基于改善差分进化算法的功率不平衡码本构造

Power Imbalance Codebook Construction Based on Improved Differential Evolution Algorithm

摘要: 在稀疏码多址接入(Sparse code multiple access, SCMA)系统中，码本构造和多用户检测是提升误码率(bit error rate, BER)性能的关键因素。由于用户码本间的功率不平衡可以增加远近效应，减少接收端用户间的干扰，提升多用户检测的性能，因此我们基于改善的差分进化算法，固定最小乘积距离的取值区间，以最大化最小欧氏距离为目标，构造一种同时适用于高斯信道和下行瑞利衰落信道的功率不平衡码本。仿真结果显示，所提码本与现有差分进化码本相比，在高斯信道下，当BER = 10⁻⁵时，信噪比提升了约0.3 dB；在下行瑞利衰落信道下，当BER = 10⁻⁴时，也提升了约1.0 dB。因此，所提方案构造的码本是一种性能较优的功率不平衡码本。

Abstract: In sparse code multiple access systems, codebook construction and multi-user detection are key factors to improve bit error rate (BER) performance. Since the power imbalance between user codebooks can increase the near far effect, reduce the interference between users at the receiving end, and improve the performance of multi-user detection, based on the improved differential evo-lution algorithm, we fixed the value range of the minimum product distance, with the goal of max-imizing the minimum Euclidean distance, and constructed a power imbalance codebook that is ap-plicable to both the Gaussian channel and the downlink Rayleigh fading channel. The simulation results show that the SNR of the proposed codebook is improved by about 0.3 dB when BER = 10⁻⁵ in the Gaussian channel compared with the existing differential evolution codebook; In the down-link Rayleigh fading channel, when BER = 10⁻⁴, it also increases about 1.0 dB. Therefore, the code-book designed by the proposed scheme is a power imbalance codebook with better performance.

1. 引言

第五代移动通信以及未来无线通信中，需要满足大规模用户接入以及高频谱利用率等要求 [1] 。相较于正交多址接入技术，非正交多址接入(Non-orthogonal multiple access, NOMA)技术有其一定的优越性 [2] [3] 。而目前SCMA作为NOMA的一种标志性技术 [4] ，在全世界被广泛学习与研究。对于多用户检测部分，由于码本中码字的稀疏性，可以在接收端使用消息传递算法(message passing algorithm, MPA)检测 [5] 。由于SCMA系统将用户传输的比特信息直接映射到用户的多维码本，因此用户码本的构造也决定了基于SCMA的NOMA系统的性能。在SCMA系统中，码本的构造对于降低系统的误码率性能有很大影响。大多数现有的码本构造方案都是从多维复母码本开始构造的，这些母码本具有大的最小欧氏距离或大的最小乘积距离 [6] [7] ，然后经过星座算子与扩频矩阵得到用户的码本。但是现有码本的构造很多都是基于单信道进行优化的 [8] [9] ，多信道下的码本研究还比较少。

在文献 [10] 中提出了一种将码本构造参数化，然后使用差分进化算法，以误符号率(Signal error rate, SER)为目标函数来进行优化的方案；文献 [11] 提出了一种功率不平衡码本设计方案，该方案是基于星型星座的结构并借助遗传算法优化，其BER性能在高斯信道和瑞利衰落信道下都有较好的表现。因为该码本在下行链路传输的不同用户之间具有功率差异；文献 [12] 提出一种低复杂性的功率不平衡码本构造方案，在高斯信道下，系统的BER性能有所提升。从以上文献看出码本构造可以利用用户间的功率不平衡(功率域NOMA的一个独特特性)，以此来实现增强MPA解码。

本文在功率不平衡SCMA码本构造的理念上，借助改善的差分进化算法去构造一种新型的功率不平衡码本，使它同时适用于高斯信道与下行瑞利衰落信道。仿真结果显示，所提功率不平衡码本的BER性能在两种信道下都有一定的提升。

2. 预备知识

2.1. SCMA模型

假定在下行SCMA系统中，有J个用户节点共享K个时频资源节点，并由同一个基站传输信息。SCMA系统在编码时，将传入的 ${\log }_{2}M$ 个二进制信息比特直接映射到用户的复码本，编码成一个K维复码字，M为码本的大小。这个映射关系表示为 $f_j:{\mathbb{B}}^{{\log }_{{}_2}M}\to x_j\subset {ℂ}^K$ ， $\left|x_j\right|=M$ 。所有用户传输的码字在资源节点上叠加，并由资源节点承载这些信息通过信道传到接收端检测器。用N表示每个用户节点占用的资源节点数，即码字中的非零元素个数。 $N\ll K$ ，保证其码字的稀疏性，减少用户间的信息干扰，方便接收端更好的进行多用户检测。以 $K=4,M=4,N=2$ 的小规模系统为例，它的简化编码原理图如图1：

Figure 1. Simplified coding schematic diagram

图1. 简化编码原理图

这个小规模系统用户节点和资源节点的关系可以由如下因子矩阵 $F$ 表示:

$F=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1\end{array}\right]$

其中 $F=\left(f_1,f_2,\cdots ,f_J\right)$ ， $f_j=\text{diag}\left(V_j{V}_j^{\text{T}}\right)$ 。 $V_j$ 表示第j个用户的扩频矩阵，当且仅当 $F_{k,j}=1$ 时，用户j占用第k个资源节点。行重 $d_f$ 表示占用同一个资源节点的有效用户数目，此时 $d_f=3$ 。

2.2. 差分进化算法

差分进化算法(Differential Evolution, DE)是一种智能优化算法。在DE迭代过程前 [10] ，先随机生成S个初始物种作为父代，用向量组 $p_i,i=1,2,\cdots ,S$ 表示，每个物种内都有D个个体，即每个向量的长度。然后迭代过程中，它们的子代是由突变、交叉与选择三步来迭代生成的，其中突变过程可以表示为:

$u_i^G=p_1+m\left(p_2-p_3\right)$ (1)

这里的 $p_1,p_2,p_3$ 为父代物种中随机选择的不同的三个物种，m为变异因子，G为迭代次数。

$u_{i,j}^G=\{\begin{array}{l}{u}_{i,j}^G,ifr\le C_r\text{or}j=j_{\text{rand}}\\ p_{i,j}^G,其他\end{array}$ (2)

式(2)是一个交叉的过程。这里C_r表示的是交叉概率因子，r为[0, 1]中随机生成的数，j_rand为[1,D]中随机选择的数，确保每一次迭代每个物种中至少有一个分量发生改变，为下一次迭代生成一个新的父代。最后就是选择过程如下，根据适应度函数，选择表现较好的物种及个体。

$p_i^{G+1}=\{\begin{array}{l}{u}_i^G,iff\left(u_i^G\right)\ge f\left(p_i^G\right)\\ p_i^G,其他\end{array}$ (3)

这里的f(·)表示的目标函数。

2.3. 关键性能指标

SCMA系统的性能与其码本构造的优劣有关，而码本的构造可以转化为一个星座图的设计。在文献 [13] [14] 中提到的了多维星座设计的一些关键性能指标，若 $x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_M\right),y=\left(y_1,y_2,\cdots ,y_M\right)$ 为两个码字向量，那么这两个码字向量的最小欧氏距离(Minimum Euclidean Distance, MED)表示为 $d_{E,\min }=\min \Vert x-y\Vert$ ，最小乘积距离(Minimum Product Distance, MPD)可以表示为 $d_{P,\min }=\min {\displaystyle \underset{}{\prod }\left|x_i-y_i\right|}\left(x_i\ne y_i\right)$ 。在高斯信道中，叠加码字集的最小欧氏距离是码本优劣的主要指标，而在瑞利衰落信道中，各码本中码字间的最小乘积距离为码本优劣的主要指标。

3. 码本构造

3.1. 母码本构造

由于用户码本之间存在功率差异，可以增加远近效应，使得不同用户发送的信息差异性增大，降低了接收端用户间的干扰，从而降低接收端MPA检测的复杂度。基于此我们可以构造一种功率不平衡码本来提升SCMA系统性能。我们以上面的小系统为例，基于现有的功率不平衡码本 [11] ，在其内外圆上分别赋予一个角度值，增加其取值灵活性，这样可以构造一种如下的新二维复母码本：

$MC=\left[\begin{array}{l}{r}_2{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_2},r_1{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_1},-r_1{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_1},-r_2{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_2}\\ -r_1{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_1},r_2{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_2},-r_2{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_2},r_1{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_1}\end{array}\right]$ (4)

我们令 $r_1=1,r_2>1$ ， ${\phi }_1,{\phi }_2$ 为任意值。这个母码本总的能量为 ${\Vert MC\Vert }^2=4\left(r_1^2+r_2^2\right)$ ，因为它两个维度的能量一样，因此母码本每一个维度的能量都是 $E_{MC}=2\left(r_1^2+r_2^2\right)$ 。

我们需要给予同一资源节点上的不同用户之间不同的功率分配，再通过扩频矩阵得到不同用户的码本，使得不同用户码本之间存在功率差异。以 $K=4,J=6,M=4$ 为例，我们假设每个码字的平均功率为1，得到每个资源节点的总功率 $E=JM/K$ ，即 $E=6$ 。因为每个资源节点上的有效用户数为 $d_f=3$ ，若每个用户分得的功率用 $E_j,j=1,2,3$ 来表示，则 $E_1+E_2+E_3=6$ ，其中 $E_j=E_{MC}\cdot {\Vert {\Delta }_j\Vert }^2,{\Delta }_j={\omega }_j{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_j},j=1,2,3$ 。

基于此功率分配方案再结合文献 [11] 提出的不同于拉丁结构的矩阵，构造一种签名矩阵，此矩阵可以更好的实现用户间的功率不平衡，该签名矩阵如下：

$G=\left[\begin{array}{cccccc}{\Delta }_2& {\Delta }_1& {\Delta }_3& 0& 0& 0\\ {\Delta }_2& 0& 0& {\Delta }_3& {\Delta }_1& 0\\ 0& {\Delta }_3& 0& {\Delta }_1& 0& {\Delta }_2\\ 0& 0& {\Delta }_1& 0& {\Delta }_3& {\Delta }_2\end{array}\right]$ (5)

3.2. 用户码本

用 $Z_j=\text{diag}\left(c_j\right)$ 表示用户j的星座算子，其中 $c_j$ 表示 $G$ 中去除0元素的第j列，则用户码本可以由母码本结合星座算子与扩频矩阵来生成： $H_j=V_j\cdot Z_j\cdot MC,j=1,2,\cdots ,6$ 。据此用户1的码本可以表示为：

$H_1=\left[\begin{array}{cccc}{r}_2{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_2}{\omega }_2{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}& {\text{e}}^{\text{i}{\phi }_1}{\omega }_2{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}& -{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_1}{\omega }_2{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}& -r_2{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_2}{\omega }_2{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}\\ -{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_1}{\omega }_2{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}& r_2{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_2}{\omega }_2{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}& -r_2{\text{e}}^{\text{i}{\phi }_2}{\omega }_2{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}& {\text{e}}^{\text{i}{\phi }_1}{\omega }_2{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ (6)

其他用户码本也可由此获得。

3.3. 优化模型

用户之间功率分配方案的不同，可能会导致叠加码字集的最小欧氏距离有所不同，进而影响BER性能。因此我们可以以最大化最小欧氏距离和大化最小乘积距离为目标来优化功率分配方案，此功率不平衡码本的构造过程就可以转化为一个参数优化过程。以前面小规模系统为例，这个优化模型可以表示为：

$\{\begin{array}{l}\max d_{E,\min }\left(r_2,\theta ,\omega \right)\\ \text{s}\text{.t}.d_{P,\min }\left(r_2,\theta ,\omega \right)\ge \alpha ，\\ r_2>1,\\ E_1+E_2+E_3=6,\\ 0\le {\phi }_1,{\phi }_2,{\theta }_i\le 2\pi ,\forall i=1,2,3.\\ {\omega }_i\in ℝ,\forall i=1,2,3.\end{array}$ (7)

其中 $\theta =\left({\phi }_1,{\phi }_2,{\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3\right)$ ， $\omega =\left({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3\right)$ 。

4. 仿真结果分析

根据文献 [10] [15] ，设置初始物种数S = 50，每个物种含有D = 9 (参数个数)个个体。目前大多数使用的差分进化算法，在迭代过程中其交叉概率因子与突变因子始终是不变的，容易导致物种个体多样性丧失，从而引发物种早熟，无法寻找到更精确的解。在此我们将差分进化算法中的交叉概率因子设置为固定值 $C_r=0.95$ 的同时，为了增加物种多样性，将突变因子改变为随迭代次数而变化的 $m=0.2\times 3^{\left(I_{\max }-t\right)/\left(I_{\max }-1\right)}$ 。当搜索到部分最优解时，我们将在其附近进行精细搜索，最终将优化结果的精确度提高。这里的f(·)表示的是目标函数(归一化最小欧氏距离)。

基于我们所要比较码本的MPD，我们设置优化模型中的 $\alpha =0.55$ 。图2显示的是功率不平衡码本在改善的差分进化算法下MED随迭代次数的变化曲线。我们取最大迭代次数 $I_{\max }=100$ ，经过大约30次迭代MED达到了稳定值1.1558。

经改善差分进化算法的参数优化，当MED达到1.1558时，其参数值 ${\phi }_1=0.355$ ， ${\phi }_2=-0.300$ ， $r_2=2.652$ ， $E_1=3.33$ ， $E_2=1.79$ ， $E_3=0.88$ 。

Figure 2. Optimization result chart

图2. 优化结果图

本节中，我们所提码本将与DE码本 [10] 、PI码本 [11] 和LC码本 [12] 进行BER性能比较。表1显示了不同码本一些关键指标的比较，此时每个用户码本中码字的平均功率为1。

Table 1. Table of key ındicators

表1. 关键指标表

由表1可知，我们所提码本的最小欧氏距离比DE码本高0.2143、比PI码本高0.0171、比LC码本高0.0604；其最小乘积距离也是略高于其他码本。这也是所提码本在两种不同信道下表现较其他码本略优的主要原因。

Table 2. Simulation parameter table

表2. 仿真参数表

当仿真参数如上表2所示时，其仿真结果如下：

Figure 3. BER comparison of different codebooks in Gaussian channel

图3. 高斯信道下，不同码本BER比较

图3显示了在高斯信道下，当BER = 10⁻⁵时，所提功率不平衡码本的信噪比比PI码本提升了约0.15 dB，比DE码本提升了约0.3d B，比LC码本提升了约0.8 dB。主要原因是因为所提码本拥有比其他码本更大的最小欧氏距离。

Figure 4. BER comparison of different codebooks in Rayleigh channel

图4. 瑞利信道下，不同码本BER比较

图4显示了在瑞利衰落信道下，所提码本的BER性能略优于其它码本，特别是在高信噪比条件下。当BER = 10⁻⁴时，所提功率不平衡码本的信噪比比PI码本提升了0.7 dB，比DE码本提升了1.0 dB。明显优于LC码本。所提码本在该信道下相较于其他码本有较好的BER性能提升，是因为它拥有比其它码本略大的最小欧氏距离与最小乘积距离。

5. 结论

本文基于改善的差分进化算法，提出一种在不同用户之间存在功率差异的新码本。仿真结果显示，在两种信道下，所提码本较已有码本都有较好的性能提升。在高斯信道下，当BER = 10⁻⁵时，所提码本的信噪比较已有码本提升了至少约0.15 dB；在下行瑞利衰落信道下，当BER = 10⁻⁴时，所提码本的信噪比较已有码本提升了至少约0.7 dB。其主要内因是用户间存在的功率差异能增加远近效应，使得接收端MPA检测时用户之间的相互干扰减弱，提升MPA解码；外因是拥有相对较大的MED和MPD，从而提高了误码率性能。