Goillnitz Gordon函数相关函数的新模关系及证明

Some New Modular Relations of Gollnitz-Gordon Function Correlation Function and Its Proof

摘要: 本文出于对数论中Gollnitz-Gordon函数模关系的研究学习，发现了关于该函数的相关函数S(-q)还存在许多类似的模关系。为了找出某些新的模关系，本文利用了Schroter的数学公式和Ramanujan提出的一些简单的θ函数恒等式来进行推导转化，通过该方法建立了两个与S(−q)相关的新模关系并给出了证明，这两个新模关系是对已知模关系的扩展，该发现有助于之后读者在数论学习中对模关系进行研究及学习。

Abstract: Based on the study of the modular relation of Gollnitz-Gordon function in number theory, we find that there are many similar modular relations about the correlation function S(−q) of Gollnitz-Gordon function. In order to find out some new modular relations, Schroter’s mathematical formula and some simple θ function identities proposed by Ramanujan were used for derivation and transformation. Through this method, two new modular relations related to S(-q) were established and proved. The two new modular relations are extensions of the known modular re-lations. This finding is helpful for readers to study and learn modular relations in the study of number theory.

1. 引言

著名的Rogers-Ramanujan恒等式由英国数学家Rogers和印度数学家Ramanujan各自独立发现，Rogers-Ramanujan恒等式的证明是q级数理论发展中的焦点之一，人们曾用各种方法给出了这类恒等式的证明。两个与Rogers-Ramanujan恒等式类似的著名恒等式叫做Gollnitz-Gordon函数恒等式，关于Gollnitz-Gordon函数，有许多值得研究的模关系还未被发现。1998年和2022年，黄森山和陈淑玲在 [1] 、 [2] 中建立了21个只涉及Gollnitz-Gordon函数的模关系、9个同时涉及Rogers-Ramanujan函数和Gollnitz-Gordon函数的模关系以及一个新的Rogers-Ramanujan函数关系式。此外，2008年，在黄和陈的理论基础上，Nayandeep Deka Baruah等人在 [3] 中用拉马努金的笔记中的schroter公式和一些θ函数恒等式的新方法，重新证明了这21个只涉及Gollnitz-Gordon函数的模关系。

本文同样利用schroter公式和θ函数恒等式新方法建立并证明了两个与Gollnitz-Gordon函数相关的函数 $S\left(-q\right)$ 的新模关系，这两个新模关系是对已知模关系的扩展，本文的建立有助于读者对模方程进行进一步的理论研究，有比较好的研究意义。为了方便起见，本文统一用符号 $f_n$ 表示 $f\left(-q^n\right)$ 。

设 $\left|q\right|<1$ ，对于任意正整数n，有无穷乘积定义如下：

${\left(a;q\right)}_n:={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\prod }}\left(1-a{q}^j\right)}$ 且 ${\left(a;q\right)}_{\infty }:={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\prod }}\left(1-a{q}^n\right)}.$

著名的Rogers-Ramanujan恒等式定义 [4] [5] ：

$G\left(q\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{q^{n^2}}{{\left(q;q\right)}_n}}=\frac{1}{{\left(q;q^5\right)}_{\infty }{\left(q^4;q^5\right)}_{\infty }},$

$H\left(q\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{q^{n^2+n}}{{\left(q;q\right)}_n}}=\frac{1}{{\left(q^2;q^5\right)}_{\infty }{\left(q^3;q^5\right)}_{\infty }}.$

$G\left(q\right)$ 和 $H\left(q\right)$ 是著名的Rogers-Ramanujan函数，Ramanuja在很早的时候就建立了 $G\left(q\right)$ 和 $H\left(q\right)$ 的四十个模关系但没有给出证明，这四十个恒等式称为Ramanuja的四十个恒等式，在这四十个恒等式中，最简单且最漂亮的一个恒等式是

$G\left(q^{11}\right)H\left(q\right)-q^{2}G\left(q\right)H\left(q^{11}\right)=1,$ (1.1)

1921年，英国数学家Darling在 [4] 中第一次证明了这个恒等式。在同期的伦敦数学学会学报上，Rogers在 [5] 中证明了四十个恒等式中的十个，十个恒等式中其中一个就是(1.1)式。1933年，Watson在 [6] 中证明了四十个恒等式中的8个，其中有2个已被Rogers之前证明过；1977年，Bressoud在他的博士论文 [7] 中证明了40个恒等式中的15个；1989年，Biagioli在 [8] 中证明了剩余9个恒等式中的7个。最近，Berndt发现了所有40个恒等式的证明。

Gollnitz-Gordon函数恒等式定义 [6] [7] ：

$S\left(q\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-q;q^2\right)}_n}{{\left(q^2;q^2\right)}_n}{q}^{n^2}}=\frac{1}{{\left(q;q^8\right)}_{\infty }{\left(q^4;q^8\right)}_{\infty }{\left(q^7;q^8\right)}_{\infty }},$

$T\left(q\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-q;q^2\right)}_n}{{\left(q^2;q^2\right)}_n}{q}^{n^2+2n}}=\frac{1}{{\left(q^3;q^8\right)}_{\infty }{\left(q^4;q^8\right)}_{\infty }{\left(q^5;q^8\right)}_{\infty }}.$

$S\left(q\right)$ 和 $T\left(q\right)$ 是著名的Gollnitz-Gordon函数，应用纯理论证明方法，陈淑玲和黄森山还得到了一些推广的恒等式。 $S\left(q\right)$ 的研究还有很多很多，前人应用各种方法证明了不少著名的恒等式，还得到了很多新的恒等式，本文则利用schroter公式和θ函数恒等式方法建立并证明了两个与 $S\left(-q\right)$ 相关的新模关系。

本文一共分为引言、预备知识、主要结果以及参考文献四个部分。

在第一部分引言中，简单地介绍了关于Rogers-Ramanujan函数、Gollnitz-Gordon函数模关系的研究背景、目的及意义。在第二部分预备知识中，给出了证明本文主要结果所需要用到的相关schroter公式以及Ramanujan θ函数恒等式，这些理论结果及其证明都可以在参考文献 [8] 中找到。第三部分给出了本文的主要研究结果：Goillnitz Gordon函数相关函数的新模关系及证明。在此部分中针对定理一的证明，首先给出了一个schroter公式，通过给变量赋予新值令 $\mu =6$ ， $\nu =3$ 得到表达式，对其中q进行替换后相互运算建立了一个 $\psi \left(q\right)$ 与 $f\left(q\right)$ 之间的θ函数恒等式，然后通过层层转换计算最后将其转换为了Gollnitz-Gordon函数相关函数的新模关系，定理二的建立及证明过程同理。这两个新模关系是对已知模关系的扩展，该发现有助于之后读者在数论学习中对模关系进行研究及学习。最后本文第四部分即给出了本文在写作过程中所用到的参考文献。

2. 预备知识

2.1. 一些Schroter公式和Ramanujan Theta函数恒等式

下面给出的公式是schroter公式，给出的引理是早期被天才数学家Ramanujan在他的笔记本中记录下的一些θ函数恒等式，这些恒等式在后来被各个数学家进行了证明。1991年，数学家Bruce C. Berndt将Ramanujan的笔记以及各部分内容的证明过程归纳整理成册。其中一册即是本文参考文献 [8] ，里面包含了下面给出的定义和引理及其各自的证明过程。

定义2.1： $\varphi \left(q\right):=f\left(q,q\right)=1+2{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{k^2}}$

定义2.2： $\psi \left(q\right):=f\left(q,q^3\right)=\frac{1}{2}f\left(1,q\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{k\left(k+1\right)/2}}$

引理2.1 [8] ：

当 $\mu$ 为偶数时，则

$\begin{array}{c}\psi \left(q^{\mu +\nu }\right)\psi \left(q^{\mu -\nu }\right)=\varphi \left(q^{\mu \left({\mu }^2-{\nu }^2\right)}\right)\psi \left(q^{2\mu }\right)+{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\mu /2-1}{\sum }}{q}^{\mu m^2-\nu m}}f\left(q^{\left(\mu +2m\right)\left({\mu }^2-{\nu }^2\right)},q^{\left(\mu -2m\right)\left({\mu }^2-{\nu }^2\right)}\right)f\left(q^{2\nu m},q^{2\mu -2\nu m}\right)\\ +q^{{\mu }^3/4-\mu \nu /2}\psi \left(q^{2\mu \left({\mu }^2-{\nu }^2\right)}\right)f\left(q^{\mu \nu },q^{2\mu -\mu \nu }\right)\end{array}$

引理2.2 [8]

$f\left(q,q^2\right)=\frac{\varphi \left(-q^3\right)}{\chi (\; -\; q\; )}$

引理2.3 [2]

$S\left(q\right)T\left(q\right)=\frac{f_2{f}_8^2}{f_1{f}_4^2},\varphi \left(q\right)=\frac{f_2^5}{f_1^2{f}_4^2},\psi \left(q\right)=\frac{f_2^2}{f_1}$

引理2.4 [3]

$\varphi \left(-q\right)=\frac{f_1{}^2}{f_2},\psi \left(-q\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2},f\left(q\right)=\frac{f_2^3}{f_1{f}_4},\chi \left(q\right)=\frac{f_2^2}{f_1{f}_4}.$

引理2.5 [3]

$f\left(-q^3,-q^5\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2}S\left(q\right),f\left(-q,-q^7\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2}T(\; q\; )$

证明：由 [1] 中Lemma 2.6和定义2.2得：

$S\left(q\right)=\frac{\psi \left(-q^2\right)f\left(-q^3,-q^5\right)}{f_1{f}_8},T\left(q\right)=\frac{\psi \left(-q^2\right)f\left(-q,-q^7\right)}{f_1{f}_8}.$

再代入引理2.4，结论即证。

引理2.6 [8]

$\psi \left(q\right)=f\left(q^3,q^6\right)+q\psi \left(q^9\right)=f\left(q^6,q^{10}\right)+qf\left(q^2,q^{14}\right)$

$\psi \left(-q\right)=f\left(q^6,q^{10}\right)-qf\left(q^2,q^{14}\right)$

引理2.7 [8]

$f\left(a,b\right)=a^{n\left(n+1\right)/2}{b}^{n\left(n-1\right)/2}f\left(a{\left(ab\right)}^n,b{\left(ab\right)}^{-n}\right).$

2.2. 关于Theta恒等式的一些推论及证明

推论2.1

$f\left(q^3,q^5\right)=\frac{f_2^2}{f_1}S\left(-q\right),f\left(q,q^7\right)=\frac{f_2^2}{f_1}T\left(-q\right).$

证明：结合引理2.4与引理2.5知：

$f\left(-q^3,-q^5\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2}S\left(q\right)=\psi \left(-q\right)S\left(q\right),f\left(-q,-q^7\right)=\frac{f_1{f}_4}{f_2}T\left(q\right)=\psi \left(-q\right)T\left(q\right).$

用 $-q$ 替换式上式中的q得：

$f\left(q^3,q^5\right)=\psi \left(q\right)S\left(-q\right)=\frac{f_2^2}{f_1}S\left(-q\right),$

$f\left(q,q^7\right)=\psi \left(q\right)T\left(-q\right)=\frac{f_2^2}{f_1}T\left(-q\right).$

推论2.1即得证。

推论2.2：

$f\left(q^{18},q^{36}\right)=\frac{\varphi \left(-q^{54}\right)}{\chi \left(-q^{18}\right)}$

证明：用 $q^{18}$ 替代引理2.2中的q，即得证。

推论2.3：

$f\left(q,q\right)=qf\left(q^3,q^{-1}\right),$

证明：在引理2.7中代入 $a=q$ ， $b=q$ ， $n=1$ ，即证。

推论2.4：

$f\left(q^2,q^{14}\right)=q^{35}f\left(q^{42},q^{-26}\right)$

证明：在引理2.7中代入 $a=q^2$ ， $b=q^{14}$ ， $n=\frac{5}{2}$ ，即证。

3. Gollnitz Gordon函数相关函数的新模方程及其证明过程

定理一：

$qS\left(-q\right)T\left(-q^3\right)+T\left(-q\right)S\left(-q^3\right)=\frac{f_2^3{f}_3}{f_1{f}_4^2{f}_6^2}\left(\frac{f_{54}^2}{f_{108}}\cdot \frac{f_{36}}{f_{18}}+\frac{f_{108}^2}{f_{54}}\right)$

证明：在引理2.1中，设 $\mu =6$ ， $\nu =3$ ，得：

$\begin{array}{c}\psi \left(q^9\right)\psi \left(q^3\right)=\varphi \left(q^{162}\right)\psi \left(q^{12}\right)+q^{3}f\left(q^{216},q^{108}\right)f\left(q^6,q^6\right)\\ +q^{18}f\left(q^{270},q^{54}\right)f\left(q^{12},1\right)+q^{45}\psi \left(q^{324}\right)f\left(q^{18},q^{-6}\right)\end{array}$ (3.1)

在上式中，用 $-q$ 替换q，得：

$\begin{array}{c}\psi \left(-q^9\right)\psi \left(-q^3\right)=\varphi \left(q^{162}\right)\psi \left(q^{12}\right)-q^{3}f\left(q^{216},q^{108}\right)f\left(q^6,q^6\right)\\ +q^{18}f\left(q^{270},q^{54}\right)f\left(q^{12},1\right)-q^{45}\psi \left(q^{324}\right)f\left(q^{18},q^{-6}\right)\end{array}$ (3.2)

用(3.1)~(3.2)式得：

$\psi \left(q^9\right)\psi \left(q^3\right)-\psi \left(-q^9\right)\psi \left(-q^3\right)=2q^{3}f\left(q^{216},q^{108}\right)f\left(q^6,q^6\right)+2q^{45}\psi \left(q^{324}\right)f\left(q^{18},q^{-6}\right)$

用q替换上式中的 $q^3$ ，得：

$\psi \left(q^3\right)\psi \left(q\right)-\psi \left(-q^3\right)\psi \left(-q\right)=2qf\left(q^{72},q^{36}\right)f\left(q^2,q^2\right)+2q^{15}\psi \left(q^{108}\right)f\left(q^6,q^{-2}\right)$ (3.3)

利用引理2.6对(3.3)式左边进行转化得：

$\psi \left(q^3\right)\psi \left(q\right)-\psi \left(-q^3\right)\psi \left(-q\right)=2q^{3}f\left(q^6,q^{10}\right)f\left(q^6,q^{42}\right)+2qf\left(q^2,q^{14}\right)f\left(q^{18},q^{30}\right)$ (3.4)

通过对比(3.3)式和(3.4)式得：

$2qf\left(q^{72},q^{36}\right)f\left(q^2,q^2\right)+2q^{15}\psi \left(q^{108}\right)f\left(q^6,q^{-2}\right)=2q^{3}f\left(q^6,q^{10}\right)f\left(q^6,q^{42}\right)+2qf\left(q^2,q^{14}\right)f\left(q^{18},q^{30}\right)$

上式两边同时除以2q，并用q替换其中的q²，得到：

$f\left(q^{36},q^{18}\right)f\left(q,q\right)+q^7\psi \left(q^{54}\right)f\left(q^3,q^{-1}\right)=qf\left(q^3,q^5\right)f\left(q^3,q^{21}\right)+f\left(q^1,q^7\right)f\left(q^9,q^{15}\right)$ (3.5)

在(3.5)式中利用定义2.1、推论2.3以及推论2.1，得到：

$\frac{\varphi \left(-q^{54}\right)}{\chi \left(-q^{18}\right)}\cdot \varphi \left(q\right)+q^6\psi \left(q^{54}\right)\varphi \left(q\right)=\frac{f_2^2}{f_1}\cdot \frac{f_6^2}{f_3}\left(qS\left(-q\right)T\left(-q^3\right)+T\left(-q\right)S\left(-q^3\right)\right)$

带入引理2.3和引理2.4，得到：

$qS\left(-q\right)T\left(-q^3\right)+T\left(-q\right)S\left(-q^3\right)=\frac{f_2^3{f}_3}{f_1{f}_4^2{f}_6^2}\left(\frac{f_{54}^2}{f_{108}}\cdot \frac{f_{36}}{f_{18}}+\frac{f_{108}^2}{f_{54}}\right)$

定理一即得证。

定理二：

$S\left(-q^2\right)=qT\left(-q^2\right)$

证明：在引理2.1中，设 $\mu =8$ ， $\nu =7$ ，得：

$\begin{array}{c}\psi \left(q^{15}\right)\psi \left(q\right)=\varphi \left(q^{120}\right)\psi \left(q^{16}\right)+qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+q^{18}f\left(q^{180},q^{60}\right)f\left(q^{28},q^{-12}\right)\\ +q^{51}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^{42},q^{-26}\right)+q^{100}\psi \left(q^{240}\right)f\left(q^{56},q^{-40}\right)\end{array}$ (3.6)

在上式中，用 $-q$ 替换q，得：

$\begin{array}{c}\psi \left(-q^{15}\right)\psi \left(-q\right)=\varphi \left(q^{162}\right)\psi \left(q^{12}\right)-qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+q^{18}f\left(q^{180},q^{60}\right)f\left(q^{28},q^{-12}\right)\\ -q^{51}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^{42},q^{-26}\right)+q^{100}\psi \left(q^{240}\right)f\left(q^{56},q^{-40}\right)\end{array}$ (3.7)

用(3.6)~(3.7)式得：

$\psi \left(q^{15}\right)\psi \left(q\right)-\psi \left(-q^{15}\right)\psi \left(-q\right)=2qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+2q^{51}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^{42},q^{-26}\right)$

又由推论2.4得

$f\left(q^2,q^{14}\right)=q^{35}f\left(q^{42},q^{-26}\right)$

所以

$\psi \left(q^{15}\right)\psi \left(q\right)-\psi \left(-q^{15}\right)\psi \left(-q\right)=2qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+2q^{16}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^2,q^{14}\right)$ (3.8)

在(3.8)中左边使用引理2.6得：

$\begin{array}{l}2qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^2,q^{14}\right)+2q^{15}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^6,q^{10}\right)\\ =2qf\left(q^{150},q^{90}\right)f\left(q^{14},q^2\right)+2q^{16}f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^2,q^{14}\right)\end{array}$

所以

$f\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^6,q^{10}\right)=qf\left(q^{210},q^{30}\right)f\left(q^2,q^{14}\right)$

推出

$f\left(q^6,q^{10}\right)=qf\left(q^2,q^{14}\right)$

由推论2.1知：

$f\left(q^3,q^5\right)=\frac{f_2^2}{f_1}S\left(-q\right),f\left(q,q^7\right)=\frac{f_2^2}{f_1}T(\; -\; q\; )$

所以

$S\left(-q^2\right)=qT\left(-q^2\right)$

结论得证。

定理一和定理二的内容及其证明即为本文主要内容。

4. 结论

本文利用了Schroter的数学公式和Ramanujan提出的一些简单的函数恒等式来进行推导转化，建立了两个与S(−q)相关的新模关系，这两个新模关系是对已知模关系的扩展，对数论中模方程的研究学习有很好的研究意义。可以进一步思考，还能不能用这个方法对变量赋予另外的值去建立更多的模方程。