal{F}$ 在区域D内正规。

2. 主要引理

引理1 [10] 设 $\mathcal{F}$ 在在单位圆 $\text{Δ}$ 内的一族亚纯函数，且族 $\mathcal{F}$ 中任意函数的所有极点重级均 $\ge q$，所有零点重级均 $\ge p$。设 $\alpha$ 是一个实数且满足 $-p<\alpha <q$。则 $\mathcal{F}$ 在 $z_0$ 处不正规 $\rightleftharpoons$ 存在

一个点列 $z_j\in \text{Δ},z_j\to z_0$ ；

一个函数列 $f_j\in \mathcal{F}$ ；

一个正数列 ${\rho }_j\to 0^{+}$，

使得 $g_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{\alpha }{f}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)$ 在复平面 $ℂ$ 上按球距局部一致收敛到 $g\left(\xi \right)$，其中g是一个非常数亚纯函数，所有零点重级均 $\ge p$，所有级点重级均 $\ge q$。

引理2 [11] [12] 设 $\mathcal{F}$ 为单位圆 $\text{Δ}$ 内的一族亚纯函数，其中 $\forall f\in \mathcal{F}$ 的零点重级均 $\ge k$，必有 $\left|f^{\left(k\right)}\left(z\right)\right|\le A$。若 $\mathcal{F}$ 在 $\text{Δ}$ 内不正规，则对于 $\forall \alpha \left(0\le \alpha \le k\right)$，

1) 存在点列 $z_n\in D,z_n\to z_0$，

2) 函数列 $\left\{f_n\right\}\in \mathcal{F}$，

3) 一个正数列 ${\rho }_n\to 0^{+}$。

使得 $g_n\left(\xi \right)={\rho }_n^{-\alpha }{f}_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$ 在复平面 $ℂ$ 上按球距内闭一致收敛到 $g\left(\xi \right)$ (复平面上的一个非常数亚纯函数)，且所有零点重级均 $\ge k$，且 $g^{*}\left(\xi \right)\le g^{*}\left(0\right)=kA+1$，特别地，g的级 $\le 2$，g的球面导数表示为 $g^{*}\left(\xi \right)=\left|g^{\prime }\left(\xi \right)\right|/\left[1+{\left|g\left(\xi \right)\right|}^2\right]$。

由文献 [8] 引理2的证明过程中，可以得到以下结论。

引理3 [8] 设f是一个复平面的亚纯函数， $a\left(\ne 0\right)$ 是一个有穷复数， $n,k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 且满足 $k\ge 2$， $n\ge k+3$。若f的所有零点重级 $\ge k$，且 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)-a{f}^n\left(z\right)$ 至多有一个判别的零点，则f是一个常数。

引理4 [13] 设 $n\ge 2,k$ 是两个整数，若f为超越亚纯函数，则 $f^n{f}^{\left(k\right)}$ 有无穷多个非零复数的根；若f为非常数有理函数，则 $f^n{f}^{\left(k\right)}$ 至少有一个非零复数的根。

引理5 [14] 设 $n,k$ 是两个整数且 $n\ge k+1,b\ne 0$ 是一个有限复数，f为有理函数，且f的零点重数 $\ge k$，则 $f^n{f}^{\left(k\right)}-b$ 至少有两个互相判别的零点。

由文献 [14] 引理2.4的证明过程中可得到引理6

引理6设 $n,k$ 是两个整数且 $n\ge 2,b\ne 0$ 是一个有限复数，f为非常数多项式且零点重数 $\ge k$，则 $f^n{f}^{\left(k\right)}-b$ 至少有两个互相判别的零点。

引理7 [15] 设m为一个正整数，a，b，c为三个常数，Möbius变换g满足

$\sigma \left(g\left(a\right),g\left(b\right)\right)\ge m,\sigma \left(g\left(c\right),g\left(b\right)\right)\ge m,\sigma \left(g\left(a\right),g\left(c\right)\right)\ge m,$

则g满足李普希茨条件，即

$\sigma \left(g\left(z\right),g\left(w\right)\right)\le k_m\sigma \left(z,w\right)$

这里 $k_m$ 是常数且与m有关。

引理8 [16] 设 $f\left(z\right)$ 为非常数亚纯函数， $0,\infty$ 均为 $f\left(z\right)$ 的Picard例外值，则 $f\left(z\right)={\text{e}}^{h\left(z\right)}$，其中 $h\left(z\right)$ 为一个非常数整函数。

引理9 [16] 设 $h\left(z\right)$ 为一个非常数整函数， $f\left(z\right)={\mathrm{e}}^{h\left(z\right)}$ 且 $f\left(z\right)$ 的级为 $\lambda$，下级为 $\mu$，若 $h\left(z\right)$ 为p次多项式，则 $\lambda =\mu =p$ ；若 $h\left(z\right)$ 为超越整函数，则 $\lambda =\mu =\infty$。

3. 主要结论证明

定理1的证明 由定理假设，不妨设 $M=\frac{b_f}{c_f}$，显然可以找到两个非零复数b，c，满足 $\frac{b_f}{c_f}=\frac{b}{c}$，对任意 $f\in \mathcal{F}$，我们定义一个Möbius变换 $I_f:I_f=\frac{c_{f}z}{c}$，则 $I_f^{-1}=\frac{cz}{c_f}$，接下来我们证明 $G=\left(I_f^{(-1)}\circ f\right)|f\in \mathcal{F}$ 在D内正规。

用反证法证明，假设G在D内不正规，则存在 $z_0\in D$，使得G在 $z_0$ 处不正规，由引理1知，存在 $g_j\in G$，

$z_j\to z_0$ 和 ${\rho }_j\to 0^{+}$，使得 $L_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{\frac{k}{n-1}}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)$。

按球距内闭一致于一个非常数亚纯函数 $L\left(\xi \right)$，其中零点重数 $\ge k$，它的极至 $\le 2$。

由 $L_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{\frac{k}{n-1}}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)$ 知 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)={\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)$

注意到

$\begin{array}{l}{\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}\left(g_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{g}_j^n\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)-c\right)\\ =L_j^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{L}_j^n\left(\xi \right)-{\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}c\to L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}L\left(\xi \right)\end{array}$ (1)

接下来分情况讨论：

情况1 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{L}^n\left(\xi \right)\equiv 0$，则 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\equiv \frac{1}{b^{n-1}}{L}^n\left(\xi \right)$，由于 $n\ge k+3$ 可知， $L\left(\xi \right)$ 是一个整函数，故有

$\begin{array}{c}nT\left(r,L\right)=T\left(r,b^{n-1}{L}^{\left(k\right)}\right)\le T\left(r,L^{\left(k\right)}\right)+o\left(1\right)\\ \le m\left(r,L^{\left(k\right)}\right)+N\left(r,L^{\left(k\right)}\right)+o\left(1\right)\\ \le m\left(r,L\right)+S\left(r,L\right)\\ \le T\left(r,L\right)+S\left(r,L\right)\end{array}$

即 $\left(n-1\right)T\left(r,L\right)\le S\left(r,L\right)$，故有 $T\left(r,L\right)=S\left(r,L\right)$，故矛盾。

情况2 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{L}^n\left(\xi \right)\cancel{\equiv }0$

(2.1) $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{L}^n\left(\xi \right)\ne 0$ 时，由文献 [17] 中的推论2可知， $L\left(\xi \right)$ 为常数，矛盾。

(2.2) $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{L}^n\left(\xi \right)=0$ 时，下面将证明 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{L}^n\left(\xi \right)$ 只有一个零点。

假设存在 ${\xi }_0,{\xi }_0^{*}$ 为 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{L}^n\left(\xi \right)$ 的两个零点，选足够小的 $\delta >0$，使得 $D\left({\xi }_0,\delta \right)\cup D\left({\xi }_0^{*},\delta \right)=\varnothing$，其中，

$\begin{array}{l}D\left({\xi }_0,\delta \right)=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<\delta \right\},\\ D\left({\xi }_0^{*},\delta \right)=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0^{*}\right|<\delta \right\},\end{array}$

根据(1)式，由Hurwitz定理知，存在点列 ${\xi }_j\in D\left({\xi }_0,\delta \right),{\xi }_j^{*}\in D\left({\xi }_0^{*},\delta \right)$，使得对于足够大的j有

$\begin{array}{l}{f}_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-\frac{1}{b_{f_j}^{n-1}}{f}_j^n\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-c_{f_j}=0,\\ f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\right)-\frac{1}{b_{f_j}^{n-1}}{f}_j^n\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\right)-c_{f_j}=0.\end{array}$

由定理假设 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)-\frac{1}{b_f^{n-1}}{f}^n\left(z\right)=c_f\iff g^{\left(k\right)}\left(z\right)-\frac{1}{b_g^{n-1}}{g}^n\left(z\right)=c_g$ 可知，对任意的正整数m，有

$f_m^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-\frac{1}{b_{f_m}^{n-1}}{f}_m^n\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-c_{f_m}=0,$

$f_m^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\right)-\frac{1}{b_{f_m}^{n-1}}{f}_m^n\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\right)-c_{f_m}=0.$

固定m，令 $j\to \infty$，并注意到 $z_j+{\rho }_j{\xi }_j\to z_0$， $z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\to z_0$，则

$f_m^{\left(k\right)}\left(z_0\right)-\frac{1}{b_{f_m}^{n-1}}{f}_m^n\left(z_0\right)-c_{f_m}=0.$

因为 $f_m^{\left(k\right)}-\frac{1}{b_{f_m}^{n-1}}{f}_m^n-c_{f_m}$ 为解析函数，故其零点是孤立的，因此

$z_j+{\rho }_j{\xi }_j=z_0,z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}=z_0.$

从而

${\xi }_j=z_0-\frac{z_j}{{\rho }_j},{\xi }_j^{*}=z_0-\frac{z_j}{{\rho }_j}.$

这显然与 $D\left({\xi }_0,\delta \right)\cap D\left({\xi }_0^{*},\delta \right)=\varnothing$ 矛盾，故 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-\frac{1}{b^{n-1}}{L}^n\left(\xi \right)$ 仅有一个零点。根据引理2知， $L\left(\xi \right)$ 为

常数，从而矛盾。

因此 $G=\left\{\left(I_f^{-1}\circ f\right)|f\in \mathcal{F}\right\}$ 在D内是正规的，即等度连续的，那么对于任意的( $\frac{\epsilon }{k_m}>0$ )，其中 $k_m$ 为引

理7中的常数，存在 $\delta >0$，使得对任意满足球面距离 $\sigma \left(x,y\right)<\delta$，以及 $f\in \mathcal{F}$，有

$\sigma \left(\left(I_f^{-1}\circ f\right)\left(x\right),\sigma \left(I_f^{-1}\circ f\right)\left(y\right)\right)<\frac{\epsilon }{k_m}.$

由引理7知，

$\begin{array}{c}\sigma \left(f\left(x\right),f\left(y\right)\right)=\sigma \left(\left(I_f\circ I_f^{-1}\circ f\right)\left(x\right),\sigma \left(I_f\circ I_f^{-1}\circ f\right)\left(y\right)\right)\\ \le k_m\sigma \left(\left(I_f^{-1}\circ f\right)\left(x\right)\sigma \left(I_f^{-1}\circ f\right)\left(y\right)\right)<\epsilon \end{array}$

因此 $\mathcal{F}$ 在D内是等度连续的，即为正规的。定理1得证。

定理2的证明 由定理假设，不妨设 $M=\frac{b_f}{c_f}$，显然可以找到两个非零复数b，c，满足 $\frac{b_f}{c_f}=\frac{b}{c}$，对任意 $f\in \mathcal{F}$，我们定义一个Möbius变换 $I_f:I_f=\frac{c_{f}z}{c}$，则 $I_f^{-1}=\frac{cz}{c_f}$，接下来我们证明 $G=\left\{\left(I_f^{-1}\circ f\right)|f\in \mathcal{F}\right\}$ 在D内正规。

用反证法证明，假设G在D内不正规，则存在 $z_0\in D$，使得G在 $z_0$ 处不正规，由引理2知，存在 $g_j\in G$，

$z_j\to z_0$ 和 ${\rho }_j\to 0^{+}$，使得 $L_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{\frac{-k}{n-1}}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)$。

按球距内闭一致于一个非常数亚纯函数 $L\left(\xi \right)$，其中零点重数 $\ge k$，它的极 $\le 2$

由 $L_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{\frac{-k}{n-1}}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)$ 知 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)={\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)$

注意到

$\begin{array}{l}{\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}\left(g_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)-b^{n+1}{g}_j^n\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)-c\right)\\ =L_j^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-b^{n+1}{T}_j^n\left(\xi \right)-{\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}c\to L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-b^{n+1}{L}^n\left(\xi \right)\end{array}$ (2)

接下来分情况讨论：

情况1 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-b^{n+1}{L}^{-n}\left(\xi \right)\equiv 0$，明显不成立，假设成立，则 $L\left(\xi \right)$ 是一个没有零点的整函数，由引理7-8知 $L\left(\xi \right)={\text{e}}^{c{\xi }^2+d\xi +e}$ (c，d，e为常数，且 $cd\ne 0$ )。显然则 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)L^n\left(\xi \right)\equiv b^{n+1}$ 不成立。

情况2 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-b^{n+1}{L}^{-n}\left(\xi \right)\cancel{\equiv }0$

由引理3.4.5可知， $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-b^{n+1}{L}^{-n}\left(\xi \right)$ 至少有两个不相等零点，接下来证明，这是不可能的。

只需考虑 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-b^{n+1}{L}^{-n}\left(\xi \right)=0$ 有两个不相等零点情况，

假设存在 ${\xi }_0,{\xi }_0^{*}$ 为 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-b^{n+1}{L}^{-n}\left(\xi \right)$ 的两个零点，选足够小的 $\delta >0$，使得 $D\left({\xi }_0,\delta \right)\cap D\left({\xi }_0^{*},\delta \right)=\varnothing$，其中，

$\begin{array}{l}D\left({\xi }_0,\delta \right)=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<\delta \right\},\\ D\left({\xi }_0^{*},\delta \right)=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0^{*}\right|<\delta \right\},\end{array}$

根据(2)式，并结合Hurwitz定理知，存在点列 ${\xi }_j\in D\left({\xi }_0,\delta \right),{\xi }_j^{*}\in D\left({\xi }_0^{*},\delta \right)$，使得对于足够大的j有

$\begin{array}{l}{f}_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-b^{n+1}{f}_j^{-n}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-c_{f_j}=0,\\ f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\right)-b^{n+1}{f}_j^{-n}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\right)-c_{f_j}=0.\end{array}$

由定理假设 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)-b_f^{n+1}{f}^{-n}\left(z\right)=c_f\iff g^{\left(k\right)}\left(z\right)-b_g^{n+1}{g}^{-n}\left(z\right)=c_g$ 可知，对任意的正整数m，有

$\begin{array}{l}{f}_m^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-b_{f_m}^{n+1}{f}_m^{-n}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-c_{f_m}=0,\\ f_m^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\right)-b_{f_m}^{n+1}{f}_m^{-n}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\right)-c_{f_m}=0.\end{array}$

固定m，令 $j\to \infty$，并注意到 $z_j+{\rho }_j{\xi }_j\to z_0$， $z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}\to z_0$，则

$f_m^{\left(k\right)}\left(z_0\right)-b_{f_m}^{n+1}{f}_m^{-n}\left(z_0\right)-c_{f_m}=0$

因为 $f_m^{\left(k\right)}-b_{f_m}^{n+1}{f}_m^{-n}-c_{f_m}$ 为解析函数，故其零点是孤立的，因此

$z_j+{\rho }_j{\xi }_j=z_0,z_j+{\rho }_j{\xi }_j^{*}=z_0.$

从而

${\xi }_j=z_0-\frac{z_j}{{\rho }_j},{\xi }_j^{*}=z_0-\frac{z_j}{{\rho }_j}.$

这显然与 $D\left({\xi }_0,\delta \right)\cap D\left({\xi }_0^{*},\delta \right)=\varnothing$ 矛盾，故 $L^{\left(k\right)}\left(\xi \right)-b^{n+1}{L}^{-n}\left(\xi \right)$ 仅有一个零点。从而矛盾。

因此 $G=\left\{\left(I_f^{-1}\circ f\right)|f\in \mathcal{F}\right\}$ 在D内是正规的，即等度连续的，那么对于任意的 $\left(\frac{\epsilon }{k_m}>0\right)$，其中 $k_m$ 为引

理7中的常数，存在 $\delta >0$，使得对任意满足球面距离 $\sigma \left(x,y\right)<\delta$，以及 $f\in \mathcal{F}$，有

$\sigma \left(\left(I_f^{-1}\circ f\right)\left(x\right),\sigma \left(I_f^{-1}\circ f\right)\left(y\right)\right)<\frac{\epsilon }{k_m}$。

由引理7知，

$\begin{array}{c}\sigma \left(f\left(x\right),f\left(y\right)\right)=\sigma \left(\left(I_f\circ I_f^{-1}\circ f\right)\left(x\right),\sigma \left(I_f\circ I_f^{-1}\circ f\right)\left(y\right)\right)\\ \le k_m\sigma \left(\left(I_f^{-1}\circ f\right)\left(x\right),\sigma \left(I_f^{-1}\circ f\right)\left(y\right)\right)<\epsilon \end{array}$

因此 $\mathcal{F}$ 在D内是等度连续的，即为正规的。定理2得证。

基金项目

国家自然科学基金资助(11961068)。

NOTES

^*通讯作者。