正则树上满足δ'-型条件的SchrÖdinger算子的谱与正交多项式

The Spectrum of SchrÖdinger Operators with δ'-Type Conditions on Regular Trees and Orthogonal Polynomial

摘要: 本文研究了定义在正则度量树Γ_n上满足δ'-型顶点条件的Schrödinger算子的谱结构。文章首先给出了正则量子树分解后得到的量子线图上的算子所满足的顶点条件与正交多项式的关系，然后根据L₂(Γn)的空间分解定理和正交多项式根的性质得到了Γ_n上算子的谱结构。

Abstract: In this paper, we study the spectral structure of Schrödinger operators with δ'-type vertex condi-tions on regular metric trees. We first give the relationship between the operators with δ'-type vertex conditions on the quantum graph after the decomposition of the regular quantum tree and the orthogonal polynomials; then we get the spectral structure of Schrödinger operators on regular metric trees by the space decomposition theorem and the roots’ properties of orthogonal polynomi-als.

1. 引言

定义在度量图上的微分算子和度量图本身所组成的整体，在数学物理研究领域中被称为量子图。有关量子图的研究从二十世纪三十年代最早出现在化学领域中模拟自由电子运动，后来逐步出现在数学、物理和化学等各个领域 [1] 。度量图上微分算子理论主要研究微分算子的亏指数理论、自共轭域、谱理论及逆谱问题等。其中度量图上微分算子的谱理论是度量图上微分算子理论的重要内容之一。Carlson R.，Naimark K.和Solomyak M.等人 [2] - [7] 研究了正则度量树上满足特殊顶点条件的微分算子的谱的渐近性，基于正则度量树上平方可积函数空间的分解给出了定义在正则度量树上的Schrödinger算子的Robin谱在势函数q趋于 $+\infty$ 时谱的渐近性；Hess Z. W. [8] 等人研究了正则度量树上的Schrödinger算子的谱结构，基于正则度量树上平方可积函数空间的分解以及正交多项式根的理论，研究了正则度量树上的Schrödinger算子谱在势函数q对称时，Schrödinger算子的谱结构以及当Robin参数 $\alpha \to -\infty$ 时Schrödinger算子的负谱的渐近性。

基于现有成果与结论，本文主要关注定义在正则度量树上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的Schrödinger算子的谱。本节利用 $L^2\left({\Gamma }_n\right)$ 的函数空间分解定理 [3] [7] 得到了定义在有限正则树 ${\Gamma }_n$ 上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的Schrödinger算子可以分解为一列线图上算子的直和，从而可将求 ${\Gamma }_n$ 上算子的谱转化为求线图上算子的谱，而线图上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的算子的特征判别式为一正交多项式，进而利用正交多项式根的性质得到了线图上算子的谱。

2. 预备知识

为了研究正则度量树 ${\Gamma }_n$ 上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的Schrödinger算子的谱，我们首先给出以下关于树的一些概念和结论。

定义2.1 [9] 树是局部有限的且没有平行边和闭路径的连通图。

定义2.2 [9] 若一个树 $\Gamma$ 是一个度量图，则称 $\Gamma$ 为度量树(有些文献中又称为加权树)。

定义2.3 [9] 定义在度量图上的微分算子和度量图本身所组成的整体，在数学物理研究领域中被称为量子图。

本文研究的是层数为n，每个顶点的出度均为常数b且每条边的边长都为1，方向为远离根顶点的有限正则度量树 ${\Gamma }_n$ ，下文简称为正则树。将 ${\Gamma }_n$ 的顶点集和边集分别记为 $\mathcal{V}\left({\Gamma }_n\right)$ 和 $\mathcal{E}\left({\Gamma }_n\right)$ ，根顶点记为o。本文用 $\langle x,y\rangle$ 表示树上点x到点y的简单路径，用 $\rho \left(x,y\right)$ 表示连接树上任意两点x和y的简单路径的长度。为了表述方便，对于度量树上的点x，用符号 $\left|x\right|$ 代替 $\rho \left(o,x\right)$ 。

接下来定义两点之间以及点与边之间的序。若树上任意两点 $x,y$ 满足 $x\in \langle o,y\rangle$ ，则将 $x,y$ 之间的关系记为 $x\preccurlyeq y$ ，若 $x\ne y$ ，则记为 $x\prec y$ 。对于以顶点v为始点的第j条边 $e_v^j$ ， $1\le j\le b$ ，若 $e_v^j\in \langle o,x\rangle$ ，则将边 $e_v^j$ 和x之间关系记为 $x\succcurlyeq e_v^j$ 或 $e_v^j\preccurlyeq x$ 。

定义2.4 [10] 树上顶点 $v_0$ 的代定义为满足条件 $v\prec v_0$ 的顶点v的个数，将其记为 $gen\left(v_0\right)$ ，即

$gen\left(v_0\right)=\#\left\{v\in \mathcal{V}\left(\Gamma \right):v\prec v_0\right\}$ ，

以顶点v为始点的边e的代为顶点v的代，即

$gen\left(e\right)=gen\left(v\right)$ 。

定义2.5 [10] 若在度量树中，分支数 $b\left(v\right)$ 是关于 $\rho \left(o,v\right)$ 的函数，e的边长 $\left|e\right|$ 是关于 $\rho \left(o,e\right)$ 的函数，则称树为一个正则度量树 (也称之为径向树)，其中 $\rho \left(o,v\right)$ 和 $\rho \left(o,e\right)$ 分别为度量图 ${\Gamma }_n$ 的根o到顶点v以及边e的距离。

定义2.6 [8] 图 ${\Gamma }_n$ 上的函数空间 $L^2\left({\Gamma }_n\right)$ 由在每条边e上都平方可积的函数f组成，且f满足

${\Vert f\Vert }_{L^2\left({\Gamma }_n\right)}^2={\displaystyle \underset{e\in \mathcal{E}\left({\Gamma }_n\right)}{\sum }{\Vert f\Vert }_{L^2\left(e\right)}^2}<\infty$

本文考虑定义在正则度量树 ${\Gamma }_n$ 上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的Schrödinger算子 $\mathcal{L}$ ，其作用形式为

$\mathcal{L}f=\left(-\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{x}^2}+q\right)f$

其中q为 ${\Gamma }_n$ 上的实值对称函数，定义域中函数 $f\in L^2\left({\Gamma }_n\right)$ 且满足如下 ${\delta }^{\prime }$ -顶点条件，

$\{\begin{array}{l}{f}_1\left(v\right)+\cdots +f_b\left(v\right)-f_{-}\left(v\right)=\beta f^{\prime }\left(v\right),\\ {f^{\prime }}_{-}\left(v\right)={f^{\prime }}_1\left(v\right)=\cdots ={f^{\prime }}_b\left(v\right),\end{array}$ (1)

$\beta$ 称为 ${\delta }^{\prime }$ -耦合参数，当 $v\ne o$ 时，将唯一一条以顶点v为终点的边记为 $e_v^{-}$ ， $f_{-}\left(v\right),{f^{\prime }}_{-}\left(v\right)$ 分别表示函数 $f,f^{\prime }$ 在边 $e_v^{-}$ 上顶点v处的取值，将以顶点v为始点的b条边分别记为 $e_v^1,e_v^2,\cdots ,e_v^b$ ， $f_j\left(v\right),{f^{\prime }}_j\left(v\right)$ 分别表示函数 $f,f^{\prime }$ 在边 $e_v^j$ 上顶点v处的取值。算子 $\mathcal{L}$ 的定义域如下，

$\mathcal{D}\left(\mathcal{L}\right)=\left\{f\in L^2\left({\Gamma }_n\right):-f^{″}+qf\in L^2\left({\Gamma }_n\right),f,f^{\prime }\in AC\left({\Gamma }_n\right),f在{\Gamma }_n内部顶点处满足顶点条件\left(1\right)\right\}$ ，

其中 $AC\left({\Gamma }_n\right)$ 由 ${\Gamma }_n$ 的每条边上都绝对连续的函数组成。

3. 正则树上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的Schr dinger算子

M. Solomyak和R. Carlson分别在文献 [3] 和 [7] 中给出了正则树 $\Gamma$ 上的函数空间 $L^2\left(\Gamma \right)$ 的正交分解，本节利用空间分解定理得到了定义在有限正则树 ${\Gamma }_n$ 上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的Schrödinger算子可以分解为一列线图上算子的直和，从而可将求 ${\Gamma }_n$ 上算子的谱转化为求线图上算子的谱，而线图上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的算子的特征判别式为一正交多项式，进而利用正交多项式根的性质求解线图上算子的谱。

3.1. 正则树上的算子的分解

令 $I_n$ 为由 $n+1$ 个顶点n个边长为1的边组成的线图，如图1所示。

Figure 1. The linear metric graph I_n

图1. 线图I_n

定义函数 $\phi ={\left\{{\phi }_l\right\}}_{l=1}^n$ ，使得 $\phi \in L^2\left(I_n\right)$ ，其中 ${\phi }_l$ 为 $\phi$ 在第l个区间 $\left[0,1\right]$ 上的限制。对于线图上的函数 $f={\left\{f_l\right\}}_{l=1}^n$ 和 $g={\left\{g_l\right\}}_{l=1}^n$ ，内积定义为

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{b}^k}{\displaystyle {\int }_0^1{f}_k\left(x\right){\bar{g}}_k\left(x\right)\text{d}x}$

接下来定义空间 $L^2\left(I_n\right)$ 上的自伴算子 $A_n$ 和 $A_m^0$ 。线图 $I_n$ 上函数满足的 ${\delta }^{\prime }$ -顶点条件为

$\begin{array}{l}-u_i\left(1\right)+b{u}_{i+1}\left(0\right)-\beta {u^{\prime }}_{i+1}\left(0\right)=0,\left(0<i<n\right),\\ b{u}_1\left(0\right)-\beta {u^{\prime }}_1\left(0\right)=0,\\ -u_n\left(1\right)-\beta {u^{\prime }}_n\left(1\right)=0,\end{array}$ (2)

算子A_n定义域为

$\mathcal{D}\left(A_n\right)=\left\{f={\left\{f_k\right\}}_{k=1}^n\in L^2\left(I_n\right):f满足顶点条件\left(2\right)\right\}$

线图 $I_n$ 上函数在根部满足Neumann条件，其余顶点满足的 ${\delta }^{\prime }$ -顶点条件为

$\begin{array}{l}-u_i\left(1\right)+b{u}_{i+1}\left(0\right)-\beta {u^{\prime }}_{i+1}\left(0\right)=0,\left(0<i<n\right),\\ {u^{\prime }}_1\left(0\right)=0,\\ -u_n\left(1\right)-\beta {u^{\prime }}_n\left(1\right)=0,\end{array}$ (3)

算子 $A_m^0$ 定义域为

$\mathcal{D}\left(A_m^0\right)=\left\{f={\left\{f_k\right\}}_{k=1}^n\in L^2\left(I_n\right):f满足顶点条件\left(3\right)\right\}$

由函数空间 $L^2\left(\Gamma \right)$ 的正交分解可知，算子 $\mathcal{L}$ 酉等价于一列线图 $I_n$ 上的算子 $A_n$ 和 $A_n^0$ 的直和，即

$\mathcal{L}\cong A_n\oplus {\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n}{\sum }}\oplus }{\left(A_m^0\right)}^{\left(b-1\right)b^{n-m}}$

进一步由文献 [7] [11] 可得如下谱关系

$\sigma \left(\mathcal{L}\right)=\sigma \left(A_n\right)\cup \left({\displaystyle {\cup }_{m=0}^n\sigma \left(A_m^0\right)}\right)$ ， (4)

其中算子 $A_m^0$ 的谱为 $\left(b-1\right)b^{n-m}$ 重。

进而将求正则树上算子 $\mathcal{L}$ 的谱转化为求算子 $A_n$ 和 $A_m^0$ 的谱。

3.2. 线图上满足 ${\delta }^{\prime }$ -顶点条件的Schrödinger算子与正交多项式

令 $\Phi \left(x,\lambda \right)$ 和 $\Psi \left(x,\lambda \right)$ 分别为方程 $-u^{″}\left(x\right)+q\left(x\right)u\left(x\right)=\lambda u\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上满足

$\Phi \left(0,\mu \right)=1,\Psi \left(0,\mu \right)=0$ ，

${\Phi }^{\prime }\left(0,\mu \right)=0,{\Psi }^{\prime }\left(0,\mu \right)=1$ ，

的两个基解。

引理3.1 [8] 当Schrödinger算子的势函数 $q\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上对称时，即 $q\left(x\right)=q\left(1-x\right)$ ，有 $\Phi \left(1,\lambda \right)={\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)$ 。

记

$\Phi \left(\lambda \right)=\Phi \left(1,\lambda \right)={\Psi }^{\prime }\left(1,\lambda \right)$

$\Psi \left(\lambda \right)=\Psi \left(1,\lambda \right)$

引理3.2 [8] 当 $q\left(x\right)$ 对称且 ${\Phi }^{\prime }\left(x\right)\ne 0$ 时，有下式成立，

$\left(\begin{array}{c}u\left(0\right)\\ -u\left(1\right)\end{array}\right)=\frac{1}{{\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)}\left(\begin{array}{cc}-\Phi \left(\lambda \right)& 1\\ 1& -\Phi \left(\lambda \right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}^{\prime }\left(0\right)\\ u^{\prime }(\; 1\; )\end{array}\right)$

对线图上的连续函数 $u={\left\{u_l\left(x_e\right)\right\}}_{l=0}^n$ 作如下定义

$\begin{array}{l}{u}_0:=u_1\left(0\right),\\ u_l:=u_{l+1}\left(0\right)=u_l\left(1\right),\\ u_n:=u_n\left(1\right),\end{array}$

则由引理2知

$\begin{array}{l}{u}_{l+1}\left(0\right)=\frac{1}{{\Phi }^{\prime }}\left({u^{\prime }}_{l+1}-\Phi {u^{\prime }}_l\right),\\ -u_{l+1}\left(1\right)=\frac{1}{{\Phi }^{\prime }}\left({u^{\prime }}_l-\Phi {u^{\prime }}_{l+1}\right),\end{array}$

将上式带入顶点条件(2)式可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\Phi }^{\prime }}\left({u^{\prime }}_{l-1}-\Phi {u^{\prime }}_l\right)+b\frac{1}{{\Phi }^{\prime }}\left({u^{\prime }}_{l+1}-\Phi u_l\right)-\beta {u^{\prime }}_l=0,\left(0<l<n\right),\\ b\frac{1}{{\Phi }^{\prime }}\left({u^{\prime }}_1-\Phi {u^{\prime }}_0\right)-\beta {u^{\prime }}_0=0,\\ \frac{1}{{\Phi }^{\prime }}\left({u^{\prime }}_{n-1}-\Phi {u^{\prime }}_n\right)-\beta {u^{\prime }}_n=0,\end{array}$

即

$\begin{array}{l}-\left(\Phi b+{\Phi }^{\prime }\beta \right){u^{\prime }}_0+b{u^{\prime }}_1=0\\ {u^{\prime }}_{l-1}-\left(\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right){u^{\prime }}_l+b{u^{\prime }}_{l+1}=0,\left(0<l<n\right),\\ {u^{\prime }}_{n-1}-\left(\Phi +{\Phi }^{\prime }\beta \right){u^{\prime }}_n=0,\end{array}$

为 ${\left\{{u^{\prime }}_l\right\}}_{l=0}^n$ 的一个齐次方程组，其系数矩阵为 $\left(n+1\right)\times \left(n+1\right)$ 阶，如下

$M_n=\left(\begin{array}{cccccc}\Phi b+{\Phi }^{\prime }\beta & -b& 0& 0& \cdots & 0\\ -1& \Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta & -b& 0& \cdots & 0\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& -1& \Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta & -b\\ 0& \cdots & 0& 0& -1& \Phi +{\Phi }^{\prime }\beta \end{array}\right)$

定义矩阵

$\begin{array}{l}{D}_n=\det M_n\left(n\ge 1\right),\\ D_0={\Phi }^{\prime }\beta ,\\ D_{-1}=1-{\Phi }^2.\end{array}$

同理，对于根部满足Dirichlet条件，其余顶点满足的 ${\delta }^{\prime }$ -顶点条件的情况类似地有

$M_n^0=\left(\begin{array}{cccccc}1& -b& 0& 0& \cdots & 0\\ -1& \Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta & -b& 0& \cdots & 0\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& -1& \Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta & -b\\ 0& \cdots & 0& 0& -1& \Phi +{\Phi }^{\prime }\beta \end{array}\right)$

定义矩阵

$\begin{array}{l}{D}_n^0=\det M_n^0\left(n\ge 1\right),\\ D_0^0=1,\\ D_{-1}^0=\Phi .\end{array}$

定理3.3 $D_n$ 和 $D_n^0$ 满足如下递推关系

$\begin{array}{l}{D}_n=\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]D_{n-1}-b{D}_{n-2},\left(n\ge 1\right),\\ D_n^0=\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]D_{n-1}^0-b{D}_{n-2}^0,\left(n\ge 1\right).\end{array}$

证明定义行列式

$E_n=\left|\begin{array}{cccccc}\Phi b+{\Phi }^{\prime }\beta & -b& 0& 0& \cdots & 0\\ -1& \Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta & -b& 0& \cdots & 0\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& -1& \Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta & -b\\ 0& \cdots & 0& 0& -1& \Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \end{array}\right|$

则

$D_n=E_n-{\Phi }^{\prime }b{E}_{n-1},n\ge -1$ (5)

$E_n$ 满足

$E_n=\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]E_{n-1}-b{E}_{n-2},E_{-1}=1,E_{-2}=\frac{\Phi }{b}$

从而

$\begin{array}{l}{E}_0=\Phi b+{\Phi }^{\prime }\beta ,\\ E_1=\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]\left(\Phi b+{\Phi }^{\prime }\beta \right)-b,\end{array}$

将 $E_n$ 和 $E_{n-1}$ 带入(5)式即可得到定理3.3中第一个式子。

同理将矩阵 $M_n^0$ 最后一行的第 $n+1$ 个元素用 $\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta$ 替换，新的矩阵记为 $N_n^0$ ，定义 $E_n^0=\text{det}{N}_n^0,n\ge 0$ ，则 $E_n^0$ 满足

$D_n^0=\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]E_{n-1}^0-b{E}_{n-2}^0,E_{-1}^0=0,E_{-2}^0=-\frac{1}{b}$

将 $D_n^0$ 和 $D_{n-1}^0$ 代入上式可得定理3.3中第一个式子，得证。

对于给定的 $\lambda$ ， $D_n$ 和 $D_n^0$ 是与变量 $\Phi$ 和 ${\Phi }^{\prime }$ 有关的多项式函数。令 $y=\Phi ,z={\Phi }^{\prime }$ ，并定义参数曲线 $\mathcal{C}:=\left(y=\Phi ,z={\Phi }^{\prime }\right)$ ，记 $v=\left(b+1\right)y+\beta z$ 。则 $P_n\left(v\right):=D_n\left(\Phi ,{\Phi }^{\prime }\right),Q_n\left(v\right):=D_n^0\left(\Phi ,{\Phi }^{\prime }\right)$ 为正交多项式 [12] ，且满足下式

$\begin{array}{l}{P}_n\left(v\right)=v{P}_{n-1}\left(v\right)-b{P}_{n-2}\left(v\right),P_{-1}\left(v\right)=0,P_0\left(v\right)=1,\\ Q_n\left(v\right)=v{Q}_{n-1}\left(v\right)-b{Q}_{n-2}\left(v\right),Q_{-1}\left(v\right)=1,Q_0\left(v\right)=0.\end{array}$

对n用数学归纳法即可得下面定理。

定理3.4 $D_n\left(y,z\right)$ 和 $D_n^0\left(y,z\right)$ 分别成立下式

$\begin{array}{l}{D}_n\left(y,z\right)=\beta z{P}_n\left(v\right)+\left(1-y^2\right)Q_n\left(v\right),\\ D_n^0\left(y,z\right)=P_n\left(v\right)+y{Q}_n\left(v\right).\end{array}$

证明由于 $P_1=v{P}_0-b{P}_{-1}=v,Q_1=v{Q}_0-b{Q}_{-1}=-b$ ，所以当 $n=1$ 时，

$D_1=\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]{\Phi }^{\prime }\beta -b\left(1-{\Phi }^2\right)=\beta zv-b\left(1-y^2\right)=\beta z{P}_1+\left(1-y^2\right)Q_1$ ，

假设对于 $n-1$ 成立，下证n成立。由假设可得

$\begin{array}{c}{D}_n\left(y,z\right)=\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]D_{n-1}-b{D}_{n-2}n\\ =\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]\left[\beta z{P}_{n-1}\left(v\right)+\left(1-y^2\right)Q_{n-1}\left(v\right)\right]-b\beta P_n\left(v\right)+\left(1-y^2\right)Q_n\left(v\right)\\ =\beta z\left\{\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]P_{n-1}-b{P}_{n-2}\right\}+\left(1-y^2\right)\left\{\left[\Phi \left(b+1\right)+{\Phi }^{\prime }\beta \right]Q_{n-1}-b{Q}_{n-2}\right\}\\ =\beta z{P}_n+\left(1-y^2\right)Q_n,\end{array}$

类似也可得到 $D_n^0\left(y,z\right)$ 的等式。

由上述分析知当 $D_n\left(\Phi \left(\lambda \right),{\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)\right)=0$ 时， $\lambda$ 即为量子图 $\left(I_n,A_n\right)$ 的特征值，当 $D_n^0\left(\Phi \left(\lambda \right),{\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)\right)=0$ 时， $\lambda$ 即为量子图 $\left(I_n,A_m^0\right)$ 的特征值，且与正交多项式 $P_n\left(v\right)$ 和 $Q_n\left(v\right)$ 的根有关。由文献 [12] 知， $P_n\left(v\right)$ 和 $Q_n\left(v\right)$ 分别为n阶和 $n-1$ 阶的多项式，记

$v_{n_1}<v_{n_2}<\cdots <v_{n_n},w_{n_1}<w_{n_2}<\cdots <w_{n_{n-1}}$

分别为 $P_n\left(v\right)$ 和 $Q_n\left(v\right)$ 的根，由文献 [8] 知 $P_n\left(v\right)$ 和 $Q_n\left(v\right)$ 的根之间有交错性质，即 $v_{n_{k-1}}<w_{n_{k-1}}<v_{n_k}\left(k=1,\cdots ,n\right)$ 且 $v_{n_k},w_{n_k}\in \left[-\left(b+1\right),\left(b+1\right)\right]$ 。 $P_n\left(v\right)$ 和 $Q_n\left(v\right)$ 的图像为y-z平面内与y轴相交的两组互相交错的平行斜直线。由上讨论知参数曲线 $\mathcal{C}$ 与 $D_n\left(y,z\right)=0$ 和 $D_n^0\left(y,z\right)=0$ 在y-z平面内的交点分别组成了量子图 $\left(I_n,A_n\right)$ 和 $\left(I_n,A_m^0\right)$ 的特征值，下面研究参数曲线 $\mathcal{C}$ 和曲线 $D_n\left(y,z\right)=0$ 和 $D_n^0\left(y,z\right)=0$ 的图像。

1. 参数曲线 $\mathcal{C}$

曲线 $\mathcal{C}$ 为一条与y轴相交，在 $\left[-1,1\right]$ 之间来回环绕的曲线，当 ${\delta }^{\prime }$ -耦合参数 $\beta \to -\infty$ 时，参数曲线 $\mathcal{C}\to \infty$ 。且对于势函数 $q\in L^2\left[0,1\right]$ ， $\Phi \left(\lambda \right)$ 和 ${\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)$ 有如下性质。

性质3.5 1) 当 $\lambda \to +\infty$ 时，令 $\lambda =v^2\to +\infty$ ， $\Phi \left(\lambda \right)$ 和 ${\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)$ 有如下渐近表达式

$\begin{array}{l}\Phi \left(\lambda \right)=\cos v+O\left(v^{-1}\right),\\ {\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)=-v^{-1}\sin v+O\left(v^{-2}\right).\end{array}$

2) 当 $\lambda \to -\infty$ 时，令 $\lambda =-v^2\to -\infty$ ， $\Phi \left(\lambda \right)$ 和 ${\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)$ 有如下渐近表达式

$\begin{array}{l}\Phi \left(\lambda \right)={\text{e}}^v\left(\frac{1}{2}+q_0{v}^{-1}+O\left(v^{-2}\right)\right),\\ {\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)=-v^{-1}{\text{e}}^v\left(\frac{1}{2}+q_0{v}^{-1}+O\left(v^{-2}\right)\right),\end{array}$

其中 $q_0=\frac{1}{4}{\displaystyle {\int }_0^{1}q\left(x\right)dx}$ 。

证明参见文献 [8] 。

2. 曲线 $D_n\left(y,z\right)=0$ 和 $D_n^0\left(y,z\right)=0$

将 $D_n\left(y,z\right)$ 与 $D_n^0\left(y,z\right)$ 的零集记为

$\begin{array}{l}{Z}_n:=\left\{\left(y,z\right):y,z\in ℝ,D_n\left(y,z\right)=0\right\},\\ Z_n^0:=\left\{\left(y,z\right):y,z\in ℝ,D_n^0\left(y,z\right)=0\right\},\end{array}$

则由 $D_n\left(-y,-z\right)={\left(-1\right)}^{n+1}{D}_n\left(y,z\right)$ 可知 $D_n\left(y,z\right)=0\iff D_n\left(-y,-z\right)=0$ ，所以 $D_n\left(y,z\right)=0$ 所构成的曲线在y-z平面内关于原点对称，且曲线满足以下性质。

1) 当 $z=0$ 时， $Z_n$ 与y轴的交集(即 ${\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)=0$ 时)为

$\left\{y:y\in ℝ,D_n\left(y,0\right)=0\right\}=\left\{\frac{w_j}{b+1}:1\le j<n\right\}\cup \left\{-1,1\right\}$ ，

当 $\beta \ne 0$ 时， $Z_n$ 与直线 $y=1$ 的交集(即 $y=\Phi \left(\lambda \right)=1$ 时)为

$\left\{z:z\in ℝ,D_n\left(1,z\right)=0\right\}=\left\{\frac{v_j-\left(b+1\right)}{\beta }:1\le j<n\right\}\cup \left\{0\right\}$ 。

2) $Z_n$ 由 $n+1$ 条互不相交的曲线组成，并且每一条曲线在y-z平面内都是一个关于z单调递增的函数。

3) 当 $\beta <0$ 且 $z\ge 0$ 时，曲线上的点满足下列不等式，

$k=0时,\{\begin{array}{l}-\left(b+1\right)\le \left(b+1\right)y+\alpha z\le v_1,-1\le y\le 1,\\ v_1\le \left(b+1\right)y+\alpha z\le w_1,y\ge 1,\end{array}$

$k=1,\cdots ,\left(n-2\right)时,\{\begin{array}{l}{w}_k\le \left(b+1\right)y+\alpha z\le v_{k+1},-1\le y\le 1,\\ v_{k+1}\le \left(b+1\right)y+\alpha z\le w_{k+1},y\ge 1,\end{array}$

$k=n-1时,\{\begin{array}{l}{w}_{n-1}\le \left(b+1\right)y+\alpha z\le v_n,-1\le y\le 1,\\ v_n\le \left(b+1\right)y+\alpha z,y\ge 1,\end{array}$

$k=n时,\left(b+1\right)\le \left(b+1\right)y+\alpha z,y\ge 1.$

同样地， $D_n^0\left(y,z\right)=0$ 所构成的曲线在y-z平面内也关于原点对称，且曲线满足以下性质。

1) 当 $y=0$ 时， $Z_n^0$ 与z轴的交集(即 $\Phi \left(\lambda \right)=0$ 时)为

$\left\{z:z\in ℝ,D_n^0\left(0,z\right)=0\right\}=\left\{\frac{v_j}{\beta }:1\le j<n\right\}$

2) $Z_n^0$ 由n条互不相交的曲线组成，并且每一条曲线在y-z平面内都是一个关于z单调递增的函数。

3) 当 $\beta <0$ 且 $z\ge 0$ 时，曲线上的点满足下列不等式，

$k=1时,\{\begin{array}{l}-\left(b+1\right)\le \left(b+1\right)y+\beta z\le v_1,y\le 0,\\ v_1\le \left(b+1\right)y+\beta z\le w_1,y\ge 0,\end{array}$

$k=2,\cdots ,\left(n-1\right)时,\{\begin{array}{l}{w}_k\le \left(b+1\right)y+\beta z\le v_{k+1},y\le 0,\\ v_{k+1}\le \left(b+1\right)y+\alpha z\le w_{k+1},y\ge 0,\end{array}$

$k=n时,\{\begin{array}{l}{w}_{n-1}\le \left(b+1\right)y+\beta z\le v_n,y\le 0,\\ b+1\le \left(b+1\right)y+\beta z,y\ge 0.\end{array}$

4. 算子的谱

本节在前几节的基础上给出了定义在线图上算子的谱结构，并根据谱的分解得到了定义在正则树上的算子的谱。

由于 ${\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)=-v^{-1}\sin v+O\left(v^{-2}\right)$ ，且 ${\Phi }^{\prime }\left(\lambda \right)$ 关于 $\lambda$ 连续，所以 $\Phi \left(\lambda \right)$ 在实数范围内有可数个根，给这

可数个根由小到大排序，记为 ${\left\{{\lambda }_N^k\right\}}_{k=1}^{\infty }$ ，则由文献 [8] 知量子图 $\left(I_n,A_n\right)$ 和 $\left(I_n,A_m^0\right)$ 的特征值可由如下定理给

出。

定理6.1 $\left(I_n,A_n\right)$ 和 $\left(I_n,A_m^0\right)$ 的谱如下：

1) $\sigma \left(I_n,A_n\right)={\Sigma }_n^k\cup \left\{{\lambda }_n^{-}\right\}\cup \left\{{\lambda }_n^{=}\right\},k=0,1,2,\cdots$ ，其中 ${\Sigma }_n^k$ 为 $A_n$ 的特征值集， ${\lambda }_n^{-}$ 和 ${\lambda }_n^{=}$ 为当 ${\delta }^{\prime }$ -耦合参数 $\beta \to -\infty$ 时， $A_n$ 的两个趋于 $-\infty$ 的“无赖”特征值。

当 $k\ge 1$ 时， ${\Sigma }_n^k$ 里面包含n个特征值，且这n个特征值 $\lambda$ 满足

${\lambda }_D^k\le \lambda \le {\lambda }_D^{k+1},\left(\lambda \in {\Sigma }_n^k,k\ge 1\right)$ 。

当 $k=0$ 时， ${\Sigma }_0^k$ 里面包含 $n-1$ 个特征值，且这 $n-1$ 个特征值均小于 ${\Sigma }_n^k,k>0$ 里面的特征值。

2) $\sigma \left(I_n,A_m^0\right)={\left({\Sigma }_n^k\right)}^0\cup \left\{{\left({\lambda }_n^{=}\right)}^0\right\},k=0,1,2,\cdots$ ，其中 ${\left({\Sigma }_n^k\right)}^0$ 为 $A_m^0$ 的特征值集， $\left({\lambda }_n^{=}\right)$ 为当 ${\delta }^{\prime }$ -耦合参数

$\beta \to -\infty$ 时， $A_m^0$ 的两个趋于 $-\infty$ 的“无赖”特征值。

当 $k\ge 1$ 时， ${\left({\Sigma }_n^k\right)}^0$ 里面包含 $m-1$ 个特征值，且这 $m-1$ 个特征值 $\lambda$ 满足

${\lambda }_D^k\le \lambda \le {\lambda }_D^{k+1},\left(\lambda \in {\left({\Sigma }_k^n\right)}^0,k\ge 1\right)$ 。

当 $k=0$ 时， ${\left({\Sigma }_0^k\right)}^0$ 里面包含 $m-1$ 个特征值，且这 $m-1$ 个特征值均小于 ${\left({\Sigma }_n^k\right)}^0$ ， $k>0$ ，里面的特征值。

由第三节知，正则树上的 $\mathcal{L}$ 算子的谱为

$\sigma \left(\mathcal{L}\right)=\sigma \left(A_n\right)\cup \left({\displaystyle {\cup }_{m=0}^n\sigma \left(A_m^0\right)}\right)$ ，

其中 $A_n$ 的谱的重数为1， $A_m^0$ 的谱的重数为 $b^{\left(n-m\right)}\left(b-1\right)$ 。

5. 总结

本文研究了定义在正则度量树 ${\Gamma }_n$ 上满足 ${\delta }^{\prime }$ -型顶点条件的Schrödinger算子的谱。基于平方可积函数空间 $L^2\left({\Gamma }_n\right)$ 的分解定理以及正交多项式根的性质，通过正则量子树分解后得到量子线图上的算子所满足的顶点条件与正交多项式的关系以及得到了 ${\Gamma }_n$ 上算子的谱结构。这种函数空间分解理论以及借助多项式的方法可以将原来研究复杂的度量图上的微分算子的谱转而研究较为简单的线图上的算子的谱。其中平方可积函数空间的分解定理也使得研究度量图上微分算子的相关理论可以转化为研究区间上的微分算子，对度量图上微分算子的研究有着深远的影响。